BAB IPENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

Benda tegar adalah hal yang tidak berubah bentuk ketika gaya dilakukan pada objek

    F

Benda tegar akan melakukan gerak translasi ketika gaya yang diberikan di sebelah kanan

objek sekitar titik yang disebut pusat gravitasi. Fokusnya adalah titik di mana objek akan di

rotasi ekuilibrium (tidak memiliki rotasi). Pada gerak benda tegar translasi dan rotasi dialami

pada saat yang sama, maka pada saat itu pusat gravitasi akan bertindak sebagai sumbu rotasi

dan melacak gerakan dari pusat gravitasi menggambarkan lintasan translasinya.

Dengan demikian, lintasan gerak translasi pada benda tegar dapat dilihat sebagai

lintasan pusat gravitasi lokasi objek. Dari kejadian ini tampak bahwa peran gravitasi begitu

penting dalam menggambarkan gerak benda tegar..

Bagaimana menemukan pusat gravitasi benda tegar akan lebih mudah bagi benda-

benda yang memiliki simetri tertentu, misalnya segitiga, kubus, balok, kotak, bola dan lain-

lain. Itu adalah sama dengan lokasi simetri d-sumbu. Hal ini jelas terlihat dalam contoh di

atas bahwa lokasi pusat gravitasi sama dengan sumbu rotasi yang tidak lain adalah sumbu

simetri.

1.2 Rumusan Masalah

1.Apa deskripsi Rigid Body?

2.Apa pusat massa tubuh yang kaku?

3.Bagaimana rotasi poros?

4.Bagaimana perhitungan momen inersia?

5.Apa pendulum sederhana?

6.Apa pendulum fisik?

1.3Tujuan penulisan

1.Untuk mengetahui gambaran Rigid Body

2.Untuk mengetahui pusat massa tubuh kaku

3.Untuk mengetahui tentang Rotasi Axis An

4.Untuk mengetahui tentang perhitungan momen inersia

5.Untuk mengetahui pendulum sederhana dan pendulum fisik

1.4 Manfaat dari penulisan

Makalah ini adalah untuk meningkatkan pengetahuan kita tentang gerak tubuh yang

kaku, dan kita bisa menerapkannya dalam masalah – masalah.

BAB II

PEMBAHASAN

9.1 Pendahuluan

Pada bab sebelumnya kita telah berurusan dengan gerak sebuah partikel atau sistem

partikel di bawah pengaruh kekuatan-kekuatan eksternal. Dalam aktualnya, gerakan sehari-

hari kita harus berurusan dengan benda-benda tegar berbagai bentuk dan ukuran yang

mungkin atau tidak mungkin mengurangi massa ke titik setara. Kami akan menunjukkan

sekarang bahwa untuk menggambarkan gerak benda tegar dan menerapkan hukum

kekekalan, kita harus memahami arti sebenarnya pusat massa, momen inersia, dan jari-jari

rotasi. Diskusi gerak angular adalah kompleks dalam kasus tersebut, sehingga kasus

sederhana rotasi pada sumbu tetap akan dibahas di sini, sementara rotasi tentang sebuah

sumbu lewat melalui titik tetap akan dibahas dalam Bab 13.

Selanjutnya, dalam bab ini kita akan mengasumsikan bahwa benda tegar dan tidak

merusak bentuk, yang benar dalam kasus-kasus yang ideal saja. Kami akan membahas secara

singkat continua mampudeformasi untuk memahami sifat elastis benda, yang pada gilirannya,

perlu pemahaman tentang keseimbangan kabel fleksibel, string, dan balok padat.

9.2 Gambaran Sebuah Benda Tegar

Benda tegar didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri dari sejumlah besar massa

titik, disebut pardcles, sehingga jarak antara pasang titik massa tetap konstan bahkan ketika

tubuh sedang bergerak atau di bawah tindakan kekuatan eksternal. Ini adalah definisi ideal

dari tbenda tegar karena (1) tidak ada hal seperti massa titik benar atau partikel, dan (2) tidak

ada benda dari berbagai ukuran fisik ketat kaku; menjadi cacat di bawah tindakan kekuatan

diterapkan.

Namun, konsep benda tegar ideal berguna dalam menggambarkan gerak, dan

dihasilkan penyimpangan tidak begitu signifikan. gaya yang menjaga jarak konstan antara

pasangan yang berbeda dari titik massa merupakan kekuatan internal dan disebut kekuatan

kendala.Gaya tersebut datang berpasangan dan mematuhi hukum Newton ketiga dalam

bentuk yang kuat, yaitu, mereka adalah sama dan berlawanan dan bertindak di sepanjang

baris yang sama tindakan.

Oleh karena itu kita dapat menerapkan hukum kekekalan momentum linear dan momentum

sudut dengan deskripsi gerakan benda tegar.

Selain itu, dalam setiap perpindahan, jarak relatif dan orientasi dari partikel yang

berbeda tetap sama dengan menghormati satu sama lain, maka tidak ada usaha bersih yang

dilakukan oleh kekuatan-kekuatan internal atau kekuatan kendala. Ini berarti bahwa untuk

benda tegar sempurna ,hukum kekekalan energi mekanik berlaku juga. Langkah selanjutnya

kami adalah untuk membangun jumlah koordinat independen yang dibutuhkan untuk

menggambarkan posisi dalam ruang atau konfigurasi benda tegar. Misalkan benda tegar

terdiri dari partikel N. Karena posisi setiap partikel ditentukan oleh tiga koordinat, kita

mungkin dituntun untuk menyimpulkan bahwa kita perlu koordinat 3N untuk

menggambarkan posisi benda tegar.

Ini akan menjadi benar hanya jika posisi dan gerakan semua partikel yang

independen. Tapi ini tidak begitu.Jarak antara setiap pasang partikel konstan, dan ada

pasangan seperti itu. Kami akan menunjukkan bahwa hanya enam koordinat independen

diperlukan untuk menggambarkan posisi benda tegar. Mari kita perhatikan benda tegar

ditunjukkan pada Gambar. 9.1. Untuk menggambarkan posisi massa titik k kita tidak perlu

menentukan jarak nya dari semua massa titik lain dalam benda, kita perlu jarak nya dari Tiga

poin noncollinear lainnya, seperti P, P2 dan P3, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 9.1.

Dengan demikian, jika posisi tiga poin diketahui, posisi dari titik-titik yang tersisa dalam

benda yang ditetapkan oleh kendala. Tapi P, P2, P3 memerlukan koordinat sebagian besar

sembilan untuk menggambarkan posisi mereka dalam ruang angkasa. Bahkan sembilan

koordinat tidak semua independen. Jarak r12, r13 dan r23 semua konstanta, yaitu:

r12= d1 r13 = d2 r23 = d3 (9.1)

dimana d1, d2, dan d3 adalah konstanta. Ketiga hubungan, yang disebut persamaan kendala,

mengurangi jumlah koordinat independen yang dibutuhkan untuk menggambarkan posisi

benda tegar sampai enam.

   Ada cara alternatif untuk menjelaskan bahwa hanya enam koordinat yang dibutuhkan

untuk menetapkan posisi dari tiga titik acuan. P1 titik acuan hanya membutuhkan tiga

koordinat (x1, yl, z1) untuk menentukan posisinya. Setelah P1 tetap, P2 dapat ditentukan oleh

hanya dua koordinat. karena akan dibatasi untuk bergerak pada permukaan bola yang

pusatnya berada di P1. Kedua koordinat (θ 2 ,∅ 2). Dengan dua titik tetap, P3 titik terletak

pada lingkaran berjari-jari a yang pusatnya terletak pada sumbu bergabung dengan titik P1

dan P2.Jadi hanya enam koordinat yang dibutuhkan untuk mencari tiga poin noncollinear P1,

P2, dan P3 benda tegar. Setelah ini tetap, lokasi dari semua titik lain dari benda tegar tetap,

yaitu, konfigurasi benda tegar di ruang tetap, Jika ada kendala lain pada benda, jumlah

koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan posisi benda tegar mungkin kurang dari enam.

Ada beberapa cara untuk memilih koordinat ini enam. Salah satu cara tersebut

ditunjukkan pada Gambar. 9.2. Koordinat prima X'Y'Z ',sumbu benda ditarik dalam benda

tegar benar-benar dapat menentukan benda tegar relatif terhadap koordinat XYZ eksternal,

ruang kumpulan sumbu.

Jadi tiga koordinat diperlukan untuk menentukan asal dari perangkat sumbu benda,

sedangkan tiga sisanya harus menentukan orientasi perangkat sumbu benda (sumbu prima)

relatif terhadap sumbu koordinat sejajar dengan sumbu ruang (sumbu unprimed),

sebagaimana ditunjukkan pada Gambar. 9.2. Dengan demikian kita harus mengetahui

koordinat O' terhadap O dan orientasi X'Y'Z' sumbu relatif terhadap sumbu XYZ.

Mari kita mempertimbangkan gerakan benda tegar dibatasi untuk memutar sekitar

titik tetap. Karena tidak ada gerak translasi, kita hanya peduli dengan torsi yang

menghasilkan gerak rotasi. Tapi sebelum melakukan ini, kita harus memilih tiga koordinat

yang menggambarkan orientasi sumbu benda relatif terhadap sumbu ruang. Pilihannya adalah

tidak begitu sederhana.

 Tidak ada perangkat simetris koordinat sederhana yang dapat ditemukan yang akan

menggambarkan orientasi benda tegar. Kami akan mempostingkan pembahasan rotasi benda

sekitar titik tetap sampai Bab 13. Dalam bab ini, kami membatasi diri untuk diskusi masalah

sederhana yang melibatkan rotasi pada sumbu tetap (Dan bukan titik tetap).

9.3 Pusat Massa Dari Benda Tegar

Bahkan benda yang berukuran kecil padat berisi jumlah yang sangat besar dari atom

dan molekul. Hal ini cocok untuk mewakili struktur benda ini dengan kepadatan rata-rata, p,

didefinisikan sebagai massa per unit volume, yaitu p = M / V, di mana M adalah massa dan

V adalah volume, sedangkan kerapatan lokal atau hanya kepadatan dapat didefinisikan

sebagai:

 

Dimana dm adalah massa elemen volume dV. Karena benda diasumsikan terus

menerus atas volume keseluruhan, massa total yang diberikan oleh penjumlahan terbatas atas

mk partikel massal sekarang harus diganti oleh suatu bagian integral selama ruang volume

dari massa sangat kecil dm, yaitu

Untuk sistem yang mengandung sejumlah diskrit partikel mk massa di jarak rk,pusat

massa R didefinisikan dalam Bab 8 sebagai

Untuk benda tegar diperpanjang, penjumlahan dapat digantikan oleh integrasi atas

volume seluruh benda yaitu, pusat massa R (X, Y, Z) adalah

Dimana Dm = p dV, dan M adalah massa total benda. Dalam bentuk komponen, pusat

massa dapat ditulis sebagai

 

Jika benda tegar dalam bentuk kulit tipis, persamaan untuk pusat massa diperlukan

bentuk

Dimana σ adalah densitas permukaan didefinisikan sebagai massa per satuan luas, dA

adalah elemen kecil daerah, dan M massa total diberikan oleh

Demikian pula, jika benda dalam bentuk kawat tipis, pusat massa adalah

  Dimana type persamaan di sini adalah densitas linier didefinisikan sebagai massa per

satuan panjang, dL adalah elemen kecil panjang. dan M massa total diberikan oleh

 

Jika p, σ , dan A adalah konstanta, mereka dapat diambil dari tanda-tanda integrasi,

sehingga membuat masalah agak sederhana. Misalkan sistem terdiri dari dua atau lebih

bagian diskrit sehingga pusat massa M1 adalah pada r, yaitu M2 adalah r2, maka pusat massa

dari sistem ini adalah

Dalam bentuk komponen,

Dengan ekspresi yang sama untuk Y dan Z. Perhatikan bahwa (x1, y1, z1), (x2,y2,

z2),……… adalah koordinat pusat massa M1, M2,…….. masing-masing.

Dalam menghitung pusat massa, kita harus bisa mengambil keuntungan dari

pertimbangan simetri. Misalkan benda memiliki bidang simetri Yaitu, setiap massa mk,

memiliki citra cermin itu sendiri mk’ relatif terhadap bidang yang sama. Mari kita asumsikan

bahwa pesawat XY adalah bidang simetri. Dalam hal ini,

Tapi, karena simetri, m, = mk’ dan zk =-zk Yaitu, Z = 0, yang berarti bahwa pusat

massa terletak pada bidang XY, bidang simetri. Demikian pula, jika benda tegar memiliki

garis simetry, pusat massa terletak pada baris ini. Mari kita membahas beberapa contoh untuk

menjelaskan penerapan dari persamaan sebelumnya.

9 .4 Rotasi Tentang Sumbu

  Setelah gerak terjemahan murni, gerakan sederhana berikutnya yang benda tegar

adalah gerak rotasi pada sumbu tetap. Ketika benda bebas berputar pada sumbu tetap, hanya

membutuhkan koordinat untuk menentukan orientasi. Mari kita perhatikan benda tegar yang

berputar pada sumbu tetap Z, seperti ditunjukkan pada Gambar 9.5(a). Posisi benda dapat

ditentukan oleh sudut 0, yaitu antara OA garis yang ditarik pada benda dan sumbu x.

Mari kita mempertimbangkan partikel dengan massa m, menjadi partikel perwakilan yang

terletak pada jarak Rk(Xk, Yk, Zk) dari asal, bergerak dengan kecepatan vk dan kecepatan

sudut w.Jalur yang seperti partikel adalah lingkaran jari-jari rk=(Xk2 +Yk2 ) dengan pusatnya

pada sumbu Z. Biarkan ½ menjadi sudut antara arah garis OA dalam benda dan jari-jari r,

dari sumbu Z ke massa m. Karena untuk benda tegar ᴪ konstan, seperti yang ditunjukkan

dalam gambar, (∅ = ϴ = ½ dan karenanya

Ф = ϴ = ώ (9.19)

Dimana Ύk = rkώ (9.20)

atau dalam notasi vector vk = rk x ώ (9.21)

Untuk perhitungan lebih lanjut, kita bisa menggunakan koordinat persegi panjang (x, y, z)

atau koordinat silinder (r, ϴ, z).Energi kinetik K dari benda berputar mengenai sumbu Z

yaitu:

K=∑k

❑ 12

mkv2 k

Atau K = ½ Izώ2 = ½ Izϴ2 (9.24)

Dimana Iz ¿∑k

n

mkr k2 = Σ mk (x2k + y2 k) (9.25)

 

Kuantitas Iz konstan untuk benda tegar diberikan berputar pada sumbu yang

diberikan (sumbu Z dalam kasus ini) dan disebut momen inersia terhadap sumbu itu. Karena

benda terus menerus, kita dapat mengganti penjumlahan dengan integrasi, dan

mengungkapkan Iz sebagai

  Mari kita sekarang menghitung momentum sudut dari benda mengenai sumbu Z.

Menurut definisi, momentum sudut dari benda sumbu Z

atau

Laju perubahan momentum sudut untuk sistem apapun adalah sama dengan torsi total

eksternal (atau momen total kekuatan) r (juga ditulis sebagai N). Dengan demikian, untuk

benda tegar berputar mengenai sumbu Z, karena I adalah konstan,

 

Ini adalah persamaan gerak untuk rotasi benda tegar pada sumbu tetap dan analog

dengan persamaan gerak translasi dari partikel sepanjang garis lurus yaitu hukum kedua

Newton.

Demikian pula, momen inersia I analog dengan massa m yaitu I adalah ukuran inersia

rotasi benda relatif terhadap sumbu tetap rotasi, seperti m adalah ukuran dari inersia translasi

dari benda.

Ingat, perbedaannya adalah bahwa momen inersia tergantung pada sumbu rotasi,

sedangkan massa tidak tergantung pada posisinya. Analogi tersebut dapat ditunjukkan antara

jumlah translasi dan rotasi.

Selain itu, sebagai analogi dengan gerak translasi, kita dapat mendefinisikan energi

potensial sebagai rotasi

dan

9.5 Perhitungan Saat Inersia

Untuk sistem yang terdiri dari massa mk terletak pada jarak rk, Dari sumbu rotasi,

momen inersia diberikan oleh

  Penting untuk diingat bahwa rk adalah jarak tegak lurus dari mk dari sumbu rotasi.

Untuk benda tegar diperpanjang terus menerus, momen inersia di sekitar sumbu rotasi

diberikan oleh

di mana r adalah jarak tegak lurus dari elemen massa dm dari sumbu rotasi. Untuk satu benda

dimensi dengan kerapatan massa linear λ (massa per satuan panjang), untuk benda dua

dimensi dengan massa luas kepadatan σ (massa per satuan luas), dan untuk tubuh tiga

dimensi dengan volume massa kepadatan ρ (massa per satuan volume), momen inersia

dalam setiap kasus dapat ditulis sebagai

dimana dl adalah elemen panjang, dA adalah elemen daerah, dan dV adalah elemen volume.

Definisi momen inersia dapat diperpanjang dengan kasus benda gabungan. Jadi, kalau aku

I1,I2 .... , Adalah momen inersia dari berbagai bagian benda pada sumbu tertentu,maka

momen inersia dari seluruh benda tentang sumbu yang sama

   Kami sekarang menghitung momen inersia dari badan kaku dari berbagai bentuk.

Batang Tipis

Mari kita mempertimbangkan batang tipis panjang L dan massa M, sehingga rapat

massa linear akan λ = M / L. Misalkan kita ingin mencari momen inersia tentang sebuah

sumbu tegak lurus terhadap batang di salah satu ujung. Menurut Persamaan. (9.34)

  

dimana kita telah diganti λ = M / L. Jika sumbu rotasi berada di tengah batang, seperti yang

ditunjukkan pada Gambar. 9,6 (b), momen inersia akan

  

Sebelum melangkah lebih jauh,itu penting pada saat ini untuk memperkenalkan dan

membuktikan dua teorema yang paling penting: Teorema sumbu paralel dan teorema sumbu

tegak lurus.

Teorema Sumbu Sejajar

Perhatikan benda berputar mengenai sebuah sumbu lewat melalui O. Tidak ada

kerugian dalam umum dengan mengasumsikan ini menjadi sumbu Z. Menurut definisi,

momen inersia mengenai sebuah sumbu melalui O adalah

dimana massa mk adalah pada jarak rk dari asal dan (x2 k+y2k)1/2dari sumbu Z.Menurut

gambar 9.7

dimana rc adalah jarak dari pusat massa dari asal O, dan r'k adalah koordinat relatif

dari mk sehubungan dengan CM. Menggunakan Persamaan. (9.41)

Mensubstitusi ini pada Persamaan. (9.40), kita memperoleh

dimana istilah pertama di sebelah kanan adalah momen inersia mengenai sejajar sumbu ke

sumbu Z dan melewati pusat massa, yaitu,

Istilah kedua di sisi kanan Persamaan(9.43) adalah sama dengan massa benda M dikalikan dengan kuadrat dari jarak / antara pusat massa dan sumbu Z, yaitu,

Dua istilah terakhir dalam Pers. (9.43) adalah nol menurut definisi dari pusat massa, yaitu hanya menemukan pusat relatif massa itu sendiri.

Dengan demikian, menggabungkan Persamaan. (9.44), (9.45), dan (9,46) dengan Persamaan. (9.43), kita memperoleh

yang merupakan teorema sumbu paralel dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Paralel Axis Teorema. Momen inersia dari benda terhadap sumbu manapun adalah

sama dengan jumlah yang dari momen inersia pada sumbu paralel melalui pusat massa dan

momen inersianya terhadap sumbu yang diberikan untuk massa total benda yang terletak di

pusat massa”.

Jadi, jika kita mengetahui pusat massa benda dan momen inersia tentang pusat

massa, maka momen inersia mengenai sumbu paralel dapat dihitung dengan menggunakan

teorema ini. Teorema ini dapat diterapkan pada benda gabungan juga.

Teorema sumbu tegak lurus

Benda yang massanya terkonsentrasi di satu pesawat disebut lamina pesawat. tegak

lurus teorema sumbu berlaku untuk lamina bidang bentuk apapun. Mari kita

mempertimbangkan benda tegar dalam dari lamina pada bidang-XY, seperti ditunjukkan

pada Gambar. 9,8. Untuk rotasi terhadap sumbu Z, saat inersia mengenai sumbu Z diberikan

oleh

Jika benda yang berputar terhadap sumbu X-, momen inersianya terhadap sumbu X-

akan (untuk s lamina tipis, z = 0; maka ada istilah z2)

Dan sama momen inersia terhadap sumbu F-akan

Menggabungkan Pers. (9.49) dan (9,50) dengan Persamaan. (9.48),

Yang merupakan teorema sumbu tegak lurus dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Tegak lurus Sumbu Teorema. Jumlah dari momen inersia dari suatu lamina pesawat tentang

setiap sumbu tegak lurus dalam dua bidang lamina sama dengan momen inersia

sekitar sumbu yang melewati titik persimpangan dan tegak lurus terhadap pesawat lamina.

Mari kita menerapkan teorema untuk situasi yang berbeda

Lingkaran atau bentuk silinder

Pertimbangkan lingkaran atau cincin M massa dan radius, seperti ditunjukkan pada

Gambar. 9,9. Semua M massa terkonsentrasi pada jarak dari sumbu. Oleh karena itu momen

inersia mengenai sumbu Z

Sekarang misalkan kita ingin menghitung momen inersia tentang AA sumbu 'yang

sejajar dengan Z-sumbu dan tegak lurus terhadap bidang cincin, melewati tepi cincin sebagai

ditampilkan. Situasi ini tidak lagi simetris, dan perhitungan langsung dari momen inersia

mengenai AA sumbu 'tidak lagi sepele. Namun penerapan teorema sumbu sejajar

persamaan. (9.47) membuat perhitungan tersebut sederhana, yaitu,

Ketika diterapkan pada situasi di Gambar. 9,9, memberikan

Selanjutnya kita lanjutkan untuk menghitung momen inersia dari cincin yang

mengelilingi suatu sumbu di pesawat dari cincin, seperti sekitar X-sumbu atau F-. Dari

simetri situasi,

dan menerapkan teorema sumbu tegak lurus, Eq. (9.51), 7z = Ix + IY memberikan

atau

Kita sekarang dapat menerapkan teorema sumbu sejajar untuk menemukan momen inersia

terhadap sumbu BB '.yang ada di pesawat dari cincin dan bersinggungan dengan tepi, seperti

yang ditunjukkan pada Gambar. 9,9. demikian

Sebuah shell silinder hanyalah sejumlah besar cincin bertumpuk satu di atas yang lain.

Dengan demikian saat ini inersia dari cangkang silinder atau silinder berongga massa M, jari-

jari, dan panjang / mungkin dihitung dengan cara yang mirip dengan cincin sebelumnya.

Radius rotasi

Hal ini nyaman untuk menyatakan momen inersia yang kaku tubuh dalam hal jarak k,

disebut jari-jari girasi, didefinisikan sebagai

Artinya, jari-jari girasi adalah jarak dari sumbu rotasi di mana kita dapat

mengasumsikan semua massa benda yang akan terkonsentrasi. Dengan demikian, misalnya,

radius girasi & yang tipis batang dengan sumbu rotasi melewati pusat adalah

Setelah kita mengetahui k untuk tubuh kaku berputar pada sumbu yang diberikan,

momen inersia hanya dihitung dari I = Mk²

Edaran Disk, Tabung Padat

Mari kita mempertimbangkan disk solid M massa dan radius, berputar terhadap suatu

sumbu melalui pusat dan tegak lurus terhadap bidang piringan, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar. 9.10. Mari kita membagi disk menjadi beberapa konsentris cincin, seperti yang

ditunjukkan dalam gambar berbayang. Jadi momen inersia ini cincin pada sumbu yang

diberikan adalah

dimana r adalah jari-jari cincin. Kepadatan per satuan luas adalah σ = M/πa², maka massa dm

dari cincin adalah

Jadi momen inersia dari disk dapat ditulis sebagai

Gambar 9.10 Momen inersia untuk disk yang sekitar satu sumbu tegak lurus terhadap bidang

disk.

Hasil yang sama dapat diperoleh dengan menggunakan koordinat polar yang

melibatkan integrasi ganda.Dalam ekspresi untuk momen inersia,

dA= r dθ dr adalah area yang ditunjukkan pada Gambar. 9.11 dan massa per satuan

luas adalah σ = M/πa² . substitusikan persamaan ini sebelumnya kita akan mendapatkan

Hasil yang diperoleh dalam Persamaan. (9.59). Untuk mendapatkan momen inersia

tentang sumbu yang berbeda kita bisa memanfaatkan paralel dan teorema sumbu tegak lurus.

Gambar 9.11 Momen inersia untuk

disk menggunakan koordinat pesawat kutub.

9.6 Pendulum Sederhana

Ini adalah yang pertama dari banyak contoh perlakuan gerak rotasi. Sebuah bandul

sederhana terdiri dari tn massa ditangguhkan dari titik O ditetapkan oleh tegangan senar tak

bermassa (atau batang tak bermassa) l panjang, seperti ditunjukkan pada Gambar. 9.13.

Sistem ini diperlakukan sebagai satu benda tegar. Ketika massa m dipindahkan dari posisi

kesetimbangan vertikal, bergerak bolak-balik di busur lingkaran seperti yang ditunjukkan.

Dengan demikian gerak pendulum setara dengan gerak rotasi dalam bidang vertikal dan

dengan sumbu Z yang melalui O, sumbu yang tegak lurus terhadap pesawat. Marilah kita

menerapkan persamaan. (9.29) terhadap situasi ini:

Dimana

dan torsi sekitar sumbu z yang dihasilkan oleh mg gaya adalah

Tanda negatif diambil karena torsi bertindak sedemikian rupa untuk mengurangi sudut

θ.Substitusikan persamaan (9.63) dan (9.64) ke dalam. (9.31),

Persamaan ini tidak begitu mudah untuk dipecahkan. Tetapi jika kita mengasumsikan 0

perpindahan sudut menjadi sangat kecil, yaitu, 0? z '/ 2, maka sin 0 = 0 dan Persamaan. (9.65)

mengambil persamaan

yang merupakan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana dan memiliki solusi

Dimana

θ0 dan tb menjadi dua konstanta sembarang yang menentukan amplitudo dan fase dari osilasi

dari kondisi awal. Perhatikan bahwa frekuensi f dan T jangka waktu yang independen dari

amplitudo osilasi, disediakan amplitudo cukup kecil untuk Persamaan. (9.66) untuk menahan

dengan baik.

Bahwa T adalah independen dari amplitudo untuk perpindahan kecil membuat pendulum

cocok untuk digunakan dalam jam untuk mengatur tingkat. Solusi yang tepat dari gerak

pendulum, sebagaimana akan kita tunjukkan, bahwa jangka waktu pendulum meningkat

dengan sedikit peningkatan dalam amplitudo.

Kita sekarang membahas gerak pendulum tanpa pembatasan yang amplitudo menjadi kecil.

Sejak gerakan pendulum berada di bawah kekuatan konservatif, kita dapat memecahkan

masalah gerak pendulum oleh terpisahkannya energi. Energi potensial rotasi terkait dengan

torsi yang diberikan oleh Persamaan. (9.64) adalah

di mana kita telah mengambil sudut acuan standar, untuk menjadi. energi kinetik dari massa

m adalah

sehingga energi dalam terpisahkan menggambarkan gerak adalah

Sebelum memecahkan persamaan ini, kita membahas fitur umum gerak dengan menggambar

diagram energi. Gambar 9.14 menunjukkan grafik V (0), K (O), dan E (O) versus 0. Grafik V

(O) vs 0 memiliki MGL nilai maksimum dan nilai minimum MGL-. Untuk m massa dengan

energi yang sedikit lebih besar dari-MGL, gerak akan harmonik sederhana.

Untuk E-antara MGL dan + MGL, gerak yang berosilasi dan tidak harmonis. Untuk E>

MGL, gerak menjadi nonoscillatory dan pendulum memiliki energi yang cukup untuk

berayun dalam lingkaran lengkap. Tapi gerak masih periodik, periode yang sama dengan

waktu yang dibutuhkan untuk membuat satu revolusi, yaitu, untuk 0 untuk menambah atau

mengurangi dengan 27R.

9.7 Fisik Pendulum

Benda tegar ditangguhkan dan untuk ayunan bebas di bawah beratnya sendiri pada

sumbu horisontal tetap rotasi dikenal sebagai pendulum fisik atau compoundpendulum.

Benda tegar dapat menjadi bentuk apapun asalkan sumbu horisontal tidak melewati pusat

massa. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 9.15, ayunan pendulum dalam busur

lingkaran sekitar sumbu rotasi lewat melalui O, titik O menjadi titik suspensi. Letak ½ titik

pusat massa dari pendulum fisik. Jarak antara O dan C adalah 1. Posisi pendulum ditentukan

oleh sudut antara 0 OC garis dan OA garis vertikal.

torsi r0 sekitar sumbu rotasi melalui O diproduksi oleh Mg gaya yang bekerja pada C adalah

Jika I adalah momen inersia di sekitar sumbu rotasi melalui O, persamaan gerak

  

 

Sekali lagi, seperti dalam kasus pendulum sederhana, osilasi kecil kita mungkin

menganggap bahwa sin 0 =0? 0. dan karenanya

 

 

Ini adalah persamaan osilator harmonik sederhana dan memiliki solusi

dimana θ0 amplitudo dan sudut fase dua konstanta sewenang-wenang dapat ditentukan dari

kondisi awal. Frekuensi sudut w adalah

sedangkan t periode waktu dan frekuensi f adalah

  

Jika k adalah jari-jari rotasi untuk momen inersia terhadap sumbu rotasi melalui O

 

Substitusikan persamaan (9.88) kedalam persamaan (9.87) menghasilkan

yang menyatakan bahwa bandul sederhana panjang k2 / l akan memiliki periode waktu yang

sama dengan bandul fisik yang diberikan oleh Persamaan. (9,87).

Mari kita katakan bahwa momen inersia tubuh kaku tentang suatu sumbu yang

melewati pusat massa C dan sejajar dengan sumbu melalui 0 adalah Io dan bahwa radius

sesuai k kisaran. diberikan oleh

  

menggunakan teorema sumbu sejajar, kita mendapatkan hubungan berikut antara I dan Ic.

Jadi T periode waktu yang diberikan oleh Persamaan. (9.89) dapat ditulis sebagai

 

 

Mari kita sekarang mengubah sumbu rotasi ini pendulum fisik ke posisi O yang

berbeda 'pada l jarak dari pusat massa C, seperti ditunjukkan pada Gambar. 9.15. Jangka

waktu T 'dari oscilla-tions tentang sumbu baru rotasi

 

Selanjutnya, misalkan kita mengasumsikan bahwa O 'dan l' disesuaikan sehingga

periode waktu dua Tand 'T adalah sama, yaitu,

 

yang disederhanakan menjadi

Titik O 'terkait ke O oleh relasi ini disebut pusat osilasi untuk titik O. Demikian pula,

O juga merupakan pusat dari osilasi untuk 0'. Mengganti Eq. (9.94) ke dalam Pers. (9.91)

atau (9.92) menghasilkan

  

Dengan demikian, jika kita tahu jarak antara O dan O 'yaitu, jika kita tahu l + 1' dan

mengukur waktu periode T - nilai g dapat diukur sangat tepat, tanpa mengetahui posisi pusat

massa. Henry Kater menggunakan metode ini untuk penentuan akurat g. Kater ini pendulum,

ditunjukkan pada Gambar. 9.16, memiliki dua sisi pisau. Pendulum dapat ditangguhkan dari

ei-ther tepi. Posisi tepi dapat disesuaikan sehingga dua periode waktu yang sama. Setelah ini

dilakukan, 1 + 'l diukur secara akurat dan, mengetahui T, nilai g dapat dihitung dari

Persamaan (9.96).

9.8 Pusat Percussion

Sekarang kita akan membahas beberapa aplikasi sehari-hari dari jenis pendulum fisik.

Pertimbangkan benda yang ditunjukkan pada Gambar. 9.17, yang bebas berputar tentang

sebuah sumbu lewat melalui O. Misalkan kita memukul pada titik O ', yang pada D jarak dari

sumbu rotasi melalui O.

Pemukul diterapkan tegak lurus terhadap garis OCO', di mana C adalah pusat massa. Gaya

yang bekerja pada benda selama tubrukan adalah kekuatan F' pada titik tubrukan dan gaya F

yang diterapkan sehingga untuk menjaga benda tetap selama tubrukan.Jika benda mulai

berputar dengan frekuensi sudut ω, kekuatan radial Fn di O sepanjang garis O'CO

memberikan gaya sentripetal yang diperlukan. Kami ingin menemukan kondisi di mana F

akan menjadi baik nol atau minimum. Hal ini dapat dilakukan dengan penerapan hukum

kekekalan momentum linear dan momentum sudut. Dengan penerapan hukum kekekalan

momentum linear dan momentum sudut dapat ditunjukkan bahwa jika kc adalah radius girasi

untuk momentum inersia tentang C dan l dan l' adalah, masing-masing, jarak O dan O' dari C,

maka hubungan berikut harus dipenuhi:

Dengan demikian, jika hubungan ini puas, ketika pukulan dipukul di O ', impuls tidak

akan terasa pada O. semacam titik O' disebut pusat perkusi relatif terhadap titik O. Artinya,

titik penerapan suatu impuls (atau pukulan) yang tidak ada reaksi pada sumbu rotasi yang

dikenal sebagai pusat perkusi. Hubungan Eq. (9,97) adalah persis sama untuk pendulum fisik

yang diberikan oleh Persamaan. (9.94).

Gambar 9.18

Jadi pusat osilasi O dan pusat perkusi O’ adalah identik. Artinya, titik O dan O’

dipertukarkan. Mari kita menyebutkan dua aplikasi sehari-hari yang penting. Misalnya,

ayunan pada pemukul bola. Ayunan pemukul di pusat perkusi di relatif O sedangkan untuk

tangan di O. Ini akan meminimalkan pukulan ke tangan, yaitu, ia akan menghindari reaksi di

tangan ayunan, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar. 9.18 (a). Sebagai contoh kedua,

mempertimbangkan penahan pintu digunakan untuk mencegah engsel pintu longgar. Penahan

pintu harus dipasang sedemikian rupa sehingga, seperti ditunjukkan pada Gambar. 9.18 (b),

itu adalah pada titik perkusi di 'O pada D jarak dari engsel yang berada di sumbu rotasi pintu.

9.9 Elastisitas

Dalam pembahasan sebelumnya, benda yang mendapatkan gaya diidealkan sebagai

benda tegar, tidak mengalami perubahan bentuk bila mendapat gaya. Sesungguhnya benda

mengalami perubahan bentuk saat mendapatkan gaya. Pada bagian ini akan dibahas tentang

hubungan perubahan bentuk tersebut dengan gaya yang menyebabkannya.

9.9.1 Tekanan

F F F F F F

F F

F F

F

F F

Gambar di atas melukiskan suatu batang yang mempunyai penampang serbasama

ditarik dengan gaya F pada kedua sisinya. Batang dalam keadaan tertarik. Bila dibuat irisan di

batang (gambar b) yang tidak dekat ujung batang, maka pada irisan tadi terdapat tarikan

dengan gaya F yang merata di penampang batang (sistem dalam keadaan seimbang). Dari sini

dapat didefinisikan tegangan di irirsan tersebut sebagai perbandingan antara gaya F dengan

luas penampang A.

Tegangan : S = F/A ( N/m2 = Pascal)

Tegangan tersebut disebut tegangan tarik.

Bila irisan tadi dibuat sembarang (membentuk sudut), maka luasannya menjadi A’

dan dan gaya F tadi bisa diurakan menjadi dua komponen, yaitu F (tegak lurus/normal

terhadap A’ dan F (sejajar/tangensial terhadap A’). Maka tegangan dapat diurakan menjadi :

Tegangan normal = F / A’

Tegangan tangensial (geser) = F /A’

Demikian juga sebaliknya, bila gaya pada balok mengarah ke balok. Tegangannya

disebut tegangan tekan.

9.9.2 Regangan

Bila gaya diberikan pada balok tersebut memberikan tegangan tarik, maka balok

tersebut juga mengalami perubahan bentuk yang disebut regangan.

Lo

L

F F

L

Regangan tarik = L - Lo = L

Lo Lo

Regangan tekan dapat didefinisikan dengan cara sama, dengan L sebagai pengurangan

panjang.

Bila gaya yang diberikan memberikan tegangan geser maka perubahan bentuk pada

balok menjadi :

x

b b’ c c’

h

a,a’ d,d’

Regangan geser = x/h = tg ( karena x << h)

Regangan dikarenakan tekanan hidrostatis disebit regangan volume :

Regangan volume = V V

9.9.3 Elastisitas dan Plastisitas

Hubungan antara tegangan dan regangan menyatakan elstisitas bahan tersebut. Grafik

tegangan sebagai fungsi regangan suatu logam dapat digambarkan sebagi berikut :

T

e c

g b d

a a

n

g a : batas proporsional

a b : batas elastik

n o - b : sifat elastik

b - d : sifat plastik

d : titik patah

O

Regangan

Bagian pertama (O - a) tegangan sebanding dengan regangan, a adalah batas

proporsional tersebut. Dari a sampai b tidak sebanding lagi, tetapi bila beban diambil, kurva

akan kembali ke titik a lagi. Titik a sampai b masih bersifat elastik dan b adalah batas elastik.

Bila beban di ambil setelah melewati b, misal di c, kurva tidak kembali ke b tetepi kembali

melellui garis tipis. Sehingga panjang tanpa tegangan menjadi lebih besar dari semula. Bila

beban ditambah terus sampai patah di d, d disebut titik patah. Bila b sampai d cukup besar,

bahan tersebut bersifat ulet, tetapi kalau sangat pendek disebut rapuh.

9.9.4 Modulus Elastik

Perbandingan antara tegangan dan regangan disebut modulus elastik bahan.

9.9.4.a. Modulus Young

Bila kita perhatikan tegangan dan regangan tarik/tekan, sampai batas proporsional,

perbandingan tegangan dan regangan disebut modulus Young.

9.9.4.b. Modulus Geser

Didefinisikan sebagi perbandingan tegangan geser dan regangan geser.Modulus geser

disebut juga modulus puntir, dan hanya terjadi pada zat padat.

9.9.4.c. Modulus Bulk (Balok)

Modulus ini menghubungkan tekanan hidrostatik dengan perubahan

volumenya.Kebalikan dari modulus Bulk adalah kompresibilitas.

9.10 Keseimbangan Benda Tegar

Untuk memulai, kita akan membahas kondisi keseimbangan. Kita akan menerapkan

kondisi untuk penyelidikan keseimbangan string fleksibel dan kabel dan kemudian ke

keseimbangan yang solid balok.

Mari kita mempertimbangkan benda bermassa M yang pusat massa berada pada jarak

R dari yang diberikan Titik O, yang bertindak oleh gaya Fi, dan memiliki momentum sudut

Lo sekitar satu lewat sumbu melalui O. Persamaan gerak untuk benda tegar adalah:

dimana torsi adalah torsi pada sumbu melewati O, I adalah saat intertia, dan 0 adalah

percepatan sudut. Setelah torsi mengenai satu titik O diketahui, torsi sekitar

titik lain O 'dapat dihitung dari hubungan berikut:

Dimana r 0 dan r 0 - adalah jarak vektor dari titik O dan O’ dari asal. Persamaan

(9.120) menyatakan bahwa torsi total sekitar 'O adalah sama dengan jumlah dari dua

terminologi: torsi total sekitar O dan torsi total yang diambil dari O’, dengan asumsi gaya

total bertindak di O. Buktinya sangat mudah. Biarkan F, menjadi gaya yang bekerja pada

suatu titik i, yang berada pada jarak r, dari titik asal. kemudian, menurut definisi, torsi pada

O’ adalah

Yang hasilnya dinyatakan sebelumnya. Untuk benda tegar berada dalam

keseimbangan translasi yaitu, saat istirahat atau bergerak dengan seragam kecepatan-jumlah

gaya harus nol. Untuk benda berada dalam rotasi ekuilibrium-saat diam atau berputar dengan

kecepatan seragam, jumlah torsi eksternal harus nol. Dengan demikian, dari Pers. (9.118) dan

(9,119), dengan R = 0 dan 8 = 0, kita mendapatkan

Perhatikan bahwa jika jumlah torsi sekitar titik manapun adalah nol, maka [dari

Persamaan. (9.120)] akan menjadi nol sekitar titik lain. Karena kita melihat bahwa benda

tegar ditentukan oleh gaya total dan jumlah torsi, kita dapat membuat pernyataan berikut,

yang akan berguna dalam membahas kesetimbangan benda tegar. Dua sistem gaya yang

bekerja pada sebuah benda tegar yang setara jika mereka hasilkan gaya resultan yang sama

dan torsi total yang sama tentang hal apapun. Di sini kita menyatakan definisi pasangan.

Beberapa adalah offerees sistem yang jumlahnya adalah nol; yaitu

Torsi total yang dihasilkan dari keduanya adalah hal yang sama tentang setiap titik

dan diberikan oleh

Dengan demikian keduanya dapat ditandai oleh vektor yaitu torsi total. Hal ini dapa

dinyatakan dengan pernyataan: Semua pasangan gaya dikatakan setara jika mereka memiliki

torsi total yang sama. Dari diskusi ini, kita dapat menyimpulkan hasil yang sangat berguna

berikut, disebut sebagai teorema benda tegar:

Setiap sistem gaya yang bekerja pada sebuah benda tegar dapat dikurangi menjadi

satu gaya melalui dan beberapa titik. Tergantung pada jenis keseimbangan, gaya yang

dihasilkan dan / atau keduanya, mungkin nol.

9.11 Keseimbangan Dari Kabel Fleksibel Dan Strings

Sebuah kabel fleksibel yang ideal atau string adalah salah satu yang tidak akan

mendukung setiap kompresi atau stres geser, tapi bisa ada ketegangan diarahkan sepanjang

bersinggungan dengan string pada titik apapun. Kabel, rantai, dan

string cahaya yang digunakan dalam struktur yang berbeda dapat diperlakukan sebagai string

fleksibel yang ideal. Selain itu, kami harus mengasumsikan bahwa berat kabel diabaikan

dibandingkan dengan beban luar yang bekerja padanya, atau bahwa tidak ada beban eksternal

dan berat kabel adalah beban saja. Kita dapat membagi menjadi dua bagian: (1) kabel berat

diabaikan, dan (2) kabel dengan beban (atau gaya) didistribusikan terus menerus sepanjang

kabel.

Kabel dengan Load Konsentrat

Pertimbangkan kabel fleksibel ideal berat diabaikan yang ditangguhkan antara titik Pl

dan P2 dan berada di bawah tindakan kekuatan eksternal F bekerja pada P3 titik, seperti yang

ditunjukkan pada Gambar. 9.22. kekuatan F membuat kabel tetap tegang, seperti yang

ditunjukkan. Biarkan /, menjadi panjang segmen dari string antara P3 ^ P.

l2 panjang antara P2P3, sedangkan ln adalah jarak antara P poin, dan P2-Misalkan T, dan T:

menjadi ketegangan dalam dua segmen dari string, seperti yang ditunjukkan. Dengan

menggunakan hukum cosinus, yang sudut dan /3 diberikan dalam hal lu l2, dan Z3 oleh

hubungan berikut:

Diasumsikan bahwa string tidak meregang sehingga posisi P3 titik independen

F. Karena kekuatan P3 titik berada dalam kesetimbangan, kita dapat menulis

seperti yang ditunjukkan oleh hubungan segitiga pada Gambar. 9.22 (b). Menggunakan

hukum sinus, dari Gambar. 9.22 (b) kita memperoleh ekspresi untuk T1 dan T2 dalam hal F,

yaitu,

Ini berarti bahwa kita bisa menemukan sudut dalam hal jarak dari Persamaan. (9,125)

dan kemudian menggunakan mereka dalam Persamaan. (9,127) untuk mengevaluasi T1 dan

T2. Tapi ini bukan jawaban yang benar karena kita telah mengasumsikan bahwa string tidak

meregang. Sebenarnya, ketegangan menentukan panjang dari segmen dari string, dan kita

harus mempertimbangkan hal ini untuk mengevaluasi T1 dan T2. Ini dapat dievaluasi

cukup dengan metode iteratif perkiraan atau metode relaksasi, menjelaskan berikutnya.

Menurut hukum Hooke, panjang teregang l10 dan l20 bawah ketegangan T1 dan T2

menjadi diberikan oleh :

Kabel bawah Beban Terdistribusi

Parabolik kabel. Pertimbangkan AB kabel yang mendukung beban yang merata

horizontal, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 9.23. Beban dilambangkan dengan panah

vertikal menunjuk bawah. Biarkan ini menjadi beban w per satuan panjang, panjang diambil

untuk menjadi horisontal. O adalah yang terendah sementara titik P (x, y) adalah titik lain

pada kabel.Mari kita mempertimbangkan keseimbangan OP bagian kabel yang horizontal

dimuat seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 9.24 (a). Biarkan Agar ketegangan di O titik

terendah yang horisontal, sedangkan ketegangan di P adalah T, yang membuat 6 sudut

dengan horisontal. Asal sumbu koordinat diambil berada di O, dan XY adalah bidang

vertikal. W adalah beban yang bekerja pada bagian kabel OP dan sama dengan y / x. Dengan

demikian, untuk keseimbangan statis dari Gambar. 9.24 (b)

Gambar 9.23 Kabel AB mendukung beban merata sepanjang jarak horisontal

.

Gambar 9.24 (a) segmen OP kecil dari serangkaian secara merata dimuat, (b) Untuk

Kesetimbangan statis, Untuk, T, dan W membentuk segitiga tertutup.

Pemecahan untuk T dan 6, kita mendapatkan

Karena beban seragam, W terletak pada jarak x / 2, seperti ditunjukkan pada Gambar.

9.24(a). Mengambil torsi tentang P, kita mendapatkan

Itu adalah

yang merupakan persamaan parabola, yaitu, kabel bawah beban horisontal seragam memiliki

bentuk parabola. Sebuah kabel di jembatan gantung adalah contoh yang khas.

Dalam Gambar. 9.23, jika A dan B berada pada ketinggian yang sama, L jarak

horisontal antara A dan B disebut sejengkal, sedangkan jarak vertikal h dari O titik terendah

dari A atau B disebut menggelayut. Mengganti y = h dan x = L / 2 pada Persamaan. (9,135),

ketegangan Untuk pada titik terendah adalah

Misalkan titik A adalah (xA, yA) dan titik P adalah (xB, Yb). Menggunakan nilai-nilai dalam

Pers. (9.136), kita dapat menghitung L rentang = xB - xA (lihat Soal 9.46).

Catenary Kabel

Mari kita mempertimbangkan kabel mendukung beban yang didistribusikan secara

merata sepanjang panjangnya (tidak sepanjang jarak horizontal seperti pada kabel parabola).

Sebuah contoh khas adalah bahwa dari kabel mendukung beratnya sendiri, seperti yang

ditunjukkan pada Gambar. 9.25. Misalkan titik P berada pada

s jarak dari titik s = 0, di mana ketegangan To adalah kekuatan pendukung pada akhir s = 0

dan konstan, sementara ketegangan di P adalah T (J). Biarkan w (s) menjadi gaya per satuan

panjang pada titik s [perhatikan bahwa w (s) ¥ = w (x)]. w ds mewakili gaya pada segmen

kecil ds panjang. Dengan demikian, untuk bagian dari AP kabel yang berada dalam

kesetimbangan, kita harus memiliki

Kita dapat memperoleh T (s) dengan membedakan Persamaan. (9.137) sehubungan

dengan s, yaitu

Dari Gambar. 9,25, 9 adalah sudut yang membuat T dengan sumbu Vertikal x dan

horisontal komponen dari Pers(9.138) yang

9.12 Kesetimbangan Pada Balok Solid

Pengobatan Umum: Moments Lentur Mari kita mempertimbangkan balok horizontal

yang tunduk pada kekuatan vertikal saja yaitu, masalah penopang. Seperti balok berada di

bawah tidak ada kompresi atau ketegangan dan tidak ada torsi tentang sumbu balok. Dalam

kondisi ini, lengkungan balok hanya dalam bidang vertikal. Ini adalah contoh struktur

sederhana di bawah gaya geser dan momen lentur. Kita dapat menghitung jumlah ini dan

bending dihasilkan seperti yang ditunjukkan teks. Biarkan gaya vertikal F1, F 2,. . . , Fn

menjadi gaya yang bekerja pada balok horizontal pada jarak xl, x2, • • •, xn, seperti

ditunjukkan pada Gambar. 9.26. Gaya yang bekerja vertikal ke atas diambil positif, dan

mereka bertindak bawah diambil negatif. Gambarlah tegak lurus AA pesawat 'untuk balok

dan pada jarak x dari ujung kiri balok. Semua gaya yang bekerja pada pesawat AA 'karena

bagian dari balok ke kanan pesawat dapat dikurangi ke gaya F setara tunggal, melalui setiap

titik di pesawat dan beberapa torsi T. Karena dalam kasus ini tidak ada kompresi atau

ketegangan kekuatan, F, harus vertikal, karena itu adalah kekuatan geser bertindak dari kanan

ke kiri melintasi pesawat AA ', seperti yang ditunjukkan. Kami berasumsi bahwa tidak ada

torsi di balok. Sejak semua kekuatan yang vertikal, T momen lentur (atau T torsi) harus

diberikan dari kanan ke kiri

Gambar 9.26 (a) balok horizontal di bawah tindakan kekuatan vertikal, (b) gaya yang

bekerja pada balok di sebelah kanan 'AA yang setara dengan F gaya geser, dan torsi T.

Dimana F, adalah gaya geser dan T adalah momen lentur bertindak pada jarak x dari

kiri. Istilah kedua di sebelah kiri dari Pers. (9.143) adalah jumlah dari kekuatan eksternal

yang bekerja pada balok dari ujung kiri hingga pesawat AA ', dan istilah ketiga adalah berat

dari bagian yang sama balok dan bertindak ke bawah. T0 adalah momen lentur yang

diberikan oleh ujung kiri balok pada dukungan, menyediakan balok diikat atau dijepit atau

didukung pada akhir itu. Jika semua gaya diketahui F dan T bertindak pada x pada balok

dapat dihitung dari Persamaan. (9,143) dan (9,144). Jika ujung kanan balok bebas maka F = 0

dan T = 0 dan persamaan dapat digunakan untuk menghitung dua kekuatan lainnya.

Tergantung pada apakah ujung bebas atau didukung, kita bisa menggunakan kondisi untuk

membantu memecahkan persamaan sebelumnya.

Gaya F geser, dan T torsi lentur tergantung pada nilai x dan dapat dihitung sebagai

fungsi dari x dengan membedakan Pers. (9,143) dan (9,144):

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Benda tegar adalah sistem partikel yang partikel- partikelnya posisi relatif, satu

dengan yang lain dalam sistem, (akan) tetap. Akibatnya, ketika objek diputar terhadap

suatu sumbu tetap, maka jarak setiap partikel dalam sistem terhadap sumbu rotasi

akan selalu tetap.

Pusat massa adalah lokasi rata-rata semua massa ini dalam suatu sistem. Dalam kasus

yang benda tegar, posisi pusat massa adalah tetap dalam kaitannya dengan benda.

Dalam kasus distribusi longgar massa di ruang bebas, seperti peluru tembakan dari

senapan atau planet-planet di tata surya, letak pusat massa adalah titik dalam ruang di

antara mereka yang mungkin tidak berhubungan dengan setiap Massa posisi pada

objek.

Penggunaan pusat massa sering memungkinkan penggunaan persamaan

disederhanakan gerak, dan itu merupakan referensi yang nyaman untuk perhitungan

lain dalam fisika, seperti momentum sudut atau momen inersia. Dalam banyak

aplikasi, seperti dalam mekanika orbital, objek dapat digantikan oleh massa titik yang

terletak di pusat massa dengan tujuan memfasilitasi analisis mereka.

Setiap benda memiliki kuantitas yang mewakili keadaan objek. Inersia massa obyek

yang mewakili obyek sebagai obyek bergerak terjemahan. Pada saat massa benda

bergerak tidak lagi mewakili inersia rotasi objek, karena objek yang bergerak melekat

pada sumbu rotasi yang keadaan tertentu tidak dapat diabaikan. Situasi ini

membutuhkan kuantitas baru yang mewakili rotasi inersia benda bergerak. Jumlah

mewakili rotasi inersia benda bergerak disebut momen inersia (momen inersia) dan

dilambangkan dengan I.

Momen inersia (SI Satuan: kg m2) adalah ukuran inersia suatu benda untuk memutar

sumbu. Jumlah rotasi analog daripada massa. Momen inersia berperan dalam

dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan

antara momentum sudut dan kecepatan sudut, torsi dan gaya percepatan sudut, dan

jumlah lainnya. Meskipun pembahasan momen inersia skalar, diskusi pendekatan

tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih kompleks seperti gerakan

gyroscopic. Lambang dan kadang-kadang juga biasa digunakan untuk merujuk kepada

momen inersia

Pendulum adalah berat benda tergantung dari poros sehingga dapat berayun bebas.

Ketika pendulum dipindahkan ke samping dari posisi kesetimbangan diam, itu

dikenakan gaya pemulih karena gravitasi yang akan mempercepat kembali ke posisi

kesetimbangan. Ketika dirilis, gaya pemulih dikombinasikan dengan massa pendulum

itu menyebabkan ia berosilasi tentang posisi kesetimbangan, berayun bolak-balik.

Waktu untuk satu siklus lengkap, ayunan kiri dan ayunan yang tepat, disebut periode.

Sebuah ayunan pendulum dengan jangka waktu tertentu yang tergantung (terutama)

pada panjangnya.

Sebuah pendulum sederhana adalah salah satu yang dapat dianggap sebagai massa

titik diskors dari string atau batang dari massa.It diabaikan adalah sistem resonansi

dengan frekuensi resonansi tunggal.

3.2 Saran

Disarankan kepada pembaca untuk melakukan latihan gerak benda tegar. Hal ini lebih

karena kita dapat mengetahui secara langsung bagaimana materi dan penerapannya dalam

kehidupan sehari-hari - hari. Dan setelah membaca tulisan ini diharapkan muncul ide-ide

kreatif untuk membuat alat gerak benda tegar dengan prinsip gerak benda tegar.

DAFTAR PUSTAKA

P. Arya, Atam. 1998. Introduction to Classsical Mechanics.

New Jersey : Prentice-Hall

Wikipedia.2012. Calculation of moment of inertia.http//Wikipedia.com.

Diunduh pada 1 Oktober 2012

Wikipedia.2012. Simple Pendulum and Physical Pendulum.

http//Wikipedia.com. Diunduh pada 1 Oktober 2012