NAMA ANGGOTA :

1. NURUL FITRIANI (E1Q013035)

2. PRELIA DWI AMANAH (E1Q013040)

BAB VI. GERAK BENDA TEGAR

Momentum Sudut dan Energi Kinetik

Jika kita mendorong pada objek dalam arah maju sementara objek bergerak maju, kita melakukan pekerjaan positif pada objek. Tujuannya mempercepat, karena kita mendorong di atasnya. F = ma. Ini keuntungan energi kinetik. Energi kinetik translasi objek m massa, pusat yang massa bergerak dengan kecepatan v adalah K = mv2.

Energi kinetik translasi = mv2

Energi kinetik meningkat kuadratik dengan kecepatan. Ketika kecepatan mobil ganda, meningkat energinya dengan faktor empat.

Sebuah benda berputar juga memiliki energi kinetik. Ketika sebuah benda berputar sekitar pusat massanya, energi kinetik yang rotasi adalah K = I2

Energi rotasi kinetik = I2

Ketika kecepatan sudut roda berputar ganda, yang meningkat energi kinetik dengan faktor empat.

Ketika sebuah benda memiliki translasi serta gerak rotasi, energi kinetik total adalah jumlah dari energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.

Pertimbangkan roda berjari-jari r dan massa m bergulir pada permukaan yang datar dalam arah x. Perpindahan Ax dan perpindahan sudut terkait melalui Ax = r.

Besaran kecepatan linier dan kecepatan sudut terkait melalui VCM = r. Energi kinetik dari disk adalah jumlah dari energi kinetik dari gerak pusat massa mvCM2 = mr22, dan energi kinetik dari gerak tentang pusat massa, I2.

Thee Total energi kinetik KEtot = mr22 + I2 = [MR2 + I] 2 = [m + I / r2] v2.Teorema SteinerDalam fisika, teorema sumbu sejajar atau teorema Huygens-Steiner dapat digunakan untuk menentukan momen inersia sebuah benda tegar di terhadap sumbu apapun, bila diketahui momen inersia suatu objek terhadap sumbu yang melalui pusat massa yang sejajar dengan sumbu pertama, serta jarak tegaklurus antara kedua sumbu tersebut.

Misalkan:

Icm melambangkan momen inersia suatu objek terhadap pusat massanyaM adalah massa objek dan d jarak tegaklurus antara kedua sumbu

Maka momen inersia di sekitar sumbu baru z diberikan oleh

Kaidah ini dapat diterapkan bersama-sama kaidah regangan dan teorema sumbu tegaklurus untuk menemukan momem inersia berbagai bentuk benda.

Kaidah sumbu sejajar untuk momen inersia suatu bidang

Aturan sumbu sejajar juga berlaku untuk momen inersia luas untuk bidang D

Dalam rumus ini,Iz adalah momen inersia bidang D terhadap sumbu sejajari Ix adalah momen inersia D terhadap centroidnyaA adalah luas bidang D dand adalah jarak antara sumbu baru z terhadap centroid bidang DCatatan: centroid D berhimpitan dengan pusat gravitasi (CG) lempengan fisik dengan bentuk yang sama, yang memiliki kerapatan tetap.

Sumbu-sumbu Utama Inersia

Pernyataan yang sederhana untuk T dan L didapat jika tensor inersia hanya terdiri dari elemen-elemen diagonal utama

32

33

sehingga

34

dan

35

Selanjutnya kita gunakan pers 32 untuk mendiskripsikan tensor inersia, hal ini menyangkut sumbu benda dimana product of inertia (elemen selain diagonal utama) bernilai nol. Sumbu-sumbu ini kita sebut sumbu-sumbu utama inersia.

Jika benda berotasi terhadap sumbu utama, kecepatan sudut dan momentum sudut, sesuai pers 34, mempunyai arah sepanjang sumbu ini. Jika I adalah momen inersia terhadap sumbu ini, dapat dituliskan

36

Komponen-komponen dalam pers 20a dan 36

37

dapat dituliskan kembali

38

Persamaan-persamaan di atas mempunyai solusi trivial jika determinan dari koefisien-koefisiennya nol

39

Ekspansi dari determinan menjurus pada pers sekular atau karakteristik untuk I yaitu kubik. Masing-masing dari tiga akar berkaitan dengan sebuah momen inersia terhadap suatu sumbu utama tertentu. Nilai I1, I2 dan I3 adalah momen inersia utama. Jika benda berotasi terhadap sumbu yang berkaitan dengan momen I1 maka pers 36 menjadi , baik maupun mempunyai arah sepanjang sumbu tersebut. Arah dari bergantung pada sistem koordinat benda yang kemudian arahnya sama dengan sumbu utama terkait dengan I1. Kemudian kita dapat menentukan arah dari sumbu utama dengan dengan mensubsitusikan I1 untuk I dalam pers 38 dan penentuan rasio komponen vektor kecepatan sudut . Dengan demikian kita menentukan arah kosines dari sumbu dimana momen inersia I1. Arah yang berkaitan dengan I2 dan I3 dapat dicari dengan cara yang sama. Penentuan sumbu utama dalam cara ini dalam hal ini termasuk real dan ortogonal dibuktikan pada bahasan 11.7.

Prosedur diagonalisasi yang dijelaskan disini hanya rasio dari komponen-komponen tanpa halangan karena rasio secara lengkap menentukan arah-arak dari sumbu utama dan ini hanya arah dari sumbu-sumbu yang dibutuhkan. Sebenarnya kita tidak mengharapkan nilai ditentukan karena gerak angular benda tidak dapat ditentukan dari geometri itu sendiri.

Untuk kebanyakan kasus dalam dinamika benda tegar, benda mempunyai beberapa bentuk umum sehingga kita dapat menentukan sumbu utama mengacu pada simetri benda. Contohnya sembarang benda putar, misalkan batang silindris, mempunyai sebuah sumbu utama yaitu sepanjang sumbu simetrinya (garis pusat batang silindris) dan dua sumbu lainnya adalah pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu simetri. Jelas bahwa untuk benda yang simetri, pemilihan dua sumbu lainnya adalah sembarang. Jika momen inersia sepanjang sumbu simetri adalah I1 maka I2=I3 unjtuk benda putar yaitu pers sekuler yang mempunyai akar ganda.

Jika benda mempunyai I1=I2=I3, berbentuk gasing bulat ; jika I1=I2I3, berbentuk gasing simetris ; jika momen inersia utama semuanya berbeda maka bentuknya berupa gasing asimetris. Jika benda mempunyai I1=0, I2=I3 , misalnya dua buah titik massa yang dihubungkan dengan batang yang massanya dapat diabaikan atau molekul diatomik disebut rotor.

Tensor InersiaUntuk benda tegar yang terdiri dari n partikel bermassa m, =1, 2, 3,,n. jika benda berotasi dengan percepatan sudut sesaat ( terhadap beberapa titik tertentu dalam sistem koordinat benda dan titik ini bergerak dengan kecepatan linier sesaat V dalam sistem koordinat tertentu, maka kecepatan sesaat partikel ke dalam sistem tertentu

tetapi untuk benda tegar

sehingga

(4)

Semua kecepatan yang bergantung pada rotasi atau sistem benda bernilai nol untuk benda tegar.

Karena energi kinetik untuk partikel ke-

Energi kinetik total

(5)

Jika pusat/titik nol dari sistem koordinat benda sama dengan pusat massa benda, maka didapatkan penyederhanaan. Suku kedua dalam pers (5) , V dan ( bukan karakteristik partikel ke- maupun partikel berikutnya.

tetapi

(

Adalah vektor pusat massa, bernilai nol dalam sistem benda karena vektor diukur dari pusat massa.

Energi kinetik dapat dituliskan

dimana

(6a)

(6b)yaitu jumlahan dari energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.

Energi kinetik rotasi dapat dievaluasi dengan konsep vektor

sehingga

(7)

Sekarang nyatakan Trot menggunakan komponen (i, r,i dari vektor dan

(

sehingga

(8)

dapat dituliskan sehingga

(9)Jika elemen ke- ij dijumlahkan untuk seluruh menjadi Iij maka

(10)

dan

(

(11-12)

Elementer ( umum

Sembilan suku Iij menyatakan kuantitas elemen yang ditunjukkan oleh berupa matrik 3x3, ini merupakan faktor antara energi kinetik rotasi dengan kecepatan sudut dan mempunyai dimensi (massa x panjang2). Karena berkaitan dengan dua buah kuantitas fisis, maka merupakan bagian dari fungsi yang lebih besar dari yang telah ditemukan sampai sekarang. adalah sebuah tensor dan disebut sebagai tensor inersia. Meskipun demikian, Trot dapat dihitung tanpa memperhitungkan sifat khusus tensor, yaitu dengan menggunakan pers (9)

Elemen dapat diperoleh dari pers (10), dalam matriks 3x3

(13a)

Pers 10 adalah cara singkat untuk menuliskan komponen tensor inersia tetapi pers 13a adalah sebuah pers yang mengesankan. Dengan menggunakan komponen sebagai ganti dan maka pers 13a dapat dituliskan

Elemen-elemen diagonal, I11, I22, dan I33 disebut momen inersia terhadap sumbu x1, x2 dan x3. elemen-elemen yang lainnya disebut product of inertia. Jadi jelas bahwa tensor inersia adalah simetris

(14)

Sehingga hanya ada 6 elemen bebas dalam . Lebih jauh, tensor inersia tersusun dari elemen aditif; tensor inersia benda dapat dinyatakan sebagai jumlah tensor untuk berbagai bagian dari benda. Untuk distribusi benda kontinyu dengan rapat massa maka

(15)

dimana adalah elemen volume pada posisi yang dinyatakan oleh vektor dan V adalah volume benda.Momen Inersia untuk sistem koordinat benda yang berbeda

Untuk energi kinetik dapat dipisahkan menjadi bagian translasi dan rotasi (pers 6) secara umum sistem koordinat benda dipilih dimana titik asalnya adalag pusat massa benda. Untuk bentuk geometri tertentu, mungkin tidak selalu cocok untuk menghitung elemen-elemen tensor inersia menggunakan sistem koordinat seperti itu. Oleh karena itu, beberapa set sumbu koordinat Xi juga tetap dengan mengacu pada benda dan mempunyai orientasi seperti sumbu xi tetapi dengan sebuah titik asal Q yang tidak berkaitan dengan titik asal O (terletak pada pusat massa sistem koordinat benda). Titik asal Q mungkin terletak baik di dalam maupun di luar benda yang dibahas.

Elemen-elemen tensor inersia relatif terhadap sumbu x dapat dituliskan

43

Gambar 6. Sumbu koordinat Xi tetap pada benda dan mempunyai orientasi yang sama seperti sumbu xi tetapi titik asal Q tidak terletak pada titik asal O (pusat massa sistem benda)

Jika vektor yang menghubungkan Q dan O adalah , maka vektor umum dapat dinyatakan

44

dengan komponen

45

Berdasarkan pers 45 diatas, elemen tensor Jij menjadi

46

Suku pertama sumasi sebagai Iij dan pers diatas disusun kembali menjadi

47

Tetapi masing-masing suku dala sumasi terakhir termasuk jumlahan dalam bentuk

Karena O terletak di pusat massa

atau untuk komponen ke k

Semua suku terakhir sumasi sama dengan nol sehingga

48

tetapi

dan

Solusi untuk Iij didapat

49

yang mengijinkan perhitungan elemen Iij dari tensor inersia yang diinginkan (dengan titik asal pada pusat massa ) dengan mengacu pada sumbu Xi yang diketahui. Bentuk kedua pada ruas kana pers 49 adalah tensor inersia terhadap titik asal Q untuk titik massa M.

Pers 49 adalah bentuk umum dari teorema sumbu sejajar Steiner, bentuk sederhana yang diberikan dalam bentuk perlakuan elementer. Berdasarkan gambar 7, elemen I11

Gambar 7. Elemen Iij dalam sumbu xi berhubungan dengan Jij dalam sumbu Xij oleh pers 46. vektor menghubungkan titik asal Q dengan O.

Yang menyatakan bahwa selisih antar elemen sama dengan massa benda dikalikan kuadrat jarak antara sumbu sejajar (dalam hal ini antara sumbu xi dan Xi)

Contoh 6

Hitung tensor inersia kubus pada contoh sebelumnya dalam sistem koordinat dimana titikm asalnya terletakl pada pusat massa.

Solusi :

Dalam contoh 3, dengan titik asal pada sudut kubus maka tensor inersia

50

Kita gunakan pers 49 untuk mencari tensor inersia terhadap sistem koordinat dengan titik asal pada pusat massa. Notasi untuk sumbu baru xi dengan titik asal O dan sumbu sebelumnya Xi dengan titik asal Q pada salah satu sudut kubus (gambar 8).

Pusat massa kubus terletak pada titik (b/2, b/2, b/2) dalam sistem koordinat Xi

Dan komponen vektor menjadi

Dari pers 50

Gambar 8. sumbu Xi mempunyai titik asal Q pada salah satu sudut kubus dengann sisi b. Sistem xi mempunyai titik asal O pada pusat massa kubus.

Dan kita gunakan pers 49

dan

Sehingga

Oleh karena itu, tensor inersia adalah diagonal

51

Jika kita faktorkan keluar bentuk umum maka

(52)

dimana adalah vektor satuan

53

Jadi, dengan memilih titik asal pada pusat massa kubus, sumbu utama tegak lurus terhadap permukaan kubus. Dari sudut pandang fisis, tidak ada ciri apapun dari sebuah sumbu terhadap sumbu lainnya, momen inersia utama semuanya sama dalam kasus ini.

Sifat-sifat tensor inersia

Hubungan antara tensor inersia, vektor momentum sudut dan vektor kecepatan sudut (pers 20)

54a

Rotasi sistem koordinat untuk pers diatas dapat dianalogikan

54b

Transformasi dan mengikuti pers transformasi vektor

sehingga dapat dituliskan

55a

dan

55b

Subsitusika pers 55a dan 55b dalam pers 54a

56

Selanjutnya kalikan kedua ruas dengan dan jumlahkan untuk seluruh k

57

Suku dalam tanda kurung pada ruas kiri pers diatas adalah sehingga untuk seluruh m

58

Pers ini identik dengan pers 54b sehingga

59

tensor inersia harus memenuhi transformasi koordinat

Pers 59 merupakan transformasi tensor rank dua, untuk tensor rank sebarang dapat dinyatakan

60

Pers 59 dapat dituliskan

61

Secara matematis, tensor dan matrik berbeda tetapi dalam banyak hal, manipulasi tensor sama dengan matriks. Pers 61 dinyatakan dalam notasi matriks

62

dimana I adalah matrik yang terdiri dari elemen-elemen tensor . Untuk transformasi matriks ortogonal, transpos sama dengan inversnya sehingga pers 62 dapat dinyatakan

Transformasi ini secara umum disebut transformasi similar (I similar dengan I)

Contoh 7:

Buktikan pernyataan dalam contoh 6 bahwa tensor inersia untuk kubus (dengan titik asal pada pusat massanya) tidak bergantung pada arah sumbu!

Solusi :

Perubahan tensor inersia akibat rotasi sumbu koordinat dapat dihitung dengan menggunakan transfoemasi similar. Jika rotasi dinyatakan oleh matrik maka

64

Tetapi matrik I, yang diturunkan dari elemen tensor inersia pers 52 contoh 4, adalah matriks identitas 1 dikalikan suatu konstanta

65

sehingga operasi matriks berdasarkan pers 64

Kemudian kita tentukan kondisi dimana sebarang tensor inersia dan membuat rotasi koordinat dimana tensor inersia hasil transformasi adala diagonal. Besaran dalam pers 59 harus memenuhi hubungan

67

dan

68

Jika kedua ruas dikalikan dengan dan jumlahkan untuk seluruh i maka

69

Suku dalam tanda kurung adalah sehingga jumlahan untuk seluruh i pada ruas kiri pers dan jumlah untuk seluruh k pada ruas kanan menghasilkan

70

Sekarang ruas kiri pers ini dapat dituliskan

71

sehingga pers 70 menjadi

72a

atau

72b

Ini merupakan sekumpulan pers aljabar linier, untuk masing-masing nilai j ada tiga pers, satu untuk tiap tiga kemungkinan nilai m. Agar ada solusi nontrivial, determinan dari koefisien-koefisien harus nol sehingga momen inersia utama I1, I2, I3 dipilih sebagai akar-akar dari determinan sekular untuk I :

73

Ini adalah pers 39, pers kubik yang menghasilkan momen inersia utama.

Untuk sebarang tensor inersia, elemen yang dihitung untuk titik asal yang diberikan, memungkinkan untuk membuat rotasi sumbu koordinat terhadap titik asal sedemikian hingga tensor inersia menjadi diagonal. Sumbu koordinat yang baru adalah sumbu utama benda dan momen baru adalah momen inersia utama. Oleh karena itu, untuk sebarang benda dan sebarang titik asal, selalu ada sekumpulan sumbu utama.

Contoh 8:

Untuk kubus dalam contoh 3, diagonalisasikan tensor inersia akibat rotasi sumbu koordinat!

Solusi :

Titik asal dipilih pada salah satu sudut dan membuat rotasi sudut dengan cara sumbu x1 dirotasikan terhadap diagonal kubus. Rotasi dapat dilakukan dalam dua langkah : pertama, rotasi sebesar 45o terhadap sumbu x3, kedua rotasi sebesar terhadap . Matrik rotasi pertama dinyatakan

74

dan matriks rotasi kedua

75

Matriks rotasi secara lengkap

76

Tensor inersia hasil transformasi (dalam bentuk matriks, pers 62)

77

atau

78

Pers 78 adalah tensor inersia yang didapatkan dengan cara diagonalisasi mwenddunakan determinan sekular (pers 41 contoh 5)

Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa sumbu utama berbentuk himpunan ortogonal. Asumsikan bahwa kita telah menyelesaikan pers partikula dan telah menentukan momen inersia utama, semuanya secra terpisah. Untuk masing-masing momen utama, ada hubungan antara sumbu utama dengan sifat-sifat dimana jika vektor kecepatan sudut sepanjang sumbu ini maka vektor momentum sudut mempunyai orientasi yang sama yaitu untuk masing-masing Ij menghubungkan kecepatan sudut dengan , , . Untuk momen utama ke- m

79

Dalam bentuk elemen tensor momen inersia

80

Kombinasi dua hubungan diatas

81a

Dengan cara yang sama, momen utama ke-n

81b

Jika pers 81a dikalikan dengan dan jumlahkan untuk seluruh i dan kemudian kalikan pers 81b dengan dan jumlahkan untuk seluruh k.

82

Ruas kiri pers diatas adalah identik karena tensor inersia bersifat simetris (Iik=Iki). Kurangkan pers pertama dengan pers kedua

83

Karena i dan k adalah indeks tiruan, dapat digantikan oleh l

Denga hipotesis, momen utama berbeda maka sehingga pers 84 berlaku jika

85

Tetapi sumasi ini hanya mendefinisikan perkalian skalar vektor dan

86

Karena momen utama Im dan In diambil sebarang dari tiga himpunan momen, dapat disimpulkan bahwa masing-masing pasangan sumbu utama saling tegak lurus : tiga sumbu utama membentuk himpunan ortogonal.

Jika ada akar ganda dari pers sekular, maka momen utama I1, I2 = I3. dari analisis vektor kecepatan sudut memenuhi hubungan

,

tetapi tidak ada keterangan mengenai sudut antara dan . Kenyataan bahwa I2 = I3 menunjukkan bahwa benda mempunyai sebuah sumbu simetri. Oleh karena itu,

sepnajang sumbu simetri, dan terletak pada bidang tegak lurus dengan . Secara umum terpenuhi jika . Sehingga sumbu utama untuk benda tegar dengan sebuah sumbu simetri dapat dipilih sebagai himpunan ortogonal.

Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa momen inersia utama didapatkan sebagai akar dari pers sekular-pers kubik. Secara matematis, sekurang-kuranf satu akar harus real dengan dua akar imajiner. Jika prosedur diagonalisasi untuk tensor inersia agar mempunyai makna fisis maka momen utama harus bernilai real. Dapat ditunjukkan hasil secara umum berikut ini, pertama, asumsikan akarnya adalah bilangan kompleks dan gunakan prosedur yang sama seperti yang digunakan dalam pembuktian terdahulu. Kuantitas boleh berupa bilangan kompleks juga. Pers 81a dituliskan seperti sebelumnya tetapi ambil kompleks konjugate dari 81b

87

Kemudian kalikan pers pertama dengan dan jumlahkan untuk seluruh i, dan kemudian kalikan pers kedua dengan dan jumlahkan untuk seluruh k. Tensor inersia adalah simetris dan elemen-elemennya adalah real sehingga . Kurangi pers pertama denga pers kedua didapat

88

Dalam hal m=n, maka

89

Jumlahan ini hanya mendefinisikan perkalian skalar dari dan

Karena kuadrat bernilai positif maka memenuhi pers 89. jika kuantitas dan kompleks konjugatenya sama maka bagian imajinernya secara idektik bernilai nol dan momen inersia utama bernilai real. Karena adalah real maka vektor

Juga harus real.

Jika dalam pers 88 dan jika maka pers hanya terpenuhi jika yaitu vektornya ortogonal.

Dalam semua pembuktian dalam subbab ini, kita mengacu pada tensor inersia. Tetapi dengan menguji pembuktian ini menunjukkan bahwa hanya sifat tensor inersia yang digunakan adalah simetris dan elemen-elemennya real. Dapat disimpulkan untuk sebarang real, tensor simetris mempunyai sifat ;

1. diagonalisasi mungkin didapatkan dengan sumbu rotasi yang sesuai yaitu transformasi similariti.

2. nilai eigen diperileh sebagai akar dari determinan sekular dan real.

3. vektor eigen adalah real dan ortogonal.

Sudut Eulerian

Transformasi suatu koordinat terhadap koordinat yang lainnya dapat dinyatakan dalam bentuk pers matriks

Jika sistem koordinat tetap tertentu x dan sistem koordinat benda x maka matriks rotasi secara lengkap menggambarkan orientasi relatif terhadap dua sistem koordinat. Matriks rotasi terdiri dari tiga sudut yang saling bebas. Terdapat beberapa sudut yang mungkin, dapat dipilih sudut-sudut Eulerian : , dan

Gambar 9. Sudut Eulerian digunakan untuk rotasi dari sistem koordinat ke dalam sistem koordinat . a) rotasi pertama berlawanan dengan arah jarum jam sebesar sudut terhadap sumbu . b) rotasi kedua berlawanan dengan arah jarum jam sebesar sudut terhadap sumbu . c) rotasi ketiga berlawanan dengan arah jarum jam sebesar sudut terhadap sumbu .

Sudut Eulerian dihasilkan dalam sederetan rotasi dari sistem koordinat ke dalam sistem koordinat .

1. Rotasi pertama berlawanan dengan arah jarum jam sebesar sudut terhadap sumbu , transformasi dari ke dalam . Karena rotasi terjadi pada bidang , transformasi matriksnya

91

dan

92

2. rotasi kedua berlawanan dengan arah jarum jam sebesar sudut terhadap sumbu , transformasi dari ke dalam . Karena rotasi terjadi pada bidang , transformasi matriksnya

93

dan

94

3. rotasi ketiga berlawanan dengan arah jarum jam sebesar sudut terhadap sumbu . transformasi dari ke dalam . Transformasi matriksnya

95

dan

96

Garis umum pada bidang yang terdiri dari sumbu x1 dan x2, x1 dan x2 disebut simpul garis. Transformasi lengkap dari sistem xi menjadi xi

97

dan rotasi matriks rotasi

98

Komponen-komponen matriks ini adalah

99

Karena vektor mengalami rotasi infinitesimal maka turunan sudut rotasi terhadap waktu dapat dinyatakan dengan komponen-komponen vektor kecepatan sudut.

100

Pers gerak benda tegar sangat sesuai bila dinyatakan dalam sistem koordinat benda (sistem xi ) dan oleh karena itu harus dinyatakan dalam komponen-komponen dalam sistem koordinat ini. Dalam gambar 9, kecepatan sudut , , dan mempunyai arah sepanjang sumbu:

sepanjang sumbu x3 (sumbu tetap)

sepanjang garis simpul

sepanjang sumbu x3 (benda)

Komponen-komponen kecepatan sudut sepanjang sumbu koordinat benda ;

101a

101b

101c

Dengan mengelompokkan masing-masing komponen maka

102

Pers2 diatas nantinya berguna untuk menyatakan komponen-komponen momentum sudut dalam sistem koordinat benda.

Persamaan Euler untuk Benda Tegar

Ingat kembali gerak bebas untuk benda tegar. Dalam bebarapa hal, energi potensial V bernilai nol dan fungsi Lagrange identik dengan energi kinetik rotasional. Jika dipilih sumbu sebagai sumbu utama benda, maka dari pers 35

107

Dengan menggunakan sudur Eulerian sebagai koordinat umum maka pers lagrange untuk koordinat

108

yang dapat dinyatakan

109

Jika komponen-komponen (dalam pers 102) diturunkan terhadap dan didapat

110

dan

111

Dari pers 107, didapat

112

Sehingg pers 109 menjadi

atau

113

oleh karena setiap sumbu prinsipal yang tertentu seperti(ketika x sumbu di dalam sama sekali arbitrer

Karena tujuan dari sumbu utama sebarang bagian sebagai sumbu adalah arbitrari, maka pers 113 dapat dipermutasi untuk mendapatkan hubungan antara dan

114

Pers 114 disebut pers Euler untuk gerak bebas. Perlu dicatat bahwa meskipun pers 113 untuk adalah didalam pers Lagrange untuk koordinat , pers Euler untuk dan adalah bukan pers Lagrange untuk dan .

Untuk mendapatkan pers Euler untuk gerak dalam sebuah medan gaya, dimulai dengan rumusan torsi

115

116

atau

117

Komponen sepanjang sumbu (sumbu benda) dari pers ini adalah

118

Tetapi karena sumbu telah ditentukan sama dengan sumbu utama benda, maka dari pers 34

sehingga

119

Dengan permutasi subskrip, maka semua komponen N dapa dituliskan

120

Dengan menggunakan simbol permutasi, secara umum

121

Pers 120 dan 121 merupakan pers Euler untuk gerak benda tegar dalam sebuah medan gaya.

Gerak sebuah benda tegar bergantung pada struktur benda hanya melalui tiga besaran I1, I2 dan I3 yaitu momen inersia utama. Sehingga, dua benda dengan momen utama sama bergerak dengan cara yang sama, dengan mengabaikan kenyataan bahwa kedua benda mungkin mempunyai bentuk yang berbeda(meskipun efek seperti retardasi gesekan bergantung bentuk benda). Bentuk geometris paling sederhana dimana benda mempunyai tiga momen utama adalah elipsoid homogen. Gerak sebarang benda tegar dapat dinyatakan dengan gerak elipsoid equivalensi. Perlakuan dinamika benda tegar dalam sudut pandang ini pertama dicetuskan oleh Poinsot pada tahun 1834. Rumusan Poinsot berguna untuk menggambarkan gerak benda secara geometris.

Contoh 10:

Berdasarkan persoalan dambel dalam contoh sebelumnya, hitung momentum sudut sistem dan torsi yang dibutuhkan agar bergerak seperti gambar 4 dan 11

Gambar 11. Dambel dengan massa m1 dan m2 pada ujung-ujung batang mempunyai momentum sudut tegak lurus terhadap batang dan berotasi mengelilingi . Batang membentuk sudut terhadap

Solusi:

Misalkan dan sistem koordinat benda mempunyai titik asal di O dan sumbu simetri sepanjang batang terhadap m1 .

122

Karena tegak lurus terhadap batang dan berotasi mengelilingi sebagai rotasi batang, misalkan adalah sepanjang

123

Jika adalah sudut antara dan batang, maka komponen adalah

124

Sumbu utama adalah , , dan dan momen inersia utama (dari pers 13a)

125

Kombinasi pers 124 dan 125

126

Sesuai dengan pers 123.

Gunakan pers Euler (pers 120) dan , komponen torsi

127

Torsi yang dibutuhkan untuk mempertahankan gerak jika mempunyai arah sepanjang sumbu

MOMENTUM SUDUT

Untuk memudahkan penyelidikan dan analisa terhadap gerak rotasi, didefinisikan beberapa besaran sebagai analog konsep gaya dan momentum. Pertama didefinisikan konsep momentum sudut .Momentum sudut suatu partikel yang memiliki momentum linear dan berada pada posisi r dari suatu titik referensi O adalah

Perlu diperhatikan bahwa nilai l bergantung pada pemilihan titik referensi O, nilainya dapat berubah bila digunakan titik referensi yang berbeda. Laju

Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu didefinisikan sebagai besaran torka ENERGI KINETIK

Makin cepat benda bergerak, makin besar pula energy kinetiknya.Ketika benda dalam keadaan diam,energy kinetiknya sama dengan nol. Untuk suatu benda dengan massa m dan yang kelajuannya v jauh di bawah kelajuan cahaya, kita mendefinisikan energy kinetic sebagai

Energy kinetic tidak pernah bernilai negative karena m dan v2 tidak pernsh negative.

ENERGI KINETIK RELATIVISTIK

Energy kinetic benda-benda yang bergerak dengan kelajuan yang mendekati kelajuan cahaya c harus dihitung mempergunakan ekspresi relativistic

Persamaan ini tereduksi menjadi persamaan sebelumnya.apabila v jauh lebih kecil dari pada c.

Energi Kinetik Rotasi

Kita tinjau suatu sistem partikel yang berotasi terhadap suatu sumbu tetap. Jarak setiap partikel terhadapa sumbu rotasi selalu tetap. Bila sistem partikel ini adalah benda tegar maka kesemua partikel akan bergerak bersamasama dengan kecepatan sudut yang sama. Energi kinetik sistem partikel tersebut adalah

dengan adalah jarak partikel ke tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Besaran yang ada dalam tanda kurung didefinisikan sebagai momen inersia dari sistem relatif terhadap sumbu rotasi

MOMEN INERSIA

Momen inersia terhadap suatu sumbu adalah ukuran resistensi inersia objek perubahan gerak rotasi tentang sumbu. Ini adalah analog rotasi massa. Momen inersia terhadap suatu sumbu tergantung pada distribusi massa dalam objek relatif terhadap sumbu. Semakin jauh elemen massa adalah dari sumbu, kontribusi yang lebih besar untuk momen inersia terhadap sumbu itu. Dengan demikian, tidak seperti massa suatu benda, yang merupakan properti dari objek itu sendiri,saat ini inersia tergantung pada lokasi sumbu rotasi.

Untuk menghitung momen inersia untuk benda terus-menerus, kita bayangkan objek terdiri dari sebuah kontinum elemen massa yang sangat kecil. Dengan demikian, hingga jumlah

dimana r adalah jarak radial dari sumbu ke elemen massa .EXAMPLE:

Cari momen inersia dari batang seragam panjang L dan massa M terhadap suatu sumbu tegak lurus terhadap batang dan melalui salah satu ujung. Asumsikan bahwa batang memiliki ketebalan diabaikan.

Biarkan batang sepanjang sumbu x dengan ujungnya pada titik asal. Untuk menghitung tentang sumbu y, kita memilih elemen massa pada x jarak dari sumbu (Gambar). Karena massa total M terdistribusi secara seragam di sepanjang massa per satuan panjang (densitas massa linear) adalah 1. momen inersia diberikan oleh integral :

2. Untuk menghitung integral, pertama kita berhubungan dx untuk dx. Ekspresikan dm dalam hal kepadatan Massa dan dx:3. Substitusi dan melakukan integrasi. Kami memilih batas integrasi sehingga kita menghilangkan melalui distribusi massa dalam arah peningkatan x:

MOMENTUM SUDUTVEKTOR SIFAT ROTAS

Kami menunjukkan arah putaran terhadap suatu sumbu dengan arah tetap dengan menetapkan plus dan minus tanda-tanda untuk menunjukkan arah kecepatan sudut, sama seperti kita menggunakannya untuk menunjukkan arah kecepatan dalam gerak satu dimensi. Tapi ketika arah sumbu rotasi tidak tetap dalam ruang, plus dan minus tanda-tanda tidak cukup untuk menggambarkan arah kecepatan sudut. Kekurangan ini diatasi dengan memperlakukan kecepatan sudut sebagai vektor w diarahkan sepanjang sumbu rotasi. Perhatikan, misalnya, disk berputar pada Gambar.

1. 2.ELIPSOIDA MOMENTAL ATAU ELIPSOIDA INERSIAL

Definisi momen inersia untuk suatu benda tegar, yang dengan memandangnya tersusun atas tumpukan lamina, momen inersia terhadap sumbu rotasi sepanjang vector kecepatan sudut ,didefinisikan sebagai:

Dengan s ialah jarak elemen massa dari sumbu rotasi seperti yang dijelaskan di gambar dibawah ini:

dm

s

r

0

Momen inersia benda tegar

Dengan pertolongan gambar di atas, momen inersia benda tegar diberikan oleh:

Di mana

dengan

Demikianlah maka akan didapat

yang tak lain ialah persamaan elipsoida dengan Ixx,Ixy,selaku parameter-parameternya dan dan selaku variable-variabelnya, yang kalau sumbu-sumbu utamanya diambil selaku sumbu-sumbu koordinatnya,akan menjadi

yang dapat dibandingkan dengan persamaan elipsoida dalam geometri berbentuk

Dengan a,b,c, selaku panjang sumbu-sumbu simetri elipsoida.Demikianlah maka kita definisikan elipsoida momental atau elipsoida inersial sebagai elipsoida yang persamaannya diberikan oleh yakni yang panjang sumbu-sumbu simetrinya adalah

a= 1/Ix ; I/Iy ;I/Iz

dengan definisi momen inersia benda tegar demikian, maka untuk perputaran sekeliling sumbu utama, misalnya sekeliling sumbu e3 atau Z, yakni dan berlakulah hubungan

Atau secara umum

dengan ialah salah satu dari yaitu searah dengan PERSAMAAN GERAK EULER

Euler merumuskan dalam persamaan gerak dengan mempertimbangkan perubahan arah oleh,berputarnya benda,di samping oleh variasinya di dalam system koordinat S yang semula berimpit dengan S. jadi euler menulis

xyz yz xyzSelanjutnya karena untuk rotasi sesaat yaitu pada saat S masih berimpit dengan S, berlaku persamaan

x Maka terumuskanlah persamaan gerak Euler dalam bentuk

+..

+

_1317189553.unknown

_1317189617.unknown

_1317189668.unknown

_1317189684.unknown

_1317189700.unknown

_1317189708.unknown

_1317189713.unknown

_1317189717.unknown

_1317189721.unknown

_1317189723.unknown

_1317189724.unknown

_1317189725.unknown

_1317189722.unknown

_1317189719.unknown

_1317189720.unknown

_1317189718.unknown

_1317189715.unknown

_1317189716.unknown

_1317189714.unknown

_1317189711.unknown

_1317189712.unknown

_1317189710.unknown

_1317189704.unknown

_1317189706.unknown

_1317189707.unknown

_1317189705.unknown

_1317189702.unknown

_1317189703.unknown

_1317189701.unknown

_1317189692.unknown

_1317189696.unknown

_1317189698.unknown

_1317189699.unknown

_1317189697.unknown

_1317189694.unknown

_1317189695.unknown

_1317189693.unknown

_1317189688.unknown

_1317189690.unknown

_1317189691.unknown

_1317189689.unknown

_1317189686.unknown

_1317189687.unknown

_1317189685.unknown

_1317189676.unknown

_1317189680.unknown

_1317189682.unknown

_1317189683.unknown

_1317189681.unknown

_1317189678.unknown

_1317189679.unknown

_1317189677.unknown

_1317189672.unknown

_1317189674.unknown

_1317189675.unknown

_1317189673.unknown

_1317189670.unknown

_1317189671.unknown

_1317189669.unknown

_1317189633.unknown

_1317189642.unknown

_1317189646.unknown

_1317189666.unknown

_1317189667.unknown

_1317189647.unknown

_1317189644.unknown

_1317189645.unknown

_1317189643.unknown

_1317189638.unknown

_1317189640.unknown

_1317189641.unknown

_1317189639.unknown

_1317189636.unknown

_1317189637.unknown

_1317189635.unknown

_1317189625.unknown

_1317189629.unknown

_1317189631.unknown

_1317189632.unknown

_1317189630.unknown

_1317189627.unknown

_1317189628.unknown

_1317189626.unknown

_1317189621.unknown

_1317189623.unknown

_1317189624.unknown

_1317189622.unknown

_1317189619.unknown

_1317189620.unknown

_1317189618.unknown

_1317189585.unknown

_1317189601.unknown

_1317189609.unknown

_1317189613.unknown

_1317189615.unknown

_1317189616.unknown

_1317189614.unknown

_1317189611.unknown

_1317189612.unknown

_1317189610.unknown

_1317189605.unknown

_1317189607.unknown

_1317189608.unknown

_1317189606.unknown

_1317189603.unknown

_1317189604.unknown

_1317189602.unknown

_1317189593.unknown

_1317189597.unknown

_1317189599.unknown

_1317189600.unknown

_1317189598.unknown

_1317189595.unknown

_1317189596.unknown

_1317189594.unknown

_1317189589.unknown

_1317189591.unknown

_1317189592.unknown

_1317189590.unknown

_1317189587.unknown

_1317189588.unknown

_1317189586.unknown

_1317189569.unknown

_1317189577.unknown

_1317189581.unknown

_1317189583.unknown

_1317189584.unknown

_1317189582.unknown

_1317189579.unknown

_1317189580.unknown

_1317189578.unknown

_1317189573.unknown

_1317189575.unknown

_1317189576.unknown

_1317189574.unknown

_1317189571.unknown

_1317189572.unknown

_1317189570.unknown

_1317189561.unknown

_1317189565.unknown

_1317189567.unknown

_1317189568.unknown

_1317189566.unknown

_1317189563.unknown

_1317189564.unknown

_1317189562.unknown

_1317189557.unknown

_1317189559.unknown

_1317189560.unknown

_1317189558.unknown

_1317189555.unknown

_1317189556.unknown

_1317189554.unknown

_1317189488.unknown

_1317189520.unknown

_1317189536.unknown

_1317189544.unknown

_1317189549.unknown

_1317189551.unknown

_1317189552.unknown

_1317189550.unknown

_1317189546.unknown

_1317189547.unknown

_1317189545.unknown

_1317189540.unknown

_1317189542.unknown

_1317189543.unknown

_1317189541.unknown

_1317189538.unknown

_1317189539.unknown

_1317189537.unknown

_1317189528.unknown

_1317189532.unknown

_1317189534.unknown

_1317189535.unknown

_1317189533.unknown

_1317189530.unknown

_1317189531.unknown

_1317189529.unknown

_1317189524.unknown

_1317189526.unknown

_1317189527.unknown

_1317189525.unknown

_1317189522.unknown

_1317189523.unknown

_1317189521.unknown

_1317189504.unknown

_1317189512.unknown

_1317189516.unknown

_1317189518.unknown

_1317189519.unknown

_1317189517.unknown

_1317189514.unknown

_1317189515.unknown

_1317189513.unknown

_1317189508.unknown

_1317189510.unknown

_1317189511.unknown

_1317189509.unknown

_1317189506.unknown

_1317189507.unknown

_1317189505.unknown

_1317189496.unknown

_1317189500.unknown

_1317189502.unknown

_1317189503.unknown

_1317189501.unknown

_1317189498.unknown

_1317189499.unknown

_1317189497.unknown

_1317189492.unknown

_1317189494.unknown

_1317189495.unknown

_1317189493.unknown

_1317189490.unknown

_1317189491.unknown

_1317189489.unknown

_1317189364.unknown

_1317189445.unknown

_1317189480.unknown

_1317189484.unknown

_1317189486.unknown

_1317189487.unknown

_1317189485.unknown

_1317189482.unknown

_1317189483.unknown

_1317189481.unknown

_1317189449.unknown

_1317189478.unknown

_1317189479.unknown

_1317189477.unknown

_1317189447.unknown

_1317189448.unknown

_1317189446.unknown

_1317189437.unknown

_1317189441.unknown

_1317189443.unknown

_1317189444.unknown

_1317189442.unknown

_1317189439.unknown

_1317189440.unknown

_1317189438.unknown

_1317189368.unknown

_1317189372.unknown

_1317189435.unknown

_1317189436.unknown

_1317189434.unknown

_1317189373.unknown

_1317189370.unknown

_1317189371.unknown

_1317189369.unknown

_1317189366.unknown

_1317189367.unknown

_1317189365.unknown

_1317189348.unknown

_1317189356.unknown

_1317189360.unknown

_1317189362.unknown

_1317189363.unknown

_1317189361.unknown

_1317189358.unknown

_1317189359.unknown

_1317189357.unknown

_1317189352.unknown

_1317189354.unknown

_1317189355.unknown

_1317189353.unknown

_1317189350.unknown

_1317189351.unknown

_1317189349.unknown

_1317189340.unknown

_1317189344.unknown

_1317189346.unknown

_1317189347.unknown

_1317189345.unknown

_1317189342.unknown

_1317189343.unknown

_1317189341.unknown

_1317189336.unknown

_1317189338.unknown

_1317189339.unknown

_1317189337.unknown

_1317189334.unknown

_1317189335.unknown

_1317189333.unknown