bab 7 penyelesaian persamaan diferensial3

8/13/2019 Bab 7 Penyelesaian Persamaan Diferensial3

1/20

Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 65

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

BIASA

A. PENDAHULUAN

Bab ini membahas tentang persamaan diferensial biasa. Setelah menyelesaikan

pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan akan mampu menyelesaikan

persamaan diferensial biasa dengan MATLAB. Secara khusus mahasiswa

diharapkan akan mampu menyusun permasalahan fisis dan kimia dalam Teknik

Kimia dalam bentuk persamaan diferensial biasa, menyelesaiakan persamaandiferensial biasa dengan fungsi ode45 dalam MATLAB. Persamaan diferensial

iasa anyak ditemukan pada pemodelan-pemodelan teknik reaktor, kinetika

reaksi kimia, peristiwa-peristiwa perpindahan dan lain-lain.

B. PENYAJIAN MATERI

Persamaan diferensial muncul dari kajian proses fisis dan kimia dinamis yang

memiliki satu variable bebas. Variabel tersebut dapat berupa variable jarak,x atau

variabel waktu,t yang bergantung pada geometri sistem dan kondisi batasnya.

Sebagai contoh suatu reaksi kimia dengan bentuk:

A + B C + D E (7.1)

Berlangsung dalam suatu reaktor, neraca massa dapat diterapkan

Input + generation = Output + Aacumulation (7.2)

Untuk reaktor batch, aliran masuk dan keluar adalah nol, sehinga neraca massa

disederhanakan menjadi

Laju akumulasi = pembangkitan (7.3)

BAB 7

k1

k2

k1


2/20


Asumsi bahwa reaksi (7.1) berlangsung dalam fasa cair dengan perubahan volum

diabaikan, Jika persamaan (7.3) ditulis untuk setiap komponen yang bereaksi

maka akan memiliki bentuk

DCBA CCkCCkdt

dC21

DCBAB CCkCCk

dt

dC21

n

D

m

CDCBAC CCkCCkCCk

dt

dC321 (7.4)

n

D

m

CDCB

D

CCkCCkCCkdt

dC321

n

D

m

C

E CCkdt

dC3

dimana CA, CB, CC, CD and CE, menyatakan konsentrasi lima komponen pada

reaksi kimia. Reaksi ini merupakan satu set persamaan diferensial non-linier

order satu simultan, yang menggambarkan prilaku dinamis reaksi kimia. Dengan

metode yang disusun pada bab ini, persamaan ini dengan satu set kondisi awal,

dapat diintegrasikan untuk memperoleh profil waktu semua konsentrasi.

Kasus lain, anggap pertumbuhan mikroorgnisme, misalnya dalam fermentor

kontinyu dengan tipe yang ditunjukkan Gambar di bawah.

Gambar 7.1 Fermentor kontinyu


3/20


Volume cairan dalam fermentor adalah V, laju alir nutrien ke dalam fermentor

adalah Fin, dan laju air produk keluar fermentor adalah Fo. Neraca massa sel X

adalah:

Input + Pembangkitan = Output + Akumulasi

dt

VXdXFVrXF outoutxinin

)(

Neraca massa untuk subtrat S diberikan dengan persamaan :

dtVSdSFVrSF outoutinin

)(

Neraca volume total adalah

dt

dVFF outin

Jika kita buat asumsi bahwa fermentor tercampur sempurna, yaitu konsentrasi

di setiap titik dalam fermentor sama, maka :

outXX

outSS

Dan persamaan disederhanakan menjadi

VrXFXFdt

VXdxoutinin

)(

VrSFSF

dt

VSdSoutinin

)(

outin FFdt

dV

Asumsi berikutnya dibuat bahwa laju alir masuk dan keluar fermentor adalah

sama, dan laju pembentukan sel dan penggunaan subtrat diberikan oleh :

SK

SXrx

ax

dan

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10


4/20


SK

SX

YrS

ax

1

Set persamaan menjadi:

SKSX

XXV

F

dtdX inout

ax

SK

SX

YSS

V

F

dt

dSin

out

ax

1

Ini adalah satu set persamaan diferensial biasa simultan, yang menggambarkan

dinamik fermentasi kultur kontinyu.

Berdasarkan ordenya persamaan diferensial biasa terdiri atas tiga jenis (paling

umum ditemukan dalam permasalahan teknik kimia).

Orde 1 dy y kxdx

Orde 2

2

2

d y dykx

dx dx

Orde 323 2

3 2

d y d y dya b kx

dx dx dx

Berdasarkan ordenya persamaan diferensial biasa terdiri atas dua jenis.

1. Linier

Persamaan umum persamaan diferensial biasa linier dirumuskan sbb:

1

1 11 ...

n n

o n nn n

d y d y dyb x b x b x b x y R x

dx dx dx

2. Taklinier

Persamaan diferensial biasa yang tidak memenuhi persamaan umum persamaan

diferensial biasa linier di muka dikelompokan ke dalam persamaan diferensial

iasa tak linier.

Salah satu kegunaan MATLAB dalam teknik adalah aplikasinya untuk

menyelesaikan persamaan secara numeris persamaan diferensial biasa. MATLAB

memiliki penyelesaian ode yang berbeda yang memungkinkan ode

menyelesaikan secara akurat dan efisien tergantung pada tingkat kesulitan

7.11

7.12

7.13


5/20


(stiffness) ode. Stiffness adalah perubahan relative pada penyelesaian satu

persamaan diferensial.

Terdapat cara berbeda untuk menyusun dan mengeksekusi penyelesaian ode,

namun untuk kali ini suatu sistem yang menggunkanan m-files banyak untuk

setiap penyelesaian ode akan diberikan. Dua m-files utama yang diperlukan

adalah file eksekusi (run) dan file fungsi. Untuk penyelesaian sutu ode dlam

MATLAB semua ode harus didefinisikan dalam suatu fungsi m-file. Ketika

memasukkan kedalam file fungsi, persamaan diferensial harus memiliki order

satu berbentukdy/dx = f(y,x). File fungsi harus berisi:

1. Definisi fungsi seperti function dmdt= nama_file(t,m), dimana t adalah variable

ebas danmadalah variable tak bebas order satu.

2. Jika variabel global digunakan, perintah global harus disisipkan setelah

definisi fungsi

3. Persamaan diferensial harus dalam bentuk deskripsi di atas, misal:dmdt= f(m,

t)

Nama file, variable (mdant), dandmdtdapat berubah-ubah.

Contoh 7.1 Aliran Fluida

Suatu fluida dengan densitas tetap mengalir ke dalam tangki besar yang kosong

dan tak tentu pada 8 L/s. Sebuah kran dipasang untuk mengatur aliran keluar

pada laju tetap 4 L/s. Turunkan dan selesaikan persamaan diferensial yang

menggambarkan proses ini, di atas interval 100 detik.

Penyelesaian :

Neraca massa:

Laju Akumulasi = input Output

)48()(

dt

Vd

Karena densitas konstan, sehingga

)48()(

dt

Vd

dalam liter per detik.


6/20


Kondisi awal pada waktu t = 0, volume dalam tangki = 0. Berikut penyelesaan

persamaan di atas.

File fluida run digunakan untuk mengeksekusi penyelesaian. List penulisan

program adalah

Grafik yang dihasilkan seperti Gambar 7.1.

Gambar 7.2Plot waktu terhadap volum

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200

250

300

350

400

Time (s)

volintank(L)

fluida

function dvdt=fluida(t,v)

dvdt=4

to=0;

tf=100;

tspan=[to tf]; %interval integrasi

v0=0 %kondisi awal

[t,v]=ode45(fluidatspan,v0)plot(t,v(:,1))

Xlabel(Time (s))

Ylabel (vol in tank(L))

Title(fluida)


7/20


Contoh 7.2 Simulasi Reaktor Batch

Reaktor batch adalah reaktor yang digunakan secara sekali tempuh. Artinya

umpan dimasukkan satu kali di awal reaksi dan produk dikeluarkan pada akhir

reaksi. Selama reaksi tidak ada umpan yang masuk ataupun produk yang

keluar.

Kecepatan proses biasanya diukur dari kecepatan pengurangan umpan :

AA r

dt

dC

Apabila kecepatan reaksi dapat didefinisikan sebagai :

A

AA

CK

kCr

maka persamaan diferensial di atas menjadi :

A

AA

CK

kC

dt

dC

Jika harga k = 0.01, K = 1.03 dan CA pada t = 0 (awal reaksi) adalah 0.5

mol/liter, maka konsentrasi A setiap waktu dapat ditentukan dengan

menyelesaikan persamaan diferensial di atas.

Catatan : persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik karena

ersifat tak linier, sehingga harus diselesaikan secara numerik.

Langkah pertama, buatlah fungsi yang dapat mengevaluasi fungsi ruas kanan

persamaan diferensial tersebut.

function dcdt=reaksi_1(t,Ca)

% menghitung fungsi ruas kanan dari persamaan neraca massa

reaktor batch

dydt=0.1*Ca/(1.03+Ca);

Kemudian langkah erikutnya adalah menggunakan fungsi ode23 atau ode45

yang telah disediakan Matlab untuk menentukan konsentrasi A setiap waktu.


8/20


[t,Ca]=ode23('reaksi_1',[0 50],0.5)

t =

0

1.2240

6.2240

11.2240

16.2240

21.2240

26.0582

30.4158

34.4216

38.2175

41.8888

45.4822

49.0247

50.0000

Ca =

0.5000

0.4611

0.3240

0.2203

0.1456

0.0941

0.0607

0.0405

0.0277

0.0193

0.0136

0.0096

0.0068

0.0062

Apabila harga k ergantung pada temperatur menurut persamaan Arhenius

erikut :


9/20


RT

.

ek

00095

810

dan reaksi yang terjadi bersifat eksotermik (H = 432 kJ/mol) dan

dilaksanakan pada temperatur 500 K, maka persamaan-persamaan neraca

massa dan energi sistem adalah sbb. :

A

ART

A

CK

Ce

dt

dC

000.95

810

)(10

000.95

8

HCK

Ce

dt

dTCp

A

ART

Jika danCpdianggap sama dengan air (1000 kg/m3 dan 4.3 kJ/kg), maka

fungsi furuka menjadi :

function dcdt=reaksi_2(t,y)

% menghitung fungsi ruas kanan dari persamaan neraca massa

reaktor batch

Ca=y(1);

T=y(2);

dcdt(1)=-1E8*exp(-95000/(8.314*T))*Ca/(1.03+Ca);

dcdt(2)=1E8*exp(-95000/(8.314*T))*Ca/(1.03+ ...

Ca)*(432*1000)/(1000*4.3);

dcdt=dcdt;

Kemudian integrasikan dengan batas yang sama :

[t,Y]=ode23('reaksi_2',[0 50],[0.5 500])

t =

0

5

10


10/20


15

20

25

30

35

40

45

50

Y =

0.5000 500.0000

0.4799 502.0147

0.4585 504.1645

0.4357 506.4621

0.4112 508.9204

0.3850 511.5520

0.3570 514.3673

0.3271 517.3723

0.2953 520.5644

0.2618 523.9267

0.2271 527.4201

Contoh 7.3 Proses Dinamis Pemanasan Fluid

Tiga buah tangki yang disusun seri digunakan untuk memanaskan minyak

mentah sebelum diumpankan ke fraksinator untuk pemisahan lanjut.

Gambar 7.3 Sistem pemanasan minyak

Pada saat awal, masing-masing tangki diisi dengan 1000 kg minyak pada suhu

20 oC. Steam jenuh pada suhu 250 oC dikondensasikan di dalam koil yang

tercelup pada masing-masing tangki. Minyak diumpankan ke tangki pertama


11/20


dengan laju 100 kg/menit dan dialirkan ke tangki kedua maupun tangki dengan

laju yang sama. Suhu minyak umpan adalah 20 oC. Tangki dilengkapi pengaduk

sehingga pencampuran di dalam tangki dapat dianggap sempurna, dan suhu di

dalam tangki seragam. Demikian juga dengan suhu aliran keluar tangki sama

dengan suhu di dalam tangki. Kapasitas panas minyak, Cp = 2.0 kJ/kg. Laju

perpindahan panas dari steam ke minyak tiap tangki dinyatakan dengan

persamaan sebagai berikut :

TTUaQ steam

Dimana Ua = 10 kJ/mnt.oC yaitu perkalian antara koefisien transfer panas dan

luas area perpindahan panas koil untuk masing-masing tangki.

Tentukan suhu steady state di tiap tangki, dan berapa interval waktu yang

dibutuhkan agar T3mencapai 99 % kondisi steady state-nya pada saat start-up ?

Petunjuk Penyelesaian :

Asumsi :

i. Laju alir minyak menuju masing masing tangki dianggap sama (W0= W1=W2= W3= W).

ii. Densitas minyak konstan, sehingga jumlah (massa dan volum) minyak di

dalam masing masing tangki sama dan konstan (M1= M2= M3= M).

Susun neraca panas unsteady state masing masing tangki.

Untuk tangki 1 :

Panas Akumulasi = Panas masuk Panas keluar

110

1 TWCTTUaTWCdt

dTC psteampp

Persamaan di atas dapat disusun kembali sebagai berikut :

p

steamp

C

TTUaTTWC

dt

dT 1101


12/20


Analog untuk tangki 2 :

p

steamp

C

TTUaTTWC

dt

dT 2212

Untuk tangki 3 :

p

steamp

C

TTUaTTWC

dt

dT 3323

Sintax penulisan program Matlab

Main program

function runlatihan7_3clearclcglobal W UA M Cp Tsteam To%nilai-nilai parameter yang diketahuiW=100; % kg/minUA=10; % kJ/min.CM=1000; % kgCp=2.0; % kJ/kgTsteam=250; % C

To=20; % C%nilai awal T1, T2, dan T3Tawal=[20 20 20];%oC%increment waktutmulai=0; % mintakhir=90; % mintspan=[tmulai:5:takhir];%fungsi untuk menjalankan fungsi MATLAB[t,Y]=ode45('latihan7_3',tspan,Tawal);%plot grafik t vs Tplot(t,Y(:,1),'*-r',t,Y(:,2),'o-b',t,Y(:,3),'*-g')title('Temperature dalam tangki berpengaduk')

xlabel('waktu (min)')ylabel('T (C)')[t Y]

Sub program

function dTdt=latihan7_3(t,Y)global W UA M Cp Tsteam ToT1=Y(1);T2=Y(2);T3=Y(3);%persamaan-persamaan diferensial yang terlibat


13/20


dTdt(1)=((W*Cp*(To-T1))+UA*(Tsteam-T1))/(M*Cp);dTdt(2)=((W*Cp*(T1-T2))+UA*(Tsteam-T2))/(M*Cp);dTdt(3)=((W*Cp*(T2-T3))+UA*(Tsteam-T3))/(M*Cp);dTdt=dTdt';

Gambar 7.4 Proses Dinamis sistem Pemanasan Minyak

Contoh 7.4. Reaktor Tubular Nonisotermal

Reaksi fasa cair + B 2Cdilakukan pada PFR multitubular non-isotermal.

Tube reaktor (panjang 7 m, diameter 2 cm) diselimuti dengan pendingin untuk

menjaga temperatur dinding agar konstan. Reaksi order satu semu terhadap ,dengan 5624/T5A e10x4,03k

s-1. Laju alir massa konstan pada 0,06 kg/s, densitas

konstan pada 1,025 g/cm3, dan suhu pada masuk reaktor (T) adalah 350 K.

a) Susun persamaan yang menyatakandz

dxA dandz

dT

) Plot profile f(z)xA untuk suhu dinding reaktor (Ts) erikut: 350 K, 365 K,

400 K dan 425 K.

Data yang diketahui : CAO=0,5 mol/L; Cp= 4,2 J/g.K; RAH -210 kJ/mol;U=

0 10 20 30 40 50 60 70 80 9020

25

30

35

40

45

50

55Temperature dalam tangki berpengaduk

waktu (min)

T(C

)


14/20


1,59 kW/m2K1.

Penyelasian :

a) Laju persamaan reaksi adalah:

AAOAAAA x-1CkCkr- (A)

DimanakAdiberikan dari persamaan Arhenius di atas. Subtitusi persamaan (A)

pada persamaan neraca massa :

zA2AOA /ddxr/Fr- ,

hasilnya adalah (denganR = D/2danFAO/CAO =qo) :

o

AA2

4q

x-1kD

dx

dT (B)

Persamaan (B) memberikan entuk yang diperlukandz

dxA

Untuk menyusun entuk dT/dz kita menggunakan neraca massa dengan

membaginya dengandz, dan (-rA) dieliminasi dengan persamaan (A).

Dan menyusun entuk kita membagi dx/dz dengan persamaan (B),

menghasilkan:

TT

mC

UD

4mC

Hx-1CkD

dz

dTs

pp

RAAO2

(C)

Dengan Ts adalah suhu dinding. Perlu dicatat bahwadz

dTsecara implisit

erhubungandz

dxA .

) Profil konversi terhadap panjang reaktor pada berbagai suhu dihitung

dengan MATLAB

Main Program:

function run_tubular

clc

clear

% menyelesaikan PD ordiner simultan

%nilai awal

Yo=[0 350];%interval jarak


15/20


xspan=[0:0.1:7]; % meter

[x,Y]=ode45('tubular1',xspan,Yo);

fa1=Y(:,1);

T1=Y(:,2);


fa2=Y(:,1);

T2=Y(:,2);


fa3=Y(:,1);

T3=Y(:,2);


fa4=Y(:,1);

T4=Y(:,2);

%tampilkan grafik

plot(zspan,xa1,'-g',zspan,xa2,'-.m',zspan,xa3,'--b',zspan,xa4,'-

.r')

ylabel('fraksi konversi, xa');

legend('Ti= 350K','Ti= 365K','Ti= 400K','Ti= 425K')

xlabel('x (meter)');

Sub Program1

function dydz=tubular1(z,Y);

xa=Y(1);T=Y(2);

%data perhitungan

D=0.02; %m

rho=1025;%kg/m3

m=0.06; %kg/sCao=0.50;% mol/L

FAo=0.000025;%molar/s

qo=FAo/Cao;

Cp=4.2;%kJ/kg/K

Hr=-210;%kJ/mol

U=1.59;%kW/m2/K

Ts=350;%K

kA=(4.03E5)*exp(-5624/T);%1/sdydz(1)=pi*(D^2)*kA*(1-xa)/(4*qo);%persamaan dxa/dz


16/20


suku1=pi*D^2*kA*Cao*(1-xa)*(-Hr)/(4*m*Cp);

suku2=pi*U*D*(Ts-T)/(m*Cp);

dydz(2)=suku1+suku2;%persamaan dT/dz

dydz=dydz';

Sub Program2


xa=Y(1);T=Y(2);

%data perhitungan

D=0.02; %m

rho=1025;%kg/m3

m=0.06; %kg/s

Cao=0.50;% mol/L


qo=FAo/Cao;

Cp=4.2;%kJ/kg/K

Hr=-210;%kJ/mol

U=1.59;%kW/m2/K

Ts=365;%K

kA=(4.03E5)*exp(-5624/T);%1/s

dydz(1)=pi*(D^2)*kA*(1-xa)/(4*qo);%persamaan dxa/dz

suku1=pi*D^2*kA*Cao*(1-fa)*(-Hr)/(4*m*Cp);


dydz(2)=suku1+suku2;%persamaan dT/dz

dydz=dydz';

Sub Program3

function dydz=tubular3(z,Y);xa=Y(1);T=Y(2);

%data perhitungan

D=0.02; %m

rho=1025;%kg/m3

m=0.06; %kg/s

Cao=0.50;% mol/L


qo=FAo/Cao;

Cp=4.2;%kJ/kg/K


17/20


Hr=-210;%kJ/mol

U=1.59;%kW/m2/K

Ts=400;%K

kA=(4.03E5)*exp(-5624/T);%1/s

dydz(1)=pi*(D^2)*kA*(1-xa)/(4*qo);%persamaan dxa/dz



dydz(2)=suku1+suku2;%persamaan dT/dx

dydz=dydz';

Sub Program4


xa=Y(1);T=Y(2);

%data perhitungan

D=0.02; %m

rho=1025;%kg/m3

m=0.06; %kg/s

Cao=0.50;% mol/L


qo=FAo/Cao;

Cp=4.2;%kJ/kg/K

Hr=-210;%kJ/mol

U=1.59;%kW/m2/K

Ts=425;%K

kA=(4.03E5)*exp(-5624/T);%1/s

dydx(1)=pi*(D^2)*kA*(1-xa)/(4*qo);%persamaan dxa/dz


suku2=pi*U*D*(Ts-T)/(m*Cp);dydx(2)=suku1+suku2;%persamaan dT/dx

dydz=dydz';


18/20


Gambar 7.5 Profil konversi terhadap panjang reaktor pada berbagai suhu

Pada contoh 7.4, persamaan diferensial yang dieksekusi dijalankan dengan

menuliskan empat sub program sehingga mem utuhkan penulisan yang panjang.

Cara tersebut dapat disederhanakan dengan menggunan metode loop for.

C. RANGKUMAN

a. Persamaan Diferensial Biasa (PDB) merupakan persamaan diferensial di

mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari

variabel bebas tunggal

. Dalam bidang Teknik Kimia Persamaan diferensial muncul dari kajian proses

fisis dan kimia dinamis yang memiliki satu variable ebas. Variabel tersebut

dapat berupa variable jarak, z atau variabel waktu, t yang bergantung pada

geometri sistem dan kondisi batasnya.

c. Penyelesaian persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan dengan

MATLAB menggunakan fungsi ode yang akan diperoleh nilai variabel terikat

untuk setiap variabel bebas yang diberikan.

D.LATIHAN

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z (meter)

fra

k

s

i

k

o

n

v

e

rs

i,

x

a

T= 350K

T= 365K

T= 400K

T= 425K


19/20


Latihan 7.1 Simulasi Reaktor Plug Flow Non Isotermal

Reaksi perengkahan aseton fasa uap, dinyatakan dengan reaksi endotermik

sebagai berikut:

CH3COCH3 CH2CO + CH4

Berlangsung pada reaktor tubular berjaket. Aseton murni masuk reaktor pada

suhu To = 1035 K dan tekanan Po = 162 kPa, dan suhu gas eksternal heat

exchanger adalah konstan pada T, = 1150 K. Ingin dicari profil suhu sepanjang

reaktor dengan tekanan dianggap konstan. Data lain diberikan sebagai berikut:

Laju Alir volumetrik vo = 0,002 m3/s

Volume reaktor VR = 1 m3

Koef. transfer panas overall U = 110 W/m2 K

Luas permukan transfer paas a = 1502/m3 reaktor

Konstanta Laju rekasi k =3,58 34.222 Panas reaksi :

= 80770 + 6,8( 298) 5,75 10( 298) 1,27 10( 298)/Kapasitas panas aseton CpA=26,63 + 0,1830 T - 45,86 x 10-6T2 J/mol.K

Kapasitas panas keten CpA=20,04 + 0,0945 T - 30 95 x 10-6T2 J/mol.K

Kapasitas panas metana CpA=13,39 + 0,0770 T - 18 71 x 10-6T2 J/mol.K

Neraca mol =

Neraca energi=

( )

Laju reaksi = FAO =CAO.vo

CP= CpB+ CPC- CPA

E. RUJUKAN

1) Constantinidis dan Mustoufi,1999,Numerical Methodes for Chemical Engineers

with MATLAB Application, hal 262-264. Prentice-Hall: Englewood Cfiffs, NJ.

2) Finlayson, B.A., 2006,Introduction to Chemical Engineering Computing, hal 115-

123. John Wiley & Sons Inc., New Jersey

3) Dan Hanselman dan Bruce Littlefield, 1997. MATLAB: Bahasa Komputasi danTeknis. hal 15 dan 154-165. Andi. Yokyakarta.


20/20

bab 7 penyelesaian persamaan diferensial3

Documents