BAB 4MASALAH NILAI EIGEN

TEOREM GERSCHGORINKAEDAH KUASAKAEDAH KUASA BESERTA ANJAKAN ASALAN

PENGENALAN Dlm SPL terdpt 2 kaedah lelaran. Lelaran blh menumpu kerana wujudnya sifat

dominan pepenjuru tegas di dalam matriks A Sifat dominan pepenjuru tegas blh dikaitkan dgn

suatu nilai tersirat pd matriks tersebut => nilai ini dikenali sbg nilai eigen

Kepentingan nilai eigen bg kaedah berlelaran: Blh menentukan samaada lelaran blh menumpu/tidak.

Jika magnitud < 1 bg semua nilai eigen => lelaran akan menumpu dan sebaliknya

Pertimbangkan SPL berikut: Av = v dimana adalah pemalar. Jika wujud pemalar dan v sebagai vektor tak

sifar yg memenuhi persamaan di atas maka: adalah nilai eigen bg A v sbg vektor eigen yg sepadan

Apabila SPL bg btk Av = v ditulis dgn menggunakan matriks identiti maka ia bertukar btk seperti berikut => Av = Iv dgn I adlh matriks identiti. Maka ia juga blh ditulis spt berikut => v(A-I)=0

Cth:

421

131

123

100

010

001

421

131

123

dan

51

23

10

01

51

23

:maka

421

131

123

51

23

:adalah Bdan A matriks Jika

IB

IA

BA

Selesaikan |A- I| = 0 dan |B – I| = 0

P1() = 2-8 +13P2() = -3 + 2 2 +16 -25

Bilangan nilai eigen bergantung kpd saiz sesuatu matriks: matriks 2x2 => ada 2 nilai aigen matriks 3x3 => ada 3 nilai aigen matriks nxn => ada n nilai aigen

Ada beberapa kaedah yg sesuai utk mendptkan .

Teorem berikut perlu diketahui yg blh membantu memudahkan kiraan utk matriks A bersaiz nxn dgn nilai eigen i dimana i=1,2,3,….,n

Teorem 1

Hasil tambah nilai eigen = hasil tambah unsur pepenjuru

Teorem 2

Hasil darab nilai eigen = nilai penentu A

n

i

n

i

iii Asurih

a

1 1

)(

a

ii A

1

TEOREM GERCHGORIN Digunakan utk menganggarkan nilai

Caranya: Menentukan pusat bulatan dan jejari bulatan

Bg matriks A: pusat bulatan => unsur pepenjuru aii

jejari bulatan => jumalah unsur lain (dlm nilai mutlak) pd baris yg sama

Dgn itu bulatan yg dihasilkan menjadi anggaran kpd yg dicari

Bulatan terbesar dihasilkan yg mencakupi semua bulatan ini menjadi anggaran kasar kesemua nilai eigen yg ada

n

jij

ijiii aaB1

contoh

Baris pertama Pusat 3 jejari |-2|+|1| = 3

Baris kedua Pusat 3 jejari |-1| + |1| = 2

Baris ketiga Pusat –4 jejari |1| + |-2| = 3

-4-21

13-1

1-23

0 3 6-7

Anggaran nilai eigen (-7, 6)

KAEDAH KUASA Digunakan utk mengira nilai eigen dominan

dan vektor eigen Nilai eigen dominan => nilai eigen yg

mempunyai modulus terbesar max(|1|, |2|, |3|,….., |n|)

Rumus Kaedah Kuasa :

)()1(

)1( 1 kk

k AVm

V

Langkah-langkah penyelesaian Kaedah Kuasa: Dapatkan iaitu permulaan pada k = 0 dengan diberi nilai awal

bg vektor eigen, Kenalpasti nilai eigen dominan drpd

Nilai eigen dominan di notasikan sbg Dapatkan nilai berdasarkan kepada nilai yang diperolehi berdasarkan kepada rumus Kaedah Kuasa

Semak penumpuan berdasarkan kepada syarat

jika tidak memenuhi syarat teruskan lelaran

Nilai eigen yg di cari adlh berdasarkan kpd nilai apabila lelaran sudah menumpu.

Utk menyemak sama ada nilai eigen yg diperolehi BENAR atau TIDAK pastikan nilai eigen tersebut memenuhi persamaan berikut AV= V

)(kAV)0(V

)1( km

)(kAV

)1( kV)1( km

)()1( kk VV

)1( km

)1( kV = 1/ )1( km kV

contoh

Vektor permulaan v0 = [0, 0, 1]T m0 = 0

v = Av(0) =

5-44

101

-121contoh

5-44

101

-121

1

0

0=

5

1

-1

m1 = 5

v(1) = v/m1

1.0

0.2

-0.2|v1 – v0|> teruskan

Samb. contohv = Av(1) =

5-44

101

-121

1.0

0.2

-0.2=

3.4

0.8

-0.8

m2 = 3.4

v(2) = v/m2

1.0

0.235

-0.235|v2 – v1|> teruskan

Samb. contohk v(k) Av(k) mk+1

01234567

0-0.2-0.235-0.245-0.248-0.249-0.250-0.250

00.20.2350.2450.2480.2490.2500.250

11111111

-1-0.8-0.765-0.755-0.752-0.751-0.750

10.80.7650.7550.7520.7510.750

53.43.123.043.0163.0083.000

53.43.123.043.0163.0083.000

|v7 – v6| < , maka 1 m7 = 3.000 dan v 1 v7 = (-0.250, 0.250, 1.000)

Kaedah kuasa berserta anjakan asalan Kaedah kuasa boleh digunakan utk mencari

nilai eigen yg lain A – pI, p faktor anjakan Jika p adalah nilai eigen dominan bg A, maka

matriks A-pI akan memberikan nilai eigen dominan yg baru, *.

Nilai eigen terkecil bg A boleh diperolehi spt berikut k = p + *

Kaedah kuasa berserta anjakan asalanTeorem:Jika adalah nilai eigen bg A maka -p adalah nilai eigen bagi A-pI sepadan dgn vektor eigen v yg samaOleh itu, jika {1 , 2 ,…N } adalah nilai eigen bg A bersaiz NxN dgn | 1 | | 2 | … | k | dan p= 1 (nilai eigen dominan bg A), nilai eigen bg A- 1 I adalah {1- 1 , 2 - 1 ,… N - 1 } dgn keadaan 0 | 2 - 1 | …<| N - 1 |. N - 1 menjadi eigen domain bg A- 1 I Katalah *= N - 1

Maka N = * + 1 eigen terkecil

contoh

Dpd contoh sebelum, diperolehi nilai eigen dominan bg matriks A , 1 = 3.0 v1 = [-0.25,0.25,1.00]

Dapatkan nilai eigen terkecil. Penyelesaian: Kira B = A- 1 I dgn 1 = 3.0

5-44

101

-121

A=

5-44

101

-121- 3

100

010

001=

2-44

1-31

-12-2

5-44

101

-121

1

1

0=

-4

-3

2

m1 = -4

v(1) = v/m1

1.0

0.75

-0.5|v1 – v0|> teruskan

Samb. contohv = Bv(0) dgn v (0) = [0, 1, 0] dan = 0.001

Samb. contohk v(k) Av(k) mk+1

012345678910

0-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5

10.750.5830.5360.5170.5080.5040.5020.5010.50.5

01111111111

21.51.1661.0721.0341.0161.0081.0041.0021.000

-3-1.75-1.249-1.108-1.051-1.024-1.012-1.006-1.003-1.000

-4-3-2.332-2.144-2.068-2.032-2.016-2.008-2.004-2.000

|v7 – v6| < , maka * m10 = -2.00 dan v* v10 = (-0.5, 0.5, 1.0)

Maka nilai eigen terkecil 3 = *+1 = -2.0 + 3.0 = 1.0

-4-3-2.332-2.144-2.068-2.032-2.016-2.008-2.004-2.000

Samb. contoh

Oleh kerana matirks A bersaiz 3 x 3, maka 2 boleh ditentukan dari

rumus

n

i

n

i

iiia

1 1

1 + 2+ 3 = a11 + a22 + a33 = 1+0+5 = 6

2 = 6-1.0-3.0 = 2.0