51

BAB 5

UKURAN SERAKAN

OBJEKTIF BAB

Selepas mempelajari bab ini, anda seharusnya boleh: 1. Memahami konsep beberapa ukuran serakan. 2. Menjelaskan kegunaan ukuran serakan. 3. Menunjukkan kemahiran mengira setiap ukuran serakan. 4. Menerangkan keputusan pengiraan ukuran serakan. 5. Menerangkan bentuk taburan data berdasarkan nilai ukuran

serakan.

5.1 PENGENALAN Sebagaimana yang telah dibincangkan dalam bab ukuran kecenderungan memusat sebelum ini, kita boleh menjelaskan kepusatan markat dalam sesuatu taburan. Namun, ia tidak dapat memberi gambaran tentang perbezaan sesuatu markat dengan markat yang lain dalam taburan dan cara markat-markat tersebut terserak. Markat yang seragam mempunyai perbezaan yang kecil antara satu markat dengan markat yang lain dalam taburan. Dalam keadaan yang lain pula, kita mungkin menemui data yang mempunyai perbezaan yang besar. 5.2 UKURAN SERAKAN Untuk memulakan perbincangan ukuran serakan, kita teliti dahulu tiga kumpulan data dalam Jadual 5.1 yang mempunyai ukuran kecenderungan memusat yang sama, namun taburan tersebut mempunyai serakan dan keperbezaan markat yang berbeza-beza yang telah ditunjukkan oleh Kiess (1989). Markat nilai kerja murni Kumpulan A tidak berbeza antara pekerja. Ini bermakna markat mereka terkumpul pada satu titik. Dalam Kumpulan B pula, markat nilai kerja berada di sekitar ukuran kecenderungan memusat. Perbezaannya tidak begitu besar dan tidak ada markat yang mempunyai sisihan lebih daripada 3. Keadaan taburan markat Kumpulan C berbeza sekali jika dibandingkan dengan taburan markat Kumpulan A dan B kerana keadaan serakan datanya. Untuk memperihalkan keadaan perbezaan dan kepelbagaian markat serta serakan markat dalam sesuatu taburan, suatu ukuran yang dikenali sebagai ukuran serakan digunakan. Terdapat empat ukuran yang biasa digunakan dalam ukuran serakan ialah julat, min sisihan, varians dan sisihan piawai.

52

Jadual 5.1 Taburan Markat Nilai Kerja Murni Tiga

Kumpulan Pekerja yang Berbeza Serakan

Kumpulan Pekerja Kumpulan A Kumpulan B Kumpulan C

41 41 41 41 41 41 41 41 41

38 39 40 41 41 41 42 43 44

21 26 33 41 41 41 50 51 65

Jumlah 369 369 369 Min 41.0 41.0 41.0 Median 41.0 41.0 41.0 Mod 41.0 41.0 41.0

5.3 JULAT Julat ialah perbezaan antara markat maksimum dan minimum dalam sesuatu taburan. Secara formula julat dapat ditunjukkan seperti berikut: Julat = X maksimum - X minimum

Cuba perhatikan Taburan A dan B ini: Taburan A: 38 39 40 41 42 43 44 Taburan B: 21 26 33 41 50 51 65 Median kepada kedua-dua taburan A dan B sama iaitu 41. Namun demikian julat Taburan A ialah 44 – 38 = 6 manakala julat taburan B ialah 65–21 = 44. Oleh yang demikian, julat taburan B adalah lebih besar berbanding taburan A. Julat boleh dipengaruhi oleh saiz kes atau bilangan subjek. Oleh sebab itulah dalam penyelidikan, ukuran ini jarang digunakan sebagai petunjuk kepada perbezaan dan serakan markat dalam taburan. 5.4 MIN SISIHAN Kita telah diberikan ingatan bahawa min boleh dipengaruhi oleh markat yang ekstrem dalam sesuatu taburan. Oleh kerana itu, untuk mengenal pasti perbezaan markat dalam sesuatu taburan, markat sisihan min boleh digunakan. Kita juga telah mengetahui bahawa setiap markat dalam sesuatu taburan mempunyai sisihannya daripada min. Justeru itu, adalah wajar untuk mencari satu indeks yang dapat menggambarkan keseluruhan markat sisihan daripada min.

53

Secara logik indeks tersebut ialah min kepada markat sisihan. Malangnya, jumlah markat sisihan daripada min bersamaan dengan sifar. Oleh kerana itu, kita gunakan nilai mutlak markat sisihan daripada min. Min kepada nilai mutlak markat sisihan (MS) boleh dikira seperti berikut: MS = Σ│X - M│ N = Σ│x│ N Berdasarkan data dalam Jadual 5.2, min sisihan dikira seperti berikut:

Jadual 5.2 Nilai Sisihan daripada Min Kumpulan B

X X - M ׀X - M׀ 38 39 40 41 41 41 42 43 44

-3 -2 -1 0 0 0 1 2 3

3 2 1 0 0 0 1 2 3

Jumlah 369 0 12 Min 41 0 1.33

MS = 3 + 2 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 + 3 9 = 12_ 9 = 1.33 Min sisihan boleh digunakan untuk membandingkan serakan markat antara satu taburan dengan taburan yang lain. Semakin besar min sisihan, semakin tidak seragamlah markat dalam taburan itu. Untuk tujuan perbandingan, cuba teliti taburan markat Kumpulan C dalam Jadual 5.3. Min sisihannya lebih besar iaitu 9.56. Ini menunjukkan Kumpulan C mempunyai perbezaan markat yang lebih besar dan markatnya tidak seragam jika dibandingkan dengan Kumpulan B. Oleh kerana min sisihan menggunakan nilai mutlak, penggunaannya sebagai indeks ukuran serakan jarang digunakan. Lagipun, manipulasi algebranya terhad. Oleh kerana itu, indeks yang lebih baik sebagai petunjuk kepada ukuran serakan diperkenalkan, iaitu varians dan sisihan piawai.

54

Jadual 5.3 Nilai Sisihan daripada Min Data Kumpulan C

X X - M ׀X - M׀ 21 26 33 41 41 41 50 51 65

-20 -15 -8 0 0 0 9 10 24

20 15 8 0 0 0 9 10 24

Jumlah 369 0 86 Min 41 0 9.56

Cuba fikirkan julat PMK yang diperoleh oleh pelajar-pelajar kelas anda pada semester ini.

5.5 VARIANS Ketika kita membincangkan min, kita telah menyentuh konsep jumlah kuasa dua markat sisihan daripada min. Satu daripada sifat jumlah kuasa dua markat sisihan daripada min adalah paling minimum (least squares) berbanding dengan jumlah kuasa dua markat sisihan daripada sebarang markat dalam taburan. Varians, secara definisi, ialah min atau purata kepada jumlah kuasa dua markat sisihan daripada min. Jumlah kuasa dua diberi simbol JKD. Simbol SS yang bermakna sum of squares akan digunakan silih berganti dengan JKD. Formula untuk JKD ialah JKD = Σ(X – M)2

= Σ x2

Varians populasi diberikan simbol σ2, manakala varians sampel pula menggunakan simbol s². Varians populasi merupakan parameter, manakala varians sampel dipanggil sebagai statistik. Jika JKD dibahagi dengan jumlah kes N, min kepada JKD diperolehi. Nilai ini dipanggil sebagai varians. Formula varians populasi ialah σ2 = JKD/ N = Σ(X – µ)2/ N – 1 = Σ(x)2/ N iaitu µ = min kepada populasi N = jumlah kes dalam populasi

55

Dalam penyelidikan bidang sains sosial, sains tingkah laku dan pendidikan, simbol varians sampel yang digunakan ialah (s²). Ia dijadikan anggaran kepada varians populasi (σ2 ). Formula bagi varians sampel ialah S2 = JKD/ N-1 = Σ(X – Min)2/ N – 1 = Σ(x)2/ N - 1 Formula yang lebih praktikal dipanggil sebagai formula pengiraan. Formulanya ialah S2 = JKD/ N-1 = ΣX2 - (ΣX)2/ N – 1 Operasi pengiraan varians bagi markat Kumpulan B dan C ditunjukkan dalam Jadual 5.4 berikut:

Jadual 5.4 Kuasa Dua dan Jumlah Kuasa Dua Markat Kumpulan B dan C

Kumpulan B Kumpulan C

X X2 X X2 36 39 40 41 41 41 42 43 44

1444 1524 1600 1681 1681 1681 1764 1849 1936

21 26 33 41 41 41 50 51 65

441 676 1089 1681 1681 1681 2500 2601 4225

Jumlah 369 15157 369 16575 Varians Kumpulan B S2 = 15157 – (369)2/9 9-1 = 15157 – 15129 8 = 28/8 = 3.50 Varians Kumpulan C S2 = 16575 – (369)2/9 9-1 = 16575 – 15129 8 = 1446/8 = 180.75

56

Keputusan yang diperolehi menunjukkan Kumpulan C lebih tidak seragam kerana variansnya lebih besar iaitu 180.75 berbanding hanya 3.50 bagi kumpulan B. Markat kumpulan B lebih seragam.

SOALAN DALAM TEKS

1. Berdasarkan data motivasi berikut yang terdapat

dalam Bab 4 sebelum ini, anda diminta untuk menjawab soalan-soalan di bawah.

77 73 75 81 85 81 83 98 75 72 82 86 66 68 76 87 71 74 73 73 80 81 71 74 79 76 102 74 70 88 84 83 75 82 98 75 72 79 67 68 88 78 77 75 71 85 72 74

(a) Kira julat dan skor sisihan sampel yang

mempunyai skor 73, 83 dan 98. (b) Kira varians taburan data ini.

Semak jawapan anda di akhir bab ini.

5.6 SISIHAN PIAWAI Ukuran serakan ketiga dinamakan sebagai sisihan piawai. Simbol yang sering digunakan untuk sampel ialah S.P atau s. Sisihan piawai boleh dikira terus menggunakan nilai varians dengan melakukan punca kuasa dua kepada varians. S.P = √S2

Formula pengiraannya ialah S.P = √ ΣX2 – (ΣX)2/N N - 1 Sisihan piawai Kumpulan B

S.P = √[ ΣX2 – (ΣX)2/N] / N -1 = √[ 15157 - (369)2/9] / 9-1 = √[ 15157- 15129]/ 8 = √ 28 / 8 = 1.87

57

Sisihan piawai Kumpulan C hasil punca kuasa dua varians ialah

= √ 180.75 = 13.44

Sebagaimana yang dijelaskan sebelum ini markat Kumpulan C paling tidak seragam berbanding dengan Kumpulan B. Ini terbukti apabila sisihan piawai Kumpulan C paling besar iaitu 13.44 berbanding dengan Kumpulan B yang mempunyai S.P = 1.87.

Cuba fikirkan perbezaan utama antara varians dengan sisihan piawai.

5.7 NILAI SISIHAN PIAWAI APABILA ADA OUTLIERS Apa yang akan berlaku pada varians dan sisihan piawai apabila terdapatnya outliers dalam taburan. Cuba lihat Jadual 5.5. Julat taburan ini besar iaitu 44 – 3 = 41, sedangkan minnya hanya 34.50. Markat 3 dan 4 tidak terdapat dalam kelompok data yang lain yang berada pada sekitar 38 hingga 44. Variansnya juga akan menjadi besar. Oleh kerana itu, markat 3 dan 4 bolehlah dianggap sebagai outliers dalam taburan ini.

S2 = [ΣX2 – (ΣX)2/N] / N -1 = [16626 - (414)2/12] /12-1 = [16626- 14283]/11 = 2343.00 /11 = 213.00

Jadual 5.5 Taburan Data yang Mempunyai Outliers

X X2

3 4 38 38 39 40 41 41 41 42 43 44

9 16

1444 1444 1521 1600 1681 1681 1681 1764 1849 1936

Jumlah 414 16626 Min 34.5

58

5.8 POLA TABURAN Bersama-sama dengan min, sisihan piawai mampu menggambarkan pola sesuatu taburan. Katakanlah kita mempunyai dua taburan data yang mengandungi min dan sisihan piawai yang ditunjukkan dalam Jadual 5.6.

Jadual 5.6 Perbezaan Taburan Mengikut Situasi

Taburan A Taburan B

Situasi Min S.P Min S.P Pertama 38 4.0 44 4.0 Kedua 38 4.0 38 6.0 Ketiga 38 4.0 44 6.0

Pola atau keluk taburan A dan B bagi ketiga-tiga situasi di atas dapat digambarkan seperti dalam Rajah 5.1 berikut:

Rajah 5.1 Bentuk Taburan Berdasarkan Min dan Sisihan Piawai

Situasi 1 Minnya berbeza tetapi sisihan piawainya sama

Min

Situasi 2 Minnya sama dan sisihan paiwainya berbeza

59

Situasi 3 Min dan sisihan piawainya berbeza

5.9 KESIMPULAN Ukuran serakan yang terdiri daripada julat, min sisihan, varians dan sisihan piawai mampu menjelaskan sama ada data dalam satu-satu taburan itu seragam atau pun tidak. Di samping itu, ukuran ini dapat menerangkan bagaimana terseraknya di antara satu data dengan data yang lain. Nilai ukuran serakan yang kecil secara relatif menggambarkan taburan data lebih seragam berbanding dengan taburan yang mempunyai nilai ukuran serakan yang besar.

SOALAN DALAM TEKS

2. Berdasarkan data motivasi dalam Soalan 1 kira

sisihan piawai. 3. Berdasarkan min dan sisihan piawai, terangkan

dengan ringkas keadaan taburan. Pastikan sama ada taburan data tersebut berkemungkinan mengandungi outliers atau tidak.

Semak jawapan anda di akhir bab ini.

SOALAN PENILAIAN KENDIRI

1. Data berikut telah ditunjukkan dalam Soalan Penilain Kendiri Bab 3

berhubung dengan markat nilai kerja murni di kalangan pekerja. Berdasarkan data ini, anda diminta menjawab soalan-soalan yang dikemukakan di bawah.

60

74 76 102 82 98 75 72 74 79 67 68 88 78 77 87 71 77 70 88 84 83 75 79 81 73 75 81 82 86 66 68 76

71 85 81 75 71 85 72 74 83 98 75 72 74 73 73 80

(a) Kira julat (b) Kira varians taburan (c) Kira sisihan piawai taburan (d) Terangkan dengan ringkas bagaimana serakan data taburan

tersebut. Kenal pasti nilai yang disyaki sebagai outliers, jika ada.

ARAHAN: Data berikut digunakan untuk Soalan 2 hingga 3:

29 54 43 38 40 39 45 45 53 52 31 39 41 39

ΣX = 588 ΣX2 = 25,418

2. Julat bagi taburan data di atas ialah A. 25.0 B. 29.0 C. 31.5 D. 40.0

3. Kenyataan manakah yang betul bagi menerangkan sisihan piawai

dan varians taburan di atas.

I. Nilai sisihan piawai ialah 7.452 II. Nilai sisihan piawai ialah 55.54 III. Nilai varians ialah 55.54 IV. Nilai varians ialah 588

A. I dan III B. I dan IV C. II dan III D. II dan IV

Semak jawapan anda di akhir modul kursus ini.

JAWAPAN SOALAN DALAM TEKS 1. (a) − Julat taburan data motivasi ini ialah 102 – 66 = 36

− Skor sisihan sampel yang mempunyai skor 73, 83 dan 98 ialah

61

.Data Min Skor Sisihan ( X – M) 73 78.20 - 5.20 83 78.20 4.89 98 78.20 19.80

(b) Pengiraan varians taburan dengan formula berikut:

S2 = ΣX2 – (ΣX)2/N N-1 iaitu ΣX2 = 296540 dan ΣX2 = (3754)2

S2 = 296540– (3754)2/48 48-1 S2 = 2296540 – (293594.08) 47 S2 = 2945.92 47 = 62.679

2. Nilai sisihan piawai:

S.P = √ S2

S.P = √ 62.679 = 7.917

3. Keadaan taburan berdasarkan min dan sisihan piawai. Min yang

dikira sebelum ini ialah 78.20 dan sisihan piawainya lebih kecil iaitu 7.917. Bolehlah dikatakan bahawa data taburan ini agak seragam dan tidak ada outliers dalam taburan.