MTE 3114MTE 3114APLIKASI MATEMATIKAPLIKASI MATEMATIK

ARCHIMEDESARCHIMEDESDISEDIAKAN OLEH :

Nor Amalina bt Abd AzizSiti Anum bt Abd Ramal

Siti Sara bt Alizaman

Sejarah ArchimedesSejarah Archimedes Archimedes merupakan salah seorang daripada ahli

matematik bangsa Yunani. Beliau telah dilahirkan di Syracuse (kini Sisilia) di Itali pada

tahun 287 B.C. Anak Pheidias, ahli Astronomi, dan saudara kepada Raja

Hiero II, Raja Syracuse yang sedang memerintah di Sisilia pada waktu itu.

Archimedes juga mahir dalam semua bidang sains, astronomi, geometri, mekanik, hidrostatik, optik dan beliau banyak menghasilkan rekaan mesin-mesin peperangan.

Telah dibunuh pada tahun 212 B.C. iaitu sebelum Masihi oleh Askar Marcellus.

Batu nisan Archimedes diukir dengan sebuah sfera yang terterap dengan silinder yang membatasinya.

Sumbangan ArchimedesSumbangan ArchimedesMencipta pelontar batu, tali, takal dan cangkuk untuk

mengangkat dan menghempas kapal-kapal Rom, kaca bakar (Burning glasses) untuk membakar kapal-kapal musuh.

Mengutarakan teori prinsip hidrostatik dan peralatan ciptaannya yang boleh digunakan untuk menaikkan air.

Sumbangan terhebat yang telah beliau lakukan dalam bidang Matematik ialah idea beliau dalam penemuan pi.

Apa itu Apa itu pi (pi (∏)?∏)?Pi adalah konstan di mana nilainya

ditakrifkan sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameternya. Simbol ∏ merupakan huruf Yunani yang disebut dengan nama pi.

Simbol ∏ telah diperkenalkan oleh William Jones seorang ahli matematik Welsh pada tahun 1707 akan tetapi tidak mendapat sambutan.

Pada 1737, Leonhard Euler (ahli matematik dan fizik Swiss) secara rasminya mempopular simbol ∏ untuk mewakili nilai pi dan digunakan sehingga hari ini. Nilai pi telah wujud beribu-ribu tahun dahulu. Tetapi tiada siapa yang mengetahui orang pertama yang menjumpai nilai pi.

Kira-kira 200 SM, Archimedes telah muncul sebagai orang pertama yang mendapatkan anggaran nilai pi secara teori pengiraan.

Simbol ∏ yang disebut pi ini adalah satu pemalar matematik. Nilai ∏(pi) ≈ 3.14159 merupakan satu nisbah ukur lilit sebuah bulatan kepada diameternya dalam ruang Euclid dan sering digunakan dalam matematik, fizik, serta kejuruteraan.

Pi juga lebih dikenali sebagai pemalar Archimedes dan nombor Ludolph.

Archimedes tidaklah mengemukakan nilai pi yang sebenar sebaliknya memberikan nilai pi yang lebih hampir dan anggaran ini lebih baik daripada orang Mesir dan Babylonia.

Perjuangan Archimedes tidak terhenti setakat ini kerana terdapat ramai lagi ahli-ahli matematik yang lain yang berusaha mendapatkan anggaran nilai pi yang lebih baik. Contohnya seperti berikut:

Ahli Matematik Kurun Anggaran nilai

Ptolemy 150 3.1416

Zu Chongzhi 430 - 501

Al-Khawarizmi 800 3.1416

Al-Kashi 1430 14 titik perpuluhan

Viete 1540 - 1603 9 titik perpuluhan

Roomen 1561 - 1615 17 titik perpuluhan

Van Ceulen 1600 35 titik perpuluhan

PROSES IDEA PI PROSES IDEA PI DITERBITKANDITERBITKAN

Strategi bermula apabila beliau menggunakan penisbahan poligon sama sisi yang dilukis di dalam lilitan bulatan (inscribed) dan di luar lilitan bulatan (circumscribed).

Beliau telah menyamai luas kawasan satu bulatan menggunakan Theorem Pythagoras untuk mencari luas kawasan bagi 2 poligon sekata. Beliau telah membuat pengnisbahan seperti berikut:

BulatanDi dalam / Inscribed

Di luar / Circumscribed

Archimedes menyatakan bahawa kawasan bulatan adalah lebih besar daripada kawasan poligon sekata yang dilakarkan di dalamnya dan lebih kecil daripada luas poligon sekata yang dilakarkan di luar bulatan.

Archimedes memulakan eksperimen beliau mengenai nilai Pi dengan menggunakan 2 poligon sekata yang mempunyai 6 sisi atau lebih dikenali sebagai Heksagon.

Archimedes membuat penganggaran nilai pi dengan menggunakan heksagon yang dilukis di dalam dan di luar sebuah bulatan seperti Rajah 1.

Rajah 1

Archimedes membuat pernyataan dengan menyatakan bahawa kawasan bulatan adalah lebih besar daripada kawasan poligon yang dilukis di dalamnya.

Rajah 2 menunjukkan heksagon sekata yang dilukis di dalam satu bulatan.

Rajah 2

Bentuk heksagon sekata tersebut terdiri daripada enam buah segi tiga sama sisi. Langkah seterusnya ialah mencari luas heksagon berkenaan. Luas heksagon boleh dicari dengan menggunakan rumus luas bagi enam buah segi tiga (Rajah 3)

Rajah 3

Tinggi =

=

1

Luas heksagon = 6 x luas segi tiga Luas segi tiga = ½ x tapak x tinggi = ½ x 1 x = Jadi, luas bagi heksagon di dalam

bulatan adalah;

= 6 x

=

= 2.598076

Seterusnya, Archimedes melukis heksagon di luar bulatan yang sama. Bulatan tersebut dilukis menyentuh lilitan bulatan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4. Kemudian, beliau membuat pengiraan bagi mencari luas heksagon di luar bulatan berkenaan.

Rajah 4

1

Tan =

Tapak =

=

Luas heksagon = 6 x luas segi tigaLuas segi tiga = ½ x tapak x tinggi =

=

Jadi, luas bagi heksagon di luar bulatan adalah ;

= 6 x

= 3.464102

Oleh yang demikian, Archimedes telah membuat satu andaian bahawa nilai pi terletak di antara julat bagi luas heksagon di dalam dengan luas heksagon di luar bulatan.

Bagi mendapatkan nilai yang lebih tepat, Archimedes telah mengulangi kajian seumpama itu dengan menggunakan bentuk dodekagon, iaitu poligon yang bersisi 12 seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 5.

luas heksagon dalam < ∏ < luas heksagon luar 2.598076 < < 3.464102

Rajah 5

Dapatan :

luas dodekagon dalam bulatan < ∏ < luas dodekagon luar bulatan

3.000000 < ∏ < 3.142715

Seterusnya, Archimedes meneruskan kajian tersebut sehingga poligon yang bersisi 96. Beliau mendapati bahawa nilai yang terhampir bagi pi, ∏ adalah di antara ;

Rajah 6 menunjukkan dapatan kajian Archimedes terhadap poligon-poligon yang digunakan. Beliau hanya membuat kajian sehingga poligon yang bersisi 96 sahaja. Dapatan yang seterusnya adalah kajian pengkaji yang seterusnya.

3.139350 < ∏ < 3.142715

Rajah 6

Bilangan

sisi

Luas poligon dalam

(inscribed)

Luas poligon luar

(circumscribed)

6 2.588076 3.464102

12 3.000000 3.215390

24 3.105829 3.159660

48 3.132629 3.146086

96 3.139350 3.142715

180 3.140955 3.141912

360 3.141433 3.141672

720 3.141553 3.141613

1440 3.141583 3.141598

2880 3.141590 3.141594

5760 3.141592 3.141593

APLIKASI PI DALAM APLIKASI PI DALAM RUMUSRUMUS

Lilitan bulatan berjejari =2πr

Luas bulatan berjejari= πr²

Luas permukaan sfera berjejari =4πr²

Isipadu sfera berjejari =πr³

Lilitan suatu bulatan Lilitan suatu bulatan berjejariberjejari

Lilitan suatu bulatan berjejari r boleh ditentukan dengan menggunakan cara matematik ataupun manual. Dalam kehidupan seharian, ukur lilit bagi tin susu boleh ditentukan seperti dalam rajah 2.

RAJAH 2 Pengiraan Ukur Lilit Secara Manual Tanpa Menggunakan Formula

Formula ini boleh diaplikasikan dalam pengiraan ukur lilit bagi batang paip untuk mengalirkan air. Jurutera menggunakan formula ini bagi menentukan kesesuaian ukuran bagi sebuah batang paip.

Pendapat ini disokong oleh Merle et.al. (2002) dalam kajiannnya menyatakan, in the selection of the perimeters that affect the pressure drops across the silver valve. (hlmn. 240).

RAJAH 3 Aplikasi Ukur Lilitan Bulatan Berjejari Kepada Paip

Menentukan Luas Suatu Menentukan Luas Suatu Bulatan Berjejari Bulatan Berjejari Luas suatu bulatan berjejari boleh

ditentukan dengan menggunakan formula berkaitan. Arcimedes membuat penisbahan dengan menggunakan poligon yang dilukis di dalam dan diluar bulatan menggunakan kaedah “squaring the circle”- iaitu kaedah mengenalpasti poligon yang menyamai luas bulatan dengan jejari (r) tertentu.

RAJAH 1 Ukuran Luas Bulatan Daripada Polygon Bersisi n

Maka, luas bagi poligon sisi n adalah n kali luas satu segitiga seperti mana di bawah:

Apabila bilangan n-sisi bertambah, adalah perimeter poligon, di mana apabila semakin meningkat, ia menghampiri lilitan bulatan (circumference of the circle).

Selain itu, tinggi segi tiga, h, juga menghampiri jejari bulatan, r. Semakin bertambah bilangan segitiga, luas poligon akan menghampiri dan memenuhi luas bulatan.

Sehubungan dengan itu, Archimedes telah dapat menentukan luas bulatan seperti berikut:

Luas bulatan boleh ditentukan secara manual menggunakan keratin segitiga yang dihasilkan seperti dalam rajah 2. Namun, dengan menggunakan pengiraan melibatkan , proses pengiraan akan menjadi lebih mudah.

Aplikasi pengiraan luas bulatan ini sebenarnya banyak berlaku dalam kehidupan seharian kita. Antaranya ialah pengiraan luas kolam renang seperti dibawah untuk membantu jurutera arkitek menganggar luas kawasan yang diperlukan untuk membina kolam tersebut.

RAJAH 3 Kolam Renang Untuk Kegunaan Awam Berbentuk Bulatan

Selain itu, kiraan luas kolam sememangnya menjadi faktor penting bagi menjamin produktivii ternakan ikan seperti dalam gambar dibawah:

Luas bulatan permukaan kolam juga penting bagi memastikan kawasan yang diperuntukkan untuk ternakan mencukupi. Kiraan luas permukaan juga menentukan cahaya matahari yang masuk bagi memastikan suhu hidupan terkawal. Aktiviti pembenihan ikan memerlukan pencahayaan dan suhu yang terkawal seperti kenyaataan yang dipetik ‘Ukuran kolam koi yang dianjurkan minimal memiliki luas 1,5x2m dengan kedalaman 80 sampai 150cm. Jika kolam telalu dangkal, tubuh koi akan terus-menerus terkena sinar ultraviolet yang dihasilkan oleh sinar matahari. Sinar ini dapat warna tubuhnya menjadi pucat, dan pertumbuhannya pun bisa terhambat.’.

Menentukan Luas Menentukan Luas Permukaan Satu Sfera Permukaan Satu Sfera BerjejariBerjejariArchimedes Pi juga mampu

menentukan luas permukaan satu sfera berjejari dengan menggunakan formula .

Pada masa kini, penentuan luas permukaan sfera berjejari diaplikasikan kepada penentuan luas muka bumi. Menurut Wikepedia, Bumi mempunyai garis pusat sepanjang 12,756 kilometer. Bumi mempunyai Min jejari 6,372.797 km dan Jejari khatulistiwa 6,378.137 km. Setelah dikira, permukaan bumi mempunyai luas sebanyak Luas permukaan 510,065,600 km².

Penentuan luas permukaan bumi mempunyai masalah tersendiri apabila kawasan bumi tidak mempunyai bentuk yang sekata dari sudut pandang dari bumi. Gunung yang tinggi mungkin mempunyai luas yang berbeza. Namun, menurut Alan (1996), but if you look at Earth from space, you will see that it is quite smooth, so you can compute its surface area with A = 4 * Pi * R^2 and forget about the extra area given by mountains, hills and humps.

Penentuan luas bumi ini boleh dikira dengan menggunakan rumus yang diberikan. Akhirnya, setelah menentukan luas bumi, luas lautan dan daratan boleh dikenalpasti menggunakan kaedah kalkulus yang lain. Maka, luas daratan adalah sebanyak 48.94 juta km2 (29.2%) dan luas lautan adalah sebanyak 361.132 juta km2 (70.8%).

Menentukan Isi Padu Menentukan Isi Padu Sfera Berjejari Sfera Berjejari Bagi menentukan isi padu sfera

berjejari, pi boleh diaplikasikan dalam rumus.

RAJAH 1: Gambaran Sfera Berjejari

RAJAH 2: Sfrea

Sebagai contoh, diameter bagi sfera ini adalah 11.9 cm, jadi, radius untuk sfera ini adalah separuh daropadanya iaitu sebanyak 5.95 cm. Jadi, cara penyelesaiannya ialah:

Pengiraan isi padu sfera berjejari ini daplikasikan untuk menentukan isipadu bola sepak, dan juga isi padu bumi. Contohnya, pengiraan isi padu bumi sendiri. Menurut Tom, (2013), the earth is approximately a sphere (actually it is sphere slightly flattened at the poles). Its volume can be calculated if you know its radius. Use the equation for the volume of a sphere which is V = 4/3 x Radius3 .

Pendapat ini menegaskan bahawa bumi adalah menghampiri sfera. Maka, rumus yang dibincangkan boleh digunakan untuk mengira isi padunya.

Dalam kajiannya, Tom (2013) menyatakan, The mean radius of the earth is approximately 6.4 million meters (exact = 6.37 x 106 m). Its volume is then: (4/3) x 3.14 x 64000003 m3. This comes to 1,097,509,500,000,000,000,000 cubic meters.

Jadi, ukuran isi padu bumi adalah 1,097,509,500,000,000,000,000. Justeru, pi sangat membantu memudahkan manusia untuk mendapatkan maklumat yang dikehendaki disekitar mereka.

CONTOH TAMBAHANCONTOH TAMBAHANJALAN RAYA / KENDERAAN / TEKNOLOGI- Terowong / tunnel

Projek Pembinaan Terowong Kereta Api

Berkembar sepanjang 2 km

melintasi Ipoh dan Padang. Besar

r

Terowong Dasar Gotthard kereta api berkelajuan tinggi di Switzerland mulai

beroperasi 2017.

Pembentung airPembentung air Aliran air akan menjadi deras dan mengalir dengan baik dalam keadaan yang

bulat dan padu.

Sport-rim pada tayar kenderaan

Dengan ketepatan diameter dan ukur keliling tayar, aksesori yang hendak diletakkan seharusnya lebih kecil daripada saiz tayar.

ALAM SEMULAJADI- Tumbuhan (Teratai Gergasi)- "Victoria Amazonica" atau dikenali juga sebagai "Victoria Regia“- Ditemui di perairan cetek Sungai Amazon di Brazil. - Diameter daunnya boleh mencapai lebih 3 meter dan beratnya

pula boleh mencecah 31 kg.

Archimedes menyatakan penemuan pada nilai phi,∏ iaitu 3.139350 < Phi < 3.142715 adalah berdasarkan penglibatan poligon yang bersisi 96.

3.139350 merupakan bacaan phi bagi luas poligon dalaman bagi poligon 96 sisi.

Manakala bacaan 3.142715 menunjukkan nilai phi bagi luas luaran poligon 96 sisi.

Lebih banyak bilangan sisi poligon, akan memberi kepada nilai luas yang begitu hampir kepada luas bulatan sebenar.

Berhenti pada poligon bersisi 96 kerana apabila sisi poligon bertambah lebih daripada 96 akan menunjukkan sisihan piawai yang semakin hampir yang mana perbezaan nilai yang ditunjukkan adalah sangat kecil.

Apabila dibundarkan kepada 3 tempat perpuluhan jawapan kesemua pengiraan adalah sama iaitu 3.142.

Turut dibuktikan dengan penemuan oleh tokoh-tokoh yng lain seperti Al-Khawarizmi, Zu Chongzhi dan Ptolemy, bacaan ∏ ≈ 3.142, 22/7.

Tidak boleh disamakan ∏ = 3.142, kerana simbol (=) menunjukkan kiraan yang tepat.

Perlu menggunakan simbol (≈), approximately (anggaran yang hampir)

William L. Schaaf dalam Nature and History of Pi menyatakan, “Probably no symbol in Mathematics has

evoked as much mystery, romanticism, misconception and human interest as the

number pi, ∏.” Walaupun telah dikaji terlalu lama, nilai

masih tidak dapat menemui kepada nilai sebenarnya.

Dengan bantuan ilmu yang Allah berikan ini mampu membantu manusia membina binaan-binaan indah lagi kukuh.

Perlu kita ingat, ilmu Allah S.W.T Maha Luas, tiada batasan, tidak terjangkau dan tidak terbayang dek akal fikiran manusia kerana Dia sahajalah yang mengetahui apa yang diaturNya. Dalam firman Allah yang bermaksud:

“Dan kamu tidak diberikan ilmu pengetahuan, melainkan sedikit

sahaja.”(Surah al-Isra’ 17:85)