arbitrary speed curve

7/23/2019 Arbitrary Speed Curve

http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 1/47

Arbitrary-Speed

Curve

Anggota kelompok 3:

Agustina Rahmawati 14079

Demitria Dini Ariyani 14092

Ayu Sekar Jati 12858Naraini Nur Kimasitha12522

Wuri rihar!ini 12"95

Khaira #$$y 1""29

Kinanthi Ame$ina

%anu& Nur'ha$ik



en(ahu$uan



en(ahu$uan

Jika adalah fungsi panjang busur untuk seperti

pada Theorema 2.1, kemudian :

untuk semua

Atau di dalam notasi fungsi, sebagaimanaditunjukkan oleh gambar 2.14.

•



en(ahu$uan

Sekarang, jika dan didefinisikan untuk

sebagaimana dalam Section 3.

efinisikan untuk )

!ungsi kur"atur :

!ungsi torsi :

Unit tangent "ektor field :

Principal normal "e#tor field :Binormal "e#tor field :

•



Se#ara umum dan adalah fungsi $ang

berbeda, didefinisikan pada inter"al $ang berbeda.

Tetapi mereka memberikan gambaran $ang sama

dari perubahan rute oleh dan .%ada setiap titik

&ilai dan memiliki definisi $ang sama.Sama dengan anggota pada !renet, $ang han$a

merubah parametern$a, sama dengan geometrik

fundamental pada penjelasan sebelumn$a.

•

en(ahu$uan



• merupakan frame field pada $ang membentuk .

'telah didiskusikan pada !renet appro(imations)

• %ada ken$ataann$a, perubahan $ang sederhana

tersebut sering dibutuhkan.imana, datatentang diubah menjadi unit speed

reparametri*ation .

• Sebagai #ontoh : +jika adalah kur"a reguler

dengan , kemudian didefinisikan dengan ,

dengan menggunakan .- diperoleh kur"a

bidang begitu juga dengan

•

en(ahu$uan



/agaimana untuk suatu komputasi numerik $ang

eksplisit dan bersifat occasional 0

+transformasi tidak dapat digunakan karena jarang

ditemukan formula eksplisit dari ontohn$a :

Tentukan unit speed parametri*ation untuk kur"a

N*te ) +Frenet formula hanya benar untuk unit

speed curve yang menunjukkan perubahan dari

frame filed yang dipengaruhi oleh panjang kurva.

•

en(ahu$uan



Soal4.6 Theorema4.5 Definisi4.4 Contoh4.3 Theorema4.2 emma4.! emma



4+1 ,emma



4+1 ,emma)

Jika α adalah sebuah kurva biasa di R3 dengank>0, maka

T’ = kvN

N’ = -kvT + τvBB’ = -τvN



-ukti)

isalkan merupakan ke#epatan unit dari 3. /erdasakanᾱ

definisi, T 's), dimana s merupakan fungsi panjang Ṯ

busur terhadap 3. Aturan rantai $ang diterapkan pada

diferensiasi bidang "ektor, memberikan:

T5 5's) Ṯ ds

dt

ari persamaan !renet biasa, 5 . 6emudian Ṯ ḵṈ

substitusi fungsi s, menjadi:

5's) 's) 's) k& Ṯ ḵ Ṉ

6arena ds7dt adalah fungsi ke#epatan " oleh 3, maka jika

kedua persamaan diatas digabungkan menjadi T5 k"&.



4+2 ,emma



4+2 ,emma

Jika 3adalah kur"a biasa dengan fungsi kelajuan

v , maka ke#epatan dan per#epatan 3 diberikan

oleh '8br. 2.1-.)

•



-ukti)

6arena, di manasadalahfungsipanjangbusurdari3,

menggunakan,emma 4+5 (ari-a. 1 yaitu)

/Jikaβadalahreparameterisasidariαolehh maka

sehingga

•



-ukti ) ,an!utan

Turunan keduamenghasilkan:

di manamenggunakan9emma 4.1

•



-ukti ) ,an!utan

• danT masingmasingbersinggungandengankur"a

• adalahlajuperubahanke#epatan,

danse#araumumbaikpanjangdan arah berubah.

•



-ukti ) ,an!utan

• 6omponen tangensial

mengukurlajuperubahanpanjang ';aitu,

kelajuan).• 6omponen normal

mengukurlajuperubahandariarah.

•



3*nt*h )

• 6etika berada di dalammobil $ang

ke#epatann$adiper#epatataudiperlambat di jalan

$ang lurus, satusatun$aga$a $ang terasaadalah.

• Jikaseseorangmengambilkur"amendatardengankela juanv , ga$asamping $ang terasaadalah.

• mengukurseberapatajamjalanberubah<

pengaruhkelajuandiberikanoleh, jadi => mil per jam

empat kali lebihmenggon#angdaripada > mil per jam.

•



4+" he*rema



4.3 Theorema

iberikan3kur"aregulerdi ? , maka

,

.

•



-#K

• Akan dibuktikan.

• /erdasarkan 9emma 4.1 diperoleh.

@lehkarenamaka

• engankata lain diperoleh

•



-ukti ) ,an!utan

• Akandibuktikanuntukkur"a regular 3di

?,danmaka

• /erdasarkan 9emma 4.1 diperoleh:

• 6arena T ( T > diperoleh :

•



-ukti ) ,an!utan

6arena, dan, jikadiambil

normadarikeduaruasdiperoleh

engankata lain diperoleh

•



Akandibuktikanuntukkur"a regular 3di ?,danmaka

6arena

makadiperoleh

ntukmen#ariB55 diperlukan3 B55 sebagaiberikut,

•



• /erdasarkan 9emma 4.1 diperoleh

dan

Sehingga

•



TelahdiketahuibahCaolehkarenaitu ,

6arenamaka

engankata lain

•



4+4 3*nt*h



3*nt*h )

• De#ompute the !renet apparatus of the #ur"e

• eri"ati"n$a

•



3*nt*h ) ,an!utan

Jadi,

•



3*nt*h ) ,an!utan

enganmenerapkandefinisidari #ross

produ#t,maka:

Selanjutn$a, denganmengalikandirin$asendiri,

makadiperoleh :

•



3*nt*h ) ,an!utan

6emudian,

)

Sehingga

•



3*nt*h ) ,an!utan

Sehingga denganteorema 4. diperoleh :•



Atau bisamenggunakanidentitaspada 9emma 1.E

untukmenghitungdanmengekspresikan :

Sebagaia#uanterdapatpada e(er#ise 4 bagian 1

6ita sekarang memiliki aparat !renet untuk seCenang

Cenang biasa kur"a3, $aitu, kelengkungan, torsi, dan

lapangan bingkai !renet.Alat ini memenuhi rumus !renet

diperpanjang dengan faktor ke#epatan " dan dapat

dihitung dengan Teorema 4.. Jika $aitu, jika kur"a

satuan ke#epatan, hasil /agian dipulihkan.

ari kita perhatikan beberapa aplikasi dari rumus !renet. Ada beberapa #ara alami,diberikankur"amenimbulkan

kur"a baru $ang sifat geometris menerangi beberapa

aspek perilaku pada.

•



ntuk #ontoh :

8ambarsphri#alkur"a satuan ke#epatan adalah kur"a

dengan Fu#lidean $ang sama koordinat

Se#arageometris,didapat dengan memindahkan

masingmasing dibidang, seperti $ang pada gambar 2.1=.

Jadi terletak pada unit lingkup , dan gerakan merupakan

balik dari.

•



isaln$a, jika adalah heli( pada ontoh ., rumus

untuk T menunjukkan bahCa

Jadi gambar heliks terletak pada lingkaran $ang

dipotong

eskipun kur"a memiliki satuan ke#epatan, kita tidak

bisa mengaggapbahCa jugamemilikisatuanke#epatan.

/ahkan, men$iratkan, sehingga ke#epatan sama dengan

kelengkungan di. Jadi untuk menghitung kelengkungan,

kita harus menggunakan rumus !renet di Teorema 4..

dari :

•



idapat :

/erdasarkan Teorema 4. lengkungan

kur"adarigambar$aitu :

engan demikian, han$a bergantung pada rasio

torsi untuk kelengkungan kur"a pada.

/erikut ini adalah aplikasi $ang berhubungan

eratuntukmenentukan rasio .

•



4+5 De6inisi



De6inisi

• ur"a reguler di disebut #$lindri#al heli(

apabila unit

garissinggungdarimempun$aisudutkonsta

ndenganbeberapa"ektorsatuan.

• olehkarenaitu, untuksetiap

•



• 6ondisi initidakdapatdiubahdenganmengubah

parameter. Sehinggauntuktujuanteoritis,

kitahan$amembutuhkansesuatu $ang

berhubungandengan #$lindri#al heli( $ang

memilikike#epatansatuan.

• Andaikanadalahke#epatansatuandengan

Jikakitamengambiltitika#uandi ,

makafungsin$aadalah

•



• 6atakan sepanjangmempun$aikenaikanpadaarah u

ketikameninggalkan

• '!ig. 2.1G) tapi:

• Sehingga H meningkatpadatingkat $angrelatifkonstankepanjangbusur , dan

• IJikakitaselidikikearbitar$ parameteri*ation, formulan$amenjadi:

dimanas fungsipanjanglengkungan.

• enganmenggambargarismeleCatisetiaptitik di H di arah u,

kitamembentuk #$linder di mana H

bergeraksedemikianrupauntukmemotongsetiapbarisdengansudutko

nstan '!ig. 2.1E).ϑ

•

FIG. 2.17 FIG. 2.18

dh

dsT = 7 = =b J8 8 cosu u ,



4+ e*rema



Theorema 4.6 "

urva regular αdenganmeru!akan"#lindri"alheli$ %ikadanhan#a%ikanilaik&ns'an

•



-ukti

• ipandangα mempun$aiunit speed

Jikamerupakancylindrical heli! denganmaka

• 6arenamaka

• 6emudian, untuksetiapberadapadabidang $ang

ditentukanolehdanenganekspansi orthonormal,

diperoleh

•



-ukti ) ,an!utan

• /erarti

• 6arena" # $ makaharuslah

• Jadikonstan.

•



-ukti ) ,an!utan

K• iketahui%&' konstan. ipilihsudut( sedemikiansehingga

• ibentukvector field U sehingga

• iperoleh

• Akibatn$amerupakan parallel vector field

untuksetiapnilai, maka

• Jadimerupakancylindrical heli!

•



erima Kasih

arbitrary speed curve

Documents