Download - Arbitrary Speed Curve
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 1/47
Arbitrary-Speed
Curve
Anggota kelompok 3:
Agustina Rahmawati 14079
Demitria Dini Ariyani 14092
Ayu Sekar Jati 12858Naraini Nur Kimasitha12522
Wuri rihar!ini 12"95
Khaira #$$y 1""29
Kinanthi Ame$ina
%anu& Nur'ha$ik
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 2/47
en(ahu$uan
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 3/47
en(ahu$uan
Jika adalah fungsi panjang busur untuk seperti
pada Theorema 2.1, kemudian :
untuk semua
Atau di dalam notasi fungsi, sebagaimanaditunjukkan oleh gambar 2.14.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 4/47
en(ahu$uan
Sekarang, jika dan didefinisikan untuk
sebagaimana dalam Section 3.
efinisikan untuk )
!ungsi kur"atur :
!ungsi torsi :
Unit tangent "ektor field :
Principal normal "e#tor field :Binormal "e#tor field :
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 5/47
Se#ara umum dan adalah fungsi $ang
berbeda, didefinisikan pada inter"al $ang berbeda.
Tetapi mereka memberikan gambaran $ang sama
dari perubahan rute oleh dan .%ada setiap titik
&ilai dan memiliki definisi $ang sama.Sama dengan anggota pada !renet, $ang han$a
merubah parametern$a, sama dengan geometrik
fundamental pada penjelasan sebelumn$a.
•
en(ahu$uan
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 6/47
• merupakan frame field pada $ang membentuk .
'telah didiskusikan pada !renet appro(imations)
• %ada ken$ataann$a, perubahan $ang sederhana
tersebut sering dibutuhkan.imana, datatentang diubah menjadi unit speed
reparametri*ation .
• Sebagai #ontoh : +jika adalah kur"a reguler
dengan , kemudian didefinisikan dengan ,
dengan menggunakan .- diperoleh kur"a
bidang begitu juga dengan
•
en(ahu$uan
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 7/47
/agaimana untuk suatu komputasi numerik $ang
eksplisit dan bersifat occasional 0
+transformasi tidak dapat digunakan karena jarang
ditemukan formula eksplisit dari ontohn$a :
Tentukan unit speed parametri*ation untuk kur"a
N*te ) +Frenet formula hanya benar untuk unit
speed curve yang menunjukkan perubahan dari
frame filed yang dipengaruhi oleh panjang kurva.
•
en(ahu$uan
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 8/47
Soal4.6 Theorema4.5 Definisi4.4 Contoh4.3 Theorema4.2 emma4.! emma
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 9/47
4+1 ,emma
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 10/47
4+1 ,emma)
Jika α adalah sebuah kurva biasa di R3 dengank>0, maka
T’ = kvN
N’ = -kvT + τvBB’ = -τvN
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 11/47
-ukti)
isalkan merupakan ke#epatan unit dari 3. /erdasakanᾱ
definisi, T 's), dimana s merupakan fungsi panjang Ṯ
busur terhadap 3. Aturan rantai $ang diterapkan pada
diferensiasi bidang "ektor, memberikan:
T5 5's) Ṯ ds
dt
ari persamaan !renet biasa, 5 . 6emudian Ṯ ḵṈ
substitusi fungsi s, menjadi:
5's) 's) 's) k& Ṯ ḵ Ṉ
6arena ds7dt adalah fungsi ke#epatan " oleh 3, maka jika
kedua persamaan diatas digabungkan menjadi T5 k"&.
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 12/47
4+2 ,emma
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 13/47
4+2 ,emma
Jika 3adalah kur"a biasa dengan fungsi kelajuan
v , maka ke#epatan dan per#epatan 3 diberikan
oleh '8br. 2.1-.)
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 14/47
-ukti)
6arena, di manasadalahfungsipanjangbusurdari3,
menggunakan,emma 4+5 (ari-a. 1 yaitu)
/Jikaβadalahreparameterisasidariαolehh maka
sehingga
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 15/47
-ukti ) ,an!utan
Turunan keduamenghasilkan:
di manamenggunakan9emma 4.1
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 16/47
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 17/47
-ukti ) ,an!utan
• danT masingmasingbersinggungandengankur"a
• adalahlajuperubahanke#epatan,
danse#araumumbaikpanjangdan arah berubah.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 18/47
-ukti ) ,an!utan
• 6omponen tangensial
mengukurlajuperubahanpanjang ';aitu,
kelajuan).• 6omponen normal
mengukurlajuperubahandariarah.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 19/47
3*nt*h )
• 6etika berada di dalammobil $ang
ke#epatann$adiper#epatataudiperlambat di jalan
$ang lurus, satusatun$aga$a $ang terasaadalah.
• Jikaseseorangmengambilkur"amendatardengankela juanv , ga$asamping $ang terasaadalah.
• mengukurseberapatajamjalanberubah<
pengaruhkelajuandiberikanoleh, jadi => mil per jam
empat kali lebihmenggon#angdaripada > mil per jam.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 20/47
4+" he*rema
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 21/47
4.3 Theorema
iberikan3kur"aregulerdi ? , maka
,
.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 22/47
-#K
• Akan dibuktikan.
• /erdasarkan 9emma 4.1 diperoleh.
@lehkarenamaka
• engankata lain diperoleh
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 23/47
-ukti ) ,an!utan
• Akandibuktikanuntukkur"a regular 3di
?,danmaka
• /erdasarkan 9emma 4.1 diperoleh:
• 6arena T ( T > diperoleh :
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 24/47
-ukti ) ,an!utan
6arena, dan, jikadiambil
normadarikeduaruasdiperoleh
engankata lain diperoleh
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 25/47
Akandibuktikanuntukkur"a regular 3di ?,danmaka
6arena
makadiperoleh
ntukmen#ariB55 diperlukan3 B55 sebagaiberikut,
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 26/47
• /erdasarkan 9emma 4.1 diperoleh
dan
Sehingga
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 27/47
TelahdiketahuibahCaolehkarenaitu ,
6arenamaka
engankata lain
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 28/47
4+4 3*nt*h
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 29/47
3*nt*h )
• De#ompute the !renet apparatus of the #ur"e
• eri"ati"n$a
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 30/47
3*nt*h ) ,an!utan
Jadi,
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 31/47
3*nt*h ) ,an!utan
enganmenerapkandefinisidari #ross
produ#t,maka:
Selanjutn$a, denganmengalikandirin$asendiri,
makadiperoleh :
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 32/47
3*nt*h ) ,an!utan
6emudian,
)
Sehingga
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 33/47
3*nt*h ) ,an!utan
Sehingga denganteorema 4. diperoleh :•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 34/47
Atau bisamenggunakanidentitaspada 9emma 1.E
untukmenghitungdanmengekspresikan :
Sebagaia#uanterdapatpada e(er#ise 4 bagian 1
6ita sekarang memiliki aparat !renet untuk seCenang
Cenang biasa kur"a3, $aitu, kelengkungan, torsi, dan
lapangan bingkai !renet.Alat ini memenuhi rumus !renet
diperpanjang dengan faktor ke#epatan " dan dapat
dihitung dengan Teorema 4.. Jika $aitu, jika kur"a
satuan ke#epatan, hasil /agian dipulihkan.
ari kita perhatikan beberapa aplikasi dari rumus !renet. Ada beberapa #ara alami,diberikankur"amenimbulkan
kur"a baru $ang sifat geometris menerangi beberapa
aspek perilaku pada.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 35/47
ntuk #ontoh :
8ambarsphri#alkur"a satuan ke#epatan adalah kur"a
dengan Fu#lidean $ang sama koordinat
Se#arageometris,didapat dengan memindahkan
masingmasing dibidang, seperti $ang pada gambar 2.1=.
Jadi terletak pada unit lingkup , dan gerakan merupakan
balik dari.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 36/47
isaln$a, jika adalah heli( pada ontoh ., rumus
untuk T menunjukkan bahCa
Jadi gambar heliks terletak pada lingkaran $ang
dipotong
eskipun kur"a memiliki satuan ke#epatan, kita tidak
bisa mengaggapbahCa jugamemilikisatuanke#epatan.
/ahkan, men$iratkan, sehingga ke#epatan sama dengan
kelengkungan di. Jadi untuk menghitung kelengkungan,
kita harus menggunakan rumus !renet di Teorema 4..
dari :
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 37/47
idapat :
/erdasarkan Teorema 4. lengkungan
kur"adarigambar$aitu :
engan demikian, han$a bergantung pada rasio
torsi untuk kelengkungan kur"a pada.
/erikut ini adalah aplikasi $ang berhubungan
eratuntukmenentukan rasio .
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 38/47
4+5 De6inisi
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 39/47
De6inisi
• ur"a reguler di disebut #$lindri#al heli(
apabila unit
garissinggungdarimempun$aisudutkonsta
ndenganbeberapa"ektorsatuan.
• olehkarenaitu, untuksetiap
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 40/47
• 6ondisi initidakdapatdiubahdenganmengubah
parameter. Sehinggauntuktujuanteoritis,
kitahan$amembutuhkansesuatu $ang
berhubungandengan #$lindri#al heli( $ang
memilikike#epatansatuan.
• Andaikanadalahke#epatansatuandengan
Jikakitamengambiltitika#uandi ,
makafungsin$aadalah
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 41/47
• 6atakan sepanjangmempun$aikenaikanpadaarah u
ketikameninggalkan
• '!ig. 2.1G) tapi:
• Sehingga H meningkatpadatingkat $angrelatifkonstankepanjangbusur , dan
• IJikakitaselidikikearbitar$ parameteri*ation, formulan$amenjadi:
dimanas fungsipanjanglengkungan.
• enganmenggambargarismeleCatisetiaptitik di H di arah u,
kitamembentuk #$linder di mana H
bergeraksedemikianrupauntukmemotongsetiapbarisdengansudutko
nstan '!ig. 2.1E).ϑ
•
FIG. 2.17 FIG. 2.18
dh
dsT = 7 = =b J8 8 cosu u ,
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 42/47
4+ e*rema
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 43/47
Theorema 4.6 "
urva regular αdenganmeru!akan"#lindri"alheli$ %ikadanhan#a%ikanilaik&ns'an
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 44/47
-ukti
• ipandangα mempun$aiunit speed
Jikamerupakancylindrical heli! denganmaka
• 6arenamaka
• 6emudian, untuksetiapberadapadabidang $ang
ditentukanolehdanenganekspansi orthonormal,
diperoleh
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 45/47
-ukti ) ,an!utan
• /erarti
• 6arena" # $ makaharuslah
• Jadikonstan.
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 46/47
-ukti ) ,an!utan
K• iketahui%&' konstan. ipilihsudut( sedemikiansehingga
• ibentukvector field U sehingga
• iperoleh
• Akibatn$amerupakan parallel vector field
untuksetiapnilai, maka
• Jadimerupakancylindrical heli!
•
7/23/2019 Arbitrary Speed Curve
http://slidepdf.com/reader/full/arbitrary-speed-curve 47/47
erima Kasih