tim dosen kalkulus ii tahun persiapan bersama institut ... outline 1 aplikasi integral luas daerah...

Kalkulus II

Tim Dosen Kalkulus IITahun Persiapan Bersama

Institut Teknologi Kalimantan

January 31, 2018

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 1 / 71

Outline

Outline

1 Aplikasi IntegralLuas Daerah di Bidang DatarVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan CincinVolume Benda Putar: Metode Kulit TabungPanjang KurvaLuas Permukaan Benda PutarMomen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 2 / 71

Aplikasi Integral

Aplikasi Integral

1.1 Luas Daerah di Bidang Datar1.2 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin1.3 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung1.4 Panjang Kurva dan Luas Permukaan Benda Putar1.5 Momen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 3 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Outline

1 Aplikasi IntegralLuas Daerah di Bidang DatarVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan CincinVolume Benda Putar: Metode Kulit TabungPanjang KurvaLuas Permukaan Benda PutarMomen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 4 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Figure : Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif

Perhatikan Gambar1, y = f (x) merupakan fungsi kontinu dantaknegatif di bidangxy pada interval a ≤ x ≤ b..R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x), x = a, x = b, dany = 0Luas daerah R tersebut adalah:

A(R) =

∫ b

af (x) dx

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 5 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Contoh

Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x4 − 2x3 + 2 antarax = −1 dan x = 2

Figure : Daerah di bawah fungsi y = x4 − 2x3 + 2Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 6 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Solusi:

A(R) =

∫ 2

−1(x4 − 2x3 + 2) dx

=

[x5

5− x4

2+ 2x

]2

−1

=

(325− 16

2+ 4)−(−1

5− 1

2− 2)

=5110

= 5.1

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 7 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Figure : Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif

Perhatikan Gambar1, y = f (x) merupakan fungsi kontinu dantakpositif di bidangxy pada interval a ≤ x ≤ b..R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x), x = a, x = b, dany = 0Karena

∫ ba dx bernilai negatif, maka luas daerah R tersebut

adalah:

A(R) = −∫ b

af (x) dx

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 8 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Contoh

Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2/3− 4 antara x = −2dan x = 3

Figure : Daerah di bawah sumbu-x dan di atas fungsi y = x2/3− 4

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 9 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Solusi:

A(R) = −∫ 3

−2

(x2/3− 4

)dx

=

∫ 3

−2

(−x2/3 + 4

)dx

=

[−x3

9+ 4x

]3

−2

=

(−27

9+ 12

)−(

89− 8)

=145

9

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 10 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Langkah menghitung luas Daerah

Figure : Ilustrasi Sketsa Grafik dan Irisannya

Buat sketsa fungsi f (x), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b];Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis;Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, ∆Ai ' f (xi )∆xi ;Jumlahkan semua luas irisan A '

∑ni=1 f (xi )∆xi ; dan

Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambilpendekatan lebar irisan menuju nol, A =

∫ ba f (x) dx =; lim∆x→0

∑ni=1 f (xi )∆xi .

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 11 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Irisan Vertikal

Figure : Ilustrasi Irisan Vertikal

Perhatikan Gambar 7.

Misalkan f (x) dan g(x) adalah dua fungsi kontinu dengan f (x) ≥ g(x) padaa ≤ x ≤ b.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 12 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Irisan Vertikal

Figure : Ilustrasi Irisan VertikalDengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah:

1 Buat sketsa fungsi f (x) dan g(x), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b];2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis;3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik,

∆Ai ' (f (xi )− g(xi ))∆xi ;4 Jumlahkan semua luas irisan A '

∑ni=1(f (xi )− g(xi ))∆xi ; dan

5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambilpendekatan lebar irisan menuju nol,A =

∫ ba (f (x)− g(x)) dx =; lim∆x→0

∑ni=1(f (xi )− g(xi ))∆xi .

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 13 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Irisan Horizontal

Figure : Ilustrasi Irisan Horizontal

Perhatikan Gambar 9.

Misalkan f (y) dan g(y) adalah dua fungsi kontinu dengan f (y) ≥ g(y) padaa ≤ y ≤ b.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 14 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Irisan Horizontal

Figure : Ilustrasi Irisan HorizontalDengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah:

1 Buat sketsa fungsi f (y) dan g(y), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b];2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis;3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik,

∆Ai ' (f (yi )− g(yi ))∆yi ;4 Jumlahkan semua luas irisan A '

∑ni=1(f (yi )− g(yi ))∆yi ; dan

5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambilpendekatan lebar irisan menuju nol,A =

∫ ba (f (y)− g(y)) dy =; lim∆y→0

∑ni=1(f (yi )− g(yi ))∆yi .

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 15 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Luas Daerah di antara Dua Kurva

Contoh

Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x4 dan y = 2x − x2.

Figure : Daerah di antara fungsi y = x4 dan y = 2x − x2

Solusi:Kerjakan dengan lima langkahTim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 16 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Jarak dan Perpindahan

Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengankecepatan v(t).

Jika v(t) ≥ 0, maka∫ b

a v(t) dt merupakan jarak yang ditempuhdalam interval a ≤ t ≤ b.∫ b

a v(t) dt = s(b)− s(a) menyatakan suatu perpindahan bendayang bergerak dari posisi s(a) ke s(b).Karena nilai kecepatan bisa negatif, maka total jarak yangditempuh selama a ≤ t ≤ b adalah

∫ ba |v(t)| dt

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 17 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

ContohSebuah benda berada pada posisi s = 3 saat t = 0 dan bergerakdengan kecepatan v(t) = 5 sin 6πt . Di posisi manakah benda tersebutpada saat t = 2 dan berapa jauh benda bergerak selama rentangwaktu tersebut?

Figure : Grafik Gerak BendaTim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 18 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Solusi:Perpindahan benda:

s(2)− s(0) =

∫ 2

0v(t) dt =

∫ 2

05 sin 6πt dt =

[− 5

6πcos 6πt

]2

0= 0

Dengan demikian, s(2) = s(0) + 0 = 3 + 0 = 3 menunjukkanbahwa benda tersebut berada pada posisi 3 saat t = 2.Total jarak yang ditempuh benda tersebut adalah∫ 2

0|v(t)| dt =

∫ 2

0| 5 sin 6πt | dt

Dengan menggunakan sifat simetri, maka∫ 2

0|v(t)| dt = 12

∫ 2/12

0| 5 sin 6πt | dt

= 60[− 1

6πcos 6πt

]1/6

0

=20π≈ 6.3662.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 19 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Latihan Soal

Dapatkan luas daerah dari A.

Figure : Soal latihan 1 sampai 4

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 20 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Latihan Soal

Dapatkan luas daerah dari A.

Figure : Soal latihan 5 dan 6

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 21 / 71

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Latihan Soal

7 Sketsakan daerah yang ditutupi oleh kurva-kurva berikutdan hitung luas areanya.

a. y = x2, y =√

x , x = 1/4, x = 1b. y = cos 2x , y = 0, x = π/4, x = π/2c. x = sin y , x = 0, y = π/4, y = 3π/4d. x2 = y , x = y − 2

8 Dapatkan garis horizontal y = k yang membagi daerah diantara y = x2 dan y = 9 menjadi dua bagian yang sama.

9 Dapatkan garis vertical x = k yang membagi daerah yangdibatasi oleh x =

√y , x = 2 and y = 0 menjadi dua

bagian yang sama.10 Hitung luas daerah antara kurva y = sin x dan garis yang

menghubungkan antara titik-titik (0,0) dan (5π6 ,12) pada

kurva tersebut.11 Bermula dari s = 0 saat t = 0, sebuah benda bergerak

sepanjang garis sehingga kecepatannya pada saat tadalah v(t) = 4t − 2 cm/s. Berapa lama benda tersebutakan sampai pada s = 20?

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 22 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Outline

1 Aplikasi IntegralLuas Daerah di Bidang DatarVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan CincinVolume Benda Putar: Metode Kulit TabungPanjang KurvaLuas Permukaan Benda PutarMomen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 23 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 24 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Konsep Volume

Figure : Volume Benda-Benda Tegak

Misalkan A dan h masing-masing adalah luas penampang dantinggi benda tegak.Volume V benda tersebut adalah: V = A · h

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 24 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Konsep Volume

Figure : Irisan Benda Putar

Misalkan suatu kurva kontinu pada interval [a, b] di atas sumbu-x diputar tegaklurus sebesar terhadap sumbu putar (sumbu-x).Perhitungan volume didekati dengan membuat irisan-irisan tipis pada bendaputar tersbut kemudian menjumlahkannya.Misalkan irisan diambil pada titik-titik a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.Antara titik xi dan xi−1 terdapat titik tengah xi , terlihat bahwa irisan tersebutmenyerupai sebuah tabung tipis dengan luas alas A(xi ) dan tinggi/tebal dari xi−1

hingga xi , sehingga ∆xi = xi − xi−1.Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 25 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Konsep Volume

Figure : Irisan Benda Putar

Volume irisan tersebut adalah ∆Vi ≈ ∆A(xi )∆xi .Volume benda (pendekatan):

V ≈n∑

i=1

A(xi )∆xi

Volume benda:

V =

∫ b

aA(x) dx

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 26 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Metode Cakram

ContohSuatu daerah yang dibatasi kurva y =

√x, sumbu-x, dan x = 4 diputar terhadap

sumbu-x. Dapatkan volume benda benda tersebut.

Figure : Sketsa Benda Putar

Misalkan irisan diambil pada titik xi dan xi−1 dengan tebal ∆x . Karena jari-jari irisansebesar

√xi , maka luas alas irisan adalah ∆A(xi ) = π(

√xi )

2 dan volume irisan:∆Vi ≈ π(

√xi )

2∆xTim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 27 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Metode Cakram

Figure : Sketsa Benda Putar

Volume benda (pendekatan):

V ≈n∑

i=1

π(√

xi )2∆x

Volume benda:

V = lim∆x→0

n∑i=1

π(√

xi )2∆x =

∫ 4

0π(√

x)2 dx = π

[x2

2

]4

0= 8π

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 28 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Metode Cakram

ContohSuatu daerah yang dibatasi kurva y = x3, sumbu-y, dan y = 3 diputar terhadapsumbu-y. Dapatkan volume benda benda tersebut.

Figure : Sketsa Benda Putar

Misalkan irisan diambil pada titik yi dan yi−1 dengan tebal ∆yJarak dari sumbu putar ke kurva: 3

√y sehingga jari-jari irisan sebesar 3

√y

Luas alas irisan adalah ∆A(xi ) = π 3√

yVolume irisan: ∆Vi ≈ π( 3

√y)2∆y

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 29 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Metode Cakram

Figure : Sketsa Benda Putar

Volume benda (pendekatan):

V ≈n∑

i=1

π( 3√

xi )2∆y

Volume benda:

V = lim∆y→0

n∑i=1

π( 3√

xi )2∆y =

∫ 3

0π( 3√

x)2 dy = π

[35

y5/3]3

0= π

9 3√

95≈ 11.76

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 30 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Metode Cincin

Figure : Konsep Volume pada Cincin

Cincin memiliki dua jari-jari, r1 sebagai jari-jari dalam dan r2sebagai jari-jari luar.Jika tinggi cincin adalah h, maka volume cincin tersebut adalahV = A · h = π(r2

2 − r21 )h

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 31 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Metode Cincin

ContohDapatkan volume benda putar yang diperoleh dengan cara memutar daerah yangdibatasi y = x2 dan y2 = 8x terhadap sumbu-x.

Figure : Sketsa dan IrisanTim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 32 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Solusi:Dengan membuat irisan, pendekatan volume, kemudianmengintegralkan, maka volume benda tersebut adalah

V = π

∫ 2

0(8x − x2) dx = π

[8x2

2=

x5

5

]2

0=

48π5

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 33 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

ContohDaerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva x =

√4− y2 dan sumbu-y

dirotasikan terhadap garis x = −1. Hitung volume benda tersebut.

Figure : Sketsa dan Irisan

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 34 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Jari-jari dalam: 1

Jari-jari luar: 1 +√

4− y2

Tinggi irisan: ∆y

∆V ≈ π[(1 +

√4− y2)2 − 12

]∆y

Volume:

V = π

∫ 2

−2

[(1 +

√4− y2)2 − 12

]dy

= π

∫ 2

−2

[2√

4− y2 + 4− y2]

dy

= π

(2∫ 2

0

√4− y2dy +

∫ 2

0(4− y2)dy

)= π

(2π +

[4y − 1

3y3]2

0

)

= π

(2π + 8− 8

3

)= 2π2 +

163π

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 35 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Latihan Soal

Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, makadapatkan volume yang dihasilkan.

Figure : Latihan 1 sampai 4

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 36 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Latihan Soal

Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, makadapatkan volume yang dihasilkan.

Figure : Latihan 5 sampai 8Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 37 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Latihan Soal

9 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan olehderah yang dibatasi oleh y =

√x + 1, y =

√2x dan y = 0

dan diputar mengelilingi sumbu x . [Hint: Bagi bendapadat yang dihasilkan tersebut menjadi dua bagian.]

10 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan olehderah yang dibatasi oleh y = x2 and y = x3 dan diputarmengelilingi sumbu: (a) garis x = 1 dan (b) garis y = −1.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 38 / 71

Aplikasi IntegralVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan

Cincin

Tugas 1

Kerjakan semua latihan soal yang ada

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 39 / 71

Aplikasi Integral Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Outline

1 Aplikasi IntegralLuas Daerah di Bidang DatarVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan CincinVolume Benda Putar: Metode Kulit TabungPanjang KurvaLuas Permukaan Benda PutarMomen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 40 / 71

Aplikasi Integral Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 41 / 71

Aplikasi Integral Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Sebuah kulit tabung dengan jari-jari dalamr1, jari-jari luar r2, dan tinggi h akanmemiliki volume sebagai berikut:

V = (luas alas) · (tinggi)

= (πr 22 − πr 2

1 )h

= π(r2 + r1)(r2 − r1)h

= 2π( r1 + r2

2

)h(r2 − r1)

= 2πrh∆r

denganr = (r1 + r2)/2 : rata-rata jari-jari(r1 + r2) : ketebalan, danh : ketinggian.

Dengan teknik irisan, pendekatan, danintegrasi, maka diperoleh volume bendaputar tersebut adalah

∆V ≈ 2πx f (x)∆x

dan

V = 2π∫ b

ax f (x) dx

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 41 / 71

Aplikasi Integral Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Contoh: Metode Kulit Tabung

Daerah yang dibatasi olehy = 1/

√x , sumbu−x , x = 1, dan

x = 4 diputar terhadap sumbu−y .Dapatkan volume yang dihasilkan.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 42 / 71

Aplikasi Integral Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Solusi

Berdasarkan gambar, kita perolehperhitungan volume yang dibangkitkanoleh kurva f (x) = 1/

√x adalah sebagai

berikut:

∆V ≈ 2πx f (x)∆x

∆V ≈ 2πx 1/√

x∆x

V = 2π∫ 4

1x

1√x

dx = 2π∫ 4

1x1/2dx

= 2π[

23

x3/2]4

1

= 2π(

23· 8− 2

3· 1)

=28π

3≈ 29.32.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 43 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Outline

1 Aplikasi IntegralLuas Daerah di Bidang DatarVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan CincinVolume Benda Putar: Metode Kulit TabungPanjang KurvaLuas Permukaan Benda PutarMomen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 44 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Panjang Kurva

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 45 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Persamaan Parameter

Perhatikan gambar lingkaranberjari-jari a, berpusat di (0,0) danpersamaan pembentuknya.

Pada koordinat kartesius,lingkaran tersebut dibentukoleh persamaan x2 + y2 = a2

Lingkaran x2 + y2 = a2 dapatpula dibentuk oleh x = a cos t ,y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2πx dan y diekspresikan dalamparameter tKurva yang dihasilkan olehpersamaan parametermerupakan kurva berarah

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 45 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Contoh: Persamaan Parameter

Persamaan parameter x = 2t + 1,y = t2 − 1, pada 0 ≤ t ≤ 3menghasilkan kurva berarahsebagai berikut

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 46 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Panjang Kurva

TeoremaSuatu kurva dikatakan halus (smooth) jika dibentuk oleh duapersamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) pada a ≤ t ≤ b dengansyarat kedua turunan pertama dx/dt dan dy/dy tidak bersama-samabernilai nol pada (a,b).

TeoremaPanjang Kurva yang dibentuk oleh oleh dua persamaan parameterx = f (t) dan y = g(t) pada a ≤ t ≤ b adalah

L =

∫ b

a

√[dxdt

]2

+

[dydt

]2

dt

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 47 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Panjang Kurva

TeoremaJika x dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva y = f (x)pada a ≤ x ≤ b adalah

L =

∫ b

a

√1 +

[dydx

]2

dx (1)

TeoremaJika y dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva x = g(y)pada c ≤ y ≤ d adalah

L =

∫ d

c

√[dxdy

]2

+ 1dy (2)

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 48 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Contoh Panjang Kurva

Dapatkan panjang kurva y = x3/2 dari titik (1,1) ke (2,2√

2) dalamdua cara: (a) menggunakan formula (1) dan (b) menggunakan formula(2)Solusi(a)

dydx

=32

x1/2

Karena kurva membentang dari x = 1 ke x = 2, maka panjang kurvay = x3/2 adalah

L =

∫ 2

1

√1 +

(32

x1/2)2

dx =

∫ 2

1

√1 +

94

xdx

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 49 / 71

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Contoh Panjang Kurva (lanjutan)

Dengan mensubstitusi u = 1 + 94x dan mengubah batas integrasi

(x = 1, x = 2) menjadi (u = 132 ,u = 22

4 ), diperoleh

L =49

∫ 22/4

13/4u1/2du

=8

27

[(224

)3/2

−(

134

)3/2]

=22√

22− 13√

1327

≈ 2.09

(b) Sekarang coba untuk menghitung panjang kurva denganmengubah y = x3/2 menjadi x = y2/3 dan memperhatikan batasintegrasi.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 50 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Outline

1 Aplikasi IntegralLuas Daerah di Bidang DatarVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan CincinVolume Benda Putar: Metode Kulit TabungPanjang KurvaLuas Permukaan Benda PutarMomen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 51 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Luas Permukaan Benda Putar

Perputaran suatu kurva menghasilkan benda putar yang memilikivolume

Selain volume, benda putar tersebut juga memiliki luas permukaan.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 52 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Luas Permukaan Benda Putar

Perhitungan luas permukaan benda putar didekati dengan menghitungluas irisan kerucut (frustum)

Luas irisan kerucut dengan jari-jari r1, r2, sisi miring l dan tinggi tadalah S = π(r1 + r2)l

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 53 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Luas Permukaan Benda Putar

Perhatikan irisan kerucut (frustum) berikut

Sisi miring irisan kerucut ke−k dari suatu benda putar dengan jari-jarif (xk−1), f (xk ), tinggi ∆x adalah

Sk = π[f (xk−1) + f (xk )]√

(∆x)2 + [f (xk )− f (xk−1)]2

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 54 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Luas Permukaan Benda Putar

Teorema

Misalkan f adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [a, b]. Luas permukaanbenda putar yang dihasilkan dari perputaran y = f (x) antara x = a dan x = bterhadap sumbu-x adalah

S =

∫ b

a2πf (x)

√1 + [f ′(x)]2dx =

∫ b

a2πy

√1 +

[dydx

]2

dx

Teorema

Misalkan g adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [c, d ]. Luas permukaanbenda putar yang dihasilkan dari perputaran x = g(x) antara x = c dan x = dterhadap sumbu-y adalah

S =

∫ d

c2πg(y)

√1 + [g′(y)]2dy =

∫ d

c2πx

√1 +

[dxdy

]2

dy

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 55 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Latihan Luas Permukaan Benda Putar

Dapatkan luas permukaan benda putar yang dibangkitkan olehperputaran kurva y = x2 antara x = 1 dan x = 2 terhadap sumbu−ysolusi: Karena diputar terhadap sumbu-y , maka y = x2 menjadix =√

y dan untuk x = 1 dan x = 2 masing-masing menghasilkany = 1 dan y = 4.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 56 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Contoh Luas Permukaan Benda Putar

S =

∫ 4

12πx

√1 +

(dxdy

)2

dy

=

∫ 4

12π√

y

√1 +

(1

2√

y

)2

dy

= π

∫ 4

1

√1 + 4ydy

=π

4

∫ 17

5u1/2du

=π

4· 2

3

[u3/2

]17

5

=π

6· (173/2 − 53/2) ≈ 30.85

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 57 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Latihan

1 Dapatkan panjang kurva berikuta. y = 2x + 3 antara (1,5) dan (3,9)b. x = 3y3/2 − 1 untuk 0 ≤ y ≤ 4c. x = 1 + t , y = 2 + 3t , 0 ≤ t ≤ 1d. 4 sin t , y = 4 cos t − 5, 0 ≤ t ≤ π

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 58 / 71

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

2 Carilah luas permukaan yang terbentuk denganpemutaran kurva yang diberikan mengelilingi sumbu x

a. y =√

25− x2, −2 ≤ x ≤ 3b. y = x6=2

8x2 , 1 ≤ x ≤ 3c. y = x3

3 , 1 ≤ x ≤√

7d. x = cos t , y = sin t , 0 ≤ t ≤ 1

3 Sebuah luasan R dibatasi kurvax =

√9− y2,−3 ≤ x ≤ 3 dan diputar mengelilingi sumbu

y . Hitung luas permukaan dengan terlebih dahulumenggambar benda putarnya.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 59 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Outline

1 Aplikasi IntegralLuas Daerah di Bidang DatarVolume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan CincinVolume Benda Putar: Metode Kulit TabungPanjang KurvaLuas Permukaan Benda PutarMomen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 60 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Bagaimana cara menentukan titik a padagambar 1 dan P pada gambar 2 agarbatang dan lempeng berada dalamkeadaan setimbang?

Titik a dan P disebut pusat massa.

Misalkan batang L terletak padasumbu−x dengan x adalah pusatmassa, m1 pada x1 yang berjarak d1

dari x , dan m2 pada x2, yang bejarakm2 dari x .

Batang pada gambar 1 akansetimbang jika

m1d1 = m2d2

m1(x − x1) = m1(x − x2)

m1x + m2x = m1x1 + m2x2

x =m1x1 + m2x2

m1 + m2

m1x1 dan m2x2 disebut momen.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 61 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Secara umum, jika terdapat n buah partikel bermassa m1,m2, . . . ,mnpada titik x1, x2, . . . , xn pada sumbu−x , maka pusat massa sistemtersebut berada pada

x =

∑ni=1 mixi∑ni=1 mi

=Mm

(3)

dengan M =∑n

i=1 mixi dan m =∑n

i=1 mi , sehingga persamaan (3)bisa ditulis mx = M.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 62 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Misalkan suatu sistem padabidang−xy memuat n buah sistemm1,m2, . . . ,mn berada pada titik(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn).

Momen sistem terhadap sumbu−yadalah

My =n∑

i=1

mixi

dan Momen sistem terhadap sumbu−xadalah

Mx =n∑

i=1

miyi

x =

∑ni=1 mixi∑n

i=1 mi=

Mm

dengan M =∑n

i=1 mixi dan m =∑n

i=1 mi .

My mengukur kecenderungan sistemberotasi pada sumbu−y

Mx mengukur kecenderungan sistemberotasi pada sumbu−x

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 63 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Misalkan sebuah lempeng tipis R yang dibatasi oleh y = f (x), sumbu−x , dan interval[a, b] pada gambar (a) memiliki kepadatan ρ yang sama.

Perhatikan irisan lempeng pada gambar (b) dititik xi . Luas daerah pada irisan tersebutadalah ρf (xi )∆x

momen pada R terhadap sumbu−y adalah

My = limn→∞

n∑i=1

ρxi f (xi )∆x

= ρ

∫ b

axf (x) dx

momen pada R terhadap sumbu−x adalah

Mx = limn→∞

n∑i=1

ρ · 12

[f (xi )]2∆x

= ρ

∫ b

a

12

[f (x)]2 dx

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 64 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Massa lempeng dengan luas A dan rapat massa ρ adalahm = ρA = ρ

∫ ba f (x) dx

x =My

m=ρ∫ b

a xf (x) dx

ρ∫ b

a f (x) dx=

∫ ba xf (x) dx∫ ba f (x) dx

=1A

∫ b

axf (x) dx (4)

y =Mx

m=ρ∫ b

a12 [f (x)]2 dx

ρ∫ b

a f (x) dx=

∫ ba

12 [f (x)]2 dx∫ ba f (x) dx

=1A

∫ b

a

12

[f (x)]2 dx

(5)Pusat massa (x , y).

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 65 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Pusat massa lempeng yang dibatasi dua kurva f (x) dan g(x) padainterval [a,b]

x =1A

∫ b

ax [f (x)− g(x)] dx (6)

y =Mx

m=

1A

∫ b

a

12{[f (x)]2 − [g(x)]2} dx (7)

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 66 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Contoh Pusat Massa

Dapatkan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan parabolay = x2

Solusi:

A =

∫ 1

0(x−x2)dx =

[x2

2− x3

3

]1

0=

16

x =1A

∫ 1

0x [f (x)− g(x)] dx

=1

1/6

∫ 1

0x [x − x2] dx

= 6∫ 1

0(x2 − x3) dx

= 6[

x3

3− x4

4

]1

0

=12

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 67 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

y =1A

∫ 1

0

12{[f (x)]2 − [g(x)]2} dx

=1

1/6

∫ 1

0

12

(x2 − x4) dx

= 3[

x3

3− x5

5

]1

0

=25

pusat massa( 1

2 ,25

)

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 68 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Teorema Pappus

TeoremaMisalkan daerah R terletak pada satu sisi suatu garis l dalambidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, maka volumbenda-pejal yang dihasilkan sama dengan luas R dikalikan jarak yangditempuh oleh sentroidnya.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 69 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Latihan

1 Diketahui keping homogen dengan rapat massa 1 yangmenempati daerah yang dibatasi oleh kurva y =

√x dan y = x2.

Tentukan massa dan pusat massa keping tersebut.2 Jika D = (x , y)| − π

2 ≤ x ≤π2 ,0 ≤ y ≤ cos x

Tentukan (a) luas daerah D (b) momen daerah D terhadap sumbux (c) momen daerah D terhadap sumbu y (d) pusat daerah D

3 Gunakan Teorema Pappus untuk menentukan volum daerahD = {(x , y)|0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4} jika diputar terhadap sumbu y .

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 70 / 71

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Daftar Pustaka

Dale Varberg, Edwin J. Purcell, steven E. Rigdon (2007): Calculus,ninth edition, Pearson Prentice Hall.

James Stewart (2012): Calculus Seventh Edition, Brooks/Cole,Cengage Learning, USA.

Anton, Bivens, Davis (2012): Calculus Early Transcendentals 10thEdition, John Wiley and Sons, Inc., USA.

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()Kalkulus II January 31, 2018 71 / 71