teori probabilitas -...

TEORI PROBABILITAS1

Berapa peluang

munculnya angka 4

pada dadu

merah???

Berapa peluang

munculnya King

heart?

Berapa peluang

munculnya

gambar?

2

PELUANG ATAU PROBABILITAS

adalah perbandingan antara kejadianyang diharapkan muncul dengan

banyaknya kejadian yang mungkinmuncul.

3

4

P(A) =

Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikandengan n(A), dan banyaknyakejadian yang mungkin muncul (ruangsampel = S) dinotasikan dengan n(S) makaPeluang kejadian A ditulis

n(A)

n(S)

5

Contoh 1Peluang muncul muka dadu

nomor 5 dari pelemparan sebuah

dadu satu kali adalah….

Penyelesaian:n(5) = 1 dan

n(S) = 6 yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jadi P(5) = = 6

1

)S(n

)5(n

6

Contoh 2Dalam sebuah kantong terdapat

4 kelereng merah dan 3 kelereng

biru.

Bila sebuah kelereng diambil

dari dalam kantong

maka peluang terambilnya kelereng

merah adalah….

7

Penyelesaian:

• Kejadian yang diharapkan muncul yaitu

terambilnya kelereng merah ada 4

n(merah) = 4

• Kejadian yang mungkin muncul yaitu

terambil 4 kelereng merah dan 3 kelereng

biru

n(S) = 4 + 3 = 7

8

• Jadi peluang kelereng merah

yang terambil adalah

P(merah) =

P(merah) =

)S(n

)merah(n

7

4

9

Contoh 3Dalam sebuah kantong terdapat

7 kelereng merah dan 3 kelereng

biru.

Bila tiga buah kelereng diambil

sekaligus maka peluang

terambilnya kelereng merah

adalah….

10

Penyelesaian:• Banyak kelereng merah = 7

dan biru = 3 jumlahnya = 10

• Banyak cara mengambil 3 dari 7

7C3 =

=

= 35

)!37(!3

!7

!4!.3

!7

3.2.1

7.6.5

11

• Banyak cara mengambil 3 dari 10

10C3 =

=

= 120

• Peluang mengambil 3 kelereng

merah sekaligus =

= =

)!310(!3

!10

!7!.3

!10

3.2.1

10.9.8

120

35

C

C

310

37

24

7

CONTOH

Pada peristiwa melempar dua buah dadu, merah dan hitam, masing- masing bermata 1 sampai 6 secara bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah nilai peluang kejadian-kejadian :

a. muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitamb. muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4

12

PENYELESAIAN:

Ruang sampel ada sebanyak 36 kemungkinan.

13

a. kejadian muncul mata 4

dadu merah atau mata ganjil

dadu hitam ada sebanyak 21

kemungkinan pasangan, maka

peluangnya adalah :

b. kejadian muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata

dadu hitam lebih dari 4 ada sebanyak 4 kejadian, yaitu (1,5),

(2,5), (1,6) dan (2,6), maka nilai peluangnya adalah :

14

Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bola warna hitam, 8 bola warna

merah dan 10 bola warna kuning. Diambil sebuah bola secara acak

dan tidak dikembalikan. Tentukan nilai peluang terambil berturut-

turut :

a. bola hitam

b. bola kuning

c. bola merah

Latihan

15

PENYELESAIAN:

16

17

Komplemen Kejadian

• Nilai suatu peluang antara 0 sampai

dengan 1 0 ≤ p(A) ≤ 1

• P(A) = 0 kejadian yang tidak

mungkin terjadi

• P(A) = 1 kejadian yang pasti

terjadi

• P(A1) = 1 – P(A)

A1 adalah komplemen A

)( 1 )(

1

)(

'

'

APAP

n

a

n

a

n

n

n

anAP

A’

S

A

Jika A mempunyai a elemen,

dan S mempunyai n elemen

maka A’ mempunyai n-a

elemen. Maka P(A’) adalah

peluang tidak terjadinya A.

Kejadian bukan A dari himpunan S

ditulis dengan simbol A’ (atau Ac)

disebut komplemen dari A.

Komplemen

18

19

Contoh 1

• Sepasang suami istri mengikutikeluarga berencana. Merekaberharap mempunyai dua anak. Peluang paling sedikit mempunyaiseorang anak laki-laki adalah ….

20

Penyelesaian:• Kemungkinan pasangan anak yang

akan dimiliki: keduanya laki-laki,

keduanya perempuan atau 1 laki-

laki dan 1 perempuan n(S) = 3

• Peluang paling sedikit 1 laki-laki

= 1 – peluang semua perempuan

= 1 – = 1 – 3

1

)S(n

)p,p(n

3

2

21

Contoh 2Dalam sebuah keranjang terdapat

50 buah salak, 10 diantaranya

busuk. Diambil 5 buah salak.

Peluang paling sedikit

mendapat sebuah

salak tidak busuk

adalah….

22

Penyelesaian:• banyak salak 50, 10 salak busuk

• diambil 5 salak r = 5

• n(S) = 50C5

• Peluang paling sedikit 1 salak

tidak busuk

= 1 – peluang semua salak busuk

= 1 –550

510

C

C

Latihan

Sebuah dadu dilemparkan satu kali,

Jika A = {kejadian muncul mata dadu

lebih dari 2},

tentukan P(A’) ?

Penyelesaian

Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka

ruang sampelnya adalah:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih

dari 2}

= {3, 4, 5, 6}

Maka P(A) = 4/6 = 2/3

P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3

25

Kejadian Saling LepasJika A dan B adalah

dua kejadian yang saling lepas

maka peluang kejadian A atau B

adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B)

Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Sehingga

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A={kejadian mendapatkan bilangan prima}

B={kejadian mendapatkan sedikitnyabilangan 5}

Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat

irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh

6

5

12

10 B) (A P

.1 .4

A

.2

.5

.3

B

.6

.7

.11 .9

.10

S

.12

.8

12

3 ) ( BAP dan

)( )( )( )(

12

3

12

8

12

5

12

3 8 5

12

10 ) (

BAPBPAPBAP

BAP

Maka = P(Ø) = 0

DUA KEJADIAN SALING LEPAS

)( BAP

) ( BA

27

Jika suatu kejadian A dan B tidak dapat terjadi pada

saat bersamaan, dalam hal ini

=Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut

adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling

asing)

)( )( )( BPAPBAP

Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

Aturan Penjumlahan

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶− 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴′ = 𝑃 𝑆 = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴′)Kejadian bebas:

𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2…∪ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 +⋯+𝑃 𝐴𝑛 =P(S)=1

29

Dari satu set kartu bridge (tanpajoker) akan diambil dua kartu satupersatu berturut-turut, kemudiankartu tersebut dikembalikan. Peluang terambilnya kartu as ataukartu king adalah….

30

Penyelesaian:

• kartu bridge = 52 n(S) = 52

• kartu as = 4 n(as) = 4

• P(as) =

• kartu king = 4 n(king) = 4

• P(king) =

• P(as atau king) = P(as) + P(king)=

52

4

52

4

52

4

52

4

52

8

Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu

bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau

King?

31

Contoh 2

• Sebuah dompet berisi uang logam 5 keping lima ratusan dan 2 keeping ratusan rupiah.Dompet yang lain berisiuang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan. Jika sebuah uang logamdiambil secara acak dari salah satudompet, peluang untuk mendapatkanuang logam ratusan rupiah adalah….

32

Penyelesaian• dompet I: 5 keping lima ratusan dan

2 keping ratusan

P(dompet I,ratusan) = ½. =• dompet II: 1 keping lima ratusan dan

3 keping ratusan.

P(dompet II, ratusan) = ½. =• Jadi peluang mendapatkan uang

logam ratusan rupiah

P(ratusan) = + =

7

2

4

3

7

1

8

3

7

1

8

3

56

29

33

Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B saling bebas

Jika keduanya tidak saling

mempengaruhi

DUA KEJADIAN SALING BEBAS

Sekeping uang logam dan sebuah dadu

dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka

pada uang logam dan kejadian munculnya mata

3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak

saling mempengaruhi.

P(A dan B) = P(A) x P(B)

35

Contoh 1Anggota paduan suara suatu

sekolah terdiri dari 12 putra

dan 18 putri. Bila diambil dua

anggota dari kelompok tersebut

untuk mengikuti lomba perorangan

maka peluang terpilihnya putra dan

putri adalah….

36

Penyelesaian• banyak anggota putra 12 dan

banyak anggota putri 18

n(S) = 12 + 18 = 30

• P(putra dan putri)

= P(putra) x P(putri)

= x

=

30

12

30

18

25

6

2

55

3

37

Contoh 2

Peluang Amir lulus pada Ujian

Nasional adalah 0,90. Sedangkan

peluang Badu lulus pada Ujian

Nasional 0,85.

Peluang Amir lulus tetapi Badu

tidak lulus pada ujian itu adalah….

Penyelesaian:• Amir lulus P(AL) = 0,90

• Badu lulus P(BL) = 0,85

• Badu tidak lulus

P(BTL) = 1 – 0,85 = 0,15

• P(AL tetapi BTL) = P(AL) x P(BTL)

= 0,90 x 0,15

= 0,135

38

Contoh 3Dari sebuah kantong berisi 6

kelereng merah dan 4 kelereng

biru diambil 3 kelereng sekaligus

secara acak.

Peluang terambilnya 2 kelereng

merah dan 1 biru adalah….

39

Penyelesaian:• banyak kelereng merah = 6

dan biru = 4 jumlahnya = 10

• banyak cara mengambil 2 merah

dari 6 r = 2 , n = 6

6C2 =

=

= 5.3

)!26(!2

!6

!4!.2

!6

2.1

6.5 3

40

41

• banyak cara mengambil 1 biru

dari 4 kelereng biru r = 1, n = 4

4C1 =

• banyak cara mengambil 3 dari 10

n(S) = 10C3 =

=

= 12.10

)!14(!1

!44

)!310(!3

!10

!7!.3

!10

3.2.1

10.9.812

42

• Peluang mengambil 2 kelereng

merah dan 1 biru =

=

=

Jadi peluangnya = ½

n(A)

n(S)

6C2. 4C1

10C3

5.3. 412.10

43

Contoh 4Dari sebuah kotak yang berisi 5

bola merah dan 3 bola putih di-

ambil 2 bola sekaligus secara

acak.

Peluang

terambilnya

keduanya

merah adalah….

44

Penyelesaian:• banyak bola merah = 5

dan putih = 3 jumlahnya = 8

• banyak cara mengambil 2 dari 5

5C2 =

=

= 10

)!25(!2

!5

!3!.2

!5

2.1

5.4

45

Penyelesaian:• banyak cara mengambil 2 dari 8

8C2 =

=

= 28

• Peluang mengambil 2 bola

merah sekaligus =

)!28(!2

!8

!6!.2

!8

2.1

8.7

28

10

1)

2)

LATIHAN

46

Jawab:

1)

47

Jawab:

2)

48