spldv dari anung

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

(SPLDV)

Matematika Kelas VII Semester GasalSemester Gasal

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan-permasalahan yang dapat dipecahkan menggunakan SPLDV. Pada umumnya, permasalahan tersebut berkaitan dengan masalah aritmetika sosial. Misalnya, menentukan harga satuan barang, menentukan panjang atau lebar sebidang tanah, dan lain sebagainya.

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Materi Pembelajaran Evaluasi

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear

3.1 Menyelesaikan sistem persamaan linier dan sistem persamaan campuran linier dan kuadrat dalam dua variabel

3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier

3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dan penafsirannya

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel 

Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linier

Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel

Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier, menentukan besaran masalah tersebut sebagai variabel, membuat model matematikanya, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil penyelesaian masalah tersebut

Silahkan ditambah.....

Siswa mampu menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik.

Siswa mampu menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.

Siswa mampu menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi.

Siswa mampu menerapkan SPLDV dalam masalah sehari-hari.

• Pengertian• Metode• Penerapan

Inget-inget yaa….

Persamaan-persamaan tersebut memiliki dua variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk inilah yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel. Jadi, persamaan dua variabel adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu.

Mari kita simak….

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan yg mengandung dua variabel yang tidak diketahui.

Bentuk Umumnya :

ax + by = c … persamaan (1)px + qy = r … persamaan (2)

Dengan a, b, c, p, q & r ϵ Ra, p = koefisien dari xb, q = koefisien dari y

Ada 4 metode penyelesaian SPLDV tersebut, yaitu :

Metode EliminasiMetode SubstitusiMetode CampuranMetode Grafik

1. Metode Eliminasi1. Metode EliminasiMetode ini digunakan dengan cara

mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya, sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel.Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dengan metode eliminasi !2x + 3y = 1 … pers.(1)3x + y = 5 … pers.(2)Jawab :Mengeliminasi x2x + 3y = 1 x3 6x + 9y = 33x + y = 5 x2 6x + 2y = 10 –

7y = - 7 y = -1

Mengeliminasi y2x + 3y = 1x1 2x + 3y = 13x + y = 5 x3 9x + 3y = 15 –

- 7x = - 14 x = 2

Jadi, HP = { 2, -1 }

Catatan :“ Jika kita mengeliminasi (menghilangkan)

variabel x maka yang akan kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel y dan sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel y maka yang akan kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel x “

Tentukan HP dari SPL berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi !

1) 2x – y = 2

3x – 2y = 1 Jawab

2) 3x + 5y = 4

3x – y = 10 Jawab

3) 5x + y = 5

17x + y = - 5 Jawab

4) 2p – 3q = 4

7p + 2q = 39 Jawab

Ke slide Metode Substitusi

Jawab1) * Mengeliminasi variabel y

2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 43x – 2y = 1 x 1 3x – 2y = 1 -

x = 3

* Mengeliminasi variabel x2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 63x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 -

y = 4

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah = { 3, 4}

Kembali ke slide soal

Jawab2) * Mengeliminasi variabel x

3x + 5y = 4

3x – y = 10 -

6y = - 6

y = - 1

* Mengeliminasi variabel y

3x + 5y = 4 x 1 3x + 5y = 4

3x – y = 10 x 5 15x – 5y = 50 +

18x = 54

x = 3

Jadi, Himpunan Penyelesaian = { 3, - 1}

Kembali ke slide soal

Jawab3) * Mengeliminasi variabel y

5x + y = 5

17x + y = - 5 -

- 12x = 10

* Mengeliminasi variabel x

5x + y = 5 x 17 85x + 17y = 85

17x + y = - 5 x 5 85x + 5y = - 25 -

12y = 110

Kembali ke slide soal

6

5

12

10

x

6

19

12

29

12

110y

}{6

19,

6

5HP

Jawab4) * Mengeliminasi variabel p

2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28

7p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -

- 25q = - 50

* Mengeliminasi variabel q

2p – 3q = 4 x 2 4p – 6q = 8

7p + 2q = 39 x - 3 - 21p - 6q = - 117 -

25p = 125

Jd, HP = { 5, 2} Kembali ke slide soal

225

50

q

525

125p

2. Metode Substitusi2. Metode SubstitusiPada metode ini, salah satu variabel dari salah

satu persamaan disubstitusikan sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel saja

Perhatikan Contoh berikutPerhatikan Contoh berikuta)Tentukan HP dari persamaan linear berikut dengan metode substitusi !

3x + 4y = 11 … persamaan (1) x + 7y = 15 … persamaan (2)Jawab :Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3)Kemudian substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :3x + 4y = 11 Harga y = 2 lalu

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers(3) :

⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2)⇔ - 17y = - 34 ⇔ x = 15 – 14

x = 1Jadi, Himpunan Penyelesaian = { 1, 2 }

2x + 3y = 1 … pers.(1)

3x + y = 5 … pers.(2)

Jawab :

Dari pers.(2) didapat : y = 5 – 3x … pers.(3). Harga x = 2 lalu

lalu substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : disubstitusikan ke pers.(3) :

2x + 3y = 1 y = 5 – 3x

2x + 3(5 – 3x) = 1 y = 5 – 3(2)

2x + 15 – 9x = 1 y = 5 – 6

2x – 9x = 1 – 15 y = - 1

- 7x = - 14

x = 2

Jadi, Himpunan Penyelesaian = { 2, - 1}

1) 2x – y = 23x – 2y = 1 Jawab

2) 3x + 5y = 43x – y = 10 Jawab

3) 5x + y = 517x + y = - 5 Jawab

4) 2p – 3q = 47p + 2q = 39 Jawab

Jawab1) 2x – y = 2 … pers.(1)

3x – 2y = 1 … pers.(2)

Dari pers (1) didapat : Harga x = 3

kemudian disubstitusikan

- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) :

Kemudian substitusikan

pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2

⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2

⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2

⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6

⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4

⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4

⇔ x = 3

Jadi, HP = { 3, 4}

Jawab

2) 3x + 5y = 4 … pers.(1)

3x – y = 10 … pers.(2)

Dari pers (2) didapat : Harga x = 3 lalu disubstitusikan

y = 10 – 3x ⇔ y = - 10 + 3x … pers (3) ke pers (2) :

lalu substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : 3x – y = 10

⇔ 3x + 5y = 4 ⇔ 3(3) – y = 10

⇔ 3x + 5(-10 + 3x) = 4 ⇔ 9 – y = 10

⇔ 3x – 50 + 15x = 4 ⇔ - y = 10 – 9

⇔ 3x + 15x = 4 + 50 ⇔ - y = 1

⇔ 18x = 54 ⇔ y = - 1

⇔ x = 3

Jadi, HP = { 3, - 1 }

Jawab

3) 5x + y = 5 … pers.(1)

17x + y = - 5 … pers.(2)

Dari pers (1) didapat : Harga

y = 5 – 5x … pers (3) lalu disubstitusikan ke pers.(1) :

Lalu substitusikan pers (3) ke pers (2) : 5x + y = 5

17x + y = - 5

⇔ 17x + 5 – 5x = - 5

⇔ 17x – 5x = - 5 – 5 ( x 6 )

⇔ 12x = - 10 ⇔ - 25 + 6y = 30

⇔ 6y = 30 + 25

⇔ 6y = 556

5

12

10

x

6

5x

56

55 )( y

56

25)( y

6

19

6

55 y

}{6

19,

6

5HP

Jawab4) 2p – 3q = 4 … pers.(1)

7p + 2q = 39 … pers.(2)

Dari pers (1) didapat : Harga q = 2 lau disubstitusikan

2p – 3q = 4 ⇔ 2p = 4 + 3q ke pers (1) :

2p – 3q = 4

lalu substitusikan pers (3) ke pers (2) : ⇔ 2p – 3(2) = 4

⇔ 7p + 2q = 39 ⇔ 2p – 6 = 4

⇔ 2p = 4 + 6

⇔ 2p = 10

⇔ p = 5

( x 2)

⇔ 28 + 21q + 4q = 78 Jadi, HP = { 5, 2 }

⇔ 21q + 4q = 78 – 28

⇔ 25q = 50 ⇔ q = 2

)3.(...2

34pers

qp

3922

347 )(

q

q

3922

2128 )(

qq

3. Metode Campuran3. Metode CampuranPada metode ini, merupakan gabungan dari metode

eliminasi dan substitusi.Contoh :a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dengan metode campuran !

3x + 4y = 11 … pers (1) x + 7y = 15 … pers (2)Jawab :3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 -

- 17y = - 34 ⇔ y = 2

Harga y = 2 lalu substitusikan ke pers (2) :

x + 7y = 15⇔ x + 7(2) = 15⇔ x + 14 = 15⇔ x = 15 – 14 ⇔ x = 1 Jadi, HP = { 1, 2 }

2x + 3y = 1 … pers.(1)4x – 3y = 11 … pers.(2)

Jawab :2x + 3y = 14x – 3y = 11 +⇔ 6x = 12⇔ x = 2

Harga x = 2 lalu substitusikan ke pers (1) : 2x + 3y = 1⇔ 2(2) + 3y = 1⇔ 4 + 3y = 1⇔ 3y = 1 – 4⇔ 3y = - 3⇔ y = - 1 Jadi, HP = { 2, -1 }

1) 5x + y = 5

17x + y = - 5 Jawab

2) 2p – 3q = 4

7p + 2q = 39 Jawab

1) 5x + y = 5 … pers.(1)17x + y = - 5 … pers(2)

5x + y = 5 Harga kmd17x + y = - 5 - disubstitusikan ke pers(1) : - 12x = 10 5x + y = 5

( x 6 )⇔ - 25 + 6y = 30⇔ 6y = 30 + 25⇔ 6y = 55

6

5

12

10

x

6

5x

56

55 )( y

56

25)( y

6

19

6

55 y

}{6

19,

6

5HP

2) 2p – 3q = 4 … pers.(1)7p + 2q = 39 … pers(2)

2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 287p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -

- 25q = - 50

2p – 3q = 4⇔ 2p – 3(2) = 4⇔ 2p – 6 = 4⇔ 2p = 4 + 6⇔ 2p = 10⇔ p = 5

Jadi, HP = { 5, 2 }

225

50

q

4. Metode Determinan4. Metode DeterminanSistem persamaan, misalkan :

ax + by = cpx + qy = r

Menurut aturan determinan diubah menjadi :

Artinya dan untuk variabel x dan ydidefinisikan :

,

qp

ba

pbqaqp

ba..

pbqa

rbqcqr

bc

x..

..

pbqa

pcrarp

ca

y..

..

4x – 5y = 22

7x + 3y = 15

Kita cari dulu determinannya :

Jd, HP = { 3, -2}

347

141

47

7566

47

15)5(3.22315

522

x

4735127)5(3.437

54

247

94

47

15460

47

7.2215.4157

224

y

1) 2x – y = 23x – 2y = 1

Kita cari dulu determinannya :

Jadi, HP = { 3, 4}

31

3

1

14

1

1)1()2(221

12

x

1343)1()2(223

12

41

4

1

62

1

3.21.213

22

y

2) 3x + 5y = 43x – y = 10

Kita cari dulu determinannya :

Jadi, HP = { 3, -1}

318

54

18

504

18

10.5)1(4110

54

x

181533.5)1(313

53

118

18

18

1230

18

3.410.3103

43

y