paradoks zeno azrul sarah dila

Paradoks Zeno

AZRUL DZULKARNAIN BIN DOLAHFADHILAH BINTI SULAIMAN

SITI SARAH BINTI YUSUF

PARADOKS DIKOTOMI

• Dikotomi bermaksud melibatkan pengulangan pembahagian kepada dua.

• Zeno menyatakan bahawa sesuatu benda yang bergerak tidak akan dapat mencapai tempat tujuannya.

• Sesuatu benda akan sampai ke jarak tertentu sebelum sampai ke destinasi.

IDEA PARADOKS DIKOTOMI

• Mula-mula, sesuatu benda harus menempuhi separuh daripada perjalanan keseluruhan.

• Kemudian, ia harus menempuhi , diikuti dengan , diikuti dengan , dan seterusnya daripada perjalanan keseluruhan.

• Proses pembahagian separuh tidak pernah sampai ke penghujung destinasi kerana sentiasa ada jarak yang perlu dibahagikan separuh tidak kira betapa kecil jarak itu.

• Maka, tujuannya tidak akan pernah sampai pernah sampai malahan pergerakan berkenaan tidak pernah dimulakan .

Penyataan :

Bukti :

Pergerakan adalah mustahil.

Jika objek dibahagikan, maka ia sebenarnya tidak wujud.

HUJAH-HUJAH MENYANGKAL PARADOKS DIKOTOMI

HUJAH ARISTOTLE

• Dikotomi adalah mustahil bagi sesuatu objek.

• Apabila objek bergerak, ia semakin menghampiri destinasi dan masa yang diperlukan untuk sampai ke destinasi juga semakin berkurang.

• Jumlah masa yang diperlukan untuk sampai ke destinasi adalah terhingga.

HUJAH AHLI MATEMATIK DAN FALSAFAH MODEN

a) Urutan 1, , , dan lain-lain mempunyai had kepada 0.

b) Urutan 0.9, 0.99, 0.999 dan seterusnya mempunyai had yang menghampiri 1.

c) Apabila kita menulis 0.999999….. Ianya bermaksud had nombor 9 adalah sehingga infiniti, maka 0.99999…. ≈ 1.

HUJAH AHLI MATEMATIK DAN FALSAFAH MODEN

a) Urutan 1, , , dan lain-lain mempunyai had kepada 0.

b) Urutan 0.9, 0.99, 0.999 dan seterusnya mempunyai had yang menghampiri 1.

c) Apabila kita menulis 0.999999….. Ianya bermaksud had nombor 9 adalah sehingga infiniti, maka 0.99999…. ≈ 1.

• Oleh hal demikian, urutan yang sebenarnya akan menghampiri had yang kita kehendaki.

• Pada hakikatnya, jarak yang terhad memerlukan jumlah masa yang terhad untuk bergerak.

KESIMPULAN

Paradoks Achilles dan Kura-Kura

• “… the slower when running will never be overtaken by the quicker; for that which is pursuing must first reach the point from which that which is fleeing started, so that the slower must necessarily always be some distance ahead.”

Paradoks Zeno dalam buku Physics karya Aristoteles

• Achilles merupakan seorang pelumba terkenal di zaman Yunani yang ingin berlumba dengan seekor kura-kura yang lambat. Achilles digambarkan sebagai seorang pahlawan yang hebat pada ketika itu sehingga tiada siapa yang dapat menandinginya.

• Achilles membenarkan kura-kura berlari sejauh 100 meter dulu sebelum Achilles mula lari. Andaikan kedua-dua berlari dengan kelajuan yang tetap (satu laju, satu perlahan)

• Setelah satu masa, Achilles telah mencapai tempat di mana kura-kura mula. Sedangkan sang kura-kura sudah berlari 5 meter di depan.

• Achilles berlari lagi dan berhasil mencapai tempat kura-kura berada tadi. Sedangkan sang kura-kura telah berlari 2.5 meter di depan.

• Achilles masih dengan semangat berlari lagi untuk meraih beza 2.5 meter ini. Di saat yang bersamaan, sang kura-kura telah berlari 1.25 meter di depan.

• Hal ini berlangsung terus-menerus. Setiap kali Achilles berhasil mencapai tempat di mana kura-kura berada beberapa saat yang lalu, sang kura-kura lagi-lagi telah menempuh sedikit jarak dan tetap berada di depan Achilles.

• Betapapun gigihnya Achilles berusaha, Achilles hanya mampu memperkecil jarak setengah dari sebelumnya (dari selisih 5 m -> menjadi 2,5 m -> lalu 1,25 m -> lalu 0,625 dan seterusnya. Achilles tidak akan pernah mampu untuk menandingi kura-kura.

•  

• Ini dibenarkan (logik) kerana jarak dalam satu segmen tertentu boleh dibahagikan kepada beberapa jarak sehingga ke infiniti. Dengan itu, Zeno membahagikan jarak perlumbaan Achilles kepada bahagian-bahagian kecil sehingga infiniti tetapi dilaksanakan pada masa yang terhad.

Paradoks: Pernyataan : ruang dan waktu adalah berterusan.Bukti : Achilles tidak akan dapat memintas kura-kura.

Hujah-hujah yang menyangkal Paradoks

• Untuk Achilles mengejar kura-kura, dia mesti melalui jarak yang tidak terhad:

100m + 50m + 25m + 12.5m + 6.25m + ….• Walaubagaimana pun, jumlah jarak tidak terhad merupakan satu

jumlah jarak yang terhad. Jadi, bagaimana Zeno mengatakan jarak yang dilalui Achilles tadi adalah tidak terhad.

• Bukti:

• maka kita menggunakan janjang geometri untuk mencari jarak yang tidak terhad:

• Terbukti ‘ jarak tidak terhad’ yang dinyatakan oleh Zeno adalah sebenarnya ‘ jarak yang terhad’.

HUJAH 1

HUJAH 2

Bukti Hujah 2

Paradoks Stadium juga dikenali sebagai paradoks barisan.

Ini adalah kerana situasi ini juga menunjukkan situasi barisan dalam

kawad kaki tentera.

Paradoks Stadium

• Pernyataan: Ruang dan masa boleh dibahagikan hanya dengan jumlah yang pasti.

• Bukti: Separuh daripada masa adalah sama dengan dua kali masa.

Kami wakili kura-kura sebagai tentera.

A

B

C

•Barisan A dalam keadaan pegun.•Manakala barisan B dan C bergerak dalam arah yang bertentangan pada kelajuan yang sama.

A

B

C

Rajah 1

A

B

C

Rajah 2

Untuk berada dalam keadaan selari seperti rajah ke 2

A

B

C

A

B

C

1. Barisan B harus melepasi seorang dalam barisan A 2. Barisan C harus melepasi 2 orang daripada barisan B

Rajah 1

Rajah 2

Hujah Matematik

Halaju barisan A = s

Halaju barisan B = s

Halaju barisan C = 2s

Jarak untuk habiskan pergerakkan = 2D m (2 unit)

Waktu yang diperlukan untuk habiskan pergerakkan

=

=

= 1 unit waktu (s)

Walaubagaimanapun realitinya ruang dan masa tidak boleh dibahagikan

Paradoks Anak Panah

• Paradox ini menyangkal bahawa masa dan ruang adalah suatu yang berasingan (discrete)

• Pernyataan = pergerakkan adalah mustahil

• Bukti = semua objek adalah dalam keadaan pegun dan tidak bergerak.

Paradoks Anak Panah

• Anak panah dalam penerbangan pada mana-mana ketika anak panah itu adalah dalam keadaan pegun (at rest).

• Masa yang diambil oleh anak panah mencapai sasaran adalah sekumpulan ketika (masa sekarang) anak panah dalam penerbangan.

• Seperti rajah di atas setiap ketika itu adalah masa iaitu kumpulan ketika (moment of now)

Persoalan

• Anak panah itu bergerak atau tidak?• Jika tidak, anak panah itu harus dalam

keadaan pegun dan bukan dalam penerbangan.

• Jika bergerak, pada 1 ketika atau saat anak panah itu adalah dalam keadaan pegun dan tidak bergerak dan tiada jarak direkodkan.

Persoalan utama

• But if it doesn’t travel in any one moment, then when

does it move?• Jika menurut paradoks ini anak panah

itu tidak bergerak dalam mana-mana ketika bilakah ianya bergerak dari satu

ketika ke satu ketika yang lain?

Hujah

• Anak Panah terbang jarak d=20m• Masa t= 4s• Halaju anak panah adalah v=d/t

=20m/4s=5

• Menurut Zeno pada suatu ketika (1 saat) jarak pergerakkan anak panah adalah 0

• Namun sebenarnya jarak pergerakkan ketika itu boleh dikira iaitu d=5

=5m (per second)= 5 meter dalam satu saat.

SEKIAN, TERIMA KASIH