metode statistika (stk211) - stat.ipb.ac.id · pdf filemetode statistika (stk211) peubah acak...

Metode Statistika (STK211)

Peubah Acak dan Sebaran Peluang

(Random Variable and Probability Distribution)

Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si

Dept. Statistika IPB, 2015

1

Konsep Peubah Acak(Random Variable)

• Peubah acak merupakan suatu fungsi

(function) yang memetakan ruang kejadian

(daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah

fungsi).

• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah

dalam statistika untuk mengkuantifikasikan

kejadian-kejadian alam.

• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu

memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM

RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU

BILANGAN pada bilangan riil.

2

• Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi Wilayah fungsi

S1 .

S2 .

S3 .

S4 .

S5 .

S6.

X(ei)

. 0

. 1

3

Tipe Peubah Acak

• Diskret

Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)

Misalkan X = banyaknya komputer yang terjualdalam seminggu di toko A.

• Kontinu

Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapatdicacah (uncountable)

Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selanginterval

Misalkan X = tinggi badan (cm)

Contoh lain : berat (kg, g, dsb), waktu (jam, menit, dsb)

4

Peubah Acak Diskret

5

• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

• Fungsi peluang dari peubah acak diskretmenampilkan nilai dan peluang dari peubahacak tersebut

• Jumlah total nilai peluang dari semuakemungkinan nilai peubah acak tersebut samadengan 1

• Peluang dari sembarang kejadian dapatdibentuk dengan menambahkan peluang darikejadian-kejadian yang membentuk sembarangkejadian tersebut

• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantungdari sebaran peluang kejadiannya.

6

Kembali ke ilustrasi pelemparan sebutir dadu yang setimbang

SEBARAN PELUANG (probability distribution) adalahpemetaan setiap nilai peubah acak dengan nilaipeluangnya. Untuk kasus pelemparan sebutir dadu di atasdapat dijabarkan sebagai berikut:

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang muncul

Kejadian S1 S2 S3 S4 S5 S6

Peluang

kejadian

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

X 0 1 0 1 0 1

x 0 1

P(X=x) 1/2 1/2

X 0 1

Tabel Sebaran Peluang bagi X:

7

Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.25) hlm. 164

Toss two fair coins and let x equal the number of

heads observed. Find the probability

distribution for x.

8

Nilai Harapan Peubah AcakDiskret

• Nilai harapan dari peubah acak adalah

pemusatan dari nilai peubah acak jika

percobaannya dilakukan secara berulang-ulang

sampai tak berhingga kali.

• Secara matematis nilai harapan dapat

dirumuskan sebagai berikut:

n

i

ii xpxX1

diskret p.a X jika ),()(

9

Sifat-sifat nilai harapan:

• Jika c konstanta maka E(c ) = c

• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c

maka E(cX) = c E(X)

• Jika X dan Y peubah acak

maka E(X+Y) = E(X) + E(Y)

E(X-Y) = E(X) - E(Y)

10

Ragam Peubah Acak

• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai

berikut:

V(X) = E(X-E(X))2

= E(X2) – [E(X)] 2 tunjukkan !

• Sifat-sifat dari ragam

Jika c konstanta maka V(c ) = 0

Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka

V(cX) = c2 V(X)

Jika X dan Y peubah acak maka,

V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)

Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika

X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

11

Contoh:

• Jika diketahui distribusi peluang dari peubahacak X seperti tabel di bawah ini:

• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = [(0)(1/6)+(1)(1/6) +(2)(1/6) +(3)(1/6)

+(4)(1/6) +(5)(1/6)]

= 0 + 1/6 + 232/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

Nilai peubah Acak X

X 0 1 2 3 4 5

P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

12

Lanjutan:

• Ragam p.a X adalah:

Nilai peubah Acak X

X 0 1 2 3 4 5

P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

V(X) = E(X2) – [E(X)]2

= [(02)(1/6)+(12)(1/6) +(22)(1/6) +(32)(1/6)

+(42)(1/6) +(52)(1/6)] - (15/6)2

= 55/6 - 225/36 = 105/36

13

Berdasarkan E(X) dan V(X) tersebuttentukan:

a. E(2X)

b. E(4 - 3X)

c. V(2X)

d. V(4 – 3X)

14

Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167

An electronics store sells a particular model of computer

notebook. There are only four notebooks in stock, and the

manager wonders what today’s demand for this particular

model will be. She learns from the marketing department

that the probability distribution for x, the daily demand for the

laptop, is as shown in the table. Find the mean, variance,

and standard deviation of x. Is it likely that five or more

customers will want to buy a laptop today?

15

Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167

16

E(X) = μ mean (nilai harapan)

V(X) = σ2 variance (ragam)

Beberapa sebaran peluangdiskret yang banyak digunakan:

• Bernoulli

• Binomial

• Poisson

17

Sebaran Peluang Bernoulli

Kejadian yang diamati merupakan

kejadian biner yaitu sukses atau gagal

Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika

kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

Misal, p=peluang sukses, dan q=peluang

gagal, maka fungsi peluang Bernoulli

dapat dituliskan sebagai:

P(x,p) = pxq(1-x); x=0,1dimana q = 1-p

E(X) = p; Var(X) = pq = p(1-p)

18

Seseorang pemain akan melakukan

lemparan bebas. Misalkan peluang bola

tersebut masuk ring sebesar 80%,

maka peluang bola tidak masuk ring

adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti.

Jika peluang bola masuk sebesar

95% maka peluang bola tidak masuk

sebear 5%.

19

Sebaran Peluang Binomial

Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang

saling bebas

Peubah acak Binomial merupakan

jumlah dari kejadian sukses,

X=0,1,2,….,n

Fungsi peluang dari kejadian Binomial

dapat dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x); x=0,1,2,…,n

dimana C(n,x) = n!/(x!(n-x)!)

q = 1-p

E(X) =np var(X)=np(1-p)20

Percobaan Binomial

21

22

Jika peubah acak X didefinisikan

sebagai banyaknya lemparan bebas

yang sukses dari 3 lemparan

p= peluang sukses untuk sekali

melakukan lemparan bebas

G S G

S G G

G G S

S S G

S G S

G S S

S S S x=3

x=2

x=1

232 )1(2

3)2(

ppXP

333 )1(3

3)3(

ppXP

G G G x=0 030 )1(0

3)0(

ppXP

131 )1(1

3)1(

ppXP

Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p 23

Ilustrasi : Mendenhall (Example 5.4) hlm. 188

24

Latihan

Peluang turun hujan per hari diketahui

p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam

satu minggu (7 hari), hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan

dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun

hujan satu hari dalam satu minggu?

25

Peubah Acak Kontinu

26

• Misalkan X adalah suatu peubah acak

kontinu

• Fungsi peluang dari peubah acak kontinu

merupakan fungsi kepekatan peluang

(probability density function)

• Integral fungsi kepekatan peluang dari

semua kemungkinan nilai sama dengan 1

• Peluang dari suatu selang nilai dapat

dibentuk dengan mengintegralkan fungsi

kepekatan peluang dalam selang nilai

tersebut

27

Beberapa sebaran peluangkontinu yang banyak digunakan

• Normal

• Weibull

• Gamma

• Beta

28

Sebaran Peubah Acak Kontinu

29

Sebaran Normal

Bentuk sebaran simetrik

Mean, median dan modus berada dalam satu titik

Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai

berikut:

Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan

normal:

Peubah acak X dengan mean (E(X) = ) dan ragam

( V(X) = 2) menyebar normal sering dituliskan sebagai

berikut : X ~ N (, 2)

2

2

1

2

2

1),,(

x

exf

b

a

aFbFdxxfbxap )()()()(

30

Sebaran Normal

31

Bentuk sebaran normal denganberbagai nilai ragam

Data

Pe

rce

nt

3624120-12-24-36

60

50

40

30

20

10

0

Variable

ragam 1

ragam 3

ragam - 5

ragam -10

Semakin besar ragam dari sebaran normal

maka semakin landai bentuk sebarannya

32

Nilai Harapan Peubah AcakKontinu

• Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam

jangka panjang

• Secara matematis nilai harapan dapat

dirumuskan sebagai berikut:

kontinu p.a X jika ,)()( dxxfxX ii

33

• Setiap peubah acak normal memilikikarakteristik yang berbeda-beda perhitunganpeluang akan sulit

• Lakukan transformasi dari X N( , 2) menjadi peubah acak normal baku Z N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi

• Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuktabel peluang normal baku

XZ

34

Sebaran Normal Baku (Standard Normal)

Cara penggunaan tabel normal baku

Nilai z, disajikan pada

kolom pertama (nilai z

sampai desimal

pertama) dan baris

pertama (nilai z

desimal kedua)

Nilai peluang didalam

tabel normal baku

adalah peluang

peubah acak Z kurang

dari nilai k (P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03

-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z < -2.42)=0.008

35

Ilustrasi : Mendenhall, hlm. 226-230

36

Latihan (1)

Curah hujan dikota Bogor diketahui

menyebar normal dengan rata-rata tingkat

curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2.

Hitunglah,

a. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15

mm?

b. Curah hujan di kota Bogor antara 17 mm

sampai 31 mm?

c. Curah hujan di kota Bogor di atas 37

mm?

d. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang

10% curah hujan tertinggi, berapa batas

curah hujan tersebut!37

38

Diketahui X menyebar Normal dengan

E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm

(a) P( x < 15) = ....

Jadi P(x < 15) = P(z < -2) = 0.0228

39

Diketahui X menyebar Normal dengan

E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm

(b) P(17 < x < 31) = ....

Jadi P(17 < x < 31) = P(-1.60 < z < 1.20)

= P(z < 1.20) - P(z < -1.60)

= 0.8849 - 0.0548

= 0.830

40

Diketahui X menyebar Normal dengan

E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm

(d) P(x > a) = 10% = 0.10

P(z > z1) = 0.10 1 – P(z < z1) = 0.10

P(z < z1) = 0.90

z1 = 1.28

Latihan (2)

Diketahui bahwa gaji menyebar normal

dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar

deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara

acak:

a. Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2

juta?

b. Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta

sampai 3,2 juta?

c. Jika 23% orang mempunyai gaji

tertinggi, tentukan batas bawah dari

range tersebut!

41

PR/Tugas (2) – Persiapan UTS

Dikumpulkan di Dept Statistika, pada hari Selasa minggu depan

sebelum jam 10.00

1. Mendenhall (Exercise 4.42), hal. 155 tetap

2. Mendenhall (Exercise 4.62), hal. 157 smokers : 20% + m%

3. Mendenhall (Exercise 4.86), hal. 170 percentage : 52% + m%

4. Mendenhall (Exercise 5.96), hal. 217 successful : 80% + m%

5. Mendenhall (Exercise 6.10), hal. 234 tetap

6. Mendenhall (Exercise 6.18), hal. 234 st.dev : 0.15 + 0.m

42

Catatan : m = (digit ke-8) + (digit ke-9) dari NIM

Misal NIM : G84130075 m = 7 + 5 = 12

Materi ini bisa di-download di:

kusmans.staff.ipb.ac.id

43

Terima Kasih