matematika - unsyiah
Post on 15-Oct-2021
17 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATEMATIKA Untuk Fisika dan Sains Jilid 2.
MATEMATIKA Untuk Fisika dan Sains Jilid 2
Edisi Pertama
NGADIMIN
Penerbit:Bandar PublishingJln. Tgk Lamgugob, Ds LamgugobSyiah Kuala,Banda AcehE-mail:bandar.publishing@gmail.comwww.bandarpublishing.com
Dosen Pada Universitas Syiah Kuala Banda Aceh.
ISBN: 978-602-5440-48-9
iii
KATA PENGANTAR
Puji beserta syuakur senantiasa penulis sampaikan kehadirat Allah SWT, atas
kudrah dan iradah-Nya, karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat
menyelesaikan buku ini. Buku yang penulis susun ini merupakan buku edisi pertama,
terbagi kedalam dua jilid, yaitu Matematika Untuk Fisika dan Sains Jilid 1 dan yaitu
Matematika Untuk Fisika dan Sains Jilid 2.
Buku ini disusun dalam rangka untuk memenuhi kebutuhan sumber belajar
yang tergolong langka bagi mahasiswa yang mengikuti perkuliahan terutama pada
Program S1 dalam bidang Fisika dan bidang Sains lainnya. Peranan matematika
dalam ilmu fisika dan sains sangat penting, hal ini mengingat untuk memahami dan
mendalami ilmu fisika dan sains secara baik sangat dibutuhkan kemampuan
menggunakan matematika sebagai alat dan metode pemecahan masalah. Atas dasar
pertimbangan tersebut, cakupan isi dalam buku ini mengacu pada kompetensi yang
dibutuhkan bagi mahasiswa program sarjana dalam bidang fisika dan sains.
Penyajian dalam buku ini terdiri dari uraian materi yang disertai contoh dan
penyelesaian, latihan-soal-soal, dan contoh penerapan dalam kasus fisika, dengan
harapan agar mahasiswa dapat lebih mudah mempelajari, berlatih memecahkan
permasalah yang berkaitan dengan fisika.
Penulis berharap buku ini dapat memberikan makna yang berarti dan
menjadi jembatan dalam mempelajari fisika dan sains dimasa mendatang. Tentu
saja sebagai seorang manusia penulis tak luput dari kekurangan, sehingga banyak
hal yang terkait dengan penulisan buku ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena
itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran untuk perbaikan buku ini dimasa
mendatang.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada semua pihak yang telah membantu penulisan dan penerbitan buku ini.
iv
Semoga semua amal kebaikan kita diterima dan mendapat fahala di sisi Allah
Subhanahu Wata’ala,..... Amiiin.
Penulis,
Drs.Ngadimin, M.Si
v
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .......................................................................................... iii
DAFTAR ISI ....................................................................................................... v
BAB 1. PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
BAB 2. INTEGRAL LIPAT ................................................................................. 3
2.1 INTEGRAL LIPAT ............................................................................................ 4
2.1.1 Integral Satu Variabel ............................................................................ 4
2.1.2 Integral Lipat Dua ................................................................................. 8
2.1.3 Integral Lipat Tiga .............................................................................. 10
2.2 PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DALAM FISIKA ............................................ 11
2.3 TRANSFORMASI KOORDINAT ........................................................................ 16
Transformasi Koordinat; Jacoby ................................................................. 21
BAB 3. ANALISA VEKTOR .............................................................................. 25
3.1 DIFERESIAL VEKTOR ................................................................................... 26
3.1.1 Diferensial Vektor Fungsi Satu Variabel Peubah.............................. 26
3.1.2 Operator Diferensial Vektor ............................................................... 28
3.2 INTEGRAL VEKTOR ...................................................................................... 33
3.2.1 Integral Lintasan ................................................................................ 33
3.2.2 Integral Lintasan Tertutup ................................................................ 35
3.2.3 Integral Permukaan............................................................................ 37
3.2.4 Teorema Green dan Teorema Stokes ................................................ 39
3.2.5 Integral Permukaan Dan Integral Volume; ..................................... 44
Teorema Divergensi: ............................................................................ 44
3.3 OPERATOR NABLA DALAM KOORDINAT UMUM ......................................... 49
vi
BAB 4. INTEGRAL FUNGSI KHUSUS............................................................. 55
4.1 FUNGSI FAKTORIAL ..................................................................................... 56
4.2 FUNGSI GAMMA ........................................................................................... 57
4.3 FUNGSI BETA................................................................................................ 62
BAB 5. DERET FOURIER ................................................................................ 67
5.1 FUNGSI PERIODIK ......................................................................................... 68
5.2 FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL ........................................................... 70
5.3 DERET FOURIER ........................................................................................... 74
5.4 FUNGSI SUATU PERIODE P = 2L .................................................................. 79
BAB 6. PERSAMAAN DIFERENSIAL ............................................................ 83
6.1 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN DERET ................................. 84
6.2 PERSAMAAN LEGENDRE .............................................................................. 86
6.3 POLINOM LEGENDRE ................................................................................... 88
6.3.1 Aturan Leibniz .................................................................................... 89
6.3.2 Formula Rodrigues Untuk Polinom Legendre ................................. 90
6.3.3 Fungsi Pembangkit Polinom Legendre ............................................. 91
6.3.4 Ekspansi Potensial .............................................................................. 92
6.4 PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL ......................................................... 95
BAB 7. PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ........................................ 103
7.1 MODEL FISIKA DALAM BENTUK PDP .................................................. 105
7.2 PEMECAHAN PDP DENGAN SPARASI VARIABEL; ................................. 106
7.2.1 Distribusi Suhu Dua Dimensi .......................................................... 106
7.2.2 Aliran Panas (difusi) .......................................................................... 112
7.2.3 Persamaan Gelombang .................................................................... 114
Persamaan Gelombang Satu Dimensi; ...................................................... 114
7.3 PENYELESAIAN PDP DALAM KOORDINAT SILINDER ............................... 123
7.3.1 Potensial Listrik. ................................................................................. 123
7.3.2 Temperatur Keadaan Mantap Pada Koordinat Silinder............... 127
vii
7.4 PENYELESAIAN PDP DALAM KOORDINAT BOLA. .................................... 129
DAFTAR KEPUSTAKAAN .............................................................................. 133
DAFTAR INDEKS ............................................................................................. 134
RIWAYAT SINGKAT PENULIS ..................................................................... 135
PENDAHULUAN
1
Bab 1. PENDAHULUAN
Matematika sebagai alat atau cara sekaligus sebagai bahasa untuk memecahkan
berbagai permasalahan dalam bidang sains kususnya bidang fisika terutama dalam
karakterisasi dan hubungan antara variabe-variabel yang mempengaruhi berbagai keadaan
fisis tersebut. Matematika menjadi kunci utama dalam menganalisis permasalahan untuk
membuka berbagai tabir yang tersembunyi di balik keberadaan fisis dengan berbagai
atribut yang melekat padanya. Oleh karenanya, kemampuan menguasai matematika
menjadi mutlak bagi mahasiswa yang menggeluti bidang fisika, sains dan teknologi.
Buku ini juga dpaat menjadi sumber bahan ajar bagi para pengajar di perguruan tinggi
terkait mata bidang-bidang tersebut.
Buku ini membahas konsep-konsep matematika yang berkaitan langsung dan
sangat diperlukan dalam mempelajari bidang sains yang disebutkan di atas. Isi buku ini
terbagi dalam tujuh bab yang disertai dengan sistematika dan contoh-contoh soal serta
penerapannya dalam fisika dengan harapan agar mudah difahami dan kuasai oleh pembaca.
Melalui latihan soal-soal diharapkan mahasiswa dapat belajar dan mencapai kompetensi
yang diharapkan dari materi kuliah ini. Pada bab 2 buku ini membahas integral lipat
dua dan integral lipat tiga dalam berbagai sistem koordinat yang diserti contoh-
contoh penerapan seperti menghitung luas, volume, massa, dan bersaran lain dalam
fisika. Penggunaan integral lipat dalam menganalisis medan vektor dibahas dalam
bab 3, yang hal ini diperlukan untuk memberi dasar berfikir analitis dalam
mengkaji medan vektor yang banyak dijumpai dalam ilmu fisika. Diantara konsep
penting yang berkaitan dengan medan vektor yaitu integral garis, integral
permukaan, teorema stokes untuk vektor yang bersifat rotasional, teorema
PENDAHULUAN
2
divergensi berkaitan dengan fluksi medan yang menembus permukaan dan lain-
lain. Selanjutnya pada bab 4 membahas tentang integral fungsi khusus seperti
fungsi faktorial, fungsi gamma dan fungsi beta yang banyak ditemukan dalam
mempelajari distribusi partikel benda padat, gas dan lainnya, dilanjutkan dengan
deret fourier untuk mengkaji fenomena yang bersifat periodik. Sedangkan bab 6
pada buku ini membahas tentang persamaan diferensial khusus yaitu persamaan
diferensial Bessel dan persamaan diferensial Legendre yang pemecahannya tidak
dapat diperoleh dengan cara penyelesaian diferensial biasa. Selanjutnya bab 7
membahas tentang pemecahan persamaan diferensial parsial dengan beberapa
contoh penerapan dalam fisika.
Penulisan buku ajar ini dimaksudkan untuk menyediakan sumber belajar bagi
mahasiswa dan bahan ajar bagi para pengajar khususnya dalam bidang fisika dan
bidang sains lainya. Tujuan penulisan buku ajar Matematika Fisika II ini adalah:
1. Untuk menyediakan sumber belajar bagi para pembaca khususnya
mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika untuk Fisika pada
dalam bidang fisika dan bidang sains lainya.
2. Untuk menyediakan bahan ajar bagi para dosen pengampu mata kuliah
diperguruan tinggi khususnya yang mengajar mata kuliah Matematika
untuk Fisika dalam bidang fisika maupun bidang sains.
INTEGRAL LIPAT
3
Bab 2.
INTEGRAL LIPAT
Pada perkuliahan kalkulus dan fisika dasar, konsep integral sudah dipelajari
dan digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan seperti menghitung
kecepatan, jarak yang ditempuh benda, usaha oleh gaya pada benda, luas benda,
volume benda, massa benda dan lain sebagainya. Integral yang sudah dipelajari
tersebut umumnya memiliki satu variabel peubah bebas atau sering juga disebut
integral fungsi satu variabel peubah bebas. Pada bab ini akan dipelajari integral
fungsi yang bergantung lebih dari satu variabel koordinat. Disebut integral lipat
dua karena mengandung dua variabel koordinat dan disebut integral lipat tiga
karena mengandung tiga variabel koordinat. Pembahasan akan dimulai dengan
integral lipat dalam koordinat kartesius baik dalam dua dimensi maupun tiga
dimensi, kemudian dilanjutkan dengan pembahasan integral lipat dalam koordinat
lainnya disertai dengan contoh penggunaannya dalam fisika.
Tujuan yang ingin dicapai setelah mempelajari materi bab ini adalah:
1. Mahasiswa dapat menganalisis integral untuk menghitung luas dan volume yang
dibentuk oleh kurva.
2. Mahasiswa dapat menerapkan integral lipat dalam menyelesaikan berbagai
permasalahan fisika, diantaranya: luas benda, volume benda, massa benda, titik
massa dan momen inersia benda.
3. Mahasiswa dapat menganalisis integral lipat dalam berbagai sistem koordinat.
4. Mahasiswa dapat melakukan transformasi integral dari stau koordinat kekordinat
lainnya.
INTEGRAL LIPAT
4
2.1 Integral Lipat
2.1.1 Integral Satu Variabel
Tinjau suatu fungsi misalkan fungsi y terdefinisi pada selang [a,b] dalam ruang
koordinat dua dimensi dengan lebar x=(b-a)/n, sebagaimana tampak pada gambar berikut
ini.
(1a)
( 1b)
Gambar 1: Luas elemen di bawah kurva
Luas elemen di bawah kurva yang diarsir setinggi yi =f(xi) dan lebar ∆x adalah Ai=yi∆x.
(indeks i=1,2,3,4… menyatakan elemen ke i). Luas total di bawah kurva yang dibatasi
oleh x dari a ke b pada gambar adalah jumlah seluruh elemen luas yang masing-masing
dengan tinggi yi dan lebar ∆x, yaitu A=∑ yi∆x, yang dapat juga dinyatakan dalam
integral sebagai berikut:
1
( )
bn
i i
i a
A y x y x dx
(2-1)
Contoh 1:
Hitunglah luas di bawah kurva yang dibatasi dari x= 0 sampai x=4, jika diberikan
persamaan kurva:
2( ) 2 3f x x x
Jawab:
2 222 3 232
3 21
1 1
( ) (2 3 )A f x dx x x dx x x
INTEGRAL LIPAT
5
14 3 28 9 3732 3 22 13 2 3 2 6 6
2 1A
satuan
Contoh 2:
Diketahui sebuah kurva dalam bidang koordinat dinyatakan oleh y(x) = √ , dengan
x adalah variabel bebas.
a) Tentukan luas dibawah kurva yang dibatasi dari x=1 ke x=2
b) Bandingkan hasil perhitungan luas dibawah kurva tersebut jika
menggunakan fungsi x(y) .
Jawab: a) Dari bentuk kurva diberikan oleh :y(x) = √ ,
Dengan sumbu x dibatasi dari x=1 ke x=2
maka diperoleh luas dibawah kurva adalah:
32
2 2
2 23 3
11
8 1C x
A ydx xdx x
b) Jika diubah variabel menjadi x(y) maka kurva pada a) ditulis menjadi: x
= y2, sehingga dx = 2y dy. Sedangkan batas integral berubah dari
sebelumnya x=1 ke x=2, menjadi y=1 ke y =√ .
Maka:
2 2 2
2
1 1 1
3 22 213 3
2 2
8 1
x y y
A ydx y ydy y dy
A y
Ada kalanya daerah luasan bidang dibatasi oleh dua kurva y1(x) dan y2(x) seperti
gambar (2a) di bawah ini.
(2a)
(2b)
Gambar 2. Integral antara dua kurva
INTEGRAL LIPAT
6
Luas antara dua kurva pada gambar (2a) tersebut adalah:
( ) ( )2 1
b
x x
a
A y y dx (2-2)
Untuk keperluan perhitungan kita dapat mengbubah y(x) menjadi bentuk x(y). Hal ini
dilakukan apabila dengan cara tersebut memudahkan dalam penyelesaian. Perubahan y(x)
menjadi x(y) menyebabkan bentuk integral juga berubah. Elemen luas sebagaimana
gambar (2b) dibatasi oleh dua kura x1 dan x2 , maka integral luas ditulis sebagai:
( ) ( )2 1
d
y y
c
A x x dy
(2-3)
Contoh 3:
Hitung luas daerah yang dibatasi ole dua kurva y x
dan 22y x
Jawab:
Perhatikan gambar, pada titik potong kurva
maka y1 = y2, sehingga diperoleh titik
potong:
22x x => 2 2 0x x
( 2)( 1) 0x x
Jadi kedua kurva berpotongan dititik x1=-2 dan x2=1. Kedua titik ini merupakan batas
integral, sehingga luasantara dua kurva adalah:
1 1
2
2 1
2 2
3A y y dx x x dx
= 3 2 11 123 2
3x x x
1 1
3 2
3 91 13 2 2 2
3 1 2 1 8 1 4
6 9 ( 3) 6 3
A
A
Panjang Kurva.
Tinjau elemen panjang kurva dS yang terbentuk dari perubahan elemen dx
sebagaimana diperlihatkan pada gambar. Karena y(x) adalah fungsi bergantung pada
INTEGRAL LIPAT
7
variabel x, sehingga perubahan variabel sebesar dx menyebabkan perubahan elemen tinggi
kurva sebesar dy, atau y’=dy/dx.
Gambar: Elemen Panjang Kurva
Berdasarkan dalil Pytagoras maka elemen
panjang kurva dS dinyatakan :
2 2dS dx dy
Atau:
2
1 ' 1dy
dxdS dx y da
Panjang Kurva S yang dibatasi oleh x dari a
ke b adalah:
21 '
b
a
S y dx (2-4)
Luas Selubung Yang Dibentuk Kurva.
Apabila kurva y(x) pada gambar di atas kita putar
sebesar 2,akan membentuk cincin lingkaran
seperti gambar disamping. Elemen luas cincin
terbentuk dari lingkaran sepanjang kurva dS dengan
jari-jari y, jadi:
2dA ydS
Jika kemudian diintegralkan maka akan diper-oleh
luas total berupa selubung yang dibatasi misalnya
oleh x dari a ke b, yaitu:
2
( ) ( )
0
2 2 1
S b
x x
a
A y dS y y dx (2-5)
Contoh 4:
Diketahui sebuah kurva dalam bidang koordinat dinyatakan oleh y = 2x, dengan x
adalah variabel bebas.
INTEGRAL LIPAT
8
a) Tentukan panjang kurva yang dibatasi dari x=1 ke x=4
b) Tentukan luas dibawah kurva yang dibatasi dari x=1 ke x=4
c) Tentukan luas selubung yang dibentuk oleh kurva jika diputar melalui sumbu x,
dan dibatasi dari x=1 ke x=4.
Jawab:
a) Berdasarkan persamaan kurva y =2 x, diperoleh ( ) 2xy
Maka elemen panjang dS adalah:
2 21 1 2 5dS y dx dx dx
Panjang kurva yang terbentuk dari x = 1 ke x =4 adalah:
4
1
5 3 5x
S dx
b) Tinjau elemen luas dibawah kurva: dA= y dx = 2x dx,
Maka luas total di bawah kurva y=2x yang dibatasi oleh x dari x=1 sampai x=4, adalah
4 4 4
2 2 2
11 1
2 2 4 1 30A dA xdx x
c) Luas selubung dA dibentuk oleh elemen kurva dS dengan jari-jari y yang diputar
melalui sumbu x adalah: dA = y dS (berbentu cincin atau selubung). Maka luas
total selubung:
4 4 42
11 1
2 2 2 5 2 5 2 2 5 .S x x
A ydS x dx xdx x
2 22 5 4 1 30 5
2.1.2 Integral Lipat Dua
Integral lipat dua atau sering disebut integral luas memiliki dua variabel integral.
Jika fungsi f(x,y) terdefinisi pada daerah A dalam bidang (x,y), integral lipat dua dari
fungsi f(x,y) secara umum dirumuskan sebagai:
INTEGRAL LIPAT
9
( , )x y
A
f dxdy (2-6)
A : Luas daerah yang membatasi integral
f(x,y) : fungsi bergantung pada nilai x dan nilai y.
Contoh 5:
Selesaian integral lipat berikut:
1 3 3
0 0
x
x y
dxdy
Jawab:
1 3 3 1 3 3 1 3 3
00 0 0 0 0
x x x
x y x y x
dxdy dy dx y dx
1 1
232
00
3 3 3x
x dx x x
23 3 3
2 2 23.1 .1 3
1 3 3
32
0 0
x
x y
dxdy
Contoh 6:
Dapatkan hasil integral berikut
4 2
0 0
(3 2)
x
x y
x dxdy
Jawab:
4 2 4 2
0 0 0 0
(3 2) 3 2
x x
x y x y
x dxdy x dx dy
4 2
00
3 2
x
x
x dx y
4
0
3 2 2 0x
x dx x
4
2
0
6 4x
x x dx
3 2 3 24
2 2 2.4 2.40
x x 2.64 2.16 128 32 96
Diperoleh hasil :
4 2
0 0
(3 2)
x
x y
x dxdy
96
INTEGRAL LIPAT
10
2.1.3 Integral Lipat Tiga
Integral lipat tiga atau sering disebut integral volume memiliki tiga variabel
integral. Integral lipat tiga dari sebuah fungsi f(x,y,z) yang terdefinisi pada volum V
dalam ruang koordinat (x,y,z)) secara umum dirumuskan sebagai:
( , , )x y z
V
f dxdydz (2-7)
Dalam hal ini, V : batas integral, dan f(x,y,z): fungsi yang terdefinis dalam ruang V.
Contoh 7: Hitunglah integral lipat tiga berikut ini:
2 2
0 8
z
z x z y x
dydxdz
Jawab:
2 2 2 2
0 8 0 8
z z
z x z y x z x z y x
dydxdz dy dxdz
22 2 2
2
0 0
( 8 ) ( 4 )x zz x z z
z x dxdz zx x dz
2
2
0
(2 ) 4(2 )z
z z z dz
2
2
0
2 4 2z
z z z dz
2
22 313
0
2 2z
z z z
2 22 2 3 313
2 0 2 0 2 2 2 2 0
Jadi:
2 2
0 8
8 204 8
3 3
z
z x z y x
dydxdz
================================================================
Soal Latihan 2.1:
Selesaikan integral berikut:
1 4
0 2
) 3x y
a x dxdy
1 2
2 1
) 8y x
b xy dxdy
2 2
0 2
)y x y
c dxdy
2 1
1
)y x y
d xdxdy
2 2
0 8
)
z
z x z y x
e dydxdz
2 2
0 1 0
)
yx
x y z
f dxdydz
2 4
0 1 0
)
yx
x y z
g zdxdydz
2 4
0 1 0
)
yx
x y z
h ydxdydz
============================================================
INTEGRAL LIPAT
11
2.2 Penerapan Integral Lipat Dalam Fisika
Integral lipat dua dan integral lipat tiga secara geometri memiliki banyak
aplikasi dalam fisika terutama pada benda, diantaranya massa benda, momen inersia, titik
massa, muatan listrik, medan listrik dan lain-lain.
a. Massa benda:
Pandang elemen massa dm dengan luas dA dan memiliki rapat massa , sehingga
memenuhi: dm = dA
Jika elemen luas dA = dx dy , berarti dm = dxdy.
Gambar. Massa benda lempeng
dA =dxdy
dx
dy
f(x,y)
Massa total benda (M) jika dinyatakan dalam bentuk integral lipat dua dan integral lipat
tiga, masing-masing adalah:
Dua dimensi: ( )xy
A
M dxdy
(2-8)
Tiga dimensi: ( )xyz
V
M dxdydz (2-9)
Dalam hal ini: (xy): rapat massa (massa persatuan luas); dan (xyz) : rapat massa (massa
persatuan volume).
b. Titik Pusat Massa Benda:
Tinjau sebuah benda bermassa yang berada pada titik (x,y) ditinjau dari titik asal O
sebagaimana gambar dibawah. Gambar (a) menunjukkan sebuah massa titik . Sedangkan
gambar (b) menyatakan sebuah benda kontineu pada bidang (y,x), dengan meninjau
elemen luas dA=dxdy dengan rapat massa (x,y), maka elemen massa dm= dA = dxdy.
INTEGRAL LIPAT
12
(a) (b)
Gambar. Posisi titik massa benda
Posisi rata-rata sebanyak n massa titik terhadap sumbu koordiat (x,y) dinyatakan sebagai
jumlah hasil kali massa dengan jarak masing-masing dibagi massa total adalah:
1
1
N
i
N
i
i i
i
x m
x
m
dan 1
1
N
i
N
i
i i
i
y m
y
m
Apabila masa benda tersebar merata pada daerah yang dibatasi oleh A, maka posisi pusat
massa benda terhadap sumbu koordinat yakni: x , y dinyatakan dalam bentuk integral
sebagai berikut:
xdm
xdm
dan
ydmy
dm
(2-10)
Contoh 8:
Tentukan titik pusat massa benda segitiga seperti pada
gambar disamping terhadap titik asal koordinat, bila rapat
massa adalah ( )
Jawab:
Tinjau elemen massa benda:
Maka massa total benda adalah:
INTEGRAL LIPAT
13
12
63
00
2 2 3 631 102 2 6
3 18
x
M dxdy dy xdx
M x x dx x x
Dengan
1 12 2
6 3 6 32 2
0 0 0 0
6 62 2 31 1
2 20 0. 3 3
x x
x y x ym
x xm
xdm x dxdy x dy dx
xdm x x dx x x dx
3 4 6 3 41 108 8
6 6 54m
xdm x x
Dan
1 12 2
4
3 36 6 62
1 12 2
0 0 0 0 0
6
2 3 2 3 4 6 2 39 9 61 1 1 1 102 4 2 2 16 2 2 16
0
3
279 3 6 6
2
x x
m x y y y
ydm xydxdy ydy xdx x xdx
x x x dx x x x
Dengan demikian diperoleh posisi titik pusat massa terhadap sumbu koordinat masing-
masing adalah:
56 28
18 9
xdmx
dm
27 / 2 3
18 4
ydmy
dm
c. Momen Inersia Benda
Momen inersia sebuah massa m yang berupa titik yang berjarak x terhadap sumbu putar
y adalah:
2
yI x m ; (massa titik)
Dengan menggunakan analogi titik massa tersebut, maka untuk elemen massa dm yang
berjarak x dari sumbu putar y melalui titik asal O mempunyai momen inersia: dIy= x2
INTEGRAL LIPAT
14
dm. Apabila elemen luas benda adalah dA=dxdy, maka momen inersia total benda jika
diputar melalui sumbu putar y dan titik asal O, adalah:
2 2
( , )y x yA
I x dm x dxdy (2-11)
Sedangkan jika diputar melalui sumbu putar x dan titik O, maka momen inersia total jika
diputar terhadap sumbu putar x dan titi asal O adalah:
2 2
( , )x x y
A
I y dm y dxdy (2-12)
Berdasarkan torema sumbu tegak, sesuai dengan gambar b di atas maka jarak antara
elemen massa dm terhadap sumbu z adalah r, dengan:
2 2 2r x y
Jadi momen inersia total benda jika diputar melalui sumbu z dan titik asal O adalah:
2 2
( , )z x y
A
I r dm r dxdy
Atau
2 2
( , )( )z x y
A
I x y dxdy (2-13)
Bentuk persamaan tersebut berkaitan dengan momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu
y, dapat dinyatakan dalam teorema sumbu tegak sebagai berikut:
Iz = Ix + Iy
Contoh 9: Tentukan momen inersia sebuah benda segitiga yang dibentuk dari titik-titik
(0,0), (0,6), dan (3,6) yang diputar melalui sumbu koordinat, bila rapat massa
adalah tetap.
Jawab:
Tinjau elemen massa benda dm, dalam hal ini dm =
dxdy, sehingga jika diputar melalui sumbu x maka
momen inersianya adalah dIx,
2 2
xdI y dm y dxdy
jika diputar melalui sumbu y maka momen inersianya
adalah dIy,
2 2
ydI x dm x dxdy
INTEGRAL LIPAT
15
Momen inersia total terhadap sumbu putar x adalah:
2 2
xI y dm y dxdy
1122
6 6
2 2 313
00 0 0
6
3 4 271 1 1 1 13 8 24 4 96 16
0
. .162
x x
x
x y x
x
x
I y dxdy y dy dx y dx
I x dx x
Momen inersia total terhadap sumbu putar y adalah:
2 2
yI x dm x dxdy
126 6
2 2 212
0 0 0
6 63 4 41 1 1
2 8 80
0
.
. .6 162
x
y
x y x
y
x
I x dxdy dy x dx x x dx
I x dx x
Momen inersia, jika diputar melalui sumbu z, berdasarkan teorema sumbu tegak maka:
27
16162z x yI I I
================================================================
Soal Latihan 2.2:
1. Sebuah benda memiliki rapat massa homogen, dibatasi oleh bidang 2z+x+y= 0
dan sumbu koordinat pada kuadran satu . Tentukan:
a. Titik pusat massa: x dan y
b. Momen inersia: xI ; yI ; dan zI , masing-masing diputar melalui sumbu
koordinat.
2. Sebuah benda dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang x + y + z = 1. Jika rapat
massa benda konstan, tentukan:
a. Volume benda
b. Posisi koordinat pusat massa
c. Jika rapat massa adalah z, tentukan massa benda dan posisi z .
============================================================
INTEGRAL LIPAT
16
2.3 Transformasi Koordinat
Saat menyelesaikan persoalan integral lipat sering diperlukan perubahan variabel
dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain. Perubahan variabel dari satu
sistem koordinat ke kordinat lain disebut transformasi koordinat. Dilakukannya
transformasi koordinat ini dimaksudkan untuk mempermudah penyelesaian masalah. Jadi,
suatu persoalan integral yang mungkin sulit diselesaikan menggunakan sistem koodinat
yang lama, setelah dilakukan tranformasi ke sistem koordinat yang akan menjadi mudah
diselesaikan.
Ada beberapa sistem koordinat yang sering digunakan dalam menyelesaikan
persoalan . Selain koordinat kartesius yang sudah biasa digunakan, juga ada sistem
koordinat lain diantaranya koordinat polar, koordinat silinder dan koordinat bola yang
tidak kalah penting dan kerap digunakan dalam menyelesaikan persoalan integral lipat.
Sistem koordinat kartesius sangat cocok dan paling sering digunakan untuk menyelesaikan
persoalan integral yang melibatkan bangun geometri berbentuk persegi seperti persegi
panjang, segi tiga, kubus dan lain-lain. Namun untuk persoalan integral yang melibatkan
bangun geometri tidak berbentuk persegi seperti lingkaran, silinder, bola dan lain-lain
kurang cocok jika diselesaikan menggunakan koordinat kartesius.
Berikut ini akan dibahas sistem koordinat yang sering digunakan disamping
koordinat karteius yaitu sistem koordinat polar, sistem koordinat silinder, dan sistem
koordinat bola. Ketiga sistem koordinat yang disebutkan terakhir selain melibatkan posisi
berkaitan dengan jarak perpindahan (panjang) juga melibatkan rotasi (sudut).
a) Koordinat Polar
Koordinat polar merupakan koordinat dua dimensi dibentuk oleh dua sumbu saling
tegak lurus sama seperti halnya koordinat kartesius. Jika pada koordinat kartesius
dinyatakan oleh (x,y), maka pada koordinat polar dinyatakan oleh (r,). Hubungan antara
kedua sumbu kartesius (x,y) dan sumbu polar (r,) dapat diperlihatkan pada gambar
berikut.
INTEGRAL LIPAT
17
Hubungan koordinat kartesius dengan
koordinat polar dinyatakan oleh:
2 2
os
sin
r x y
x r
y r
Jika elemen panjang kurva ds dalam koordinat
kartesius diberikan oleh:
2 2ds dx dy
Maka elemen panjang kurva ds dinyatakan
dalam koordinat polar adalah:
2 2 2ds dr r d ; (Koordinat polar)
2 2
2 2. 1dr d
ds r d r drd dr
Kasus khusus pada koordinat polar yaitu bila r tetap, dalam hal demikian perubahan x dan
y hanya berkaitan perubahan sudut , sebagaimana tampak pada gambar berikut.
(a)
(b)
Berdasarkan gambar (a) maka elemen panjang kurva dinyatakan dalam koordinat
kartesius:
2 2dS dx dy
(koordinat kartesius)
INTEGRAL LIPAT
18
Dengan:
sindx r d , dan cosdy r d
Elemen panjang dalam kordinat polar adalah
ds rd (Koordinat polar)
Sedangkan Elemen luas dA dalam koordinat polar (lengkung) adalah :
dA drds rdrd
b) Koordinat Silinder
Koordinat silinder merupakan koordinat ruang tiga dimensi memiliki tiga sumbu
utama yang saling tegak lurus. Pada dasarnya koordinat silinder dibangun berdasarkan
pada koordinat katesius juga. Apabila tiga sumbu utama pada koordinat kartesius
dinyatakan dalam (x,y,z), sementara dalam koordinat silinder dinyatakan dalam (r,,z).
Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat
silinder dinyatakan oleh:
2 2 2
cos
sin
r x y z
x r
y r
z z
Elemen panjang kurva yang dibentuk oleh elemen
panjang dx, dy dan dz, dalam koordinat kartesius
yaitu:
2 2 2 2ds dx dy dz ;
Sedangkan elemen panjang kurva dalam koordinat
silinder dinyatakan oleh:
2 2 2 2 2ds dr r d dz (2-14)
cos sin
sin cos
dx dr r d
dy dr r d
dz dz
INTEGRAL LIPAT
19
Ada tiga permukaan silinder, apabila silinder dalam posisi tegak maka ketiga permukaan
tersebut yaitu permukaan atas (tutup), permukaan bawah (alas), dan permukaan selubung
samping (kulit) silinder.
Berdasarkan gambar disamping, elemen
luas permukaan tutup dan alas silinder
dinyatakan sebagai:
1dA rdrd (2-15)
Sedangkan elemen luas kulit silinder
dinyatakan oleh:
2dA drd dz (2-16)
Elemen volume dV dalam koordinat
silinder terbentuk dari segmen luas alas
dikali tinggi yaitu:
dV rdrd dz (2-17)
c) Koordinat Bola
Koordinat bola termasuk koordinat ruang tiga dimensi yang memiliki tiga sumbu
utama yang saling tegak lurus satu sama lain. Sebagaimana koordinat silinder, koordinat
bola juga dibentuk dan diturunkan berdasarkan koordinat kartesius. Jika sebuah ruang
pada koordinat kartesius dinyatakan dalam tiga sumbu utama (x,y,z), sementara ketiga
sumbu utama dalam koordinat bola dinyatakan oleh (r, ,). Gambar berikut ini
merupakan posisi sebuah titik dalam ruang tiga dimensi dengan jarak r diukur dari titik
asal koordinat. Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh arah r terhadap sumbu z,
sedangkan sudut adalah sudut yang dibentuk oleh proyeksi r dalam bidang (x,y) yaitu
terhadap sumbu x.
INTEGRAL LIPAT
20
Hubungan antara koordinat kartesius
dengan koordinat bola:
2 2 2
sin
cos sin cos
sin sin sin
cos
r x y z
r
x r
y r
z r
Elemen panjang kurva ds dalam koordinat
bola dinyatakan oleh:
2 2 2 2 2 2 2sinds dr r d r d (2-18)
Gambar berikut ini menjelaskan bagaimana membentuk elemen luas permukaan dan
elemen volume bola.
(a) Elemen luas kulit bola (b) Elemen volume bola
Elemen luas kulit bola yang dibentuk oleh segmen dengan panjang (rd) dan lebar (r sin
d), yaitu:
2 sindA r d d (2-19)
INTEGRAL LIPAT
21
Elemen volum bola yang dibentuk oleh segman dengan panjang (rd), lebar (r sin d),
dan tinggi dr, yaitu:
dV = r2 sin θ drdθdφ (2-20)
d) Transformasi Koordinat; Jacoby
Sebagaimana dijelaskan diatas tujuan transformasi atau perubahan variabel integral
dari suatu sistem koordinat kekordinat yang lain adalah untuk memudahkan penyelesaian
masalah integral lipat. Untuk melakukan transformasi variabel integral dapat digunakan
matriks transformasi disebut Jacoby. Tinjau bentuk integral yang didefinisikan dalam
bentuk:
( )
b
a
f x dx
Jika x dapat dinyatakan dalam variabel baru misalkan: x=x(u) yang merupakan sebuah
fungsi kontineu dan memiliki turunan kontineu dalam selang α≤ u ≤ β, sehingga memenuhi
x(α) = a dan x(β) =b, maka:
( ) ( ( ))
b
a
dxf x dx f x u du
du
Pada kasus integral lipat dua, dengan f sebagai fungsi x dan y:
( , )R
f x y dxdy
Apabila x dan y dapat dinyatakan dalam variabel baru yang memenuhi x=x(u,v) dan
y=y(u,v) yang memiliki turunan kontineu pada bidang uv dalam daerah R*, maka bentuk
integral pada ruang koordinat yang baru adalah:
( , ) ( . ), ( , )
*
. .x y x u v y u v
R R
f dxdy f J dudv (2-21)
J : disebut Jacoby, ditulis sebagai:
,
,
x xx y u v
Jy yu v
u v
(2-22)
INTEGRAL LIPAT
22
hubungan koordinat kartesius (x,y) dengan koordinat polar (r,θ) dinyatakan sebagai:
x = r cos θ, dan y = r sin θ
Maka diperoleh Jacoby J:
cos sin,
sin cos,
rx yJ r
rr
Sehingga transformasi integral luas dari kartesius (xy) kekoordinat polar (r,) menjadi:
*
( , ) ( , ).R R
f x y dxdy f r rdrd (2-23)
Untuk kasus integral lipat tiga (tripel integral), transformasi dari koordinat (x,y,z) menjadi
koordinat (r,s,t) yang baru maka:
*
( , , ) ( , , ). .V V
f x y z dxdydz f r s t J drdsdt (2-24)
Dengan J adalah Jacobian, yaitu:
( , , )
( , , )
x x xr s t
x y z y y yJ
r s t r s t
z z zr s t
(2-25)
Contoh perubahan variabel dari koordinat kartesius (x,y,z) menjadi koordinat silinder (r,θ,
z) dinyatakan:
x = r cos θ; y = r sin θ; z=z
Elemen volume dalam koordinat kartesius adalah: dV=dxdydz, jika dinyatakan dalam
koordinat silinder menjadi:
.dV dxdydz J drd dz
Dengan J adalah Jacobian:
cos sin 0( , , )
sin cos 0( , , )
0 0 1
x x xr z r
x y z y y yJ r r
r z r z
z z zr z
INTEGRAL LIPAT
23
Maka :
dV dxdydz Jdrd dz rdrd dz
Volume total benda adalah:
x y z r z
V dxdydz rdrd dz
Contoh 9:
Hitunglah
V
dxdydz dengan V volume yang bagian bawah dibatasi oleh paraboloid
2 2z x y dan bagian atas oleh bidang z=4.
Jawab:
Berdasarkan persamaan paraboloid 2 2z x y ;
jika y = 0 maka z=x2 adalah bentuk parabola terbalik pada bidang (x,z)
Jika x = 0, maka z=y2 adalah bentuk parabola terbalik pada bidang (y,z)
Penyelesaiannya akan lebih mudah jika menggunakan koordinat silinder:
2 2 2z x y r
Batas ingteral:
z: dari r2 sampai 4
r: dari 0 sampai 2
: dari 0 sampai 2
INTEGRAL LIPAT
24
Jadi:
2
2 2 4
0 0V r z r
dxdydz rdrd dz
= 2
2 2 4 2
2
0 0 0
2 4r rz r
d dz rdr r rdr
2 4 2104
2 2 2 8 4 8r r
===============================================================
Soal Latihan 2.3:
1. Evaluasi integral lipat tiga dalam koordinat bola untuk menghitung volume yang
dibentuk oleh konik 2 2 2z x y dan antara bidang z=1 dan z=2
2. Hitung volume bagian dalam konik 2 2 23z x y , di atas bidang z=2 dan di
bagian dalam bola 2 2 2 36x y z
3. Dapatkan jacobian (x,y)/(u,v) hasil transformasi dari variabel x,y ke variabel
u,v: apabila diketahui:
x= ½ (u2 – v
2), dan y=uv
4. Pada integral berikut, nyatakan dalam koordinat polar dan evaluasi hasil
integralnya.
2
2 21 1
0 0
xx y
I dx e dy
5. Lakukan perubahan variabel integral berikut, kemudian selesaikan:
21/2 1
0
x
x y x
x yI dxdy
x y
jika: x= ½ (r - s), dan y= ½ (r + s)
6. Tuliskan integral lipat tiga dalam koordinat silinder 2 2 4x y dan dibatasi
antara 2 22z x y dan bidang (x,y) .
7. Menggunakan integral lipat tiga, tentukan posisi titik pusat massa benda yang
memiliki rapat massa tetap, bagian bawah dibatasi oleh bidang x,y sedangkan
bagian atas dibatasi oleh: 2 2 2 16x y z
================================================================
ANALISA VEKTOR
25
Bab 3.
ANALISA VEKTOR
Pembahasan pada bab ini akan lebih difokuskan pada vektor kalkulus yang
meliputi prinsip diferensial dan integral dari suatu fungsi vektor dan sifat-sifat
medan vektor. Penggunaan istilah medan vektor ini dikaitkan dengan berbagai
kuantitas fisika yang termasuk dalam besaran vektor seperti gaya, medan gravitasi,
medan listrik, medan magnet dan sebagainya. Sedangkan kuntitas fisika yang
termasuk besaran skalar misalnya adalah massa benda, temperatur dan lain-lain
disebut medan skalar. Keterkaitan antara beberapa medan vektor dan medan skalar
dapat diperoleh berdasarkan operasi diferensial maupun integral terhadap kuantitas
fisika yang berkaitan. Sebagai contoh energi potensial adalah besaran skalar yang
dapat diperoleh melalui proses integral garis dari sebuah medan gaya sebagai
fungsi ruang. Sebaliknya medan gaya dapat diperoleh melalui operasi diferensial
dari energi potensial.
Setelah mempelajari materi ini diharapkan para pembaca agar mampu:
- Menerapkan operator diferensial vektor untuk menganalisis sifat-sifat
medan vektor.
- Menerapkan inegral lipat untuk menganalisis sifat-sifat medan vektor
meliputi integral garis, integral permukaan, dan integral volume terhadap
vektor.
ANALISA VEKTOR
26
3.1 Diferensial Vektor
3.1.1 Diferensial Vektor Fungsi Satu Variabel Peubah
Padang sebuah fungsi misalkan ( )A A u adalah besaran vektor yang
nilainya bergantung pada satu variabel bebas u. Setiap terjadinya perubahan kecil
pada variabel u akan menyebabkan perubahan pada vektor A yang didefinisikan
sebagai turunan A terhadap u sebagai:
0
( )limu
dA u A u u A u
du u
(3-1)
Apabila vektor A merupakan vektor yang berada dalam ruang tiga dimensi dan
memiliki komponen ruang Ax, Ay, dan Az maka:
ˆˆ ˆ yx zdAdA dAdA
i j kdu du du du (3-2)
Contoh 1:
Diketahui posisi sebuah partikel dinyatakan oleh:
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k
dengan: x(t) = 2 cos (t); y(t)= 2 sin (t); dan z(t) = 3 t
Tentukan:
a) kecepatan benda sesaat, dan kecepatan benda pada saat t = 2 detik.
b) Percepatan benda sesaat, dan percepatan benda saat t = 0
c) Gambarkan bagaimana bentuk gerak benda
Penyelesaian:
Dalam hal ini:
x(t) = 2 cos ( t), maka: vx(t) =- 2 sin (t )
y(t) = 2 sin ( t), maka: vy(t) = 2 cos (t)
z(t) = 2 t, maka vz(t) = 2.
ANALISA VEKTOR
27
a) Kecepatan benda adalah turunan posisi terhadap waktu:
dR dx dy dzˆ ˆ ˆv(t)= = i+ j+ kdt dt dt dt
Maka kecepatan benda sesaat adalah:
ˆ ˆ ˆv(t)=(-2πsinπt)i+(2cosπt)j+2k
Kecepatan saat t = 2 satuan adalah:
ˆˆ(2) 2 2v j k
b) Percepatan sesaat:
Pada masing-masing komponen adalah:
22 cos( )xx
va t
dt ; 22 sin( )
y
y
va t
dt ; dan 0z
z
va
dt
Jadi:
ˆˆ ˆ( )yx z
dvdv dva t i j k
dt dt dt
Atau:
2 2 2ˆ ˆ( ) ( 2 cos( )) ( 2 sin( )) ( )a t t i t j R t
Diferensial Dari Perkalian Dua Vektor
Anggap dua vektor ( )A A t dan ( )B B t masing-masing merupakan
fungsi t. Dari persamaan yang diperoleh sebelumnya, maka dierensial hasil kali
vektor A dan B dapat ditulis sebagai:
d dA dB
A B B Adt dt dt
(3-3)
dan
d dA dB
A B B Adt dt dt
(3-4)
ANALISA VEKTOR
28
Contoh kasus dalam fisika: Sebuah partikel bermassa m memiliki posisi ( )r r t
terhadap titik asal yang berubah terhadap waktu t. Apabila kecepatan partikel
drv
dt dan percepatan partikel
dva
dt , maka:
d dr dv
r×mv = ×mv+r×m =m v×v +r×madt dt dt
Berdasarkan sifat perkalian silang berarti ( v v =0), dengan demikian maka:
d
r mv r madt
Oleh karena p mv adalah momentum partikel, dan F ma adalah gaya yang
bekerja pada partikel, maka
d
r×p = r×Fdt
Dalam hal ini L r mv r p adalah momentum sudut partikel, sedangkan
r F adalah momen gaya.
3.1.2 Operator Diferensial Vektor
Pada bagian ini kita perkenalkan sebuah operator dengan lambang yang
disebut operator diferensial vektor, atau biasanya disebut juga operator del atau
nabla. Operator del adalah operator diferensial terhadap variabel fungsi ruang spasi
atau ruang koordinat yang banyak penggunaannya untuk menganalisis keadaan
terkait medan skalar maupun medan vektor. Perbedaannya dengan operator
diferensial biasa, bahwa operator del memiliki arah satuan vektor, dituliskan
sebagai :
ˆ ˆ ˆi j kx y z
(3-5)
ANALISA VEKTOR
29
Gradien:
Secara geometri, gradien diartikan sebagai kemiringan kurva atau grafik.
Misalkan sebuah kurva f(x) adalah fungsi yang berubah terhadap variabel x, maka
df/fx adalah slope atau kemiringan kurva dari f(x) pada nilai x. Sekarang kita
misalkan (x,y,z) adalah fungsi bergantung pada koordinat x,y, dan z. Tentu saja
perubahan setiap variabel x, y dan z menyebabkan terjadi perubahan pada fungsi
(x,y,z) menjadi:
d dx dy dzx y z
(3-6)
Dengan menyatakan elemen panjang: ˆˆ ˆdr dxi dyj dzk , maka diperoleh:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k dxi j kd dy dzx y z
d dr
(3-7)
Dalam hal ini besaran ( )xyz disebut garien (dibaca grad ). Jadi apabila operator
(operator del atau nabla) dikenakan pada sebuah fungsi skalar maka disebut
gradien, ditulis sebagai:
:Gradient Grad
Apabila dinyatakan dalam komponen-komponen arah maka:
ˆ ˆ ˆ. i j kGradx y z
(3-8)
Dengan demikian gradien adalah sebuah besaran vektor. Sedangkan besar atau nilai
dari vektor (grad ) adalah:
22 2
.Gradx y z
(3-9)
ANALISA VEKTOR
30
Contoh 2:
Sebuah fungsi skalar bergantung pada koordinat (xyz) misalkan :
2( )xyz x y xz
Tentukan gradien dari fungsi skalar tersebut di titik (1,2,2).
Jawab:
Graadien fungsi skalar ditulis sebagai:
jˆ ˆi kx y z
Melalui diferensiasi parsial diperoleh
2
2 2
2
(
(
(
) 2
)
)
x x
y y
z z
x y xz xy z
x y xz x
x y xz x
Maka diperoleh:
2jˆ ˆ(2 )i kxxy z x
Pada titik (x,y,z)= (1,2,2) diperoleh:
2j 1ˆ ˆ(2.1.2 2)i 1 k
jˆ ˆ6i k
Sedangkan Nilai dari Grad adalah:
2 2 26 1 1 38
Divengensi (.):
Operator dioperasikan secara titik (dot) dengan sebuah vektor A disebut
dengan divergensi atau disingkat dengan (Div A ), ditulis sebagai :
ANALISA VEKTOR
31
x y zˆ ˆj jˆ ˆ ˆ ˆi k A i A A k
x y zDivA A
AA Ayx z
x y zA
(3-10)
Dalam hal ini (Div A ) adalah skalar. Secara geometris divergensi dari sebuah
vektor yaitu (Div A ) adalah ukuran seberapa banyak vektor A memancar pada
sebuah titik yang diamati dalam ruang.
Curl (x atau dibaca Curl):
Jika Operator dikenakan ada sebuah vektor melalui perkalian silang
maka disebut operasi rotari atau Curl, ditulis sebagai :
ˆ ˆ ˆi j k
x x z
CurlA Ax y z
A A A
ˆˆ ˆy yx xz zA AA AA A
xA i j ky z z x x y
(3-11)
Secara geometris, (curl E ) adalah ukuran seberapa besar vektor yang mengitari
keliling luasan permukaan yang ditinjau.
Operasi Divergensi dan Curl Terhadap Gradien:
Apabila operator nabla dioperasikan secara titik (dot) terhadap gradien, maka
( ) ( )U grad U
ˆ ˆj jˆ ˆ ˆ ˆ( ) i k i kU U U
x y z x y zU
Atau: 2 2 2
2
2 2 2
U U UU U
x y z
(3-12)
2 disebut Laplacian yang banyak diaplikasikan untuk menganalisis berbagai
persoalan fisika terkait medan vektor dan medan scalar.
ANALISA VEKTOR
32
=======================================================
Soal Latihan 3.1:
1. Anggap bahwa ( )r t menyatakan vektor posisi sebuah partikel yang bergerak,
dengan t0 adalah waktu. Tentukan laju dan besar percepatan dari partikel
yang vektor posisinya diberikan sebagai berikut:
a) 2 ˆr( ) (2 )it t t d) ˆ ˆ ˆr( ) (2cos )i (3sin ) j kt t t t
b) 2 2ˆ ˆr( ) cos i 3sin kt t t e) ˆ ˆr( ) i jt tt e e
c) ˆ ˆ ˆr( ) 2 i 3 j kt t t t
2. Vektor posisi sebuah partikel diberikan oleh: ˆ ˆ( ) cos 2sinr t t i t j .
Dapatkan percepatan arah tangesial.
3. Turunkan operasi div dan curl pada soal berikut :
a) 2 2 2
jˆ ˆi kzA x y ; pada (1,2,1)
b) 2 2
jˆ ˆi kxyzE x y ; pada (2,2,1)
c) jˆ ˆsin i cos kxzv x y y ; pada (1,,2)
2. Hitunglah gradient, divergen dari gradien, curl dari gradien dan Laplacian
dari medan scalar berikut pada (1,1,1):
a). T = 22 yx
c) V = xy ( x2 + y
2 – 5z
2)
b) U = (x2 + y
2 + z
2)-1/2
ANALISA VEKTOR
33
3.2 Integral Vektor
3.2.1 Integral Lintasan
Kerja yang dilakukan oleh sebuah medan vektor F sepanjang garis
lintasannya disebut integral lintasan. Gambar berikut memperlihatkan kerja medan
vektor tersebut sepanjang elemen lintasan dr pada kurva C.
Makna integral lintasan dalam mekanika sering dikaitkan dengaan usaha yang
dilakukan sebuah gaya F untuk memindahkan benda dari suatu tempat ke tempat
tertentu. Tinjau usaha yang dilakukan oleh gaya F sepanjang segmen lintasan dalam
bidang (x,y) sebagaimana diperlihatkan pada gambar di atas yaitu: dW F dr ,
dalam hal ini:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
x yF F i F j
dr dxi dyj
Sehingga berdasarkan perkalian titik (dot product) dapat ditulis:
x ydW F dr F dx F dy
Dalam hal ini C adalah kurva yang merupakan garis lintasan dari gaya F .
Usaha total yang dilakukan oleh gaya F dalam lintasan sepanjang kurva C dalam
bidang (x,y) dinyatakan dengan integral garis sebagai berikut:
B
x yC A
W F dr F dx F dy (3-13)
ANALISA VEKTOR
34
Contoh 3:
Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F dari
titik O ke titik C, bila melewati lintasan seperti
diperlihatkan pada gambar, jika diketahui:
2F xyi y j .
Jawab :
2
SW F dr xyi y j dxi dy j
x y
S SW F dx F dy
Lintasan O-A-C :
Lintasan O-A: x berubah dari 0 ke 2, y = 0 tetap
Lintasan A-C: x =2 tetap; y berubah dari 0 ke 4,
Maka integral lintasan dari O-A-C:
OAC OA ACW W W
22
0
4 42 2 31
30 0
( ) (0. 0) 0
64( ) (2 .0 )
3
A
OAO x
C
ACA y
W xydx y dy dx
W xydx y dy y y dy y
Jadi, diperoleh:
64
3OAC OA ACW W W
Lintasan O-B-C
Lintasan O-B: x =o tetap, dan y berubah dari 0 ke 4,
Lintasan B-C: x berubah dari 0 ke 2, dan y=4 tetap.
Sehingga:
ANALISA VEKTOR
35
OBC OB BCW W W
4 22 2 2
0 0
22 22 2 2
0 0 0
64( ) (0. )
3
( ) (4 4 .0) 4 2 8
B
OBO y x
C
BCB x x
W xydx y dy dx y dy y dy
W xydx y dy xdx xdx x
Jadi: 64 40
83 3
OBC OB BCW W W
Sedangkan untuk lintasan garis lurus O – C : x berubah dari 0 ke 2, sementara y
berubah dari 0 ke 4. Dalam hal ini persamaan garis lurus dari O-C, dapat
dinyatakan dengan:
1
2 tg
x
y
Maka diperoleh y = 2x, dan dy = 2dx, sehingga:
2
0
c
o cW xydx y dy
22 2
22 3
0
2 (2 ) (2 )
26 2 16
0
o cO
o c
W x dx x dx
W x dx x
Perhatikan bahwa . Jadi hasil intgral lintasan dari gaya
tersebut tergantung lintasan. Jenis gaya seperti ini dikenal tidak konservatif.
3.2.2 Integral Lintasan Tertutup
Andaikan usaha yang dilakukan oleh gaya F melalui lintasan dari titik A ke titik B
melalui lintasan C1, kemudian dari titik B kembali ke titik A melalui lintasan C2 seperti
diperlihatkan pada gambar di bawah ini , sehingga lintasan yang dilalui oleh gaya F
disebut dengan lintasan tertutup, dan usahanya dalam matematika disebut integral
lintasaan tertutup.
ANALISA VEKTOR
36
Integral lintasan dalam kurva tertutup ditulis sebagai:
1 2C C CdW F dr F dr F dr (3-14)
Contoh 4:
Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F melalui
lintasan tertutup dari titik O ke titik C kemudian kembali
ke titik O seperti diperlihatkan pada gambar, jika
diketahui:
2F xyi y j .
Jawab:
Dari hasil contoh 3, telah diperoleh bahwa usaha yang dilakukan dari titik O ke
titik A kemudian ketitik C adalah :
64
3OAC OA ACW W W
Sedangkan usaha memlalui garis lurus dari titik O ke titik C adalah:
16ocW
Dalam hal ini: 16CO ocW W . Sehingga diperoleh usaha dalam lintasan tertutup:
ANALISA VEKTOR
37
64 1616
3 3
C O
OAC COC O C
C
W F dr F dr F dr W W
W F dr
3.2.3 Integral Permukaan
Pada gambar berikut diperlihatkan sebuah bidang dengan arah normal
bidang adalah n .
Gambar. Permukaan X
Y
Z
n
vektor satuanarah bidang k
dA
dy
dx
Perhatikan bahwa arah dA membentuk sudut terhadap arah elemen luaas dxdy,
maka:
ˆˆ cos
dxdyn k
dA (3-15)
ANALISA VEKTOR
38
cos : tidak lain adalah proyeksi arah permukaan dA terhadap arah bidang (xy)
sesuai dengan aturan perkalian titik (dot product). Sehingga elemen luas dA pada
gambar dapat dihitung menggunakan komponen luas bidang dxdy , jadi:
secˆ cosˆ
dxdy dxdydA dxdy
n k
(3-16)
Integral permukaan bidang yang dinyatakan oleh elemen dA adalah:
sec .dA dxdy
(3-17)
Tinjau sebuah persamaan bidang: (x,y,z) = konstan. Dengan menerapkan
operator nabla atau operator del () pada persamaan bidang tersebut, maka
diperoleh sebagaimana persamaan (3-8) dan (3-9)adalah:
22 2
ˆˆ ˆ
ˆ
i i kx y z
n
x y z
(3-18)
Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor satuan arah dan adalah , maka
projeksi permukaan dA terhadap bidang xy di,
22 2
1 1sec
ˆcos /ˆ
x y z
zn k
(3-19)
Pandang sebuah silinder terletak di atas bidang xy dan bagian atasnya dipotong
oleh sebuah permukaan sebagai tutup silinder seperti gambar kanan. Elemen
permukaan tutup silinder (dA) dengan arah verktor satuan adalah n .
ANALISA VEKTOR
39
Gambar. Elemen luas bidang
dxdz
k
Elemen luas bidang permukaan
Proyeksi Elemen luas dlm bidang (xy)
Proyeksi Elemen luas dlm bidang (xz)
dS
dxdy
dx
dy
dx
dz
n
j
Apabila diketahui persaman bidang tutup silinder diketahui , maka vektor satuan arah
bidang dapat diperoleh dengan prinsip gradien ().
3.2.4 Teorema Green dan Teorema Stokes
Teorema Green:
Integral dua buah fungsi kontinu P(x,y) dan Q(x,y) pada lintasan tertutup C dapat
ditransformasikan dari integral garis menjadi integral luas yang dibatasi oleh
lintasan tertutup tersebut, demikian sebaliknya. Pernyataan ini dikenal dengan
teorema Green, dan dirumuskan sebagai:
C A
Q PPdx Qdy dxdy
x y
(3-20)
Contoh 5:
Dua fungsi kontinu masing-masing P =y2-7y, dan Q = 2xy + 2x, Diketahui
C adalah lingkaran x2 + y
2 = 1. Buktikan bahwa integral garis pada litasan
tertutup C memenuhi teorema Green.
ANALISA VEKTOR
40
Jawab:
Lintasan tertutup C adalah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
Dengan: cosx , sindx d
siny , cosdy d
Untuk lintasan keliling lingkaran maka batas integral untuk : dari 0 sampai 2 .
i). Jika menggunakan bagian kiri teorema Green: yaitu integral lintasan tertutup
berarti:
2( , ) ( , ) 7 2 2x y x y
C C
P dx Q dy y y dx xy x dy
2
2
0
2
3 2 2 2
0
sin 7sin sin 2cos sin 2cos cos
sin 7sin 2cos sin 2cos
t
d d
d
Jika diselesaikan maka diperoleh untuk integral suku pertama dan suku ke
tiga adalah nol (karena fungsi ganjil), sedangkan integral suku kedua dan suku ke
empat (fungsi genap) masing-masing adalah:
2 22 1
20 0
2 22 1
20 0
sin (1 cos 2 )
cos (1 cos 2 )
d d
d d
Dengan demikian diperoleh:
( , ) ( , ) 0 7 0 2 9x y x y
C
P dx Q dy
ii) Jika menggunakan ruas kanan teorema Green: yaitu integral luas yang dilingkupi
oleh lintasan C:
22 2 7x y
A xy
Q Pdxdy xy x y y dxdy
x y
ANALISA VEKTOR
41
1 2
0 0
2 2 2 7
9 9 9
x y
x y r t
y y dxdy
dxdy rdrd
Terbukti hasil integral lintasan terutup sama dengan hasil integral luas.
Teorema Stokes:
Dari teorema Green, apabila P(x,y) dan Q(x,y) adalah komponen-komponen
vektor masing-masing didiskripsikan sebagai xP F adalah komponen vektor dalam
arah x, dan yQ F adalah komponen vektor dalam arah y, maka teorema Green
bila dituliskan dalam vektor menjadi :
y x
A
F FFxdx Fydy dxdy
x y
(3-21)
y
yˆ ˆi j i j x
x
C A
F FF F dx dy k kdxdy
x y
Dari integral garis W1 dengan 2ˆ ˆF xyi y j , maka Fx = xy, dan Fy = -y2
Persamaan garis C1 : y = 2
x, maka
W1 = 1
( ) 1x y
C
F dx F dy
W3 = 2
( ) 13
x yF dx F dy
Selisih W3 – W1 = 1 13
2 =
3
2, atau W1 - W3 = -
3
2
Integral luas W untuk luasan yang dibatasi oleh C1 dari C3,
y x
A
F FW dxdy
x y
=
Adxdyx0 x dari 0 ke 2y
y dari 0 ke 1
ANALISA VEKTOR
42
W = - 1
0
2
0
y
xdxdy = -3
2
Hasilnya diperoleh sama dengan bagian ruas kiri teorema stokes. Bentuk tersebut
diartikan sebagai usaha yang dilakukan oleh gaya F memindahkan partikel dalam
lintasan tertutup kurva C yang dibatasi oleh dalam bidang xy, dapat dinyatakan
oleh teorema stokes.
Untuk vektor tiga dimensi memiliki komponen arah x, y, dan z, maka
persamaan integral vektor dalam lintasan tertutup dinyatakan sebagai:
C A
F dr xF dA (3-22)
Persamaan (3-26) dinamakan Teorema Skotes yang berlaku untuk sembarang
medan vector dalam ruang. Dalam hal ini Fx
adalah sebuah vektor yang tegak
lurus F
dan menembus permukaan dA . Untuk medan konservatif, hasil integral
lintasan medan vektor tak bergantung pada lintasan yang dipilih, tetapi hanya
bergantung pada posisi awal dan posisi akhir saja. Sehingga pada integral lintasan
tertutup maka posisi awal sama dengan posisi akhir benda, dengan demikian untuk
medan konservatif akan terpenuhi F 0x
(artinya tidak ada vektor yang
menembus permukaan yang dibatasi oleh lintasan terutup). Contoh medan
konservatif yaitu : gaya listrik, gaya gravitasi, dan gaya pegas.
Contoh 6:
3 2 22 i j 3 1 kF xy z x xz
Buktikan bahwa gaya tersebut adalah gaya konservatif
Bila dituliskan dalam komponennya : i jx y zF F F F k ,
i j ky yx xz z
F FF FF FxF
y z z x x y
ANALISA VEKTOR
43
2 2 3 2 2 3i 3 1 j 2 3 1 k 2xF xz x xy z xz x xy z
y z z x x y
2 2i 0 0 j 3 3 k 2 2 0xF z z x x
Jadi sifat gaya 3 2 22 i j 3 1 kF xy z x xz tersebut adalah lurus satu
arah, dalam fisika gaya ini disebut sebagai gaya konservatif.
Penggunaan Teorema Stokes dalam bidang lain misalnya pada teori
elektromagnetik, yaitu berkaitan dengan medan magnet B disekitar kawat berarus
i, sebagaimana diperlihatkan pada gambar berikut.
Gambar tersebut memperlihatkan arah medan magnet 0B H
o oC A A
B dr xB dA j dA I (2-23)
Dalam hal ini :
oxB j (3-24)
Persamaan ini dikenal dengan Hukum Ampere.
ANALISA VEKTOR
44
3.2.5 Integral Permukaan Dan Integral Volume;
Teorema Divergensi:
Pandang sebuah vektor E menembus permukaan A sedemikian rupa,
sebagaimana diperlihatkan pada gambar berikut ini. Vektor sering dipandang sebagai
garis-garis medan vektor. Jumlah garis-garis medan vektor yang menembus permukaan
A disebut fluks atau rapat fluks ( ), didefinisikan oleh:
cosE A EA (3-25)
Pada gambar di atas menjelaskan bahwa adalah sudut antara arah medan E
dan arah permukaan A. Apabila medan menyebar secara seragam, maka semakin besar
luas A maka semakin banyak pula, artinya semakin besar fluks medan vektor yang
menembus permukaan tersebut.
Tinjau medan E yang menembus elemen luas permukaan dA , sehingga fluks
total yang menembus permukaan dinyatakan dalam integral luas permukaan, yaitu:
A
Fluks E dA (3-26)
Jika medan vektor menembus (keluar atau masuk) suatu permukaan tertutup, maka
fluks medan total dapat dihitung menggunakan integral permukaan tertutup, yaitu:
AE dA (3-27)
Integral vektor pada permukaan tertutup dapat ditransformasikan menjadi integral
volume menurut teorema divergensi atau teorema Gauss. Dalam hal ini, divergensi
sebuah medan vektor yaitu:
Sudah dipelajari pada bagian sebelumnya dalam bab ini bahwa jika sebuah
medan vektor dikenai oleh operator del (operator nabla) maka disebut divergensi.
Berkaitan dengan hal tersebut, divergensi sebuah medan vektor oleh operator del
ditulis sebagai:
ANALISA VEKTOR
45
1 1 1E E EdivE E
x y z
Berdasarkan teorema Gauss,
0
1limV
E E dAV
Atau
.A V
E dA divE dV (3-28)
Bentuk persamaan (3-28) disebut torema divergensi atau Teorema Gauss. Teorema
divergensi dgunakan untuk menganalisis persoalan medan vektor atau flux vektor
yang menembus permukaan tertutup, yang dalam hal ini sering dengan menerapkan
integral luasan tertutup atau dengan integral volume yang dibatasi permukaan
tertutup tersebut, melalui transformasi menggunakan divergensi Gauss.
Salah satu aplikasi teorema divergensi, kita tinjau medan listrik yang
menembus permukaan elemen luas dA,
Jumlah garis medan E yang keluar
melewati elemen luas dA sebanding
dengan besar muatan sumber yang
dilingkupi oleh luasan :
o
dqE dA
Jumlah total muatan Q dapat dihitung dari integral permukaan tertutup yaitu:
o o
dq QE dA
(3-29)
Jika A adalah permukaan bola berjari-jari r melingkupi muatan Q , maka kuat
medan yang menembus permukaan pada jaak r adalah:
ANALISA VEKTOR
46
24
S
QE dA E dA E r
Atau
2
1ˆ
4 o
QE r
r
Sedangkan untuk muatan listrik yang tersebar merata dalam volume bola, maka
Q = dv
Dari teorema Gauss, suku sebelah kiri persamaan (3-38) dapat ditulis :
S V
E dA E dV dV
(3-30)
maka :
E
(3-31)
Bentuk persamaan (8-30) disebut persamaan Marxwell
==========================================================
SOAL LATIHAN 3.2:
Selesaiakan saol integral garis dari nomor 1 sampai nomor 9 berikut:
1. 2i 3jF ; C: lintasan sepanjang sumbu x dari x = 1 ke x = 4.
2. 3i jE ; C: garis lurus dari titik (0,0) ke (2,1).
3. 3i j 3kD ; C: sepanjang garis lurus dari (0,0,0) ke (2,1,1).
Hitunglah C
F dr dari fungsi vektor berikut ini:
4. 3 i jF y x ; dengan C: segmen garis lurus dari (0,0) ke (2, ½ )
5. 2 2i jF x y ; dengan C: y =1- x
2 dari x = -1 ke x =1
ANALISA VEKTOR
47
6. 3 2 22 i 3 jF xy x y , C: lintasan keliling segi tiga yang dibatasi oleh titik-titk
(1,1), (3,1), dan (3,3).
Hitunglah kerja yang dilakukan oleh gaya i j 2 kF x z y dalam memindahkan
benda sepanjang lintasan yang diberikan pada soal 7 sampai dengan 8:
7. Lintasan sepanjang sumbu x dari 0 sampai 4.
8. Lintasan sepanjang parabola y=2x2, z = 2 dari (0,0,2) ke (2,2,2).
9. Lintasan sepanjang kurva z= y4, x = 1 dari (1,1,0) ke (1,1,1).
Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh persamaan bidang dari nomor 10
sampai nomor 13:
10. Hitung luas bidang x-2y+5z = 13 yang dipotong bagian luarnya oleh silinder
x2 + y
2 =9.
11. Hitung luas perpotongan dari konik : 2x2 +2y
2 = 5z
2, z>0, oleh silinder x
2
+ y2 =2y
12. Hitung luas daerah yang dibentuk oleh paraboloid : x2 + y
2 =z, di dalam
silinder x2 + y
2 =9.
13. Bagian bidang: x + y + z = 1 pada oktan pertama merupakan bentuk luasan
segi tiga (gambarkan bagaimana bentuknya?). Tentukan luas permukaan
tersebut.
Hitung Inategral lintasan medan vektor pada lintasan tertutup pada soal nomor 14
sanpai dengan 17
14. Hitunglah
ˆ( )A
Curl V ndA
Dengan A adalah luas bagian permukaan z = 9 – 3(x – y), diatas bidang
(x,y), jika
2 2 ˆˆ ˆ2 ( 2 )V xy i x x j x z k
15. Hitung integral lintasan tertutup dari vektor berikut:
CV dr ; C adalah keliling lingkaran 2 2 9x y ,z=0 dengan
2 2 3ˆ ˆ(2 )V x yz i x y j
ANALISA VEKTOR
48
Hitung integral permukaan tertutup dari medan vektor yang diberikan soal 18
sampai 22:
16. Hitung, A
F dA dengan A adalah seluruh permukaan silinder yang dibatasi
oleh: x
2 + y
2 = 1, sedangkan sumbu z dari z=0 sampai z = 3 ;
F i j kx y z
17. Hitung Fdv , dari medan vektor F yang keluar permukaan bola :
x2 + y
2 + z
2 ≤ 25, dan diketahui : F = (x
2 + y
2 + z
2) (x )
^^^
kji zy
18. Evaluasi integral ˆS
F ndA menggunakan teorema divergensi, dari sebuah
medan vektor: ˆˆ ˆF xi yj zk ; dan S adalah permukaan kubus
0 3x ; 0 3y ; dan 0 3z
19. Hitung : ˆˆ ˆ
A
xi yj zk dA ; A adalah seluruh permukaan silinder yang
dibatasi oleh x2 + y
2 = 1, dari z = 0 dan z = 3
20. Hitung : V
EdV ; V adalah volume yang dibatasi oleh permukaan bola
tertutup : x2 + y
2 + z
2 ≤ 25, sedangkan medan yang yang menembus
permukaan bola diberikan oleh: 2 2 2 ˆˆ ˆE x y z xi yj zk
==========================================================
ANALISA VEKTOR
49
3.3 Operator Nabla Dalam Koordinat Umum
Untuk ruang tiga dimensi, masing-masing komponen variabelnya dapat
dinyatakan dalam koordinat umum sebagai q1, q2, q3.Hubungan antara variabel
posisi dalam koordinat kartensian dan kordinat umum dinyatakan sebagai
x = x (q1, q2, q3); y = y(q1, q2, q3); z = z (q1, q2, q3)
Transformasi kebalikannya ditulis dalam bentuk ;
q1 = q1 (x,y,z); q2 = q2 (x,y,z); q3 = q3 (x,y,z) (3-32)
Sebagaimana diketahui, elemen panjang dalam koordinat kartesian :
ds2 = dx
2 + dy
2 + dz
2
Maka bila dinyatakan dalam koordinat umum, elemen panjang tersebut menjadi :
3,32 2
1, 1
ij i j
i j
dS h dq dq
(3-33)
Karena untuk ij, komponen vektor-vektor qi dan qj saling tergak lurus, dan nilai
hij akan bernilai nol bila ij. Sehingga elemen panjang kurva persmaan (3-33) di
atas dapat ditulis dalam bentuk:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3dS h dq h dq h dq (3-34)
Dalam hal ini, h1, h2 dan h3 disebut faktor skalar yang masing-masing sumbu
koordinat akan mempunyai harga sendiri-sendiri.
Operator Difrensial Vektor:
Penulisan operator diferensial vektor pada beberapa sistem koordinat yang
sudah familiar digunakan, yaitu
ˆ ˆ ˆx y zx y z
; Koordinat kartesius
ˆˆ ˆr zr r z
; Koordinat Silinder
1ˆ ˆˆsin
rr r r
; Koordinat bola (speric)
ANALISA VEKTOR
50
Tinjau sistem koordinat kurvilinier tiga dimensi yang lebih umum dengan
sumbu koordinat masing-masing q1, q2, dan q3. Anggap vektor satuan arah pada
setiap sumbu koordinat tersebut dinyatakan oleh 1e , 2e dan 3e , maka elemen
panjang vektor dS dinyatakan oleh:
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆdS e dS e dS e dS
(3-35)
Dengan menyatakan
1 1 1;dS h dq 2 2 2 ;dS h dq dan 3 3 3dS h dq ,
dalam hal ini h1, h2 dan h3 masing-masing disebut faktor skalar, elemen panjang dS
tersebut dapat juga ditulis sebagai
1 1 1 2 2 2 3 3 3ˆ ˆ ˆdS e h dq e h dq e h dq (3-36)
Operator diferensial vektor (operator nabla) dalam sistem koordinat
umum ditulis dalam bentuk:
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆe e eS S S
Atau
1 2 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆe e eh q h q h q
(3-37)
Gradien (grad f):
Jika sebuah fungsi skalar f dikenai Operator del atau operator nabla
(lambang ) ditulis dengan f (dibaca gradf).
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆf f f
grad f f e e eS S S
Berdasarkan hubungan komponen arah kurvilier tersebut, dan menggunakan aturan
rantai, yaitu:
ANALISA VEKTOR
51
1i
i i i i i
qf f f
s q s q h
;
Maka gradien ( f ) dalam koordinat umum dinyatakan oleh:
3
1 2 3
11 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆi
i i i
grad f f
f f f ff e e e e
h q h q h q h q
(3-38)
Divergensi ( ):
Untuk menurunkan operasi divergensi dalam koordinat yang lebih umum,
terlebih dahulu kita tinjau sebuah medan vektor E dengan komponen vektor yang
saling tegak lurus masing-masing E1, E2, dan E3 berada dalam sistem koordinat
umum, dinyatakan sebagai:
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆE E e E e E e (3-39)
Sekarang kita tulis kembali persamaan (3-38) dalam bentuk:
31 22 3 1 1 3 2 1 2 3
2 3 1 3 1 2
ˆˆ ˆ ee eE h h E h h E h h E
h h h h h h (3-40)
Menggunakan sifat operator del persamaan (3-36) bahwa:
1
2 3
ˆ0
e
h h
; 2
1 3
ˆ0
e
h h
; 3
2 2
ˆ0
e
h h
Selanjutnya divergensi dari medan E berdasarkan (3-36) dan (3-39) dinyatakan
oleh:
2 3 1 1 3 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1( ) ( ) ( )E h h E h h E h h E
h h h q q q
(3-41)
Bentuk Laplacian: 2 f dapat diperoleh dari :
2
2 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1
f f
h h h h h hf f ff
h h h q h q q h q q h q
(3-42)
ANALISA VEKTOR
52
Curl ( ):
Berdasarkan teorema stokes rotasional vektor U untuk semua arah diperoleh :
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ
1
h e h e h e
xUh h h q q q
hU h U h U
(2-43)
Sistem Koordinat Silinder:
Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder, yaitu:
sin
cos
x r
y r
z z
Dalam hal ini berdasarkan transformasi dari koordinat kartesian kekoordinat yang
baru, maka.
1q r ; 2q ; 3q z
1
2
1
1r
z
h h
h h r
h h z
Gradien ( f ) dalam koordinat silinder:
Dengan vektor satuan arah : ˆˆ ˆ,r dan z serta mensubtitusikan harga masing-masing
h1, h2, dan h3 pada operator vektor difrensial, maka diperoleh :
ˆˆ ˆf f f
f r zr r z
; (3-44)
Divergensi (( ) Pada Sistem Koordinat Slinder
321 2
1 1 UUU rU
r r r z
(3-45)
2 22
2 2 2
1 1f f ff r
r r r r z
(3-46)
ANALISA VEKTOR
53
Curl ( x ) dalam Sistem Koordinat Silinder :
^
ˆ
1
r z
r k
xUr r z
U U U
(3-47)
Sistim Koordinat Bola:
Hubungan koordinat kartesian dengan koordinat bola dinyatakan sebagai:
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
Jika x,y,z diturunkan terhadap r,, kemudian disubsitusi kedalam elemen panjang
kurva dS maka diperoleh:
dS2 = dx
2 + dy
2 + dz
2 =
222222 dhdhdrhr (3-48)
Diperoleh faktor skalar, masing-masing komponen:
1
2
3
1
sin
rh h
h h r
h h r
Gradien ( f ) dalam koordinat bola :
1 1ˆ ˆˆsin
f f ff r
r r r
(3-49)
Divergen ( ) dalam Koordinat bola:
2
2
1 1sin ( ) (sin )
sin sin
UU r Ur r U
r r
(3-50)
22 2
2 2
1 1sin ( ) sin )
sin sinr r
r r r
(3-51)
ANALISA VEKTOR
54
Curl ( x ) dalam koordinat bola:
2
ˆsin
1
sin
r
r r r
xUr r
U U U
(3-52)
==========================================================
SOAL LATIHAN 3.3 :
1. Tunjukkan bahwa vektor-vektor satuan arah dalam koordinat bola dikaitkan
dengan rektangular koordinat diberikan oleh:
ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos
ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin
ˆ ˆ ˆsin cos
r x y z
x y z
x y
2. Turunkan harga faktor skalar h1,h2,h3 pada sistem koordinat bola
3. Dari persamaan laplace:
a. turunkan persamaan difrensial tersebut dalam koordinat silinder, bila :
)()()()( zZrRr
b. Dalam Koordinat bola dengan : )()()()( rRr
4. Hitung F.dr pada keliling lingkaran x2
+y-2 – 2x = 0, dimana F = yi - xj
5. Hitung V.dr sepanjang keliling segi empat yang dibentuk oleh garis
melalui titik-titik (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1), jika V = x2i + 5xj
5. (x2 - y) dx + (x + y
3) dy, dimana C adalah paralelogram dengan pusat di
(0,0),(2,0),(1,1),(3,1)
6. F dV dimana F = (x2 + y
2 + z
2) (xi + yj + zk) dan V volume yang
dibatasi oleh permukaan x2 + y
2 + z
2 25, tunjukkan bahwa teorema
divergensi Gauss belaku.
================================================================
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
55
Bab 4.
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
Pada bab ini akan dibahas beberapa bentuk integral fungsi khusus yang
sering digunakan secara praktis dalam persoalan fisika. Bentuk fungsi tersebut
diantaranya fungsi faktorial, fungsi gamma, fungsi beta, dan lain-lain. Berbagai
penerapan praktis dari integral fungsi khusus tersebut diantaranya adalah dalam
memecahkan persamaan keadaan gas termodinamika, teori kinetik gas maupun
dalam fisika statistik.
Tujuan Khusus yang diharapkan setelah mempelajari materi ini adalah:
- Dapat menganalisis permasalahan integral fungsi khusus.
- Dapat menerapkan integral fungsi khusus dalam menyelesaikan
permasalahan fisika terkait
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
56
4.1 Fungsi Faktorial
Pertama sekali mari kita evaluasi hasil integral dari beberapa fungsi
berikut dengan batas integral dari x=0 sampai x=, yaitu :
i) 0
1 1
0
x xe dx e
ii) 2
0 0
1 1 1
0
x x xxe dx xe e dx
iii) 2
3
0
2xx e dx
iv) 3
4 4
0
3.2.1 3!xx e dx
Sehingga secara umum didapatkan bentuk integral fungsi eksponensial, khusus
pada batas integral dari dari nol sampai takhingga adalah:
Fungsi Faktorial:
1
0
!n x
n
nx e dx
; n = 0, 1, 2, 3 ................. (4-1)
Untuk =1:
0
!n xx e dx n
(dibaca n faktorial) (4-2)
Persamaan (4-1) dan (2-2) didefinisikan sebagai integral fungsi faktorial.
Berdasarkan bentuk persaman (4-2) maka dapat digunakan untuk memberi makna
0!, yaitu berkaitan bentuk integral khusus berikut:
0
0
0! 1x xe dx e
(4-3)
Kita perhatikan n adalah bilangan berkaitan dengan integral fungsi eksponen yang
dibatasi secara khusus dari x= 0 sampai x= .
n! = 1.2.3.4.....(n-3)(n-2)(n-1)n (4-4)
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
57
4.2 Fungsi Gamma
Bilangan faktorial yang telah didefiniskan di atas terkait dengan integral
fungsi eksponensial, dan n merupakan bilangan bulat non negatif. Namun
bagaimana jika terkait bukan bilangan bulat? Untuk itu diperlukan pengganti dari
bilangan n dengan bilangan p > 0 yang dalam hal ini p tidak harus bilangan bulat
positif tetapi juga berlaku untuk bilangan pecahan (tidak bulat), yang didefinisikan
dalam fungsi gamma ( ). Fungsi gamma didefinisikan sebagai:
1
0
( ) p xp x e dx
; Untuk p>0 (4-5)
Jika persamaan (4-5) dikaitkan dengan persmaan (4-2) maka dapat ditulis bentuk
1
0
0
( ) ( 1)!
( 1) !
n x
n x
n x e dx n
n x e dx n
(4-6)
Sehingga: (1) 0! 1 ; (2) 1! 1 ; (4) 3! 3.2.1 6 .
Contoh 1:
Nyatakan integral berikut dalam bentuyk fungsi gamma kemudian selesaikan :
6
0
xx e dx
Penyelesaian:
Ingat bentuk integral fungsi gamma:
( ) ∫
berarti : p-1 = 6, atau p =7, sehingga dengan integral fungsi gamma
diperoleh:
6
0
(7) 6! 6.5.4.3.2.1 720xx e dx
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
58
Hubungan Rekursif Fungsi Gamma
Dari persamaan (9-5), jika p digantikan dengan (p+1), maka diperoleh:
0
( 1) p xp x e dx
; Untuk p> -1 (4-7)
Sekarang kita coba integrasikan persamaan (9-7), dengan memisalkan:
pu x ; 1pdu px dx
xdv e dx xv e
Dengan menggunakan integral berantai
udv uv vdu
Maka kita peroleh:
1 1
0 0 00
p x p x p x p xx e dx x e p x e dx p x e dx
Atau
1
0 0
( 1) ( )p x p xp x e dx p x e dx p p
Jadi diperoleh bentuk yang disebut sebagai hubungan Rekursi dari fungsi gamma,
sebagai berikut:
Hubungan Rekursif Fungsi Gamma :
( 1) ( )p p p p>0 (4-8)
Biasanya nilai fungsi gamma (p) untuk p antara 1 sampai 2 sudah disediakan
pada tabel. Namun demikian kita dapat memperoleh nilai fungsi gamma untuk p>2
menggunakan hubungan rekursi pada persamaan (9-8) tersebut. Sebaliknya untuk
p negatif (p<0), dan p <1, maka dengan menggunakan hubungan rekursif dapat
diperoleh nilai fungsi gamma (p), yaitu:
1
( ) ( 1)p pp
p<0 (4-9)
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
59
Berikut ini adalah tabel untuk beberapa bilangan n faktorial , dan tabel nilai fungsi
gamma dengan interval p antara 1≤p≤ 2.
Taabel. Fungsi Faktorial, Fungsi Gamma
Contoh 2:
Menggunakan hubungan rekursif hitunglah (2,8)
Penyelesian:
Berdasarkan rumus rekursif persamaan (4-8) maka :
(2,8) (1,8) (1,8)
Dengan bantuan tabel fungsi gamma diperoleh: (1,8) 0,931 , maka:
(2,8) (1,8)(0,931) 1,6758
Contoh 3: Hitunglah (0,5)
Pada tabel tidak disediakan nilai fungsi gamma untuk p =0,5. Tetapi dengan
menggunakan hubungan rekursi persamaan (9-9), dapat diperoleh:
1 0,886(0,5) (1,5) 1,772
0,5 0,5
Contoh 4:
Fungsi Faktorial dari N Fungsi Gamma dari p
N N! Log (N!) p ( )P
1 1 0,000 1,0 1,000
2 2 0,301 1,1 0,951
3 6 0,778 1,2 0,918
4 24 1,380 1,3 0,897
5 120 2,079 1,4 0,887
6 720 2,857 1,5 0,886
7 5040 3,702 1,6 0,894
8 40322 4,606 1,7 0,909
9 362880 5,560 1,8 0,931
10 3628800 6,560 1,9 0,962
2,0 1,000
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
60
Buktikan bahwa: 12
( )
Penyelesaian:
Untuk membuktikan kita tulis bentuk integral dari 12
( ) dalam dua variabel yaitu
x dan y, maka diperoleh:
(1) 121
2
0
( ) xx e dx
(2) 121
2
0
( ) yy e dy
Kemudian memisalkan x = u2, dan y = v
2, maka dx = 2udu dan dy = 2vdv,
sehingga persamaan (1) dan (2) masing-masing menjadi:
(3) 1 221
2
0 0
( ) 2x ux e dx e du
(4) 1 221
2
0 0
( ) 2y vy e dy e dv
Berikutnya kalikan persamaan (3) dan (4) maka diperoleh:
(5) 2 22 ( )1 1
2 2
,
( ) ( ) 4 u v
u v
e dudv
Lakukan transformasi dari koordinat kartesian (u,v) ke koordinat polar (r,) maka
diperoleh:
u = r cos
v = r sin
r2 = u
2 + v
2
Dengan demikian batas integral x dan y masing-masing dari nol ke takhingga
yang tidak lain adalah luas daerah kuadran 1, berubah menjadi r dari 0 ke tak
hingga, sedangkan dari 0 ke 2. Integral persamaan (5) menjadi :
(6) 22
12
,
( ) 4 r
r
e rdrd
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
61
2
22
12
0 0
( ) 4 r
r
e rdr d
Jadi terbukti :
12
( ) , (4-9)
Persmaan (9-9) merupakan nilai istimewa dari fungsi gamma ().
===========================================================
Soal Latihan 4.2:
1. Hitunglah integral berikut
a). 5
0
xx e dx
b). 7
0
xx e dx
d). 8 2
0
xx e dx
4. Gunakan rumus rekursif fungsi gamma untuk menghitung integral berikut
a) 5/2
0
xx e dx
b) 3
0
xxe dx
3. Evaluasi fungsi gamma berikut dengan rumus rekursi
a) ( 2,6) b) ( , 4) c) ( 2,3)
==========================================================
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
62
4.3 Fungsi Beta
Penamaan fungsi beta diberikan oleh orang yang pertama mempelajarinya
yaitu Legendre, Whittaker dan Watson (1990) untuk integral beta atau disebut juga
Eulerian integral bentuk pertama. Fungsi gamma dideskripsikan dari fungsi
faktorial bilangan bulat, sedangkan fungsi beta dideskripsikan dari koefisien
binomial. Fungsi beta pertama kali diketahui ketika mempelajari terjadinya
peristiwa amplitudo hamburan pada teori getaran. Fungsi beta dalam bentuk
integral didefinisikan sebagai:
1
1 1
0
( , ) (1 )p qB p q x x dx p>0, q>0 (4-10)
B(p,q) = B(q,p) buktikan sendiri.
Contoh 5:
Nyatakan inegral berikut dalam fungsi beta, kemudian selesaikan:
∫ ( )
Penyelesaian:
Dari persamaan (9-10), berart::
Pernyataan integral dalam fungsi beta adalah:
( ) ∫ ( )
Diperoleh hasil integral:
( ) ∫ ( )
∫ ( )
( ) ∫ ( )
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
63
Batas integral fungsi beta dapat berubah dengan berubahnya variabel integral.
Jika pada persamaan (9-10) kita nyatakan: x=y/a, maka batas integralnya
berubah dari sebelumnya x=0 ke x =1 menjadi y=0 ke y =a, dan bentuk fungsi beta
di atas menjadi:
1 1
1 1
1
0 0
1( , ) 1 ( )
p qa a
p q
p q
y y dyB p q y a y dy
a a a a
(4-11)
Apabila dari persamaan (9-10) diubah variabelnya menjadi x=1/(1+y), maka batas
integral juga berubah yaitu: pada x=0, diperoleh y= . Sedangkan pada x=1,
diperoleh y=0, maka integral fungsi beta B(p,q) menjadi:
1
0
( , )(1 )
q
p q
y dyB p q
y
(4-12)
Dalam bentuk geometri, jika pada (9-10) dilakukan perubahan variabel
2sinx , sin cosdx d
2 21 1 sin cosx
Maka batas integral berubah menjadi:
Pada x=0, diperoleh =0, sedangkan pada x=1, diperoleh =/2, dengan
demikian bentuk integral fungsi beta dari definisi yang diberikan oleh (4-10)
berubah menjadi:
/2
1 1
0
( , ) sin cos 2sin cosp q
B p q d
Atau:
/2
2 1 2 1
0
( , ) 2 sin cosp q
B p q d
(4-13)
Tidak seperti Fungsi gamma yang sudah tersedia tabel bantuan menghitung nilai
integral terutama untuk p dan q tidak bilangan bulat, untuk fungsi beta tidak
tersedia nilai integral fungsi beta.
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
64
Hubungan Fungsi Beta dan Gamma :
Hubungan fungsi beta dan fungsi gamma dapat diturunkan dari persaman (4-5).
Berdasarkan definisi integral fungsi gamma persamaan (4-5) dapat ditulis dua
bentuk integral:
1
0
( ) p up u e du
dan 1
0
( ) p vq v e dv
Dengan u =x2 dan v=y
2 , maka diperoleh dua bentuk :
22 1
0
( ) 2 p xp x e dx
(4-14)
22 1
0
( ) p yq y e dy
(4-15)
Hasil perkalian antara (9-14) dan (9-15) diperoleh:
2 22 1 2 1 ( )
0 0
( ) ( ) 4 p p x yp q x y e dxdy
Bentuk integral luas tersebut dapat ditransformasi kedalam koordinat polar yaitu:
cos
sin
x r
y r
dxdy rdrd
Maka diperoleh:
2
22 1 2 1
0 0
( ) ( ) 4 cos sinp q r
r
p q r r e rdrd
Atau:
2
/22 1 2 1(2 2 1)
0 0
( ) ( ) 4 cos sinp qp q rp q r e rdr d
1 12 2
( ) ( ) 4 ( ) ( , )p q p q B p q
Sehingga hubungan fungsi beta dan fungsi gamma dinyatakan dalam bentuk:
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
65
( ) ( )
( , )( )
p qB p q
p q
(4-16)
Contoh 6:
Hitung integral berikut:
∫ ( )
( )
Penyelesaian:
Menggunakan persamaan (9-13), maka:
Maka dari bentuk persamaan (9-13) diperoleh:
∫ ( )
( ) = B(2,5/2)
Berdasarkan hubungan fungsi gamma dan beta (4-16) maka:
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
Sedangkan berdasarkan rumus rekursif persamaan (4-8) diperoleh:
( ) ( )( )( )
Jadi :
(
)
( )( )
( )
( )
( )( )( )
Maka diperoleh hasil integral pada soal adalah:
∫ ( )
( )
.
/
INTEGRAL FUNGSI KHUSUS
66
==========================================================
Soal latihan 4.3:
1. Hitung integral berikut, periksa kembali hasilnya menggunakan hubungan
fungsi beta dan gamma:
a) /2
2
0
sin d
b) /2
2 3
0
sin cos d
c) /2
0 sin
d
2. Nyatakan integral berikut dalam fungsi beta, kemudian nyatakan dalam
fungsi gammma dan evaluasi menggunakan tabel fungsi gamma
a)
1 4
20 1
x dx
x b)
4
6
0(1 )
x dx
x
c) 3 2
0 (1 )
xdx
x
===========================================================
DERET FOURIER
67
Bab 5.
DERET FOURIER
Deret Fourier merupakan bentuk deret sinus dan cosinus yang secara umum
dibentuk oleh fungsi periodik. Fungsi periodik dalam fisika merupakan model
peristiwa yang terjadi secara berulang dalam setiap periode tertentu. Biasanya
peristiwa yang dijumpai muncul dalam bentuk fungsi yang sangat rumit dan untuk
mendeskripsikan diperlukan penyederhanaan diantaranya dalam model fungsi
periodik.
Deret Fourier sangat berguna dan banyak diterapkan dalam menyelesaikan
permasalahan yang melibatkan persamaan diferensial ber-orde dan persamaan
diferensial parsial.
Tujuan khusus yang diharapkan setelah mempelajari deret Fourier adalah agar
pembaca:
- Memahami sifat fungsi ganjil dan fungsi genap.
- Menentukan nilai koefisien deret fourier dan menguaraikan deret
fourier berdasarkan bentuk fungsi periodiknya.
- Menganalisis deret fourier dan menerapkannya dalam menyelesaikan
permasalahan fisika sehari-hari.
DERET FOURIER
68
5.1 Fungsi Periodik
Fungsi periodik merupakan model matematika dari suatu peristiwa yang
terjadi secara berulang dalam setiap periode tertentu. Banyak kejadian dalam
kehidupan sehari-hari yang tanpa disadari sebenarnya termasuk dalam fungsi
periodik misalnya terjadinya siang dan malam, musim dalam setahun dan lain
sebagainya. Pada kasus fisika yang termasuk dalam bentuk fungsi periodik
diantaranya gelombang, sinyal, denyut nadi, getaran dan banyak kejadian lainnya.
Secara matematis, sebuah fungsi f(x) dikatakan fungsi periodik apabila untuk
semua nilai x pada setiap periode p memenuhi:
( ) ( ); pada semua x, (5-1)
berarti bahwa:
( ) *( ) + ( ) ( )
Tinjau fungsi sinus berikut 2( ) sinL
f x x , dan 2L( ) sin
Lf x L x , maka
periode fungsi tersebut adalah L apabila terpenuhi: 2 2Lsin sin
L Lx x . Artinya
fungsi tersebut memiliki keadaan yang sama setiap selang L. Secara umum dalam
fisika dijumpai periode dari suatu getaran yang diberikan oleh fungsi
2( ) sinT
f t t adalah T.
Kasus lain yang sering dijumpai dalam fisika juga termasuk fungsi periodik, yaitu sebuah
gelombang yang merambat dalam sumbu x seperti pada gambar. Simpangan y pada
waktu t=o sama dengan
simpanyan y setelah waktu t
kemudian.
DERET FOURIER
69
Apabila kecepatan gelombang adalah v, berarti simpangan y pada titik x saat t sama
dengan simpangan y pada titik (x-vt) pada waktu t =0, dalam hal ini vt jarak yang
ditempuh gelombang seletal waktu t. Persaman yang meenyataka keadaan simpangan
gelombang tersebut dinyatakan sebagaai:
2siny A x vt
========================================================
Soal Latihan 5.1:
1. Tentukan periode, amplitudo, frekuensi, dan kecepatan dari gerak sebuah
partikel yang posisinya terhadap titik asal dinyatakan oleh:
a. 4sin 2 4 1S t
b. 5sinS t
2. Carilah frekuensi, periode, panjang gelombang, cepat rambat gelombang,
serta simpangan gelombang pada waktu t dan posisi x yang diberikan oleh:
a. 2( , )
3sin 3 ,x ty x t pada t=0; t= ½ ; x = 0; x = 1.
b. 1( , )
44sin 2 ,x ty x t pada t=0, 1, 2; x= ½ , 1.
==========================================================
DERET FOURIER
70
5.2 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi Genap:
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi genap apabila memiliki sifat:
( ) ( ) (5-2)
Gambar berikut ini merupakan grafik fungsi genap, yang menunjukkan y bersifat
simetris pada setiap nilai x dengan tanda yang berlawanan. Perhatikan grafik fungsi
genap berikut:
y= f(x) = x2 : adalah fungsi
genap karena
f(-1) = 1 = f(1)
f(-2) = 4 = f(2)
y =cos x : adalah fungsi genap
karena
f(-/2) = f(/2) =0
f(-) = f() =-1 Gambar: Grafik fungsi genap
Fungsi ganjil:
Sebuah g(x) disebut fungsi ganjil jika memiliki sifat:
g(-x) = - g(x) (5-3)
Adalah suatu fungsi untuk harga x negatif secara numerik sama dengan harga x
positif tetapi berlawanan tanda. Grafik dari fungsi negatif adalah grafik yang
simetris terhadap titik asal.
DERET FOURIER
71
Funsgi y =g(x)= x3: adalah fungsi
ganjil karena:
g(-1) = -1 = -g(1)
g(-2) = - 8 = -g(2)
Fungsi y(x) = sin x: adalah fungsi
ganjil karena:
y(/2) = sin(/2)= 1
y(-/2) = sin(-/2)= -1 = - y(/2)
Gambar. Grafik fungsi ganjil
Sifat Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil:
(1) Apabila f(x) dan g(x) keduanya adalah fungsi genap, maka:
f(x).g(x) = F(x) : adalah fungsi genap , karena
F(-x)= f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = F(x)
(2) Apabila f(x) fungsi genap dan g(x) fungsi ganjil maka:
f(x)g(x) = F(x): adalah fungsi ganjil, karena
f(-x)g(-x) = f(x){-g(x)} = - f(x)g(x) = -F(x)
Sifat integral fungsi genap dan fungsi ganjil:
Untuk f(x) fungsi genap, berlaku:
DERET FOURIER
72
0
( ) 2 ( )
L L
L
f x dx f x dx
; f(x): fungsi gepap (5-4)
Untuk g(x) fungsi ganjil, berlaku:
( ) 0
L
L
g x dx
; g(x): fungsi ganjil (5-5)
Contoh 1:
Hitunglah hasil integral dari fungsi f(x) =x2, yang dibatasi dari x=-1 sampai x=1.
Jawab:
1 0 1
2 2
1 1 0
1 1 2( )
3 3 3f x dx x dx x dx
Dalam hal ini karena f(x) =x2 adalah fungsi genap, maka berlaku:
1 0 1
2 2
1 1 0
2( ) 2 2
3f x dx x dx x dx
Contoh 2:
Hitunglah integral dari fungsi f(x)= x, yang dibatasi dari x=-1 sampai x=1
Jawab:
1 1
2 2 2
1 1
11 11 1 0
12 2xdx xdx x
Jadi terbukti untuk f(x)=x adalah fungsi ganjil, sehingga hasil inetgral dari -1
sampai 1 adalah nol.
===========================================================
Soal Latihan 5.2:
1. Pada fungsi f(x) berikut ini, mana yang termasuk fungsi periodik dengan
periode , fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak merupakan salah satu fungsi
ganjil atau fungsi genap:
DERET FOURIER
73
a) 0, 0
( )
, 0
jika xf x
x jika x
b) ( ) , (- < x < )
c) F(x) = x, (- < x < )
2. Carilah periode p posiitif terkecil dari fungsi berikut: a) ( ) sinf x x ; b) ( ) cos 2f x x ; c) ( ) sinf x x
3. Gambarkan grafik fungsi f(x) berikut, yang diasumsikan bersifat periodik
dengan periode 2 pada daerah -< x < : a) f(x) = x, b) f(x) = sin x/2
c) , 0
( )0, 0
x jika xf x
jika x
4. Hitunglah integral fungsi berikut pada selang interval yang diberikan soal.
a) /2
0
cos nx dx
c) 0
sin nx dx
e) cosx nx dx
b) /2
/2
sinx nx dx
d) /2
/2
cosx nx dx
f) 2 sinx nx dx
==========================================================
DERET FOURIER
74
5.3 Deret Fourier
Deret Fourier dibentuk dari sebuah fungsi periodik f(x) yang dinyatakan
dalam deret trigonometri. Tinjau f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan
periode 2 . Rumusan deret Fourier menurut formulasi Euler dinyatakan dalam
bentuk deret trigonometri adalah:
1
( ) cos sino n n
n
f x a a nx b nx
(5-6)
Dalam hal ini an dan bn adalah konstanta riel disebut koefisien deret Fourier. Nilai
koefisien deret tersebut ditentukan dengan mengintegralkan kedua ruas kiri dan
kanan persamaan (10-2) dari - sampai dengan , maka kita peroleh:
1
( ) cos sino n n
n
f x dx a a nx b nx dx
Atau jika diintegralkan masing-masing bagian maka :
1
( ) cos . sin .o n n
n
f x dx a dx a nx dx b nxdx
Hasil integral bagian kanan yaitu untuk bentuk pertama sama dengan 2 ,
sedangkan untuk bentuk kedua dan ketiga bagian kanan adalah nol. Sehingga
diperoleh hasil:
1( )
2oa f x dx
(5-7)
Kalikan persamaan (10-2) dengan cos mx (m bulat positif), kemudian diintegralkan
dari - sampai dengan , maka:
1
( ) cos . cos sin cos .o n n
n
f x mx dx a a nx b nx mx dx
Atau:
1
( )cos . cos . cos cos . sin cos .o n n
n
f x mx dx a mx dx a nx mx dx b nx mx dx
DERET FOURIER
75
Hasil integral bentuk pertama ruas kanan adalah sama dengan nol. Sedangkan
untuk suku kedua ruas kanan adalah:
1cos cos . cos( ) . cos( ) .
2nx mx dx n m x dx n m x dx
Oleh karena hasil integral bagian kanan masing-masing:
cos( ) . 0,n m x dx
untuk semua nilai m dan n
Dan
,
cos( ) .0,
untuk m nn m x dx
untuk m n
Maka diperoleh hanya untuk :
2
2
1cos . cos 2 .
2
1cos . 0 2
2
nx dx nx dx dx
nx dx
sedangkan untuk nilai integral tersebut adalah nol.
Selanjutnya untuk suku ke tiga bagian kanan untuk semua nilai n dan m diperoleh:
1sin cos . sin( ) . sin( ) .
2nx mx dx n m x dx n m x dx
= 0
Dengan demikian diperoleh nilai koefisien an adalah:
1
( )cos .na f x nx dx
, n= 1, 2, 3, 4,… (5-8)
Selanjutnya kalikan peramaan (10-2) dengan sin mx, kemudian diintegralkan dari
- sampai dengan :
1
( )sin . sin . cos sin . sin sin .o n n
n
f x mx dx a mx dx a nx mx dx b nx mx dx
DERET FOURIER
76
Hasil integral suku pertama ruas kanan adalah nol, demikian juga berdasarkan hasil
sebelumnya telah diperoleh bahwa integral suku kedua ruas kanan juga sama
dengan nol. Selanjutnya untuk suku ke tiga ruas kanan:
1
sin sin . cos( ) . cos( ) .2
nx mx dx n m x dx n m x dx
Oleh karena :
,
cos( ) .0,
untuk m nn m x dx
untuk m n
Dan
cos( ) . 0,n m x dx
untuk semua nilai m n
Maka diperoleh hanya untuk m = n:
2 1sin . 2 0
2nx dx
,
Sedangkan untuk nilai integral tersebut adalah nol. Dengan demikian
diperoleh nilai koefisien bn dinyatakan oleh:
1
( )sin .nb f x nx dx
, n= 1, 2, 3, 4,… (5-9)
Berdasarkan uraian di atas maka dapat ditulis secara ringkas bentuk:
Deret Fourier :
1
( ) cos sino n n
n
f x a a nx b nx
Dengan koefisien Fourier masing-masing:
a) 1
( )2
oa f x dx
b) 1
( )cos .na f x nx dx
, n= 1, 2, 3, 4,…
c) 1
( )sin .nb f x nx dx
, n= 1, 2, 3, 4,…
DERET FOURIER
77
Contoh 3:
Dapatkan nilai koefisien Fourier dari fungsi periodik f(x) yang diberikan seperti
gambar berikut:
, 0( )
, 0
k jika xf x
k jika x
Jawab:
Dengan menggunakan persamaan di atas maka:
1( )
2oa f x dx
0
0
0
1 1 1( ). . . (0 ) ( 0) 0
2 2 2a f x dx k dx k dx k k
Untuk koefisien an:
1
( )cos .na f x nx dx
,
0
0
1cos . cos .
01 sin sin0
0
n
n
a k nx dx k nx dx
k nx k nxa
n n
Untuk koefisien bn diperoleh sebagai berikut:
DERET FOURIER
78
0
0
1( )sin .
1sin . sin .
01 cos cos
0
2cos 0 cos( ) cos cos 0 1 cos
n
n
n
n
b f x nx dx
b k nx dx k nx dx
k nx k nxb
n n
k kb n n n
n n
Karena: Cos ; Cos 3 , maka:
1
4kb
; 2 0b ;
3
4
3
kb
; 4 0b ;
5
4
5
kb
dst.
Maka diperoleh deret Fourier dari f(x) adalah:
===========================================================
Soal Latihan 5.3:
1. Dapatkan deret Fourier dari fungsi f(x) yang diberikan oleh gambar a dan
gambar b berikut:
a b.
2. Dapatkan deret Fourier dari fungsi f(x) berikut:
1 13 5
4( ) sin sin3 sin5 ...
kf x x x x
DERET FOURIER
79
2 2
32 2
; :
( ); :
k jika x
f xk jika x
3. Dapatkan deret Fourier yang dberikan oleh fungsi f(x) berikut
a. ( ) , ( )f x x dengan x .
b. ( ) , (0 )f x x dengan x .
c. , 0 / 2
( )
0, / 2 2
k jika xf x
jika x
==========================================================
5.4 Fungsi Suatu Periode p = 2L
Dalam aplikasi jarang dijumpai fungsi periodik yang memiliki periode 2 ,
melainkan memiliki periode p = 2L. Jika suatu fungsi f(x) adalah fungsi periodik dengan
periode p=2L, maka uraian fungsi f(x) dalam deret Fourier dinyatakan dalam bentuk:
1
( ) cos sinn no n nL L
n
f x a a x b x
(5-10)
1( )
2
L
o
L
a f x dxL
1( )cos .
L
n
L
n xa f x dx
L L
1( )sin .
L
n
L
n xb f x dx
L L
n: bilangan bulat
Interval dqalam integrasi dapat saja berubah, misalnya perubahan panjang interval
dari p=2L, menjadi -L≤x≤L, dan lain-lain.
DERET FOURIER
80
Contoh 4:
Tentukan deret Fourier dari fungsi bentuk gelombang petak diberikan seperti
gambar:
Dengan
0 2 1
( ) 1 1
0 1 2
jika x
f x k jika x
jika x
; p=2L=4, L=2
Penyelesaian:
Berdasarkan (10-6a) dan (10-6b) maka
2 1
2 1
1 1( )
2 4 2o
ka f x dx kdx
L
2 1
2 1
1 1 2( )cos cos sin
2 2 2n
n x n x k na f x dx k dx
L L n
Maka nilai an =0 untuk n genap,
2n
ka
n ; n=1, 5, 9,.....
2n
ka
n ; n=3, 7, 11,.....
Sedangkan bn =0 untuk semua n=1,2,3,4...
Dapat juga dilakukan perubahan veriabel pada (10-6), memisalkan ,
yang berarti kemudian menuliskan , berkaitan dengan ,
maka bentuk fungsi perubahan menjadi: ( ) ( )
DERET FOURIER
81
1
( ) cos sino n n
n
g v a a nv b nv
Dengan koefisien:
a) 1
( )2
oa g v dv
b) 1
( )cos .na g v nv dv
, n= 1, 2, 3, 4,…
c) 1
( )sin .nb g v nv dv
, n= 1, 2, 3, 4,…
=========================================================
Soal Latihan 5.4:
Dapatkan deret Fourier dari fungsi periodik f(x), dengan periode p=2L, dan
gambarkan grafik dari f(x) tersebut untuk tiga penjumlahan.
5. f(x) = 1 (-1<x<1), f(x)=0 (1<x<3), p=2L=4
6. f(x) = 1 (-1<x<0), f(x)=-1 (0<x<1), p=2L=2
7. f(x) = 0 (-2<x<0), f(x)=1 (0<x<2), p=2L=4
8. f(x) = x (-4<x<4), p=2L=8
9. f(x) = x2 (0<x<2), p=2L=4
10. f(x) = sin x; (0<x<1; p = 2L =1
===========================================================
DERET FOURIER
82
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
83
Bab 6. PERSAMAAN
DIFERENSIAL KHUSUS
Pada bagian sebelumnya sudah dibahas persamaan diferensial linier orde
dua homogen dengan koefisien konstan disertai beberapa contoh dan metode
penyelesaiannya, sebagai diketahui dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode aljabar atau kalkulus fungsi elementer. Namun banyak ditemukan
persoalan fisika dalam bentuk persmaan diferensial linier dengan koefisien tidak
konstan melainkan bergantung pada x. Permasalahan dalam bentuk persamaaan
diferensial linier dengan koefisien bergantung pada x (tidak konstan),
penyelsaiannya lebih rumit dan mungkin tidak dapat menggunakan bentuk fungsi
elementer. Cara penyelesaian yang lebih cocok adalah dengan menggunakan
metode deret pangkat. Persmaan diferensial linier sejenis ini diantaranya adalah
persamaan Bessel dan persamaan Legendre yang banyak berperan penting dalam
menyelesaian permasalahan ilmu fisika, aplikasi sain dan bidang teknik lainnya.
Pada bagian ini akan membahas penyelesaian persamaan diferensial dengan
metode deret pangkat. Adapun kompetensia yang diharapkan setelah mempelajari
materi ini adalah agar dapat menganalisis dan meneyelesaikan persamaan
diferensial dengan metode deret.
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
84
6.1 Solusi Persamaan Diferensial Dengan Deret
Ide umum dari teknik penyelesaian persamaan difernsial dengan metode deret
pangkat sangat sederhana dan natural. Pertama semua fungsi dan turunannya yang
diberikan oleh persamaan diferensial kita nyatakan sebagai deret kuasa dari x
sebagaimana sudah dipelajari sebelumnya. Selanjutnya diasumsikan sebuah solusi
persamaan diferensial dalam bentuk deret. Misalnya diasumsikan y(x) adalah solusi
sebuah dari persamaaan diferensial dalam bentuk deret kuasa yaitu:
2 3
1 2 3
0
...m
m o
n
y a x a a x a x a x
(6-1)
Kemudian turunan y(x) terhdap x adalah:
(a) 1 2 3
1 2 3 3
1
2 3 4 ...m
m
n
dyma x a a x a x a x
dx
(6-2)
(b) 2
2 2 3
2 3 4 520
( 1) 2 3.2 4.3 5.4 ...m
m
n
d ym m a x a a x a x a x
dx
Langkah selanjutnya adalah subsitusikan (6-1) dan (6-2) kedalam persamaan
diferensial pada soal, kemudian dikumpulkan semua koefisien yang memiliki
pangkat x yang sama. Hasil tersebut akan memberikan nilai koefisien deret am
pada (11-1) yang belum diketahui.
Caontoh 1:
Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan deret.
Penyelesian
Hasil subsitusi bentuk deret pangkat (6-1) dan (6-2a) kedalam soal maka diperoleh:
2 3 2 3
1 2 3 4 1 2 3( 2 3 4 ) ( ...) 0oa a x a x a x a a x a x a x
Dengan mengumpulkan koefisien yang memiliki pangkat x yang sama maka:
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
85
2 3
1 2 1 3 2 4 3( ) (2 ) (3 ) (4 ) ... 0oa a a a x a a x a a x
Kita peroleh:
1 0oa a ; 2 12 0a a ; 3 23 0a a ; 4 34 0a a , dst.
Sehingga dapat dinyatakansemua koefisien a1, a2, a3, dst dalam ao sebagai:
1 ;oa a 012
2 2!
aaa ; 02
33 3!
aaa ; ... ;
!
on
aa
n
Maka diperoleh bentuk solusi persamaan diferensial sebagai:
2 3
1 2 3
0
...m
m o
n
y a x a a x a x a x
2 31 1 11! 2! 3!
(1 ...) x
o oy a x x x a e
Contoh 2:
Selesaikan dengan menggunakan deret:
2
20
d yy
dx
Penyelesaian:
Subsitusikan bentuk deret kuasa( 6-1) dan (6-2b) di atas kedalam soal maka:
2
2
2 3 2 3
2 3 4 5 1 2 3
0
2 3.2 4.3 5.4 ... ... 0o
d yy
dx
a a x a x a x a a x a x a x
kumpulkan koefisien yang mengandung pangkat x yang sama, diperoleh:
2 3
2 3 1 4 2 5 32 3.2 4.3 5.4 ... 0oa a a a x a a x a a x
Bagian kiri dan kanan persamaan sama dengan nol jika koefisen di dalam kurung
adalah nol, jadi:
22 0oa a ; 3 13.2 0a a ; 4 24.3 0a a ; 5 35.4 0a a
Sehingga diperoleh koefisien untuk nomor genap dan ganjil masing-masing:
12 2! oa a ; 1
3 13!a a ; 1
4 4! oa a ; 15 15!
a a ; dst.
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
86
Maka diperoleh solusi persamaan diferensial adalah:
2 3
1 2 3
0
2 4 6 3 5 71 1 1 1 1 10 12! 4! 6! 3! 5! 7!
1
...
1
cos sin
m
m o
n
o
y a x a a x a x a x
y a x x x a x x x x
y a x a x
Hasil tersebut sesuai dengan solusi persaman diferensial yang diperoleh dengan
cara biasa.
===========================================================
Latihan Soal:
Terapkan deret untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut:
1. 5. (
2. 6. ( )
3. ( ) 7.
4. 8. ( )
===========================================================
6.2 Persamaan Legendre
Sejumlah persoalan fisika dirumuskan dalam model matematika dalam
bentuk persamaan diferensial Legendre sebagai berikut:
( ) ( ) (6-3)
Parameter n pada persamaan (11-3) adalah bilangan riel. Penyelesaian dari
persmaan (11-3) disebut fungsi Legendre, yang diperoleh menggunakan metode
deret pangkat. Dengan mengasumsikan solusi (11-3) berbentuk deret pangkat dan
menggantikan ( ) , yaitu:
;m
m
m
y a x
1
1
' ;m
m
m
y ma x
2
2
" ( 1) ;m
m
m
y m m a x
(6-4)
Subsitusi bentuk (11-4) kedalam (11-3) diperoleh:
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
87
2 2 3
2 3 4 5 2
2
2 2 3 4
2 3 4
2
2 3 4
1 2 3 4
1
" ( 1) 2.1 3.2 4.3 5.4 ..... ( 2)( 1)
" ( 1) 2.1 3.2 4.3 .................... ( 1)
2 ' 2 2.1 2.2 2.3 2.4
m s
m s
m
m s
m s
m
m
m
m
y m m a x a a x a x a x s s a x
x y m m a x a x a x a x s s a x
xy ma x a x a x a x a x
2 3 4
0 1 2 3 4
0
.................. 2 .
...................................
_____________________________________________________________________
s
s
m s
m s
m
s a x
ky k a x ka ka x ka x ka x ka x ka x
2 3
2 3 1 1 4 2 2 2 5 3 3 30 2.1 (3.2 2 ) (4.3 2.1 2.2 ) (5.4 3.2 2.3 )oa ka a a ka x a a a ka x a a a ka x
Diperoleh koefisien untuk pangkat x yang sama adalah
22.1 0oa ka ; 3 1 13.2 2 0a a ka ;
4 2 24.3 6 0a a ka ; 5 3 35.4 12 0a a ka ;
Koefisien yang berlaku lebih umum dengan k=n(n+1) yaitu:
2( 2)( 1) ( 1) 2 . 0s s s ss s a s s a s a ka
2
2 2
2
2
( 2)( 1) ( 1) 2 0
( 2)( 1) 0
( 2)( 1) ( )( 1) 0
s s
s s
s s
s s a k s s s a
s s a n n s s a
s s a n s n s a
Atau
2
( )( 1)
( 2)( 1)s s
n s n sa a
s s
(6-5)
Dengan demikian koefisien setiap suku pangkat x adalah:
2 0 0
4 2 0
( 1)
2! 2!
( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
4.3 4!
k n na a a
n n n n n na a a
3 1 1
5 3 1
2 ( 1)( 2)
3! 3!
( 3)( 4) ( 3)( 1)( 2)( 4)
5.4 5!
k n na a a
n n n n n na a a
Maka solusi persamaan diferensial Legendre pada persamaan (11-4) adalah:
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
88
( ) 0 1 1 2xy a y a y (6-6)
(a) 2 4
1
( 1) ( 1)( 2)( 3)1 ..
2! 4!
n n n n n ny x x
(b) 3 5
2
( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)..
3! 5!
n n n n n ny x x x
Perhatikan (11-17) dengan uji rasio dapat dibuktikan bahwa deret konvergen jika
| | , sedangkan yang lainnya divergen. Sementara y1 hanya terdiri dari x
pengkat genap sedangkan y2 hanya terdiri dari x berpangkat ganjil. Sehingga y1 dan
y2 merupakan solusi yang saling bebas linier.
6.3 Polinom Legendre
Perhatikan koefisien pada persamaan (6-5), bagian ruas kanan bernilai nol
jika n=s, dengan demikian berarti dan
seterusnya. Jika n genap y1 tereduksi menjadi deret polinomial derajat n, demikian
juga jika n ganjil maka hal sama berlaku untuk y2. Deret polinomial ini jika
dikalikan dengan konstanta yang sama disebut Polinomial Legendre, yang dalam
ilmu fisika dan sains sangat banyak aplikasinya. Perhatikan persamaan (6-6a) dan
(6-6b) solusi yang diperoleh berkaitan nilai n adalah:
Untuk n=0; maka
Untuk n=1; maka
Untuk n=2; maka ( )
dan seterusnya. Jika dipilih nilai ao dan a1, pada semua polinom sehingga y =1
pada nilai x=1, maka dihasilkan polinom yang disebut polinom Legendre dtulis
dengan ( ), yang berkaitan dengan beberap nilai n, yaitu:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (6-7)
( )
( ) ( )
( )
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
89
Gambar berikut ini adalah grafik untuk Polinom Legendre ( ) pada persamaan
(6-7) di atas.
Gambar. Grafik Polinom Legendre
6.3.1 Aturan Leibniz
Tinjau suatu fungsi y=x sin x, jika diturunkan sebanyak 3 kali maka menurut aturan
Leibniz, diperoleh
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Mengingat
( ) , maka diperoleh:
( )
( )
( )
( )
Secara umum menurut aturan Leibniz, jika suatu fungsi y=uv diturunkan sebanyak
n kali (turunan orde n ditulis yn ) maka :
=u ( )
===========================================================
Soal Latihan :
Gunakan aturan Leibniz untuk memperloh diferensial berikut:
1.
( ) 2.
( ) 3.
( )
===========================================================
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
90
6.3.2 Formula Rodrigues Untuk Polinom Legendre
Kita sudah mendapatkan beberapa nilai polinom Legendre ( ) dari
persamaan diferensial Legendre pada beberapa nilai n. Cara lain untuk memperoleh
polinom Legendre secara lebih mudah, yaitu dengan formula Rodrigues, yaitu:
( )
( ) (6-8)
Bentuk persaman (6-8) memberikan hasil sesuai dengan polinom Legendre ( )
untuk semua nilai n yang telah diperoleh pada persamaan (6-7). Dapat dibuktikan
bahwa formula Rodriges (6-8) memenuhi persamaan Legendre pada (6-3), untuk
membuktikannya, pertama kita misalkan:
( ) (6-9)
Kemudian turunkan persamaan (6-9) terhadap x, selanjutnya kalikan dengan
( ), maka diperoleh:
( ) ( )
( )
( )
Atau:
( )
(6-10)
Diferensialkan bagian kiri dan kanan persamaan (6-10) sebanyak n+1 kali
mengikuti aturan Leibniz maka diperoleh:
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
(6-11)
Jika disederhanakan akan diperoleh bentuk persamaan diferensial Legendre:
( ) .
/
( ) .
/
( )
(11-12)
Dengan memisalkan
, maka terbukti sesuai dengan persamaan diferensial
Legendre yang dinyatakan dalam (6-3).
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
91
===========================================================
Soal Latihan:
1. Dapatkan ( ) ( ) ( ) ( ) menggunakan Formula
Rodrigues persamaan (11-8), bandingkan hasilnya dengan bentuk yang
diberikan oleh persamaan (11-7)
2. Tunjukkan bahwa ∫
( ) , jika m< n. Petunjuk: Gunakan
formula Rodrigues, dan integralkan secara berulang bagian demi bagian.
3. Dengan menggunakan rumus (11-8), dan melakukan integrasi sebanyak n
kali, tunjukkan bahwa:
∫ ( )
(n=0,1,2,....)
6.3.3 Fungsi Pembangkit Polinom Legendre
Fungsi pembangkit polinom Legrendre dinyatakan oleh:
( ) ( ) , dengan | | (6-13)
Dikatakan ( ) sebagai fungsi pembangkit polinom Legendre karena dapat
mengasilkan nilai sesuai polinom Legendre ( ) yang diberikan oleh persamaan
(6-7). Untuk pembuktian keterkaitan pada persamaan (6-13) dengan Polinom
Legendre kita misalkan: , sehingga diperoleh bentuk ( )
, lalu
diuraikan persamaan (6-13) kedalam deret menjadi:
( )
( )
( )
( )
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
92
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )
Dengan demikian diperoleh hubungan fungsi pembangkit ( ) dengan polinom
Legendre dinyatakan sebagai
1/2
2
0
( , ) 1 2 ( )n
n
n
x h xh h h P x
(6-14)
Dengan: 1h
Apabila diberikan nilai x=1, maka diperoleh uraian deret untuk fungsi pembangkit
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (6-15)
6.3.4 Ekspansi Potensial
Satu diantara persoalan fisika yang menerapkan fungsi pembangkit adalah pada
kasus potensial yang ditimbulkan oleh gaya berbanding terbalik dengan kuadrat
jarak. Dalam listrik statis, potensial berkaitan dengan gaya antara dua muatan
listrik yang terpisah pada jarak d yaitu sebanding dengan d2. Persoalan sejenis kita
jumpai pada potensial gravitasi yang ditimbulkan oleh gaya antara dua massa yang
terpisah pada jarak d. Tinjau kasus potensial listrik di titik p yang disebabkan
muatan q, yaitu:
(6-16)
k
: konstanta
d= jarak antara dua muatan .
V= potensial l
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
93
Berdasarkan hukum cosinus
| | (6-17)
√
√
.
/
Maka potensial listrik pada titik q’ adalah:
[
.
/
]
(6-18)
Untuk nilai | | | |, kita ubah variabelnya menjadi:
, dan .
Dalam hal ini, x bukan sumbu koordinat tetapi hanya menggantikan nilai cos ,
maka dapat dituliskan jarak d menjadi:
√
, -
Dari persamaan (11-18) dengan mengacu pada bentuk (6-14) maka dapat ditulis
1/2
2
0
1 2 cos (cos )n
r r rnR R R
n
P
(6-19)
Dari hubungan fungsi pembangit persamaan (6-14) dan (6-17) maka
potensial dinyatakan dalam bentuk polinom Legendre sebagai:
(a)
∑ ( )
(6-20)
(b)
∑ .
/
( ) ; r<R
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
94
===========================================================
Soal Latihan:
1. Nyatakan polinom berikut dalam kombinasi linier dari polinom Legendre.
Sebagai petunjuk lakukan mulai dari pangkat paling tinggi.
a) c) e)
b) d) f)
2. Tunjukkan menggunakan (11-13) bahwa:
( )
===========================================================
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
95
6.4 Persamaan Diferensial Bessel
Satu dari banyak bentuk persamaan diferensial yang sangat penting dalam
pemecahan masalah fisika adalah persamaan diferensial Bessel, yang dinyatakan
dalam bentuk standar sebagai berikut:
( ) (6-21)
Persamaan ini banyak diterapkan pada masalah getaran, medan elektromagnetik,
aliran panas dan lain-lain. Untuk memperoleh solusi bentuk persamaan diferensial
Bessel, yaitu dengan menyatakan y(x) dalam deret kuasa sebagai beriku:
( ) n k k n
n n
n o n o
y x a x x a x
(6-22)
Sebelum menyelesaikan persamaan diferensial Bessel pada (6-21) di atas mari kita
terapkan deret persamaan (6-22) untuk menyelesaikan kasus getaran pada contoh
berikut ini.
Contoh 3:
Dapatkan solusi untuk y(x) pada persamaan getaran berikut menggunakan
deret, misalkan:
Buktikan solusinya mengambil salah satu bentuk y sin x , atau ycos t.
Penyelesaian:
Kita mulai dengan menuliskan y(x) dalam bentuk deret yaitu:
(a) 2 3
1 2 3
0
( ) ...n k k
n o
n
y x a x x a a x a x a x
1
0
n k
n
n
dyn k a x
dx
(b) 2
2
20
1 n k
n
n
d yn k n k a x
dx
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
96
atau
(c) 2
2 1
1 22( 1) (1 ) (2 )( 1) ...k
o
d yx k k a x k ka x k k a
dx
Dengan mensubsitusikan y dan turunannya pada soal, maka diperoleh:
2 2
0 0
1 0n k n k
n n
n n
n k n k a x a x
Kemudian diuraikan dan dikelompokkan koefisien deret sesuai suku pangkat x
yang sama, yaitu:
Xk-2
Xk-1
xk
Xk+1
... Xk+n
y” k(k-1)ao k(1+k)a1 (2+k)(1+k)a2 (3+k)(2+k)a3 ... (n+2+k)(n+k+1)an+2
2y
2 ao
2 a1
2 an
0 0 0 0 0 0
Berdasarkan tabel:
*) koefisien untuk xk-2
:
( ) ; jika , maka diperoleh nilai k=0 atau k=1:
*) koefisien untuk xk-1
:
( ) = 0; jika dimsukkan k =1, maka diperoleh . Secara umum
koefisien setiap suku deret pangkat dapat ditulis:
( )( )
Atau:
2
2( 2)( 1)
n na an k n k
(i). Jika dipilih untuk k=0, diperoleh koefisien setiap suku:
2
2( 2)( 1)
n na an n
Hanya berlaku untuk n genap (n=0, 2, 4,...). Maka diperoleh koefisien deret untuk n
genap:
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
97
2 2
22.1 2!
o oa a a
; 2 4
4 24.3 4!
oa a a
; 2 6
6 46.5 6!
oa a a
Sedangkan untuk koefisien ganjil adalah nol, hal ini karena . Untuk
koefisien genap dapat juga ditulis sebagai kelipatan dari (n=1,2,3..):
(2 )
2
( 1)
(2 )!
n n
n oa an
;
Dan menghasilkan solusi untuk k=0 adalah :
2 2 4 4 6 6
0( ) 1 ... cos2! 4! 6!
k o o
x x xy x a a x
(ii) Sedangkan jika dipilih untuk k=1, diperoleh
2
2( 3)( 2)
n na an n
Pilih untuk n genap, maka diperoleh koefisien deret
2 2
23.2 3!
o oa a a
; 2 4
4 25.4 5!
oa a a
; 2 6
6 47.6 7!
oa a a
Secara umum jika dipilih k=1, maka koefisien suku genap ditulis:
2
2 ( 1)(2 1)!
nn
n oa an
; (n=1,2,3,4,...bilangan bulat)
Solusi deret pada untuk k=1 pada adalah:
2 2 4 4 6 6 3 3 5 5 7 7
1( ) 1 ... ...3! 5! 7! 3! 5! 7!
ok o
ax x x x x xy x a x x
Atau diperoleh solusi untuk k=1:
( )
, terbukti !.
Sekarang kita sudah siap untuk mendapatkan solusi umum persamaan
diferensial Bessel (6-21) menggunakan persamaan (6-22). Untuk memudahkan
pemecahan dapat juga digunakan hubungan:
2' ' " 'x xy x y xy
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
98
Sehingga persamaan diferensial Bessel yang dinyatakan dalam persamaan (6-21)
dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana menjadi:
2 2' ' ( ) 0x xy x p y (6-23)
Penyelesaian persamaan (6-23) tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan
uraian deret kuasa, yaitu:
a) 2 3 4
1 2 3 4
0
...n k k
n o
n
y a x x a a x a x a x a x
Selanjutnya, diperoleh:
b) 1
0
' ( ) n k
n
n
y n k a x
c) 0
' ( ) n k
n
n
xy n k a x
d) 2 1
0
( ') ' ( ) n k
n
n
xy n k a x
e) 2
0
( ') ' ( ) n k
n
n
x xy n k a x
atau:
f) 2 2 22
0 1 2( ') ' 1 2 ...k n
nx xy x a a k x a k x a n k x
Apabila kita subsitusikan hasil uraian deret bentuk a) dan f) kedalam persamaan (6-
23), maka diperoleh hasil:
xXk
x1+k
x2+k
x3+k
.... xn+k
x(xy’)’ k2ao (1+k)
2a1 (2+k)
2a2 (3+k)
2a3 .... (n+k)
2 an
x2y ao a1 .... an-2
-p2y -p
2ao -p
2 a1 -p
2 a2 -p
2 a3 .... -p
2 an
0 0 0 0 0 0 0
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
99
Berdasarkan tabel tersebut diperoleh masing-masing koefisien untuk xk
menghasilkan dua nilai k yang memenuhi,yaitu:
(k2- p
2) ao = 0; ==> k = p
Koefisien untuk x1+k
, yaitu (k= p):
(1+k)2 a1 – p
2a1 = 0; atau (1+2p) a1=0
Karena nilai di dalam kurung tidak nol, berarti agar terpenuhi haruslah a1=0,
Secara umum untuk koefisien untuk xn+k
, yaitu:
[(n+k)2- p
2]an + an-2 = 0; atau
(
Karena k=p, maka diperoleh
( )
( ) (6-24)
Oleh karena untuk a1=0, demikian juga untuk semua koefisien bernomor ganjil
sama dengan nol. Sedangkan untuk koefisien genap, mengganti n dengan 2n, maka
dihasilkan:
( )
( ) (6-25)
Selanjutnya mari kita periksa
Untuk n=1:
( )=
( )
Untuk n=2:
( )
( )( ) (6-26)
Untuk n=3:
( )
( )( )( )
Ingat berdasarkan rumus rekursif fungsi gamma:
( ) p(p) ;
( ) ( )(1+p) ;
( ) ( )( )(1+p) (6-27)
( ) ( )( )( )(1+p)
Maka dari hasil (6-27) dapat ditulis menjadi:
( )
( )
( )
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
100
( )( )
( )
( ) (6-28)
( )( )( )
( )
( )
dan seterusnya. Sehingga dari hasil (6-27) diperoleh penyelesaian deret
2 4 6
2 2 2
1 1 1 1( ) (1 ) ...
(1 ) (2 ) 2! (3 ) 3! (4 )
p x x xoy x a x p
p p p p
Atau
2
2 2
1 1( ) 2 (1 )
(1) (1 ) (2) (2 )
pp x x
oy x a pp p
4 6
2 2
1 1...
(3) (3 ) (4) (4 )
x x
p p
Atau dinyatakan lebih umum dalam bentuk deret sebagai berikut:
2
0
( 1)( ) 2 (1 )
( 1) ( 1) 2
n pnp
o
n
xy x a p
n n p
(6-29)
Fungsi y(x) pada persaman (6-29) dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi Bessel,
ditulis sebagai:
( ) ( )py x J x , dengan 2 (1 )p
oa p (6-30)
( )pJ x adalah fungsi Besel bentuk , secara umum dinyatakan oleh:
2
0
( 1)( )
( 1) ( 1) 2
n pn
p
n
xJ x
n n p
(6-31)
Khusus untuk n dan p bilangan bulat, maka berdasarkan hubungan fungsi gamma
dan bilangan faktorial diperoleh:
( ) ; ( ) ; dan ( ) ( )
Maka persamaan (6-29) dapat juga dinyatakan sebagai:
2
0
( 1)( ) 2 !
!( )! 2
n pnp
o
n
xy x a p
n n p
(6-32)
Dan fungsi Bessel bentuk pertama untuk n dan p bilangan bulat:
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
101
2
0
( 1)( )
!( )! 2
n pn
p
n
xJ x
n n p
(6-33)
Berikut ini adalah contoh beberapa bentuk Jp(x) yang terkait dengan p bulat:
2
20
( 1)( )
( !) 2
nn
o
n
xJ x
n
2
1
0
( 1)( )
2 ( !)( 1)! 2
nn
n
x xJ x
n n
2 2
2
0
( 1)( )
2 ( !)( 2)! 2
nn
n
x xJ x
n n
Dapat dibuktikan bahwa:
( ) .
/ ( ) ( )
Dari (6-31) bila dipilih s=-p, maka diperoleh fungsi Bessel bentuk kedua, yaitu:
2
0
( 1)( )
( 1) ( 1) 2
n pn
p
n
xJ x
n n p
(6-34)
Jika p bukan bilangan bulat, Jp(x) adalah deret dimulai dari xp dan J-p(x) adalah
deret dimulai dari x-p
. Akan tetapi bila p bulat maka beberapa bentuk suku pertama
dari J-p(x) adalah nol, hal ini karena pembaginya (n-p+1) bulat negatif,
memberikan hasil takhingga.
2
0
( 1)( )
!( )! 2
n pn
p
n
xJ x
n n p
; (p: bulat) (6-35)
Selanjutnya Jp(x) dan J-p(x) adalah dua penyelesaian yang saling bebas dan
kombinasi linier dari keduanya merupakan penyelesaian umum. Hubungan
Rekursif Fungsi Bessel, diberikan oleh
a)
[ ( )] ( )
b)
[ ( )] ( ) (6-36)
c) ( ) ( )
( )
PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS
102
d) ( )
( ) ( )
( ) ( )
==========================================================
Soal Latihan:
1. Tunjukkan bahwa ( ) adalah fungsi genap bila p genap dan fungsi ganjil
jika p ganjil.
2. Uraikan ( ), ( ), dan ( ), buktikan bahwa:
a) 2 4 6
2 2 4 2 6 2( ) 1 ...
2 (1!) 2 (2!) 2 (3!)o
x x xJ x
b) 3 5 7
1 3 5 7( ) ...
2 2 1!2! 2 2!3! 2 3!4!
x x x xJ x
c)
2 2 4 6 8
2 2 4 6 8
1( ) ...
2 0!2! 2 1!3! 2 2!4! 2 3!5! 2 4!6!
x x x x xJ x
===========================================================
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
103
Bab 7.
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
Keadaan sistem fisika umumnya dimodelkan matematika dalam bentuk
fungsi yang merepresentasikan besaran sistem tersebut. Besaran fungsi suatu
sistem fisika yang sederhana bergantung hanya pada satu variabel peubah bebas,
sebagian besar dinyataka dalam persamaaan diferensial. Namun tidak sedikit sistem
fisika yang berbantung lebih dari satu variabel peubah bebas. Pada bagian
sebelumnya sudah dibahas sistem persamaan diferensial biasa orde satu dan orde
dua disertai berbagai contoh dan peneyelesaiannya. Pada bab ini akan dibahas
sistem persamaan diferensial fungsi yang bergantung pada lebih dari satu variabel
peubah bebeas, yang bila salah satu dari variabel tersebut berubah sementara
variabel lain tetap akan terjadi perubahan bagian tertentu dari sistem tersebut.
Perubahan semacam ini disebut perubahan parsial. Model aliran fluida, transfer
panas, dan fungsi gelombang adalah beberapa contoh sistem fisika yang
memenuhi persamaan diferensial parsial. Pembahasan pada bab ini akan dimulai
dari bentuk Lapacian (2 f ) yaitu persamaan diferensial orde dua dari besaran
fungsi yang bergantung dari dua atau lebih variabel koordinat ruang dan waktu.
bentuk persamaan diferensial demikian dikenal sebagai persamaan diferensial
parsial.
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
104
Tujuan yang ingin dicapai dari materi ini adalah pembaca diharapkan dapat:
- Mengidentifikasi bentuk-bentuk persamaan diferensial parsial dan
mengkaitkan dengan berbagai permasalahan fisika.
- Melakukan sparasi variabel persammaan diferensial parsial dalam
berbagai sistem koordinat ruang.
- Menerapkan solusi persamaan diferensial parsial dalam pemecahan
masalah fisika teori..
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
105
6.1 Model Fisika Dalam Bentuk PDP
Banyak persoalan mendasar dalam fisika teoritis yang dirumuskan dalam
bentuk persamaan diferensial parsial (PDP), dalam hal mana sebuah besaran
sebagai fungsi ruang koordinat. Sebagaimana sudah disinggung pada bagian
vektor analisis, bila sebuah operator vektor (nabla) dikenakan pada medan fungsi
skalar ( )xyz sebanyak dua kali atau dikenal Lapacian ditulis sebagai 2 .
Bentuk ini banyak diterapkan dalam fisika lanjutan dan merupakan hal mendasar dalam
model permasalah masalah fisika. Bersaran fisika yang berkaitan dengan bentuk
persamaan diferensial tersebut beberapa diantaranya adalah:
1. Persamaan Laplace, 2 =0: Persamaan ini penting dalam mempelajari berbagai
persoalan keadaan fisika seperti:
a. Fenomena elektromagnetik meliputi elektroststis, dielektrik, keadaan arus steady,
dan magnetostatis.
b. Hidrodinamik meliputi aliran fluida, gelombang permukaan
c. Penyebaran suhu, dan aliran panas
d. Studi gravitasi dalam bidang geofisika
2. Persamaan Poisson, 2
0 : Persamaan ini digunakan dalam mempelajari
persoalan medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan yang terdistribusi kontineu.
3. Persamaan difusi bergantung waktu:
2
2
1
a t
4. Persmaan gelombang bebas waktu (Persamaan Helmholtz), 2 2 0k :
Persmaan ini diterapkan dalam mempelajari venomena seperti penjalaran gelombang
pada medium elastik, misalnya getaran daway, bunyi atau akustik, gelombang
elektromagnetik dan lain-lain.
5. Persamaan gelombang Schrodinger: Persamaan ini penting dalam fisika
moderen terutama terkait dalam mempelajari keadaan energi atom.
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
106
2
2
2i
m t
: persamaan Schrodinger tak bebas waktu
2
2
2V E
m : Persamaan Schrodinger bebas waktu
6.2 Pemecahan PDP Dengan Sparasi Variabel;
7.2.1 Distribusi Suhu Dua Dimensi
Kita mulai dari bentuk persamaan Laplace untuk kasus dua dimensi dengan
sumbu koordinat x dan y yang saling ortogonal, yaitu:
2 22
2 20
T TT
x y
(7-1)
Dalam hal ini fungsi keadaan T=T(x,y) adalah fungsi tercampur yang bergantung
pada dua variabel koordinat masing-masing x dan y. Maknanya bahwa T berubah
terhadap perubahan x dan y. Anggap bahwa fungsi tersebut bersifat sparabel, maka
penyelesaiannya dapat dilakukan dengan teknik sparasi variabel, yaitu diawali
dengan mengekstrak fungsi tercampur menjadi dua fungsi yang saling terpisah,
misalnya fungsi T(x,y) diekstrak menjadi X(x) dan Y(y). Dalam hal ini X(x) adalah
fungsi hanya bergantung pada variabel x saja dan Y(y) adalah fungsi hanya
bergantung pada y saja. Dengan demikian maka T merupakan campuran dari X dan
Y yang dinyatakan sebagai:
.T X Y , (7-2)
Apabila bagian kiri dan kanan persamaan (7-2) masing-masing diturunkan secara
parsial terhadap variabel x dan y, maka diperoleh:
2 2
2 2.
T d XY
x dx
;
2 2
2 2.
T d YX
y dy
; (7-3)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
107
Jika persamaan (7-3) disubsitusikan kedalam persamaan (7-1) kemudian dibagi
dengan T=XY, mmaka akan diperoleh persamaan dalam bentuk yang sudah
terpisah yaitu:
2 2
2 2
1 10
d X d Y
X dx Y dy (7-4)
Perhatikan bahwa masing-masing suku pada persamaan (7-4) terdiri dari variabel
fungsi yang sudah saling terpisah. Bentuk (7-4) tersebut menunjukkan hasil
penjumlahan dua besaran yang sama besar namun berbeda tanda, misalkan masing-
masing berkaitan dengan bilangan k2. Model yang menggambarkan keadaan suhu
tersebut mengambil salah satu dari bentuk berikut:
(a) 2 2
2
2 2
1 1d X d Yk
X dx Y dy , atau
(b)
2 22
2 2
1 1d X d Yk
X dy Y dy (7-5)
Anggap T(x,y) adalah keadaan suhu benda dua dimensi terletak pada bidang
koordinat (x,y). Fungsi suhu T(x,y) tersebut menyatakan keadaan suhu pada setiap
titik dalam koordinat x dan y tersebut.
Misalkan benda memiliki lebar L pada sumbu x, dan
panjang takhingga dalam sumbu y, Sedangkan suhu
disetiap sisi dijaga konstan sebagaimana pada gambar
disamping ini. Berdasarkan syarat batas keadaan suhu
pada setiap sisi benda, maka keadaan yang bersesuaian
dengan gambar tersebut diberikan oleh persamaan (7-5a)
yang kita pilih untuk menyelesaikan persoalan ini.
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
108
Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan (7-5a) yang tidak lain
berbentuk model persamaan diferensial orde dua linier yang pemecahannya
dibicarakan dalam materi lain. Hasil penyelesaian persamaan (7-5a) untuk X dan Y
masing-masing diberikan oleh:
sin
cos
kxX
kx
; dan ( )
ky
yky
eY
e
(7-6)
Solusi umum persamaan distribusi (x,y) merupakan kombinasi dari persamaan
(7-1) di atas. Khusus pada kasus ini, keadaan suhu bersifat transien (menurun)
menuju nol pada y menuju takhingga, hal ini sesuai dengan bentuk e-ky
. Sedangkan
bentuk e+ky
nilainya meningkat menuju takhingga, hal ini tidak menggambarkan
kondisi yang diberikan pada kasus ini sehingga diabaikan. Berdasarkan
pertimbangan tersebut maka pemecahan umum distribusi suhu pada plat yang
sesuai dengan kasus ini adalah:
( , ) . cos( ) sin( )kyT x y X Y e A kx B kx (7-7)
Tetapan A dan B merupakan konstanta integral yang nilainya bergantung pada
syarat batas yang diberikan.
Contoh Soal 7-1:
Tentukan distribusi suhu dibagian dalam plat jika suhu pada setiap sisi dijaga
tetap perperti ditunjukkan pada gambar beriku.
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
109
Penyelesaian:
Menggunakan persamaan (7-7) dan menerapkan syarat batas seperti gambar
diperoleh :
Pada: x=0: (0, ) 0 cos(0) 0kyT y e A ; => A = 0 dan B
x=L: ( , ) sin( ) 0kyL yT e B kL ; => B 0;
sin (kL) = 0, bersesuaian dengan: kL n , (n = 1, 2, 3, 4, …), sehingga n
Lk
.
Jadi persamaan distribusi suhu di dalam plat (0<x<L ) dan (0<y<~) dapat
dinyatakan sebagai:
(a) /
0
( , ) sin( )n y L nn L
n
T x y B e x
Jika jika dikenakan syarat batas pada y = 0, sesuai gambar di atas maka diperoleh:
(b) ( , 0) 0
0
sin( )nx n L
n
T T B x
Bentuk persamaan (b) ini tidak lain merupakan bentuk deret Fourier, dengan Bn
adalah koefisien deret. Untuk memperoleh koefisien deret Bn sebagaimana yang
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
110
sudah dipelajari dalam deret Fourier yaitu mengalikan ruas kiri dan ruas kanan
dengan sin( )nL
n x , kemudian masing-masing diintegralkan, yaitu:
2
0
0 0
21(
2
0
(2
sin( ) sin ( )
cos ) 1 cos( )0
1 cos )
L L
n nn
L L
L
L n nno L Ln
L Lno n
T x dx B x dx
LT x B x dx
T n B
Sehingga diperoleh nilai koefisien deret:
0 02 41 cos ;n
T TB n
n n
untuk n ganjil (n=1,3,5,7....)
Sedangkan : ; untuk n genap (n =0, 2, 4, 6, 8...).
sehingga diperoleh nilai-nilai :
;
;
; dst.
maka diperoleh persamaan distribusi suhu sesuai gambar dinyatakan dalam deret
Fourier yaitu:
( )
0 sin( )4( , )
nL
y nL
n ganjil
e xTT x y
n
(7-8)
Atau
3 5( ) ( ) ( )1 3 1 5
( , ) 3 5
4sin ( ) sin ( ) sin ( ) ...L L L
y y yox y L L L
TT e x e x e x
Contoh soal 7-2:
Apabila tinggi plat bukan , tetapi dibatasi pada y =a, dan suhu plat adalah nol
(T(x,a) = 0, pada y=a), maka dengan memilih solusi untuk Y:
( )
ky ky
yY Ce De
Pada syarat batas y=a:
( ) 0ak akY a Ce De ; diperoleh 2akD Ce
Sehingga solusi untuk Y di dalam plat (pada 0<y<a), adalah:
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
111
2 ( ) ( )( )
ky ky ak ak k a y k a yyY Ce Ce Ce e e
Atau dinyatakan dalam sin hiperbolik dan memilih C=1, maka :
( ) ( )
( ) 2 2 sinh ( )2
k a y k a yak ake e
Y y e e k a y
Sehingga solusi lengkap pada soal (1) berubah menjadi :
4 1( , ) sinh sin /
sinh
o
n ganjil
T nT x y a y n x L
n an L L
========================================================
Soal Latihan:
1. Tentukan distribusi suhu pada benda berbentuk plat
dengan lebar 20 cm dan tinggi tak hingga, jika suhu pada
setiap sisi dijaga tetap sebagaimana gambar berikut.
2. Hitung suhu pada keadaan mantap di dalam plat semi
infinit bila diketahui suhu pada tepi plat dijaga tetap
konstan seperti pada gambar disamping.
==========================================================
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
112
7.2.2 Aliran Panas (difusi)
Ingat bentuk persamaan aliran panas dalam satu dimensi diberikan oleh:
dQ T
P kAdt x
(7-9)
P adalah daya arus termal (watt) merupakan bentuk energy panas persatuan waktu
yang mengalir dalam arah x positif melalui batang padat dengan luas penampang
A , dan konduktivitas termal batang k. Sedangkan T/x adalah laju perubahan
temperatur sepanjang batang atau disebut gradient temperatur. Apabila dibagi
dengan A, maka :
1 dQ dTH k
A dt dx (7-10)
H=P/A adalah aliran panas, dalam tiga dimensi ditulis sebagai vektor aliran panas
(sama dengan gradien temperatur):
H k T (7-11)
Berdasarkan hukum termodinamika, panas yang diterima benda dengan
massa m dan kapasitas kalor c adalah dQ =mcdT. Untuk aliran satu dimensi ,
seuah benda sepanjang x dengan rapat massa dan luas penampang A memiliki
massa m =A x, maka panas yang mengalir persatuan waktu adalah :
dQ dT dTmc Ac x
dt dt dt (7-12)
Hubungan persamaan (11-21) dan (11-23) diperoleh:
1 dQ dT TH c x k
A dt dt x
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
113
Atau
2
2
1dT k T k T
dt c x x c x
(7-13)
Jika dalam bentuk fungsi ruang koordinat tiga dimensi dan waktu atau
( , , , )T T x y z t , dengan 2 k c , maka persamaan difusi dinyatakan oleh:
2
2
1 TT tetapanaliran
t
Atau:
2 2 2
2 2 2 2
1T T T T
x y z t
(7-14)
Persamaan Aliran Satu Dimensi
Persamaan aliran satu dimensi dinyatakan sebagai fungsi koordinat x dan
waktu t yaitu T(x,t).
2
2 2
1T T
x t
(7-15)
Melalui pemisahan variabel T(x,t)=X. yang berarti X= X(x) dan =(t) adalah
dua fungsi saling terpisah, maka persamaan (7-15) ditulis dalam bentuk yang sudah
terpisah menjadi:
2
2 2
1 1 1d X d
X dx dt
(7-16)
Perhatikan bahwa bagian kiri dan kanan persamaan (7-16) merupakan besaran yang sama
kita misalkan sebagai –k2, maka diperoleh solusi masing-masing sebagai:
2( ) ;d
k dt
atau 2( )( ) k tt e (7-17)
dan
22
20
d Xk X
dx ; atau ( ) cos( ) sin( )X x A kx B kx (7-18)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
114
Solusi umum aliran panas atau difusi dalam satu dimensi diberikan oleh
T(x,t)=X. yaitu gabungan antara (7-17) dan (7-18) yaitu :
2 2
( , ) . cos( ) sin( )a k t
x tT X e A kx B kx (7-19)
Misalnya diberikan syarat batas T((0,t) = 0 pada x=0 dan T((L,t) pada x = L, maka
persamaan tersebut terpenuhi jika:
A=0 dan 1,2,3,...n
kL n k nL
sehingga persamaan difusi atau aliran panas dinyatakan dalam bentuk deret fourier
sebagai:
2( / )( , ) sin( )
nn L t
n LT x t b e
(7-20)
Koefisien deret bn ditentukan melalui integral Fourier dengan menerapkan syarat
awal untuk t.
7.2.3 Persamaan Gelombang
Persamaan Gelombang Satu Dimensi;
Tinjau gelombang mekanik merambat pada tali dari kekanan sumbu x,
kedudukan simpangan gelombang pada posisi x sepanjang tali dan pada waktu t
dinyatakan sebagai :
Y (x,t) = A sin ( t - kx)
Apabila diferensialkan sebanyak dua kali terhadap x dan t, maka masing-masing
diperoleh:
22
2
Yk Y
x
dan
22
2
YY
t
,
dengan v fk
adalah kecepatan gelombang, maka diperoleh persamaan
gelombang mekanik satu dimensi adalah:
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
115
2 2
2 2 2
1Y Y
x v t
(7-21)
Persamaan (7-21) disebut persamaan gelombang satu dimensi, dalam hal ini
Y= Y(x,t) adalah simpangan gelombang pada posisi x dan waktu t. Tampak bahwa
Y(x,t) merupakan fungsi tercampur yang pada pembahasan ini akan digunakan
teknik penyelesaian menggunakan sparasi variabel dengan memisahkan fungsi
menjadi Y= XT, dalam hal ini X=X(x) dan T=T(t) merupakan dua fungsi yang
saling terpisah. Kemudian dilakukan diferensial sebanyak dua kali terhadatp x dan t
masing-masing diperoleh:
2 2
2 2
Y d XT
x dx
dan
2 2
2 2
Y d TX
t dt
Jika hasil tersebut disubsitusikan kedalam perdamaan (7-21) dan dibagi dengan Y, maka
diperoleh bentuk:
2 2
2
2 2 2
1 1d X d Tk
X dx v T dt (7-22)
Bentuk ruas kiri dan ruas kanan merupakan dua besaran yang sama kita misalkan
dengan –k2 maka diperoleh dua persamaan diferensial orde dua masing-masing :
22
2
22
2
) 0;
) 0
d Xa k X dan
dx
d Tb T
dt
(7-23)
2k v : bilangan gelombang
: panjang gelombang
=kv : kecepatan sudut gelombang
v =.f : kecepatan gelombang
Solusi persamaan (7-23) masing-masing dalam bentuk sinus dan cosinus adalah:
cos
( )sin
kxX x
kx
dan cos
( )sin
tT t
t
(7-24)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
116
Sehingga solusi umum untuk Y(x,t) persamaan (7-21) merupakan kombinasi
bentuk X(x) dan T(t), dalam fungsi sinus casinus :
( , ) . cos sin cos cosx tY X T A kx B kx C t D t (7-25)
Gelombang Pada Dawai;
Tinjau sebuah kasus gelombang yang merambat pada dawai dengan panjang L
yang kedua ujungnya terikat, maka diterapkan syarat batas yaitu pada x=0:
Y(0,t)=0 dan pada x=L: Y(L,t)=0, sehingga:
Pada x=0: (0, ) .1 .0 cos( ) sin( ) 0Y t A B C t D t makaA
Pada x=L: ( , ) sin( ) cos( ) sin( )n
Y L t B kL C t D t makakL n kL
Sehingga pada daerah 0<x<L diperoleh :
( , ) { sin( )}{ cos( ) sin( )}n
Y x t B C t D tL
(7-26)
Selanjutnya C dan D ditentukan oleh syarat awal (t=0), misalnya pada t=0 keadaan
gelombang adalah: Y(x,0) = f(x), sehingga:
( ,0) { sin( )}{ .1 .0} ( )n
Y x B C D f xL
( , ) sin( )n
Y x t B C OL
Apabila pada waktu t=0 tersebut kecepatan simpangan (turunan simpangan
terhadap waktu) adalah Vo = 0, berarti:
sin( ) sin( ) cos( )dY n
Vo B C t D tdt L
(7-27)
Dengan demikian agar terpanuhi Vo = 0 pada t = 0,
0 sin( ) .0 .1 0t
dYVo B n L C D
dt
maka haruslah D = 0 dan C0. Dalam hal ini kita nyatakan bn=BC, maka diperoleh
persamaan gelombang pada daway yang kedua ujuangnya terikat adalah:
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
117
( , ) sin( ).cos( )nn L
Y x t b t (7-28)
Dalam hal ini bn adalah koefisien deret Fourier yang ditentukan berdasarkan syarat
awal t=0, yaitu:
0
( ) sin( )nn L
n
f x b
(7-29)
dengan bn : koefisien deret dihitung dengan:
2
0
( )sin( )
L
n
n L L
x
b f x dx
(7-30)
0 L
Contoh :
Seutas tali panjang L kedua ujungnya di ikatkan pada tongkat, saat t = 0 pada titik
tengah antara kedua ujung tali ditarik sehingga terjadi simpangan d seperti gambar.
Diketahui pada t = 0, turunkan bentuk gelombang U (x,t).
Penyelesaian :
Koefisien deret Fourier Cn adalah:
L
n dxL
nxf
LC
0)sin()(
2
kita gunakan untuk f1 dan f2, maka :
2/
0 2/)sin(2)sin(1
2 L L
Ln dx
L
nfdx
L
nf
LC
Penyelesaian maasing-masing adalah:
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
118
2/
0
2/
0)sin()
2()sin(11
L L
dxL
n
L
ddx
L
nfI
2/
0)sin(
2 L
dxL
n
L
d
/2 /2
0
2cos( ) cos( )
0
L LL d n ndx
n L L L
2 2
2 2cos( ) sin( )
n nL d d
n L n
sehingga :
1 2 2
2 cos( ) sin( )2 2 2
L n L nI d
n n
sedangkan untuk :
2 2/2
sin( )L
L
nI f dx
L
dxL
nxL
L
dL
L 2/
)sin()(2
dx
L
ndx
L
nL
L
d L
L
L
L)(sin.)sin(
2
2/2/
2
/2/2 /2
2cos( ) cos( ) cos( )
L L L
LL L
d L n L n L ndx
L n L n L n L
2 2 22 cos( ) sin( )
2 2 2
L n L nI d
n n
Diperoleh :
)2
sin()2
cos(2
2)2
sin()2
cos(2
22
2222
n
n
Ln
n
Ld
n
n
Ln
n
Ld
LCn
2 2
2 4sin( )
2
dL n
L n
)
2sin(
822
n
n
d ; n = bilangan ganjil (n = 1,3,5,7,…)
Jadi diperoleh persamaan gelombang stasioner adalah :
)cos().sin(),( tL
nCtxU n
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
119
dengan ,. VL
nvk
maka diperoleh :
)cos().sin(),( vtL
n
L
nCtxU n
...)cos()
5cos()
5sin(
25
1)
3cos()
3sin(
9
1)cos()sin(
82
vtL
nvt
LLvt
LLvt
LL
d
Apabila pada saat awal tali tidak ditarik tetapi dipukul, maka syarat awal
dinyatakan dengan kecepatan awal pada t = 0, fungsi dinyatakan :
( )dY
f xdt
dengan syarat batas Y(o,t) = 0 pada x = 0 dan Y(L)=0 pada x = L. Berdasarkan
persamaan (28) maka:
Y(0,t) = {A cos (0) + B sin (0) }{C cos ( t ) + D sin ( t )}=0
Y(L,t) = {A cos (kL) + B sin (kL) }{C cos ( t ) + D sin ( t )}=0
Akan memenuhi syarat batas, jika A =0 dan kL =n,
Fungsi gelombang yang memenuhi jika :
Y(x,t) = Cn sin (kx) sin ( t )
Atau :
Y(x,t) = Cn sin )( L
n sin )( vt
L
n
Pada saat awal (t = 0) ;
0
sin( ).cos( )}t
dY L n nCn vt
dt n L L
)()sin( xfL
n
n
LCn
Koefisien deret Fouriernya adalah :
L
nk
L
nxkvf
LCn
LLo
Lo
)sin()(2
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
120
a) Persamaan Gelombang Partilek Bebas
Persamaan gelombang dalam ruang tiga dimensi umum, dinyatakan sebagai:
22
2 2
1
v t
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
x y z v t
(7-31)
Dalam hal ini (x,y,z,t) adalah fungsi tercampur, jika diselesaikan menggunakan
teknik sparasi variabel , kita nyatakan sebagai: (x,y,z,t)=X.Y.Z.T, dengan
masing-masing X=X(x), Y=Y(y), Z=Z(z), dan T=T(t) adalah fungsi yang saling
terpisah. Selanjutnya diturunkan dua kali masing-masing terhadap x, y, z dan t
kemudian dibagi dengan , maka diperoleh bentuk persamaan diferensial yang
sudah terpisah yaitu:
2 2 2 22
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1d X d Y d Z d Tk
X dx Y dy Z dz v T dt (7-32)
Solusi untuk T dalam bentuk kompleks dengan akar persamaan =kv sebagaimana
persamaan (7-12) maka :
( ) exp( )i tT t e i t (7-33)
Sedangkan bagian ruas kiri persaman (7-32) masing-masing diperoleh solusi dalam
bentuk kompleks adalah:
22
2
22
2
22
2
1)
1)
1)
x
y
z
d Xa k
X dx
d Yb k
Y dx
d Zc k
Z dx
; (7-34)
Dengan : 2 2 2 2
x y zk k k k adalah bilangan gelombang bernilai riel positif , sedangkan
posisi (x,y,z) dapat positif atau negatif, maka solusi komplek untuk masing-masing
komponen adalah:
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
121
( ) exp( )
( ) exp( )
( ) exp( )
x
y
z
ik x
x
ik y
y
ik z
z
X x e ik x
Y y e ik y
Z z e ik z
(7-35)
Dengan demikian solusi umum persamaaan (7-31) adalah gabungan dari (7-33) dan
(7-35) yaitu:
( , , , ) .exp (x y z t C i k r t (7-36)
Dengan
ˆˆ
x y zk k k k
r xi yj zk
Pada ranah fisika teori terutama dalam fisika kuantum, terutama berkaitan sifat
dualisme gelombang-partikel bahwa setiap partikel memiliki energi kuantum
E hf dan memiliki momentum p h . Dengan menyatakan kecepatan sudut dan
bilangan gelombang k sebagai:
2 2E E
fh
dan 2 2 x
x
x
pk
h p
; dst
Maka persamaan (7-27) dinyatakan sebagai persamaan gelombang yang banyak dijumpai
dalam fisika kuantum yaitu:
( , , , ) exp ( . )E
x y z t C i k r t (7-37)
Dengan memisahkan fungsi variabel waktu (t) dengan fungsi variabel posisi (x,y,z),
maka persamaan (7-37) dapat ditulis sebagai:
( )( , , , ) ( , , ) ( , , )exp iE tx y z t x y z x y ziE t e (7-38)
dengan
( , , ) exp expx y z x y zC k r C i k x k y k z (7-39)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
122
b) Persamaan Schrodinger;
Menurut teori kuantum, keberadaan sebuah partikel dalam ruang dapat
perkirakan berdasarkan amplitudo atau fungsi gelombang. Oleh karena variasi gelombang
juga harus melibatkan fungsi waktu maka, distribusi partikel pada ruang satu dimensi
bersdasarkan persamaan gelombang Schrodinger bergantung waktu, dinyatakan sebagai:
2 2
22V i
m x t
(7-40)
Dengan menggunkan persaman (7-38), maka
( )( )
iE txi E e
t
, dan 2 2
( )
2 2
iE tde
x dx
Maka persamaan (7-40) dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial bebas waktu
2 2( )
( ) ( )22
xx x
dV E
m dx
(7-41)
Persamaan (7-41) disebut persamaan Schrodinger bebas waktu atau persamaan keadaan
tunak. Pada kondisi khusus yaitu jika tidak ada energi potenssial (V=0) yang dalam hal ini
dikenal sebagai partikel bebas, sehingga:
2
( )( )
2 2
20
xx
d mE
dx
(7-42)
dengan menerapkan solusi coba ( ) , maka diperoleh akar-akar persamaan:
1 2i mE dan 2 2i mE (7-43)
dengan 2 2E p m , dan berdasarkaan akar-akar persamaan diperoleh solusi fungsi
gelombang bebas waktu untuk prtikel bebas yaitu
( 2 ) ( 2 )
( )i mE x i mE x
x Ae Be
Atau
( ) ( )( )
i p x i p xx Ae Be
Persamaan gelombang dengan memasukkan variabel waktu, maka diperoleh
yang dikenal dengan persamaan Maxwell pada gelombang elektromagnetik
/ . . / . .( , )
i p x E t i p x E tx t Ae Be
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
123
Atau
( )i kx t i kx t
x Ae Be
Dalam hal ini: / 2 /k p , dan E hf
7.3 Penyelesaian PDP Dalam Koordinat Silinder
Persamaan Laplace dalam koordinat silinder sebagaiman sudah dibicarakan
pada persamaan (8-43) ditulis sebagai :
2 0; Laplace
2 22
2 2 2
1 10r
r r r r z
(7-44)
Contoh penerapan persamaan Laplace pada koordinat silinder adalah potensial
yang disebabkan medan tanpa sumber muatan.
7.3.1 Potensial Listrik.
Dua penghantar berbentuk sel (kulit) silinder koaksial masing-masing
memiliki radius a dan b, diberi potensial masing-masing Va dan Vb.
Bagaimanakah potensial listrik pada suatu titik yang berjarak r dari pusat silinder
dan terletak antara a dan b (a<r<b)? Pada kasus ini beda potensial hanya
bergantung pada jarak r dari pusat silinder, tidak bergantung pada sudut dan
panjang silinder. Sehingga komponen dan Z persamaan (7-44) diabaikan.
Dengan demikian persamaan yang memenuhi adalah:
2 10
d dr
r dr dr
(7-45)
Jika diintegralkan akan diperoleh:
d
r Cdr
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
124
dan integral sekali lagi mengasilkan :
( ) ∫
Apabila dimasukkan syarat batas maka diperoleh:
r=a: ( ) = Va
r=b: ( )
sehingga diperoleh:
( ) ( ⁄ )
Diperoleh C adalah
( )⁄
Sedangkan konstanta D diperoleh ( )
( )⁄ ln a
Potensial di titik yang berjarak r dari pusat silinder adalah:
( ) ( )
( )⁄
( )
( )⁄
Terbukti bahwa:
( ) ( ) ( )⁄
( )⁄ (7-46)
Persamaan (7-26) ini merupakan potensial listrik antara dua plat berbentuk kulit
silinder koaksial.
Kembali pada persamaan (7-44) di atas bahwa pada kasus-kasus yang lebih
umum bergantung pada variabel koordinat r,, dan z. Oleh karena itu kita
memerlukan bentuk solusi untuk ( , , )r z yang lebih umum. Sebagaimana cara
yang telah dilakukan sebelumnya yaitu dengan sparasi variabel, untuk
mendapatkan solusi umum persamaan (7-44) maka langkah pertama memisahkan
fungsi menjadi tiga variabel fungsi terpisah masing-masing yaitu R(r), ( ) dan
Z(z), dan anggap ketiganya memenuhi hubungan:
( , , ) ( ) ( ) ( )r z r zR Z (7-47)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
125
Langkah berikutnya mendiferensialkan sebanyak dua kali masing-masing terhadap
r,, dan z, maka akan diperoleh bentuk:
2 2
2 2.
d RZ
r dr
;
2 2
2 2.
dR Z
d
;
2 2
2 2.
d ZR Z
z dz
(7-48)
Langkah selanjutnya, subsitusikan persamaan (7-48) kedalam persamaan (7-44)
kemudian membaginya dengan persamaan (7-47) akan diperoleh persaman
diferensial yang sudah saling terpisah yaitu:
2 2
2 2 2
1 1 10
d dR d d Zr
R r dr dr r d Zdz
(7-49)
Persamaan (7-49) adalah bentuk persamaan dengan fungsi variabel yang sudah
terbpisah, yang dapat diselesaikan satu persatu. Jika pada bentuk ketiga dari
persamaan (7-49) kita misalkan sama dengan k2, maka diperoleh solusi untuk Z
adalah:
2
2
2
1 d Zk
Z dz ; ( )
kz
zkz
eZ
e
(7-50)
Sedangkan bentuk kedua persamaan (7-49) kita misalkan sama dengan –m2 ,
maka diperoleh solusi :
22
2
1 dm
d
; ( )
sin
cos
m
m
(7-51)
Selanjutnya setelelah menggantikan bagian kedua dengan –m2 dan menggantikan
bagian ketiga dengan k2 pada persamaan (7-49) maka diperoleh bentuk yang hanya
terdiri dari variabel R saja, sebagai:
22
2
1 10
d dR mr k
R r dr dr r
Atau
(a)
2 2 2 0d dR
r r k r m Rdr dr
(7-52)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
126
(b) 2
2 2 2 2
20
d R dRr r k r m R
dr dr
Ungkapan persamaan (7-52a) dan (7-52b) dikenal dengan persamaan diferensial
Bessel. Pembahasan tentang persamaan diferensial Bessel sudah didiskusikan pada
bab 6 yaitu sub bab 6.4. Selanjutnya dengan menggantikan x=kr, dan p=m pada
fungsi Bessel persamaan (6-31) maka diperoleh solusi dari persamaan (7-52)
adalah (n dan m: bilangan bulat):
2
( )2
0
( 1) ( )( ) ( )
2 ( !)( )!
n nm
r m n mn
krR J kr kr
n n m
(7-53)
Dari hasil yang dinyatakan oleh persamaan (7-50), persamaan (7-51) dan
persamaan (7-53) kemudian disubsitusikan kedalam persamaan (7-47) maka
diperoleh solusi umum untuk ( , , )r z diberikan oleh salah satu dari bentuk berikut
ini:
( ) sin( )
( ) cos( )( , , )
cos( )( )
sin( )( )
kz
m
kz
m
kz
m
kz
m
J kr e m
J kr e mr z
mJ kr e
mJ kr e
(7-54)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
127
7.3.2 Temperatur Keadaan Mantap Pada Koordinat Silinder.
Anggap sebuah benda berbentuk silinder mempunyai jari-jari r=1 dan tinggi
pada sumbu z takhingga, sedemikian rupa dan suhu pada bagian bawah dijaga tetap
1000 sedangkan suhu pada kulit silinder (r=1) tetap 0
o, demikian juga anggap suhu
benda adalah 0 pada z=.
Pada kasus ini suhu benda tidak bergantung pada sudut , tetapi hanya bergantung
pada r dan z saja. Sehingga dari persamaan (7-54) dengan mengganti
(r,,z)=T(r,,z) dan hal ini bersesuaian cos m untuk m=0. Maka persamaan suhu
benda berbentuk silinder pejal sebagaimana pada gambar dapat dinyatakan sebagai:
1
( ) nk z
n o n
n
T c J k r e
(7-55)
Pada z=0, T=100, berarti:
0
1
( ) 100o
z n o
n
T c J kr
(7-56)
cn adalah koefisien deret Fourier-Besel. Dengan menggunakan sifat bahwa ( )
adalah ortogonal pada perubahan r pada daerah (0,1) , maka kita dapat
memperoleh nilai koefisien cn melalui uraian deret fourier sinus atau cosinus.
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
128
Mengalikan (7-56) dengan ( ) kemudian mengintegralkan dari r=0 ke r=1,
maka diperoleh
1 1
2
0 0
( ) 100 ( )n o oc r J kr dr rJ kr dr (7-56)
Integral bagian ruas kiri persamaan (7-56) adalah:
1
2 2112
0
( ) ( )or J kr dr J k (7-57)
Sedangkan untuk bagian ruas kakan (7-56), dengan menggunakan sifat fungsi
Bessel, yaitu:
1( ) ( )oxJ x dx d xJ x
Jika menggantikan variabel x=kr pada bentuk diferensial tersebut, maka
12
1( ) ( )orJ kr dr d kr J kr
k
Sehingga integral bagian ruas kanan persamaan (7-56) menjadi
11 1
1 1 120 0 0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )orJ kr dr d kr J kr r J kr J k
k k k (7-58)
Berdasarkan hasil (7-57) dan (7-58) maka diperoleh:
2
1 1( ) 100 ( )
2n
J k J kc
k
Atau
1
200
( )nc
kJ k
Jadi dengn mensubsitusikan nilai cn pada persamaan (7-55) maka distribusi suhu
keadaan mantap dalam silinder antara r dibatasi (0,1) dinyatakan sebagai:
1
( )200
( )nk zo n
n n n
J k rT e
kJ k
(7-59)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
129
7.4 Penyelesaian PDP Dalam Koordinat Bola.
Kita mulai dari persaman Laplace dari suati fungsi tercampur dinyatakan
dalam koordinat bola maka diperoleh bentuk persamaan diferensial parsial bentuk
berikut:
2
22 2
2 2 2 2 2
0
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
(7-60)
Dalam hal ini ( , , )r , yaitu fungsi tercampur bergantung pada tiga variabel
dalam koordinat bola yaitu (r,,). Sebagimana yang sduah dilakukan sebelumnya,
untuk menyelesaikan persamaan diferensial tercampur seperti ini perlu terlebih
dahulu dilakukan sparasi variabel, yaitu memisahkan fungsi ( , , )r menjadi
tiga bentuk fungsi yang salin terpisah yakni R(r), Y() dan () yang ketinganya
mempunyai hubungan dengan dinyatakan sebagai:
( ) ( ) () (7-61)
Kemudian diturunkan dua kali masing-masing terhadap r, dan , menghasilkan
2 2
2 2;
d RY
r dr
2 2
2 2;
d YR
d
dan
2 2
2 2;
dRY
d
(7-62)
Apabila bentuk (7-62) disubsitusikan kedalam persamaan kedalam persamaan (7-
60) kemudian dibagi dengan persamaan (7-61) maka diperoleh bentuk persamaan
diferensial yang sudah saling terpisah yaitu:
22
2 2
1 1 1 1 1sin 0
sin sin
d dR d dY dr
R dr dr Y d d d
(7-63)
Langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial tersebut satu
persatu. Apabila kita misalkan bentuk persaman diferensial suku pertama sama
dengan k dan memisalkan suku ketiga sama dengan 2m , maka kita peroleh tiga
bentuk persaman diferensial orde dua masing-masing:
a) 21 d dRr k
R dr dr
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
130
b) 2
2
2
1 dm
d
(7-64)
c) 2
2
1sin 0
sin sin
d dY mk Y
d d
Kita mulai dengan menyelaikan bentuk yang paling sederhana yaitu persamaan (7-
64b). Pada bentuk persamaan (7-64b) tidak lain adalah bentuk persamaan
diferensial orde dua homogen dengan koefisien konstan diperoleh penyelesaian
untuk () merupakan fungsi periodik berupa sinusoidal (mengambil salah satu
atau kedua bentuk sinus dan kosinus) yaitu:
2
2
20
dm
d
; solusinya:
sin
cos
m
m
(7-64)
Sedangkan bentuk persamaan (7-63a) merupakan persaman diferensial orde dua,
untuk kepentingan pemecahan dalam masalah fisika biasanya dituliskna k=l(l+1)
sehingga diperoleh bentuk persamaan:
2
22
2
) ( 1) 0;
) 2 ( 1) 0
d dRa r n n R atau
dr dr
d R dRb r r n n R
dr dr
(7-65)
Persamaan (7-65) tidak lain adalah persamaan diferensial orde dua dengan
koefisien tak konstan disebut persamaan Euler-Cauchy. Penyelesaiannya dapat
diperoleh menggunakan motode probenius, yaitu dengan menerapkan solusi coba
yaitu: ( )R r r
kemudian mensubsitusikan kedalam persamaan (7-65a) atau (7-65b) maka
diperoleh permsaan kuadrat:
2 ( 1) 0n n
atau
( )( 1) 0n n
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
131
Sehingga diperoleh akar-akar persamaan: ( ). Dengan
demikian maka diperoleh solusi umum untuk R(r) adalah:
( 1)
( )
n
n
rR r
r
;
;
didalam bola
diluar bola (7-67)
Untuk di dalam bola, nilai ( 1)nr
menuju takhingga jika r menuju nol sehingga
dalam banyak keperluan sering diabaikan. Selanjutnya dengan menyatakan
k=n(n+1), bentuk persmaan (7-64) dapat ditulis menjadi:
2
2
1sin ( 1) 0
sin sin
d dY mn n Y
d d
(7-68)
Persamaan (7-68) adalah persamaan diferensial yang mirip dengan persaman
diferensial Legendre, bersesuaian dengan =0 dan =, maka solusi umum dikenal
dengan polinom Legendre terasosiasi, yaitu:
() ( ) (7-69)
Fungsi Polinom Legender terasosiasi dalam bentuk umum ( ),
adalah:
/2
2( ) 1 ( )m
mm
mn n
dx x x
dxP P (7-70)
Berikut ini Tabel Polinom Legendre Terasosiasi untuk beberapa nilai dan m:
---------------------------------------------------------------------------------------------------
1/21 2
1
1/21 2
2
2 2 2
2
1/21 2 2 23 32 23
2 2 2
3
3/23 2 2
3
( ) 1 sin
( ) 3 1 3cos sin
( ) 3 1 3sin
( ) 5 1 1 5cos 1 sin
( ) 15 1 15cos sin
( ) 15 1 15sin
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x
P
P
P
P
P
P
(7-71)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
132
Berdasarkan solusi yang sudah diperoleh pada persamaan (7-64), (7-67) dan (7-69)
kemudian disubsitusikan kedalam persamaan (7-61) maka diperoleh solusi umum
untuk adalah:
( , , )( 1)
sin. . (cos )
cos
n
mr nn
r mRY P
mr
(7-72)
Khusus pada m=0, maka solusi persamaan laplace dalam koordinat bola hanya
ditentukan pada komponen R(r) dan Y() saja, yang diberikan oleh bentuk fungsi
Legendre (n=0,1,2,3...), yaitu:
*
1
( , ) (cos );
( , ) (cos );
n
n n
lnn
r A r P atau
Br P
r
(7-73)
Latihan Soal 7-3:
1. Tentukanlah nilai Fungsi Legendre untuk
a) 0 (cos )P ; b) 1(cos );P c) 2 (cos );P d) 3(cos )P
2. Gambarkan grafik fungsi Legendre pada soal nomor 1 di atas dari =0
sampai dengan =.
3. Buktikan persamaan (7-71) berdasarkan persamaan polinom Legendre
Terasosiasi (7-70)
133
KEPUSTAKAAN
1. Boas, Mary L. 1983. Mathematical Methods In The Phyisical Sciences,
Second Edition. John Wiley & Sons. New York.
2. Griffiths, D. 1989. Introduction to Electrodynamics, Second Edition.
Prentice – Hall International Inc. America.
3. Kreyszig, E. 1988. Advanced Enginering Mathematics, Sixth Edition. John
Wiley & Sons. New York.
4. Merzbacher, E. 1970. Quantum Mechanics, Second Edition. John Wiley &
Sons. America.
5. Prsetio; Adi, R.W; Sutrisno. 1998. Fisika Untuk Sains dan Teknik.
Erlangga. Jakarta.
6. Symon, K. 1973. Mechanics, Third Edition. Addison – Wesley Company.
134
DAFTAR INDEKS
akustik, 106 arus steady, 106 Curl, 33 deret fourier, 69 Deret Fourier, 69 deret trigonometri, 76 divergensi, 33 dot product, 39 elektromagnetik, 44 faktor skalar, 51 fluks, 46 fungsi, 4 fungsi Bessel, 102 fungsi beta, 57 fungsi faktorial, 57 fungsi gamma, 57 fungsi gelombang, 122 fungsi Legendre, 132 fungsi periodik, 70 gradien, 31 integral lintasan, 35 integral luas, 9 integral volume, 46 Jacoby, 22 koefisien deret Fourier, 76 Koordinat Bola, 129 koordinat kartensian, 50 koordinat kurvilinier, 51 Koordinat Silinder, 127 koordinat umum, 50 kurva, 5
Lapacian, 104 lintasan tertutup, 37, 41 medan vektor, 35 operator diferensial vektor, 30 persamaan diferensial Bessel, 95 Persamaan Schrodinger, 122 Pytagoras, 7 Sistem Koordinat Silinder, 53 teorema divergensi, 46 Teorema Divergensi, 45 teorema Gauss, 46 teorema Green, 41 teorema stokes, 43 transformasi, 54 Variabel, 4, 28, 107
RIWAYAT SINGKAT PENULIS
Nama lengkap Drs.Ngadimin, M.Si. Lahir di Belang
Mancung, 28 Maret 1962. Penulis merupakan anak ketiga
dari sembilan bersaudara, dilahirkan oleh pasangan
keluarga Wasadi (ayah kandung) dan Kasmini (ibu
kandung). Penulis kecil hidup bersama keluarga sebagai
petani tebu pada sebuah desa di Kabupaten Aceh Tengah,
menyelesaikan pendidikan dasar tahun 1975. Sebagai
keluarga petani dengan kondisi ekonomi lemah, penulis
pernah mengalami putus sekolah antara tahun 1975
sampai tahun 1977. Cita-cita ingin mengubah nasib dan menempuh pendidikan
lebih tinggi terwujud berkat inspirasi seorang Tenaga Kerja Sukarela (TKS) yang
ditugaskan pemerintah waktu itu mendirikan SMP di desa. Penulis melanjutkan
pendidikan SMP pada tahun 1977 dan selesai tahun 1980 di Belang Mancung,
melanjutkan pendidikan SMA Pegasing dan lulus tahun 1983. Berkat doa semua
pihak dan usaha keras penulis dapat melanjutkan Studi ke jenjang sarjana (S1)
dan selesai tahun 1989 pada Program Studi Pendidikan Fisika FKIP Unsyiah,
menyelesaikan pendidikan Program Pascasarjana (S2) tahun 2000 pada Jurusan
Fisika FMIPA ITB Bandung dengan bidang kajian Fisika Bumi. Beberapa
pelatihan pernah penulis ikuti diantaranya Pelatihan Program C Mata Kuliah
Mekanika, Pelatihan Program B Mata Kuliah Matematika untuk Fisika dan
Komputasi keduanya di ITB Bandung, serta beberapa bentuk diklat lainnya.
Sejak tahun 1990 sampai saat ini penulis mengabdikan diri menjadi staf
pengajar tetap pada Program Studi Pendidikan Fisika FKIP Unsyiah. Peberapa
mata kuliah yang pernah penulis asuh diantaranya Matematika Untuk Fisika,
mekanika dan lain-lain. Selain mengajar, penulis juga aktif dalam penelitian,
pengabdian dan kegiatan sosial lainnya.
top related