ma1201 matematika 2a · pdf filebarisan monoton barisan {a n} dikatakan naik apabila a n ≤...
Post on 19-Feb-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Bab Sebelumnya
8. Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar
8.1 Bentuk Tak Tentu 0/0
8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya
8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga
8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran TakTerbatas
2/12/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
9.1 Barisan Tak Terhingga
Memeriksa kekonvergenan suatu barisandan, bila mungkin, menghitung limitnya
2/12/2014 4(c) Hendra Gunawan
9.1 BARISAN TAK TERHINGGAMA1201 MATEMATIKA 2A
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Memeriksa kekonvergenan suatu barisandan, bila mungkin, menghitung limitnya
Mengapa Barisan Tak Terhingga
Masih ingatkah Metode Bagi Dua untuk men-dapatkan hampiran akar dari suatu persamaanf(x) = 0 pada suatu selang?
Pada setiap langkah, kita membagi dua selangdan menaksir akar persamaan itu dengan titiktengah selang tersebut.
Dengan metode ini, kita dapatkan barisan titik-titik tengah selang x1, x2, x3, … yang merupakanhampiran akar persamaan.
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Apa itu Barisan Tak Terhingga
Barisan tak terhingga, atau singkatnya barisan(dari bilangan real) adalah suatu fungsi dengandaerah asal N dan daerah nilai R, yang biasanyadisajikan sebagai {an} atau
a1, a2, a3, …
dengan an ϵ R untuk setiap n ϵ N.
Contoh 1: Barisan {2n – 1} adalah barisanbilangan ganjil 1, 3, 5, 7, … .2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Contoh Lagi
2. Barisan {(-1)n} adalah barisan bilangan -1, 1, -1, 1, -1, 1, …
Catatan: Barisan {(-1)n} tidak sama denganhimpunan {(-1)n : n ϵ N} = {-1, 1}.
3. Barisan {an} yang didefinisikan denganrumus rekursif: a1 = 1 dan
an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, …
adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, …
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 8
“Grafik” Barisan (1)
Barisan dapat kita plot pada bidang koordinat
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 9
1 2 3 4 5
x1
x2
x3
x4
x5
“Grafik” Barisan (2)
Barisan dapat kita plot pada garis bilangan real
Contoh: {1/n}
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 10
x1 x2 x3 x4 x5
1/41/3 1/2 10
Kekonvergenan Barisan
Diberikan suatu barisan {an}, apa yang terjadibila n∞?
Definisi: Barisan {an} dikatakan konvergen kesuatu bilangan L, ditulis
apabila untuk tiap ε > 0 terdapat N ϵ N sehingga
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 11
,lim Lann
. LaNn n
Catatan. Tidak semua barisan konvergen. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen.
Contoh:
1. Barisan1
𝑛konvergen ke 0, yakni
Untuk tiap ε > 0, dapat dipilih N > 1/εsehingga jika n ≥ N, maka
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 12
0lim 1
nn
.0 111 Nnn
2. Barisan {(-1)n} merupakan barisan yang divergen, yakni: untuk tiap L ϵ R,
Sebagai contoh, untuk L = 1, ada ε = 1sehingga berapapun N ϵ N yang kita pilih, selalu ada bilangan ganjil n ≥ N sehingga
Ini menunjukkan bahwa
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 13
.)1(lim Ln
n
.21)1( n
.1)1(lim
n
n
9.1b Beberapa Teorema Bantuanuntuk Memeriksa KekonvergenanBarisan dan Menghitung Limitnya
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Teorema Limit Barisan
Misalkan {an} dan {bn} barisan yang konvergen, dan k konstanta. Maka
1.
2.
3.
4.
5.2/12/2014 15(c) Hendra Gunawan
nn
nn
akka
limlim
nn
nn
nnn
baba
limlim)(lim
kkn
lim
nn
nn
nnn
baba
limlimlim
.0lim,limlim
lim
nn
b
a
b
a
nbasalkan
nn
nn
n
n
Teorema Limit Barisan
Jika maka
2/12/2014 16(c) Hendra Gunawan
.)(lim Lnfn
,)(lim Lxfx
1 2 3 4 5 6
L
Contoh:
1.
2.
3.
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 17
.limlim21
0321
/1lim32lim
1lim
/321
32
nnn
nn
n nn
n
...lim13
243
2
nn
n
n
...lim
ne
n
n
Teorema Apit untuk Barisan
Jika an ≤ bn ≤ cn untuk n ≥ K (K ϵ N tertentu) dan
maka
2/12/2014 18(c) Hendra Gunawan
,limlim Lca nn
nn
.lim Lbnn
Contoh:
1.
dan
2. Jika
karena N.
2/12/2014 19(c) Hendra Gunawan
nnn
nnn
nkarena 1sin1sin ,0lim
.0lim 1
nn
,0lim,0lim
nn
nn
amakaa
naaa nnn
Barisan Monoton
Barisan {an} dikatakan naik apabila an ≤ an+1
untuk setiap n ϵ N.
Barisan {an} dikatakan turun apabila an ≥ an+1
untuk setiap n ϵ N.
Barisan naik atau turun disebut barisanmonoton.
Contoh: {1/n} turun, sedangkan {2n} naik.
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 20
Latihan
Selidiki apakah barisan berikut monoton (naikatau turun) atau tidak.
1. {1 – 2-n}
2. {(-1)n}
3. {ln n}
4. {n∙ln n}
5. {(ln n)/n}
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Teorema Barisan Monoton
Jika barisan {an} naik dan terbatas di atas, yakniterdapat M ϵ R sehingga an ≤ M untuk tiap n ϵ N, maka {an} konvergen.
Jika barisan {an} turun dan terbatas di bawah, yakni terdapat m ϵ R sehingga apabila m ≤ an
untuk tiap n ϵ N, maka {an} konvergen.
2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Contoh/Latihan
Barisan {an} yang didefinisikan dengan rumusrekursif: a1 = 1 dan
an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, …
adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, … .
Dengan Prinsip Induksi Matematika*, dapatdibuktikan bahwa barisan ini naik dan terbatas diatas. Karena itu, menurut Teorema BarisanMonoton, barisan {an} konvergen.
Ke manakah barisan {an} konvergen?2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 23
top related