ma1101 matematika 1a · teorema dasar kalkulus sejauh ini kita telah dapat mengatakan apakah sebuah...

MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

23 Oktober 2019

Sasaran Kuliah Hari Ini

4.3.1 Teorema Dasar Kalkulus I

Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I untukmenghitung integral tentu.

4.3.2 Metode Substitusi

Menggunakan metode substitusi dalampenghitungan integral tentu.

4.4 Teorema Dasar Kalkulus II

Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus II untukmenentukan turunan dari integral.

10/30/2013 2(c) Hendra Gunawan

4.3.1 TEOREMA DASAR KALKULUS IMA1101 MATEMATIKA 1A

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 3

Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I untukmenghitung integral tentu.

Teorema Dasar Kalkulus

Sejauh ini kita telah dapat mengatakan apakahsebuah fungsi terintegralkan pada suatu selang, dengan melihat apakah fungsi tersebut terbatasdan kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik.

Namun, untuk menghitung integral tentu fungsitersebut, selain dengan menggunakan definisinya, kita memerlukan ‘senjata’ yang lebih ampuh.

Salah satu alat bantu untuk menghitung integral tentu adalah Teorema Dasar Kalkulus.

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 4

Teorema Dasar Kalkulus I

Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan Fpada [a, b], maka

Catatan:

1. Teorema ini mengaitkan integral tak tentudengan integral tentu.

2. Notasi biasa digunakan untukmenyatakan F(b) – F(a).

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 5

b

a

aFbFdxxf ).()()(

b

axF )(

Bukti Teorema Dasar Kalkulus I

Misalkan f kontinu dan mempunyai anti-turunan Fpada [a, b]. Maka, f terintegralkan pada [a, b], danuntuk setiap partisi a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b kita mempunyai

Karena itu

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 6

1

1

1

( ) ( ) [ ( ) ( )]

( )Δ .

n

i i

i

n

i i

i

F b F a F x F x

f t x

).()().(lim)(1

0||aFbFxtfdxxf

n

i

iiP

b

a

Contoh

1. Fungsi f(x) = x2 kontinu dan mempunyai anti-turunan F(x) = x3/3 pada [0, 1]; jadi

2. Lebih umum, untuk r ≠ -1, fungsi f(x) = xr

kontinu dan mempunyai anti-turunan F(x) =xr+1/(r+1) pada [a, b] (dalam daerah asal f); jadi

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 7

1

0

1

0

32 .

3

10

3

1

3

xdxx

b

a

rrb

a

rr

r

a

r

b

r

xdxx .

111

111

Kelinearan Integral Tentu

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 8

b

a

b

a

dxxfkdxxfk ;)(.)(.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf .)()()]()([

2

0

2

0

2

0

34

3822 .2)( dxxdxxdxxx

Contoh: Dengan menggunakan kelinearan integral tentu, kita dapat menghitung

3.

Latihan

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 9

2

0

...)cos1(.1

dxx

...)(.2

4

1

1 dxxx

...1

.3

5

1

2

3

dxx

x

4.3.2 METODE SUBSTITUSIMA1101 MATEMATIKA 1A

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 10

Menggunakan metode substitusi dalampenghitungan integral tentu.

Bagaimana menghitung integral ini?

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 11

Atau integral ini:

4

0

2 .)12.( dxxxx

4/

0

cos

2

.

dxx

x

Dengan menggunakan Aturan Pangkat yang Diper-umum, kita dapat menghitung integral tak tentunya:

∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C.

Dengan demikian, integral tentu tadi dapat dihitung:

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 12

4

0

2/3

32

4

0

2/32

322/12 .)20()()12()( xxdxxxx

Integral semacam ini, baik integral tentu maupunintegral tak tentu, dapat pula dihitung dengan metodesubstitusi, yang akan kita bahas selanjutnya.

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 13

Sebagai contoh, untuk menghitung integral tak tentu∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx,

kita gunakan substitusi peubah u = x2 + x, sehinggadu = (2x + 1)dx dan integral di atas menjadi ∫ u½ du. Dengan Aturan Pangkat, kita peroleh

∫ u½ du = ⅔ u3/2 + C.

Substitusikan kembali u = x2 + x, kita dapatkan

∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C,

sebagaimana yang kita peroleh sebelumnya denganAturan Pangkat yang Diperumum.

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 14

Sekarang, untuk menghitung integral tentu

kita lakukan substitusi seperti tadi: u = x2 + x, du = (2x + 1)dx. Selanjutnya kita perhatikan efeksubstitusi ini terhadap kedua batas integral.

Pada saat x = 0, kita peroleh u = 0; sementara padasaat x = 4, kita dapatkan u = 20. Dengan demikian

sama seperti yang kita peroleh sebelumnya.

4

0

2/12 ,)12()( dxxxx

4

0

20

0

2/3

32

20

0

2/3

322/12/12 ,)20()12()( uduudxxxx

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 15

Catatan

Dalam menghitung integral tentu denganmetode substitusi, kedua batas integral padaumumnya berubah; dan kita dapat meng-hitung integral dalam peubah baru tanpaharus mensubstitusikan kembali peubah lama.

Bila agak rumit, integral tentu tsb dapatdihitung dalam dua tahap: pertama caridahulu integral tak tentunya, setelah itu barugunakan Teorema Dasar Kalkulus.

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 16

Secara umum, dengan melakukan substitusipeubah u = g(x), du = g’(x)dx, kita peroleh

Integral tak tentu: ∫ f(g(x)).g’(x)dx = ∫ f(u) du.

b

a

bg

ag

duufdxxgxgf

)(

)(

.)()(')).((Integral tentu:

Jika F adalah anti-turunan dari f, maka

b

a

bg

ag

agFbgFduufdxxgxgf

)(

)(

)).(())(()()(')).((

10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 17

Latihan. Hitung integral tentu/tak tentu berikut:

1. ∫ √3x + 2 dx.2. ∫ cos(3x + 2) dx.

3.

4.

5.

1

0

3 .)23( dxx

4/

0

sin

2

.

dxx

x

4

1)1(

1 .3 dttt

4.4 TEOREMA DASAR KALKULUS IIMA1101 MATEMATIKA 1A

11/01/2013 (c) Hendra Gunawan 18

Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus II untukmenentukan turunan dari integral.

Fungsi Akumulasi

Misalkan f terintegralkan pada[a, b]. Definisikan

Di sini, G(x) menyatakan “luasdaerah” di bawah kurva y = f(t),a ≤ t ≤ x (lihat gambar).

Perhatikan bahwa G(a) = 0 dan

Fungsi G disebut fungsi akumulasi dari f.

11/01/2013 (c) Hendra Gunawan 19

x

a

dttfxG .)()(a x b

b

a

dttfbG .)()(

Teorema Dasar Kalkulus II

G’(x) = f(x) pada [a, b]; yakni,

Catatan:

1. TDK II menyatakan bahwa fungsi akumulasimerupakan anti-turunan dari f.

2. TDK I dan TDK II menyatakan bahwa turunandan integral merupakan semacam kebalikansatu terhadap yang lainnya.

11/01/2013 (c) Hendra Gunawan 20

].,[),()( baxxfdttfdx

dx

a

Bukti Teorema Dasar Kalkulus II

Menurut definisi turunan,

Ketika h kecil, f tak berubah banyak pada [x, x+h]. Pada selang ini, f(t) ≈ f(x), sehingga integral-nyakira-kira sama dengan h.f(x). Jadi G’(x) = f(x).11/01/2013 (c) Hendra Gunawan 21

.)(1

lim

)()(1

lim

)()(lim)('

0

0

0

hx

xh

x

a

hx

ah

h

dttfh

dttfdttfh

h

xGhxGxG

Catatan

TDK I dapat dibuktikan pula dengan mengguna-kan TDK II. Karena dua anti-turunan dari f ber-selisih konstan, kita mempunyai

Nah, untuk x = a, ruas kiri sama dengan 0. JadiF(a) + C = 0, sehingga C = - F(a). Karena itu

Dalam hal x = b, kita peroleh TDK I.10/30/2013 (c) Hendra Gunawan 22

( ) ( ) C, [ , ].

x

a

f t dt F x x a b

( ) ( ) ( ), [ , ].

x

a

f t dt F x F a x a b

Contoh

1.

2.

3.

4.

11/01/2013 (c) Hendra Gunawan 23

.3

1

3 xdttdx

dx

.3

1

3

1

3 xdttdx

ddtt

dx

dx

x

.162. 33

1

322

1

3 xudx

dudtt

du

ddtt

dx

duxux

.1516 333

2

1

3

1

3

2

3

xxx

dttdx

ddtt

dx

ddtt

dx

dx

x

x

x

Latihan

3. Diketahui .

Tentukan selang di mana grafik y = f(x)

(a) naik, (b) cekung ke atas.

11/01/2013 (c) Hendra Gunawan 24

2

1

2

1

1. (2 ) ...

2. . ...

x

x

dt t dt

dx

dx t dt

dx

x

dss

sxf

021

)(