kinematika dalam sistem koordinat yang berbeda

KINEMATIKA DALAM SISTEM KOORDINAT YANG BERBEDA

SISTEM KOORDINAT YANG BERBEDA

Untuk menggambarkan posisi dan gerak sebuah objek atau titik dalam ruang, tentunya diperlukan sebuah sistem koordinat. Beberapa sistem koordinat yang biasa digunakan adalaha koordinat rektangular (kartesian), koordinat polar, koordinat silinder dan koordinat bola.

KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)

Koordinat kartesian merupakan koordinat dua atau tiga dimensi yang terdiri dari sumbu-sumbu yang saling berpotongan di titik O.

Koordinat Kartesian dari titik P dalam dua dimensi

Posisi titik P digambarkan oleh koordinat (x,y) yang didapatkan dari proyeksi titik P terhadap sumbu X dan Y, sehingga OA = x dan OB = y.

Gambar berikutnya merupakan koordinat kartesian tiga dimensi,

KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)

KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)

Koordinat kartesian dari titik P dalam tiga dimensi

Posisi titik P digambarkan oleh Koordinat (x,y,z). Dari titik P di-tarik garis tegak lurus terhadap sumbu Z, sehingga OC = z dan garisPM tegak lurus bidang XY. Dari Mditarik garis tegak lurus terhadapsumbu X dan Y sehingga OA = xdan OB = y , dengan demikian

KOORDINAT POLAR

Sistem koordinat kartesian sangat cocok digunakan untuk menggambarkan gerakan objek dalam garis lurus. Koordinat kartesian tersebut, tidak selamanya dapat digunakan ketika gerakan objek berupa kurva seperti gerak melingkar. Untuk gerak seperti itu perlu digunakan sistem koordinat lain yang sesuai.

Pemilihan sistem koordinat yang tepat, akan membuat penyelesaian masalah-masalah dalam gerak menjadi lebih sederhana. Sebagai contoh gerak melingkar pada sebuah bidang sangat tepat digambarkan dengan koordinat polar.

KOORDINAT POLAR

Koordinat polar (r,θ) dari titik P dalam dua dimensi

Berdasarkan gambar di samping, koordinat kartesian titik P pada bidang XY adalah (x,y). Titik P terletak pada jarak r dari titik asal O. Garis OP membentuk sudut θ terhadap sumbu X. Sehingga dapat diterima apabila posisi P diwakili oleh koordinat (r, θ) yang disebut koordinat polar. Hubungan antara (x,y) dan (r, θ) adalah

Kita juga dapat menyatakan r dan θ dalam x dan y melalui cara yang sederhana, yaitu melalui kuadrat dan penjumlahan, sehingga diperoleh

Dari persamaan sebelumnya, diperoleh

Dengan

KOORDINAT POLAR

Dengan demikian, dalam sistem koordinat dua dimensi (x,y) atau (r,θ) dapat mewakili posisi sebuah titik dalam sebuah bidang. Nilai r mulai dari 0 sampai ∞, sedangkan nilai θ mulai dari 0 sampai 2 radians.

Perbandingan antara sistem koordinat kartesian dengan polar diperlihatkan pada gambar berikut

KOORDINAT POLAR

KOORDINAT SILINDERMari kita bayangkan titik P terletak pada jarak r dari titik pusat O. Titik P dapat digambarkan dalam koordinat kartesian (x,y,z) atau koordinat silinder (ρ,,z), seperti gambar di bawah ini

Koordinat silinder titik P dalam ruang

Dalam koordinat silinder (x,y,z) dinyatakan dalam

Sedangkan hubungan kebalikannya dinyatakan dengan

KOORDINAT SILINDER

Kita bayangkan kembali sebuah titik P yang berada pada jarak r dari titik pusat O, seperti terlihat pada gambar berikut

KOORDINAT POLAR BOLA

Koordinat polar bola dari titik P dalam ruang

Koordinat kartesian dari titik P adalah (x,y,z), sementara dalam koordinat polar bola (r,θ,). Untuk menemukan hubungan antara dua koordinat tersebut, kita nyatakan OP = r menjadi dua komponen PM dan OM

selanjutnya OM dinyatakan dalam dua komponen OA dan OB, sehingga

KOORDINAT POLAR BOLA

Sehingga didapatkan hubungan

Hubungan kebalikannya didapatkan sebagai berikut

KOORDINAT POLAR BOLA

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Seperti yang telah kita ketahui, dalam kinematika dipelajari gerak tanpa memperhatikan gaya yang menyebabkannya. Sehingga pada bab ini kita hanya meninjau posisi, kecepatan, dan percepatan dalam dua dan tiga dimensi.

Posisi partikel dalam bidang XY dapat digambarkan dalam koordinat (x,y), atau dapat digambarkan dalam bentuk vektor posisi r = (x,y). Gerak titik P pada bidang XY dapat digambarkan dengan menyatakan y sebagai fungsi x atau sebaliknya.

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Atau akan lebih baik menyatakan persamaan tersebut dalam bentuk relasi antara x dan y, misalnya

Sebagai contoh partikel bergerak dalam bentuk lingkaran dapat digambarkan dengan persamaan

Dengan a adalah jari-jari lingkaran.

Cara yang biasa dipakai untuk merepresentasikan jejak partikel adalah dalam bentuk bagian dari parameter misalnya s, sehingga

Secara umum, jika partikel bergerak dalam bidang

XY gerakannya digambarkan oleh

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Dengan waktu t merupakan parameter dalam hal ini. Kita dapat menulis vektor posisi r, dalam bentuk unit vektor

Kecepatan dan percepatan partikel dan komponen-komponennya adalah

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Gerak tiga dimensinya dinyatakan oleh

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Dalam banyak situasi, lebih cocok menggunakan koordinat polar (r,θ) daripada koordinat kartesian (x,y) untuk menggambarkan gerak sebuah partikel. Hubungan antara dua koordinat tersebut adalah

Hubungan kebalikannya

Jarak r diukur dari titik pusat O sedangkan θ dari sumbu x berlawanan arah jarum jam vektor satuan î dan ĵ dalam koordinat kartesian ditunjukkan oleh gambar. Sekarang kita definisikan dua vektor satuan dalam koordinat polar, yang saling tegak lurus satu sama lain yaitu rˆ yang menunjukkan titik P dalam arah pertambahan sepanjang r dan θˆ dalam arah pertambahan θ.

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Vektor satuan rˆ dan θˆ dalam koordinat polar

Vektor satuan rˆ dan θˆ dengan vektor satuan î dan ĵ dihubungkan dengan sebuah relasi

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Hubungan antara vektor satuan (rˆ,θˆ) dan (î,ĵ)

Kita diferensialkan persamaan tadi terhadap θ

Sehingga kita peroleh

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Kecepatan v

Karena

Kita dapat menulis

Sehingga

Kita dapat mengidentifikasivr adalah komponen kecepatan sepanjang rˆ, yang disebut kecepatan radial sedangkan vθ adalah komponen kecepatan sepanjang θˆ yang disebut kecepatan angular .

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Percepatan partikel dinyatakan oleh

Sehingga

Terdapat dua komponen percepatan yaitu radial dan angular

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR