kalkulus ii stta

1

Drs. SUPARYONO, MT.

2

a. Teknik Integrasib. Integral Tak Wajarc. Penggunaan Integrald. Fungsi dua variabele. Sistem Koordinat kutubf. Integral lipat Dua dan Tiga

1. SILABUS

a. Matematika Universitas2, M. Marga Ismail Besari, Armico Bandung

b. Kalkulus, Frank Ayers, Jr., Dra Leo Prasetio, Erlangga

c. The Calculus With Analitic Geometry, Louis Leithodd. Calculus, Apostol, Tom M, Blaisdelle. Calculus And Analytic Geometry, Thomas

2. Daftar Pustaka

OlehDrs. Suparyono, MT.

NAMA : Drs. SUPARYONO, MT.

TMPT LAHIR : WONOGIRI

PNDDKN : S-1 MATEMATIKA MIPA UNDIP

: S-2 TEKNIK INDUSTRI ITB

PEKERJAAN : DOSEN TETAP

AKADEMI ANGKATAN UDARA

RUMAH : KOMPLEK TNI AU BLOK P-1

LANUD ADISUCIPTO, YOGYAKARTA

TELP : 08122747910

BIODATA PENGAJAR

OlehDrs. Suparyono, MT.

KEHADIRAN (20%)

TUGAS (20%)

TEST TENGAH SEMESTER WAJIB DIIKUTI (30%)

TEST AKHIR SEMESTER WAJIB DIIKUTI

(30%)

PENILAIAN

5

1. Teknik substitusi (penggantian)

2. Integrasi Parsial

3. Integrasi fungsi trigonometri

1. Teknik substitusi (penggantian)

∫ −dx

x249

5=

( )∫

−dx

x294

19

15 dx

x∫

− 2

94

1

1

3

5=a.

6

Maka :

dx

x∫

−

2

32

1

135 ⇒ Mis = t = x

32

dt dx3

2= ⇒ dxdt =23

dtt 23

1

135

2∫−

= dtt 2

3

1

1

3

52∫

−= ctSinarc +.25

cxSinarc +

=

3

2.

2

5

).....(43 ndikumpulkaPRuntukdxex x =∫b.

7

2. INTEGRAL PARSIAL

∫ ∫−= duudvu νν

Contoh :

∫ = ?dxxex u = x du = dxdv = ex dx ⇒ v = ex + c

∫ = xx exdvxe . ∫ +−=− cexedxe xxx

Hitung : .....sin =∫ dxxxa.

.....ln2 =∫ dxxxb.

8

Ada 3 Kasus :

I. ∫ ∫ dxxcos,xdxsin mm

II.

∫ dxmxmx cos.sinIII.

I a. Jika m ganjil mis : ∫ :sin5 dxx

( ) dxxx sin.sin22∫ = ( ) dxxx sin.cos1

22∫ −dxxdumakaxu sin,cos −==

dxxdu sin=−

( ) duu221∫ −− ( )duuu∫ +− 4221=

cu5

1u3

2u 53 +

+−−=

3. Integral Trigonometri

∫ dxxx mm cos.sin

9

∫ =dxxsin5 cxcos5

1xcos

3

2xcos 53 +

+−−

I b. Jika m genap : ∫ =dxxsin2 dxx∫

− 2cos

21

21

c2

1.x2sin

2

1x

2

1 +−=

cxx +−= 2sin4

1

2

1

II. dxxx 63 cossin∫ dxxxx sincossin 62∫

( ) dxxsinxcosxcos1 62∫ −

=

10

Latihan : ∫ = ......5cos3sin dxxx

( ) dxxsin.xcosxcos 86∫ − ( ) ( )xcosd.xcosxcos 86∫ −−=

cxx ++−= 97 cos9

1cos

7

1

11

∫ + 21 x

dx*). x

1α

tg αα =α

αddx

2cos1=

∫ +=

α

αα

2

2

1cos1

tg

d∫

+=

αα

αα

αα

2

2

2

2

2

cossin

coscoscos1

d

dxd

∫=

α

αα

cos1

cos12

∫∫ == αααα

dd seccos1

∫ + 21 x

dxctgn ++= αα sec

cxxn +++= 21

12

RUMUS2 INTEGRASI1). ∫ += caxdxa

( )11

1 1 −≠++

= +∫ ncxn

dxx nn2).

∫ ∫ +==− cxndxx

dxx 113).

4). ∫ += cedxe xx

5). ∫ +−= cxdxx cossin

∫ += cxdxx sincos6).

7). cxarccxarcdxx

+−=+=−∫ cossin1

12

4a). ∫ dxeax = caeax +

7a). =−∫ 22 xa

dxarc c

ax +sin

13

cxtgcoarccxtgarcdxx

+−=+=+∫ 211

8).

9). cxtgdxx

+=∫ 2cos1

cxctgdxx

+−=∫ 2sin1

10).

cxarcxx

+=−∫ sec1

1211).

12). ∫ += cxdxxtgx secsec

∫ += ccodxxctgxco secsec13).

14). cxndxxtg +−=∫ cos

14

Sifat-sifat integral tertentu.

( ) ( ) ]dzxgxfb

a

+∫1. ( ) ( )∫∫ +b

a

b

a

dxxgdxxf=

2. ( )dxxcfb

a∫ ( )dxxcf

b

a∫= C = konstanta

3. ( ) ( )dxxfdxxfc

b

b

a∫∫ + = ( )dxxf

c

a∫

4. ( )dxxfb

a∫ = ( ) ( ) ( )bXaabxf <<− ,;1

Maka 5. Jika M1 < f(x) < M2 Untuk a ≤ x ≤ b

M1 (b - a) ≤ ( )dxxfb

a∫ ≤ M2 (b - a)

15

6. ( )dxxfb

a∫ = ( )dxxf

b

a∫− ; (a > b)

7. ( )dxxfa

a∫ = 0

8. ( )dxxfb

a∫ ( )dttf

b

a∫=

9. dxd

( )duufx

a∫ = ; F (x) = ( )duuf

x

a∫

10. F (x) Kontinu untuk a, a ≤ x ≤ b maka

( )dxxfb

a∫ = G (b) - G (a) ; G’ (x) = f (x)

16

PERSAMAAN TRIGONOMETRI YANG SERING DIGUNAKAN

1xcosxsin 22 =+1.

xsecxtg1 22 =+2.

xseccxctg1 22 =+3.

( )x2cos121

xsin2 −=4.

xcos.xsin2x2sin =5.

17

1. Definisi. Integral tertentu

tak wajar jika : ∫b

a

dxxf )( Disebut integral

a. Integran f(x) punyai 1 atau lebih titik diskontinu pada selang a≤ x ≥b

b. Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga.

2. Integaran yang Diskontinu.

a. Jika f (x) diskontinu di x = a dan dapat diintegralkan pada (z,b) untuk setiap z ∈(a,b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh :

∈

∫∫+→

=b

zaz

b

a

dxxfdxxf )()( lim

18

b. Jika f (x) diskontinu di x = b dan dapat diintegralkan pada (a,z) untuk setiap z ∈ (a,b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh :

∫∫−→

=z

abz

b

a

dxxfdxxf )()( limc. Jika f (x) diskontinu di x = c dimana c ∈ (a,b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh :

∫∫∫+− →→

+=b

zcz

z

acz

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( limlim

19

Hitung ∫1

0 x

dx

x

y

0

Integran F(x)=1/x ; akan berharga tak hingga untuk x mendekati 0. Utk itu ambil x=z∈(0,1) dimana F(x) bisa diintegralkan :

[ ]

∞=

=

=

+

+

→

→

z

x

z

zz

1ln

ln

lim

lim

0

1

0∫∫+→

=1

0

1

0lim

zz x

dx

x

dx

RAJIN BELAJAR YA......

20

Hitung ∫1

0

)( dxxf

x

y

0

Dari grafik terlihat F(x) diskontinu pd x mendekati 0. Utk itu ambil z∈(0,1) dimana F(x) diintegralkan shgg:

( ))(2

22lim0

konvergen

zz

=

−=+→∫∫

+→

=1

0

1

0lim

zz x

dx

x

dx

Jika f(x) didefinisikan

Oleh

=

x

xf1

0

)(

Untuk x=0

Untuk x>0

f(x)

1

[ ]10

2lim zz

x+→

=

Jadi ∫1

0 x

dxMendekati 2

21

a. Jika f(x) kontinu pada selang a≤x ≤ u maka integral tak wajar f dari a ke +∞ dinyatakan oleh :

∈

∫∫+∞→

+∞

=u

ua

dxxfdxxf0

)()( limb. Jika f(x) kontinu pada selang w≤x≤b maka integral tak wajar f dari -∞ ke b dinyatakan oleh :

∈

∫∫−∞→∞−

=b

ww

b

dxxfdxxf )()( limc. Jika f(x) kontinu pada selang w≤x ≤u maka integral tak wajar f dari - ∞ ke∞ dinyatakan oleh :

∫∫∫−∞→+∞→

∞

∞−

+=0

0

)(lim)()( limlimww

u

u

dxxfdxxfdxxf

Jika nilai llimit definisi ada maka dikatakan integral tak wajar konvergen

22

Hitung ∫+∞

+02 4x

dx

Batas atas integrasinya tak hingga :

∫∫ +=

+ +∞→

+∞ u

u x

dx

x

dx

02

02 44 lim

u

u

xarc0

2

1tan

2

1lim

=

+∞→

Jadi

= ¼ π

23

1. Konsep luas daerah. Mis daerah D daerah yg dibatasi grafik y = f(x) yg kontinu dlm selang [a,b] dan f(x)≥0, grs x=a, grs x=b dan sumbu x positif spt gbr:

∈

x

y

0 1 2

D

y

0 xo=a x1 x2 Xa-1 xa=b

24

Akan ditentukan luas daerah D dgn cara sbb :

bagi selang terrtutup [a,b] menjadi n bagian yaitu dgn ttk a=x0<x1<x2...<xn=b, buat segi empat. Shg berlaku :

L segi empat bawah≤luas D ≤luas segi empat atas : dimana :

∑=

+∆=n

iiatas xxfL

11)( ∑

−

=+∆=

1

01)(

n

iiibawah xxfL

Jika segi empat tsb dibuat sbyk mungkin mk dgn mengambil D menuju tak hingga akan berlaku

∑−

=+∞→

∆=1

01)(lim

n

iii

nxxf ≤≤ DLuas ∑

=+∞→

∆=n

iii

nxxf

11)(lim

atau

∫b

a

dxxf )( ≤≤ DLuas ∫b

a

dxxf )(Shg berlaku

∫=b

a

dxxfLuasD )(

25

a. Jika f(x) fungsi yg kontinu diselang tutup [a,b] dan C di titik dalam [a,b] sehingga f(x)≥0 di dlm [a,c], f(x)≤0 di dlm [c,b] mk luas D= (L daerah yg di batasi lengkungan Y=f(x), grs x=a, x=b) dpt dihitung dgn rumus :

∫ ∫−=b

a

c

b

dxxfdxxfDLuas )()(x

y

0 a cb

2. Dgn konsep perhit. L daerah dpt diturunkan rumus sbb :

b. Jika f(x) dan g(x) fungsi yg kontinu diselang tutup [a,b] dimana f(x)≥g(x) untuk setiap x di [a,b] dan mis D adl daerah yg di batasi lengkungan grafik f(x), g(x), grs x=a & x=b maka:

[ ]∫ −=b

a

dxxgxfLuasD )()(x

y

0a b

f(x)g(x)

26

∫ ∫−=2/

0 2/

coscosπ π

π

xdxxdx

1. Tentukan luas daerah yg di batasi oleh y =cos x, grs x=0, x=π dan sumbu x

2. Tentukan luas daerah yg di batasi oleh grafik2 y=x2dany=x3

0 b

π

y1

-1

2π x

Karena cos x≥0 di [0, ½π] dan cos x≤0 [½π,π] maka :

Luas daerah :

2/sin

0

2/sin

πππ

−= xx

= 2

27

2. Titik potong kedua grafik didapat dr pers x2=x3 atau x2(1-x) = 0 yg dipenuhi oleh x=0 atau x=1. Jd titik potongnya (0,0) dan (1,1)

∫ −=−=1

0

44

133

132

0

1)()( xxdxxx

Karena x2≥x3 utk setiap 0≤x ≤1 maka :

Luas daerah :

121

41

31 =−=

0 1

y1

x

Y=x2Y=x3

28

1). Mis y = f(x) fungsi yg kontinu dlm selang tertutup [a,b] spt gbr :

0

y1

xa bAkan ditentukan isi benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi oleh lengkungan y=f(x), sumbu x, grs x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu x, dgn cara sbb :

Jika segi empat ini diputar mengelilingi sumbu x akan terjadi silinder dgn ukuran : jari2 lingkaran f(c1) dan tinggi ∆ iV=π{f(ci)}2. ∆ ix, spt gbr di blkg

3. Menghitung isi benda putara. Sumbu putarnya sumbu x (Metode kulit)

29

0

y1

xa b

f(c1)

∆ ix

xi-1 ci xi

∆ ix

Karena ada n buah segi empat maka akan tdpt silinder dgn jmlh isi{ }∑ ∑

= =

∆=∆n

i

n

iiii xcfV

1 1

2)(π

Isi benda putar yang terjadi dapat didekati dengan :

{ } { }∑ ∫∞

=∞→=∆=

1

221 )()(lim

i

b

a

in

dxxfxcfisi ππ

30

2. Jika daerah D=daerah yg di batasi oleh fungsi f(x) dan g(x) garis x=a, x=b dimana f(x) dan g(x) fungsi yg kontinu dan f(x)≥g(x) dlm [a,b], diputar mengelilingi sumbu x maka isi benda putar yg terjadi dpt ditentukan sbb :

f(x)

∆ ix

g(x)

0

y

xa bxi-1 ci xi

g(c1)

f(c1)

g(x)

f(x)

Isi = isi silinder luar- isi silinder dlm

{ } { } xcgcfxcf iiii ∆−−∆= 222 )()()( ππ

{ } xcgcf iii

n

in

∆−= ∑=∞→

22

1

)()(lim π { }dxxgxfb

a

22 )()( −= ∫π

31

1. Mis y = f(x) :

0

y

xa bxi-1 ci xi

Akan ditentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yg dibatasi y = f(x), sumbu x, garis x=a & grs x=b diputar mengelilingi sumbu y dgn cr sbb :

xcfcIsi iii

n

in

∆= ∑=∞→

2

1

)(2lim π

dxxxfb

a

)(2 ∫= π

32

0

y

xa b

2. Jika daerah D = daerah yg di batasi lengkungan grafik fungsi2 f(x), g(x), grs x=a, x=b, dimana f(x), g(x) kontinu dan f(x)≥g(x) di [a,b] diputar mengelilingi sumbu y maka isi benda putar ditentukan sbb :

xcgcfcIsi iiii

n

in

∆−= ∑=∞→

))()((2lim1

π

dxxgxfxb

a

)]()([2 −= ∫π

f(x)

f(x)

x2

f(c1)-g(c2)

33

0

y

xa b

D

x=-c

y=-d

f(x)

0

y

xa b

D

x=-c

y=-d

f(x)

g(x)

a. Jika daerah Dpada gambar-1 diputar mengelilingi grs y=-d(d>0) maka isi benda putar yg terjadi dpt dihitung dgn rumus :

dxdxfisib

a

2})({ += ∫π

Gbr 1 Gbr 2

b. Jika daerah D pada gambar-2 diputar mengelilingi grs y=-d(d>0) maka isi benda putar yg terjadi dpt dihitung dgn rumus : dxdxgdxfisi

b

a

]})({})([{ 22 ++= ∫π

34

c. Jika daerah Dpada gambar-1 diputar mengelilingi grs x=c(c>0) maka isi benda putar yg terjadi :

dxxfcxisib

a

)()(2 ∫ += π

d. Jika daerah D pada gambar-2 diputar mengelilingi grs x=c(c>0) maka isi benda putar yg terjadi :

dxxgxfexisib

a

)}()(){(2 −+= ∫π

Catatan : Jika sumbu putar pd gambar diatas diganti garis y = d dan x=c dgn d>0 dan c >0 maka rumus2 tsb menjadi

dxdxfisieb

a

})({. −= ∫π

dxdxgdxfisifb

a

]})({})([{. 22 −−−= ∫π

dxxfcxisib

a

)()(2 −= ∫π

dxxgxfcxisib

a

)}()(){(2 −−= ∫πh.

g.

35

Tentukan isi benda putar yg terjadi jika daerah yg di batasi oleh grafik y = x2 dan y = x3 diputar mengelilingi sumbu x :

dxxxIsi })(){( 23221

0

−= ∫π

0

y

x1

y=x3 y=x2

1

0

1)

7

1

5

1(){( 7564

1

0

xxdxxx −=−= ∫ ππ

35

2)

7

1

5

1(

ππ =−=

36

Mis f(x) kontinu & terdiferensial pd [a,b], jika daerah D = daerah yg dibts lengkungan y=f(x), grs x=a, x=b dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x akan terjadi suatu benda putar.

0xx2-1

f(x2)

vi∆

yf(x1)

f(x1)

x2 b

f(x)

f(x1-1)

37

Luas permukaan benda putar dapat dihitung sebagai :

VL i

n

in

∆= ∑=∞→1

lim

dxxfxfxfb

a

21 )]([1)}()({ ++= ∫ π

dxxfxfLb

a

21 ))((1)(2 += ∫π

( ) dxdx

dyyL

b

a

212 += ∫π

38

Tentukan luas permukaan benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi oleh permukaan y=x3, garis x=0, garis x=2 diputar mengelilingi sumbu x

Jawab 23 3x

dx

dyxy =→=

dxdx

dyyL

22

0

12

+= ∫π

Luas permukaan :

dxxx 432

0

912 += ∫π

0

2)91(

36

1.

3

22 2

34x+= π

0

2)91(

272

34x⋅+= π

{ }1)145(27

23

−= π

39

Mis y=f(x) fungsi yang kontinu di [a,b] dan terdiferensial di (a,b) dgn grafik sbb :.

0x

B

Akan ditentukan panjang lengkung AB dgn cara sbb :

Bagi selang [a,b] menjadi n bagian & pd setiap selang dibuat trapesium. Tinjau selang ke i

Panjang segmen garis PQ 211

2 ))()(()( −−+⋅∆= ii xfxfx2

11 ))()((1

∆−+∆= −

x

xfxfx

i

ii

Q

P A

a xi-1 xi b

y

40

Karena ada n selang maka terdapat n buah segmen garis dgn jumlah panjang :

x

xfxfx

i

iii

n

i ∆−+∆ −

=∑

21

1

))()((1

Panjang busur (lengkungan) dari A ke B di definisikan sebagai :

xx

xfxfxS i

i

iii

n

in

∆∆−+∆= −

=∞→ ∑2

1

1

)}()({1lim

dxxfSb

a

⋅+= ∫ 21 ))((1

41

Jika lengkungan dinyatakan dlm bentuk persamaan parameter :

==

)(

)(

tgy

tfxdt

dt

dy

dt

dxS

t

t

⋅

+

= ∫

222

1

maka

Contoh : tentukan panjang lengkungan y=x3/2 dari x=0 sampai x=2

21

23

23 x

dx

dyxy =→=

dxdx

dyS ⋅

+= ∫

22

0

1

dxx4

91

2

0

+= ∫

0

2)

4

91(

9

4.

3

22

3

x+=

{ }1)4

91(

27

82

3 −+= x

−= 1)

2

11(

27

82

3

42

Mencari Besarnya Kerja dengan Integrasi. Mis benda P digerakan dgn gaya menurut grs lurus, mis sumbu x. Akan ditentukan kerja yg digunakan utk menggerakan P dr titik x=a sampai titk x=b, sbb :

∫∑ =∆==∞→

b

a

xi

n

in

dxxfCfW )()(1

lim

xi xi+1 x=bx=a

∆ x

0

P→

Untuk n mendekati ∞, akan didapat :

43

Contoh

Suatu pegas diikat pada satu ujung (A) dan ujung lainnya dianggap sbg titk awal 0, pegas ditarik dgn gaya sejauh x sedangkan gaya yang digunakan sebesar f(x). Dik : panjang pegas dlm keadaan normal 10 cm. Jika utk merentang pegas sampai 12 cm diperlukan gaya 3 N, berapa kerja yg diperlukan utk merentang pegas dari posisi semula menjadi 18 cm

jawab

Menurut hukum Hooke : f(x)=K.x;K konstanta pegas ; x= jarak peregangan/rentangan f(x)=fungsi jarak rentangan. Karena utk merentang pegas dari 10 cm menjadi 18 cm adalah :

f(x)= Kxf(2)= K.2 = 3 cmNK /2

3=

44

∫=8

)(a

dxxfW

Kerja yg diperlukan untuk merentang pegas dari 10 cm menjadi 18 cm adalah :

0

8243

8

23 xXdx

a

== ∫cmN48=

Prhatikan PelajaranJangan pada ngobrol

sendiri!

45

2. Mencari Titik Berat dengan Integrasi.

ii

n

inx ymM ⋅= ∑

=∞→ 1lim

a. Titk Berat Bangun Datar

x

y

0

Bentuk dari bangun dinyatakan homogen sehingga dapat dianggap rapat massa = 1

Dapat ditentukan bahwa momen suatu benda thd suatu sumbu X adalah MiYi & thd sumbu Y adalah MiXi shg dpt didef momen slrh bangun datar thd sumbu X adalah :

0→iM

dan thd sumbu Y adalah :

ii

n

iny xmM ⋅= ∑

=∞→ 1lim

0→iM

46

Sehingga y :

ii

n

inx ymM ⋅= ∑

=∞→ 1lim

0→iM

M

Sehingga y :

ii

n

inx ymM ⋅= ∑

=∞→ 1lim

0→iM

M

47

Untuk pembahasan selanjutnya diambil ketetapan :

1) Benda dianggap homogen sehingga rapat massa=1

2) Massa dari benda yg mempunyai :

a) Luas adalah sama dgn luas benda itu

b) Panjang adalah sama dgn panjang benda itu

c) Isi adalah sama dengan isi benda itub. Titk Berat Bidang Datar. Akan dicari titik berat bidang datar yg terjadi karena perpotongan dari kurve y=f(x), garis x=a, x=b dan sumbu x spt gambar berikut :

b

y

0

f(x)yi

T(xi1/2 yi)

a ∆ x dxy

dxxy

x b

a

b

a

∫

∫=

ydx

dxy

y b

a

b

a

∫

∫=

221

48

Contoh. Tentukan ttk berat seperempat lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari jari a :

y=x

x

ya

0

Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari a mempunyai persamaan :

222 ayx =+ 22 xay −=

Massa seperempat lingkaran ini adalah luas seperempat lingkaran ini, sehingga :

Massa = dxxadxyaa

22

00

−=⋅ ∫∫Dengan subtitusi x = a sin θ, didapat :

222

0 4

1adxxa

a

π=−∫

49

Karena seperempat lingkaran ini mempunyai sumbu simetri yaitu : garis y=x maka titik beratnya terletak pada garis y=x

jadi = 241

0

2221

241

221 )(

a

dxxa

a

dxy

yx

ab

a

ππ

∫∫ −===

241

3312

21

241

3312

21

)(0)(

a

aaa

a

axxa

ππ−⋅

=−

=

ππ 3

44

3

2

2

12

3 a

aa =⋅⋅=

Koordinat seperempat lingkaran

=

ππ 3

4,

3

4 aa

50

c. Titk Berat Benda Putaran.

y=f(x)

xga0

y

Akan dicari titik berat benda yg terjadi jika bidang yg dibatasi oleh kurva y=f(x) grs x=a, x=b diputar mengelilingi sumbu x

Misalkan titik berat benda putar berkoordinat ( )yx,

Dan massanya M, maka momen benda ini thd sumbu y adalah :

dxxyxMMb

a

y2π∫=⋅=

Jadi titik benda putaran adalah : dxy

dxxy

M

dxxy

x b

a

ab

a

2

0

22

π

ππ

∫

∫∫==

0=y

51

Contoh. Tentukan ttk berat yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y=x2 dan garis y=x di kwadran I

y=x

x

ya

0

Massa benda putaran=isi benda putar yg terjadi.

dxyyM )( 22

21

1

0

−= ∫π

Momen benda putaran thd sumbu y

12)()( 42

1

0

22

21

1

0

πππ =−=−== ∫∫ dxxxxdxyyxxMM y

Jadi titik berat benda putaran :

8

5

152

12 === π

π

M

Mx y

y=x2

15

2)( 42

1

0

ππ =−= ∫ dxxxM

0=y

52

1. Sistem Koordinat Cartesius Ruang. Sebelum mendefinisikan fungsi dua vaiabel secara formal akan diberikan pengertian sistem koordinat cartesius ruang sebagai berikut : Dalam ruangan dipilih 3 sumbu : x, y, z yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik pangkal O

A(x0,y0,z0)

y

z

z0

0

5

y0

x

B(3,-2,5)

x03

Korespondensi satu-satu anatar titik-titik dalam ruang dgn trpile (x,y,z) dgn sifat seperti diatas, disebut sistem koordinat katesius ruang R3

53

2. Definisi. F adalah fungsi dari E ke R dan disebut fungsi dua variabel jika untuk setiap pasangan (x,y)εE menentukan secara tunggal Z ε R sehingga z=f(x,y). Dalam definisi f adalah E jika z0=(x0,y0) maka Z0 adalah nilai fungsi f di (x0,y0)

3. Grafik Fungsi Dua Variabel. Grafik fungsi z=f(x,y). Adalah himpunan semua titik (x,y,z) dalam ruang sedemikian hingga z=f(x,y).. Jika pers z=f(x,y). Atau f(x,y,z)=0 dilukis pd sistem koordinat katesius ruang pd umumnya berupa permukaan. Untuk menggambarkan suatu permukaan, hal yg perlu diperhatikan ialah :

a. Domain dan Range dari f

c. Lengkungan perpotongan dgn bidang koordinat (xoy, xoz, yoz)b. Sifat kesimetrisan (setangkup) dari f.

d. Perpotongan dgn bidang lainnya

54

Contoh. Gambarkan grafik fungsi persamaan :

a. Z=2x+3b. x+2y+3z-6=0

Jawab

a. Dua titik yg terletak pd bidang ini ialah titik (0,0,3) dan (-3/2, 0,0) karena dua titik ini memenuhi pers z=2x+3. Grafik z=2x+3 berupa bidang yang melalui kedua titik tsb tegak lurus bidang y=0

Z=2x+3

y0x

z3

-3/2

55

b. Bidang ini memotong sumbu x,y dan z masing masing di titik (6,0,0) (0,3,0) dan (0,0,2) Grafik dari (x+2y+3z-6=0) berupa bidang yang melalui ketiga titik tsb

X+2y+3z-6=0

y0

x

z2

63

Bagian grafik f yg terletak di bawah bidang z=4 digambarkan sbb :

Grafik ParaboloidaGrafik Ellipsoida

56

Gambar permukaan dengan persamaan 12

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x

Dimana a, b, dan c bilangan positif.

Permukaan ini disebut dengan Hiperbolaida berdaun satu

z

y

x

z

y

x

0

57

1. Definisi dan Arti Geometris Turunan Parsial. Mis z=f(x,y) adalah fungsi dari sua variabel. Jika x berubah-ubah dan y dianggap sebagai konstanta maka z adalah fungsi dari x dan turunannya ke x :

y

yxfyyxf

x

zy ∆

−∆+=∂∂

→∆

),(),(lim

0

x

yxfyxxf

x

zx ∆

−∆+=∂∂

→∆

),(),(lim

0

Disebut turunan pertama parsial dari z=f(x,y) ke x. Jika y berubah-ubah dan x dianggap sebagai konstanta maka z adalah fungsi dari y dan turunannya ke :

58

yy0

x

x2

α

Disebut turunan pertama parsial dari z=f(x,y) ke y. Arti geometris turunan parsial yang didefinisikan diatas ialah :

0

z

Ki

β

59

2. Turunan Parsial Tingkat Tinggi. Turunan Parsial . Dari z=f(x,y) dapat diturunkan parsial lagi ke x dan ke y, menghasilkan turunan parsial kedua :

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂

y

z

yy

zdan

x

z

xx

z2

2

2

2

x

z

∂∂

Dengan cara yang sama, dari dapat diperolehx

z

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂∂

x

z

yxy

zdan

y

z

xyx

z 22

60

Contoh Z=x2 + 3yx + y2

yxx

z32 +=

∂∂

22

2

=

∂∂

∂∂=

∂∂

x

z

xx

z

yxy

z23 +=

∂∂

32

=

∂∂

∂∂=

∂∂∂

x

z

yxy

z

22

2

=

∂∂

∂∂=

∂∂

y

z

yy

zdan 3

2

=

∂∂

∂∂=

∂∂∂

y

z

xyx

z

61

3. Nilai Extrim Fungsi z=f(x,y) dan titik stasioner.

a. Batasan-batasan

1) Fungsi z=f(x,y) disebut mencapai nilai maksimum di (x0, y0) jika terdpt bilangan-bilangan positif S1, S2 yg positif sehingga untuk setiap pasangan (x,y)∈ H={(x,y)/|x=x0|<S1,|y=y0|<S2} berlaku : f(x0,y0)≥f(x,y)

2) Fungsi z=f(x,y) disebut mencapai nilai minimum di (x0, y0) jika terdpt bilangan-bilangan positif S1 dan S2 yg positif sehingga untuk setiap pasangan (x,y)∈ H beraku f(x0,y0) ≤ f(x,y)

62

xS2S1 x0

3) Jika fungsi z=f(x,y) di (x0,yo) mencapai nilai maksimum atau minimum maka dikatakan bahwa z=f(x,y) mencapai nilai ekstrim di (x0, y0). Titik (x0, y0) z0=f(x0,y0) disebut titik ekstrim4) Misalkan z=f(x,y) menyatakan suatu permukaan di R3 dan T titik pada permukaan tersebut.

Jika berlaku : dan maka T disebut titik

stasioner dari permukaan z=f(x,y)

0=

∂∂Tx

z 0=

∂∂

Ty

z

63

B. Hubungan antara Titik Stasioner dengan Nilai Ektrim

Dalil. Jika fungsi dua variabel z=f(x,y) mencapai nilai ekstrim di (x0,y0) dengan titik ekstrim : T (x0, y0, z0 = f(x0,y0)) maka berlaku :

0=

∂∂Tx

z 0=

∂∂

Ty

z

c. Menentukan Titik Ektrim dgn Turunan Parsial tk. 2

Dalil. Misalkan titik T (x0, y0, z0 ) adalah titik stasioner dari fungsi z= f(x0,y0) dimana :

0=

∂∂Tx

z 0=

∂∂

Ty

zdan Dan disebut :

Diskriminan dari f :

22

2

2

2

2

∂∂

∂−

∂∂⋅

∂∂=∆

yx

z

y

z

x

z

64

Jadi di T berlaku ketentuan :

1)

<

∂∂<

∂∂>∆ 000

2

2

2

2

y

zatau

x

zdan maka T = titik maks

2)

>

∂∂>

∂∂>∆ 000

2

2

2

2

y

zatau

x

zdan maka T = titik min

3) 0<∆ maka T bukan titik ekstrim

4) 0=∆ maka jenis titik kritisT tidak tertentu

Contoh

Tentukan nilai ekstrim & jenisnya dari f (x,y)=x3+y3+x2-5y2-x+3yJawab

f (x,y)=x3+y3+x2-5y2-x+3y 123 2 −+=∂∂

xxx

f

65

02

=∂∂

∂yx

f

262

2

+=∂∂

xx

f

3103 2 +−=∂∂

yyy

f

02

=∂∂

∂yx

f

1062

2

−=∂∂

yy

f

Titik stasioner didapat dari :

01230 2 =−+→=∂∂

xxx

f

(3x-1)(x+1)-0 dan didapat :x=1/3 atau x=-1

031030 2 =+−→=∂∂

yyy

f

(3y-1)(y-3)=0 dan didapat :y=1/3 atau y=3

Jadi titik stasioner :

A(1/3,1/3) ; B(1/3,3)C(-1,1/3) ; D(-1,3)

66

4. Diferensial total. Perhatikan fungsi 2 variabel z=f(x,y) deferensikan dx=x dan dy= y. Jika x berubah dan y tetap maka z merupakan fungsi dari x dan deferensial parsial z terhadap x didefinisikan oleh :

dxx

zzd x ∂

∂=

Dgn cara yg sama, diferensial parsial z thd y didefinisikan oleh

dyy

zzd y ∂

∂=

Deferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah deferensial parsialnya yaitu :

dyy

zdxx

zdz

∂∂+

∂∂=

67

Untuk fungsi W=F(x,y, . . . . . . t) deferensial total dw didef. sebagai :

dtat

awdy

ay

awdx

ax

awdw ...........++=

Contoh :

a. Z = x sin y - y sin x

xyyax

azcossin −= xyx

ay

azsincos −=dan

dyxyxdxxyy

dyay

azdx

ax

azdz

)sincos()cos(sin −+−=

+=

68

5. Aturan Rantai untuk Fungsi besusun.

x

z

∂∂

a. Mis z=f(x,y) fungsi yg kontinu dgn turunan parsial dan kontinu. Jika x=g(t) dan y=h(t) merupakan

fungsi dari t yg terdeferensiabel maka z adalah fungsi dari t dan turunan total dari z ke t dinyatakan oleh :

y

z

∂∂

.........+∂∂+

∂∂=

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dz

b. Jika W=f(x,y,…...) dan fungsi yg kontinu dr variabel x,y….. Dgn turunan parsial yg juga kontinu & jika x,y,…… ialah fungsi dari variabel yg deferensial Maka turunan total W ke t dinyatakan oleh :

.........+∂∂+

∂∂=

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

69

Contoh. Cari jika :dt

dzz=x2+3xy+5y2 dan x=sin t ; y=cos t

yxdy

dzyx

x

z103;32 +=+=

∂∂Jawab

tdt

dyt

dt

dxsin;cos −==

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

∂∂+

∂∂=

=(2x+3y)cos t- (3x+10y)sin t

70

6. Turunan Berarah dan Vektor Gradien. Mis z=f(x,y) fungsi dua variabel dan u = vektor satuam bidang XOY sedemikian hingga titik ujung vektor u terletak pd DF. Mis A di titik XOY shg Aε Df

( )h

afhuafa

dt

dzh

)()(lim

0

−+=→

Tentukan turunan berarah dari z=f(x,y)=x2+y2 di A (1,2) dalam arah vektor u =

2

1,

2

1

Vektor radius titik A

Jika limit ini ada disebut turunan berarah dari f di titik A dalam arah U

Contoh

71

( )h

afhuafa

u

fh

)()(lim

0

−+=∂∂

→

JawabTitik A : a =(1,2)

h

fhhfh

)2,1()2/2,2/1(lim

0

−++=→

−+++++=

→5

22

44

2

1

2

21

1lim

22

0

hhh

h

hh

232

6

2

6lim

0==

+=

→h

h

72

7. Definisi. Vektor Gradien f di titik A dinyatakan dengan :

∂∂

∂∂=∆

y

fA

x

fAf ')(

),(),( 0000 yxfuyxu

f =∂∂

8. Dalil. Jika f ada di (x0, y0) maka setiap vektor satuan di XOY berlaku :

'' Ay

fi

x

f

∂∂+

∂∂=

a.

),(

),(

yxf

yxf

∇∇

b. = merupakan arah yg memberikan perub. Yg maksimum

73

Contoh. Tentukan turunan berarah dari fungsi berikut di suatu titik pd arah f(x,y)=exsin y; di A (1,π) dalam arah

=

2

1,

2

1u

Jawab f(x,y)=exsin y ; di A (1,π) ;

=

2

1,

2

1u

yey

fye

u

f xx cos;sin =∂∂=

∂∂

)cos,sin(,),( yeyey

f

x

fyxf xx=

∂∂

∂∂=∇

),0()( eAf −−∇ ),0().()( euAfAu

f −=∇=∂∂

2

1,

2

1

22

1e

74

BAB VIISISTEM KOORDINAT KUTUB

1. Fungsi dalam Sistem Koordinat Kutub. Dalam sistem koordinat kutub, kedudukan suatu titik P dinyatakan dgn sepasang bilangan riil (r,øθ) seperti :

θ A

P(r, θ)r

0

θA

P(r, θ)r

0

Dimana : r; merupakan jarak dari titik P ke O dinyatakan dalam satuan panjang

θ: merupakan sudut antara garis OP dgn sumbu OX dinyatakan dalam radian

75

Contoh. Titik P dgn koordinat kutub digambar sbb

π

6

5,4

A

P

0

π

6

5,4

π6

5

Pasangan lainnya yang juga menyatakan titik yg sama dgn titik P 1

A

P

0

− π

4

7,4

76

2. Grafik lengkungan Fungsi r=f(θ) dlm Sistem Koordinat Kutub

a. Grafik fungsi dlm koordinat kutub berbentuk r=a±b sin θ atau r=a±b cos θ dengan a & b bilangan riil disebut limacon. Jika a=b disebut kardioda.

b. Grafik fungsi dlm koordinat kutub berbentuk r=a cos nθ atau r=a sin nθ dengan a bilangan riil dan n bilangan bulat disebut Rose. Yang mempunyai n daun jika n ganjil dan mempunyai 2n daun jika n genap.

c. Grafik fungsi dgn pers r=c, c bilangan riil merupakan lengkungan dengan pusat 0 dengan jari-jari C

d. Grafik fungsi θ=C, c bilangan riil merupakan suatu setengah garis yang berpangkal di titik 0

77

π/6

π/4

π/3π/2

4π/6

7π/45π/33π/2

2π/3

3π/4

5π/6

θ=π

7π/6

5π/4

4π/3

Banyaknya lingkaran-lingkaran (yang menyatakan tempat kedudukan titik-titik dgn r yang sama r:1,2,3, . . . . . .) disesuaikan dgn kebutuhan.

78

Contoh 3. Gambarkan grafik fungsi r=1-2 cos θ

Jawab. R terbesar r=3 dicapai jika θ=π karena cos (θ)=cos (-θ) maka grafik simetris thd sumbu pol

π/6

π/4

π/3π/22π/3

3π/4

5π/6

θ=0π

θr

π/3

0

2π/3

2

π/2

1

5π/6

1+ 3

π3

0

-1

π/6

1- 3

Grafiknya disebut Limacon

79

1. Definisi. Misal f(x,y) terdefinisi pd suatu daerah tertutup R pd bid XOY seperti pd gbr :

( )kk n=D

BA

Y=f2(x)

Cy=f1(x)

Bagi R menjadi bagian kR dengan luas kA2 untuk k=1 misalkan (k,nk) sembarang titik pada R.

Bentuk ∑=

∆n

kkkk Anf

1

),(

Pandang ∑=→

∆n

kkkk

nAnfit

1

),(lim

∫ ∫R

dAyxf ),(

∫ ∫ y

R

xddyxf ),(

80

2. Metode Integral Berulang. Utk nilai nilai integral lipat dua, digunakan suatu metode yakni metode integral berulang mis R suatu daerah yg sedemikian rupa sehingga setiap garis yang sejajar dengan sumbu y membatasi R di dua titik D

BAY=f2(x)

Cy=f1(x)

Y=f1(x)

xba

c

d

dydxyxfR

),(∫∫

{ dydxyxfxfy

xfy

b

ax

),()(

)(

2

1

∫∫=

==

=

dydxyxfxfy

xfy

b

ax

),()(

)(

2

1

∫∫=

==

=

81

3. Definisi. Misalkan R daerah pd bid XY yg dibatasi oleh grafik Y=Q2(x) & dibawah oleh grafik Y=Q1(x) dimana Q1 & Q2 kontinu pd (a,b) f kontinu pd R maka :

dxdyyxfb

ax

xQ

xQ∫ ∫=

=

)(

)(

2

1

),(

Y=Q2(x)

Y=Q1(x)

x= Ψ1(x)

x= Ψ2(x)

82

Analog dengan definisi diatas :

dydxyxfd

c

y

y∫ ∫

)(

)(

2

1

),(ψ

ψ

Merupakan integral berulang dari gambar b, sehingga dpt :

dxdyyxfd

c

xQ

xQ∫ ∫

)(

)(

2

1

),( atau

∫ ∫d

c

y

y

dxdyyxf)(

)(

2

1

),(ψ

ψ

83

Contoh 1. Nyatakan dalam integral lipat dua luas daerah D yg dibatasi oleh y=x2 dan y=x+2 :

(2,4)(-1,1)D

0

L=∫ ∫−

+2

1

2

2

x

x

dydx atau ∫ ∫−

+2

1

2

2

x

x

dydx

Contoh 2. Diketahui

a. Gambarkan daerah integrasinya

∫ ∫−

+2

1

4

0

2

2

)(x

dydxyx

b. Ubahlah integrasinyac. Hitunglah nilai integral tersebut

84

(1,3)

D

x=1

Jawab

a.

2-2

yx −−= 4 yx −= 4

B. Diintegrasikan lebih dahulu thd x dgn menganggap y konstan (0≤y≤3). Batas-batas x adalah x=1 dan

dgn demikian integral lipat dua berbentuk :

yx −= 4

∫ ∫−

+3

0

4

1

2 )(y

dydxyx

85

c. Nilai integral tersebut adalah :

∫∫ ∫−

+=+− 2

1

22

212

2

1

4

0

2

0

4)()(

2

dxx

yyxdydxyxx

∫ +−+−=2

1

322122 )}816()4({ dxxxxx

9,4)8(2

1

321 =+−= ∫ dxx

86

4. Volume di bawah suatu permukaan Z=f(x,y) Integral Lipat Dua.

∫∫=R

ZdAV Dimana batas integral meliputi daerah R

Contoh. Tentukan volume benda yg dibatasi oleh z=x+2xy ; x+y=1 ; x=0 dan y=0

Jawab

x

y

z

0

Volume benda tsb dpt ditulis sbg integral lipat dua dari fungsi z=x+2y dlm daerah integrasi yg dibatasi oleh x+y=1, x=0, dan y=0

87

dxdyyxdxdyyxxx

+=+= ∫∫∫∫++

)2()2(1

0

1

0

1

0

1

0

2

3)1()1(

0

1( 2

1

0

1

0

21

0

=

+++=+

+= ∫∫∫+

dxxxxdxx

yxyx

Jadi v =

88

BAB IXINTEGRAL LIPAT TIGA

1. Definisi.. Integral diruang dimensi 3 (R3) (susunan X O Y) dinyatakan sebagai integral lipat tiga :

Dimana f adalah fungsi yg kontinu pd suatu interval R dan R3

dvzyxfR

),,(∫∫∫

Jika F(x,y,z)=1 maka dpt diartikan sebagai ukuran vol daerah R

dvzyxfR

),,(∫∫∫

2. Menghitung Integral Lipat Tiga.. Untuk menghitung Integral lipat itga, gunakan metode integral berulang sbb :

89

z=f1(x,y)

z=f2(x,y)

y=g1(x)

y=g2(x)

y

z

0abx

]

= ∫ ∫∫∫∫∫

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1),,(),,(

xg

xg

yxf

yxf

b

aR

dxdydzzyxfdvzyxf

90

Contoh dxdydzxyz

xx

∫∫∫−− 2

0

1

0

1

0

{ } dxdydzxyzxx

= ∫∫∫

−− 2

0

2

0

1

0

dxdyz

xzxyzx

=−=

= ∫∫−1

0

21

0 0

2

2

dxdyxxyx

−= ∫∫−1

0

21

0 2

)2(

dxy

xyxxy

=

−=−=∫ 0

1

4

)2( 221

0

dxxxxxx )613124( 54321

041 +−+−= ∫ 240

13=

91

3. Menghitung Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder.. Sistem koordinat silinder (tabung) dlm ruang dimensi 3 dinyatakan oleh (r,θ,z). Tranformasi untuk koordinat tabung dan koordinat xyz dinyatakan oleh persamaan :

P(x,y,z)

xy

y P x

z

θ

x=r cos θy=r sin θz=z

92

Integral lipat tiga dapat ditransformasikan kedalam koordinat silinder dan dihitung rumus :

∫∫∫∫∫∫ =xPxyz RR

ddrdzrzrfdvxyzfθ

θθ ),,()(

θθθ

θ

θ

θ

β

ddrdzrzrfrh

rh

g

g∫∫∫=

),(2

),(1

)(2

)(12

),,(

Contoh

Tentukan nilai Integral jika daerah pd

oktan pertama yg dibatasi oleh kerucut z2=x2+y2 dan x2+y2=4

dvyxxyR

∫∫∫ + 22

93

Jawab

y

x2+y2=4x

z z2=x2+y2 Dalam koordinat tabung, pers kerucut dinyatakan oleh z=r & pers silinder dpt dinyatakan dgn r=2 Integran berubah menjadi : r(rcosθ) (rsinθ) sehingga didapat :

dvyxxyR

∫∫∫ + 22 θθθπ

ddrdzrr

⋅⋅= ∫∫∫ cossin4

0

2

0

2/

0

θθθπ

ddrr ⋅= ∫∫ cossin52

0

2/

0

3

16cossin

3

32 2/

0

== ∫ θθθπ

d

94

4. Menentukan Titik Pusat Benda dengan Integral Lipat Tiga.. Koordinat titik pusat suatu vol memenuhi hub :),,( zyx

dvxdvxR R

∫∫∫ ∫∫∫= dvydvyR R

∫∫∫ ∫∫∫= dvxdvxR R

∫∫∫ ∫∫∫=

Contoh . Cari koordinat titik pusat volume di dalam silinder r = r2 dan di bawa oleh bidang z = 0

0y x

z θθπ

ddrdzrVrCOS

⋅⋅⋅= ∫∫∫2

0

2

0

2/

0

θθπ

ddrrCOS

⋅⋅= ∫∫ 32

0

2/

0

θθπ

dr0

cos242/

021 ∫=

95

θθπ

ddrrCOS

⋅⋅= ∫∫ 32

0

2/

0

πθθπ

2

3cos8 4

2/

0

=⋅= ∫ d

∫∫∫=R

xdvMyz θθθπ

ddrdzrrrCOS

⋅⋅⋅= ∫∫∫ cos2

2

0

2

0

2/

0

θθθπ

ddrrCOS

⋅⋅= ∫∫ cos2 42

0

2/

0

πθθπ

2cos5

64 62/

0

=⋅= ∫ d

9

10=⇒= zv

MxyZ

96

Karena simetri, 0=y

∫∫∫ ⋅=R

dvzMxz θθπ

ddrdzrzrCOS

⋅⋅⋅⋅= ∫∫∫2

0

2

0

2/

0

2

θθπ

ddrr ⋅= ∫∫ 5cos2

0

2/

0

πθθπ

3

5cos

3

32 62/

0

=⋅= ∫ d

9

10=⇒= zv

MxyZ

Jadi koordinat titik pusat : (4/3,0,10/9)