integral volume benda putar

INTEGRAL

I. PendahuluanPokok bahasan

Volume Benda Putar Panjang Kurva Pada Bidang Luas Permukaan Putar

Tujuan Mengetahui penggunaan integral.

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral.

Menggunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah bidang rata.

Menentukan luas permukaan putar pada kurva.

Menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk volume

benda putar dengan menggunakan Program Maple.

Menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk luas bidang

rata dengan menggunakan Program Maple.

Menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk luas

permukaan putar dengan menggunakan Program Maple.

II. Landasan Teori

A. Pengertian Integral dan Lambangnya.

1. a. Pengintegralan merupakan operasi invers dari pendiferensialan.

b. Suatu fungsi F, sedemikian sehingga F' ( x )=f ( x ) untuk semua x dalam wilayahnya

(rangenya), dinamakan fungsi antiturunan f.

c. Ditulis:

Dalam hal ini C dinamakan konstanta pengintegralan,

f(x) dinamakan integrand dan F' ( x )=f ( x ) dinamakan integral tak tentu. Ada

banyak hasildinamakan integral tak tentu. pengintegralan itu (nilai C dapat dipilih

dari setiap bilangan pengintegralan itu.

nnn

2. Jika f ( x )=xn

B. Integral Tertentu, Luas dan Volum

1. Misalkan fungsi f terdefinisi dalam interval tertutup [a,b] atau1. Integral tertentu f dari a

ke b dilambangkan Integral tertentu f dari a ke b.

3. Luas daerah di bawah kurva

Dengan integral tertentu:

a. = F(b) -F(a)

b. = F(a) F(b)

4. .Luas daerah diantara dua kurva

6.Volume Benda Putar

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

1. V=π∫

c

d

x2 dy

2. V=π∫

c

d

( x12−x11

2 )dy

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar

volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda

putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas

dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume

benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

V=∫a

b

A ( x )dx

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar

terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode

cakram dan kulit tabung.

Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu

putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang

bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang

berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Misal pusat cakram (x0 ,0 )dan jari-jari r=f (x0 ) . Maka luas cakram dinyatakan :

A (x0 )=πf 2 (x0 )Oleh karena itu, volume benda putar :

V=∫a

b

π [ f ( x ) ]2dx

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar

mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

V=∫c

d

π [w ( y ) ]2 dy

Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x )≥0 , y=g ( x )≥0 {f ( x )≥g ( x ) }untuk setiap

x∈ [ a , b ] , x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :

V=∫a

b

π { [ f ( x ) ]2− [g ( x ) ]2}dx

Bila daerah yang dibatasi oleh x=w ( y )≥0 , x=v ( y )≥0 {w ( y )≥v ( y ) } untuk setiap

y∈ [ c , d ] , y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :

V=∫c

d

π { [w ( y ) ]2−[v ( y ) ]2}dx

Contoh :

Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y=x2 dan y

2=8 x diputar

mengelilingi

a. Sumbu X.

b. Sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang [ 0,2 ] √8 x≥x2 . Volume benda putar =

V=π∫0

2

[ (√8 x )2−( x2)2 ]dx=485

π

b. Pada selang [ 0,4 ] ,√ y≥ y2

8 Volume benda putar =

V=π∫0

2 [(√ y )2−( y2

8 )2]dy=48

5π

Contoh :

Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y=2−x2 , y = -x dan

sumbuY bila diputar mengelilingi garis y = -2

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 2,-2 ). Pada selang [ -1,0 ] berlaku 2−x2≥−x .

Jarak kurva y=2−x2 dan y = -x terhadap sumbu putar ( garis y = -2 ) dapat dipandang

sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( 4 - x ) dan ( 2 - x ). Oleh karena itu,

volume benda putar :

V=π∫−1

0

[ ( 4−x2 )2−(2−x )2]dy=365

π

Metode Kulit Tabung

Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang

mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar

yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya

berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih

memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan r2 ,

tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

ΔV =(πr2−πr1)h=2π rh Δr

dengan :r2−r1

2=r (rata−rata, jari− jari ) , r2−r1=Δr

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu

Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x , Δr=Δxdan tinggi tabung h = f(x).

Oleh karena itu volume benda putar =

V=∫a

b

2 π xf (x ) dx

Misal daerah dibatasi oleh kurva y=f ( x ) , y=g ( x ) {f ( x )≥g ( x ) , x∈ [ a ,b ]} , x = a

dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar =

V=∫a

b

2 πx [ f (x )−g (x ) ]dx

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x=w(y) x=0, y = c dan y = d

diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =

V=∫c

d

2 πy [w ( y ) ] dy

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh x=w ( y ) , x=v ( y ) {w ( y )≥v ( y ) , y∈ [ c ,d ]} , y = c

dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar =

V=∫c

d

2 πy [w ( y )−v ( y ) ]dx

Contoh :

Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola

y=2−x2 dan di atas parabola y=x2

diputar mengelilingi sumbu Y.

V=2 π∫0

1

x [ (2−x2)−x2 ] dx=π

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada

selang 0≤ y≤1 dibatasi x=√2− y dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi 1≤ y≤2

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =

V=π∫0

1

(√ y )2dx+π∫1

2

(√2− y )2dy=π

Contoh :

Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y=1−x2 , sumbu X dan

sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab :

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal,

(1−x2 )dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,

volume benda putar :

V=2 π∫−1

0

(1+x ) (1−x2) dx=56

π

DAFTAR PUSTAKAAnonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-

riemann.pdf

Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdfAyres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s

Outline Series Mc Graw-Hill Book Company

Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985 ; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus ; Jakarta ; Penerbit Erlangga

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara

PENERAPAN PADA MAPLE

1. Volume Benda Putar

2. Panjang Kurva Pada Bidang

3. Luas Permukaan Luar

s