bab i pendahuluan - · pdf filed. dua buah garis tegak lurus adalah apabila perpotongan...
Post on 07-Feb-2018
241 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
BAB I PENDAHULUAN
1. LATAR BELAKANG
Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting
dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini
disebabkan karena, matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh
kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis.
Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi
simbol-simbol yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga
belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi dan terkadang
memerlukan waktu yang lama dan butuh kesabaran. Dalam belajar matematika,
mempelajari konsep B yang mendasarkan konsep A, seorang siswa perlu
memahami terlebih dahulu konsep A. tanpa memahami konsep A, tidak mungkin
orang memahami konsep B. ini berarti mempelajari matematika haruslah bertahap
dan berurutan, serta berdasarkan kepada pengalaman belajar yang lalu Sehingga
banyak siswa yang merasa kesulitan bahkan tidak senang belajar matematika.
Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar matematika yang terputus-
putus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses belajar
matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu.
Namun masih banyak diantara siswa kita mengalami kesulitan dalam
belajar matematika, utamanya materi atau soal yang memerlukan penyelesaian
yang rumit dan panjang, bahkan banyak diantara siswa yang terkadang malas
mengerjakan soal yang demikian. Mereka hanya menunggu jawaban dari teman
atau bahkan dari guru. Sikap masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap
2
kesulitan yang mereka alami sangat fatal pengaruhnya dan akibatnya bisa menjadi
anggapan bahwa matematika adalah momok bagi mereka.
Salah satu materi dalam pelajaran matematika yang terkadang tidak
disenangi oleh siswa adalah persamaan garis lurus, mengkhusus pada penentuan
persamaan garis lurus yang salah satu titik atau gradien diketahui. Dalam materi
ini siswa harus memahami beberapa materi yang ada sebelumya seperti gradien
atau kemiringan garis sehingga menimbulkan kesulitan dari siswa.
Mengingat kesulitan yang dialami siswa tersebut maka dipandang perlu
untuk melakukan perhatian yang lebih baik berbagai pihak untuk meningkatkan
mutu hasil belajar matematika. Utamanya dari kalangan pendidik dalam hal ini
seorang guru, karena gurulah yang banyak atau yang paling dekat dengan siswa.
Usaha-usaha yang dilakukan kearah peningkatan hasil belajar diharapkan akan
selalu ditingkatkan. Jangkauannya diperluas dan mencakup sasaran yang lebih
mendasar seperti peningkatan keterampilan matematis, pengembangan
penyelesaian masalah matematika, perbaikan cara belajar matematika, bamyak
guru mulai menggunakan beberapa pendekatan dalam pemecahan soal
matematika agar siswa merasa senang dan mampu menyelesaikan soal yang
diberikan dan lain-lain.
Oleh karena masalah tersebut kami akan mencoba memaparkan salah satu
cara dalam menyelesaikan persamaan garis lurus yang salah satu titiknya
diketahui yakni dengan menggunakan rumus jitu sehingga siswa tidak lagi merasa
kesulitan dalam menyelesaikan materi persamaan garis lurus. Mereka tidak lagi
menganggap matematika sebagai momok atau pelajaran yang menakutkan. Dan
diharapkan dengan cara ini siswa dapat merasa senang belajar matematika.
3
2. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang diatas maka penulis merumuskan
permasalahan yakni “Bagaimana menentukan persamaan garis lurus yang
salah satu titiknya diketahui dan sejajar atau tegak lurus dengan garis linier
yang yang lain?”
3. BATASAN ISTILAH
a. Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ”sama
dengan”
b. Persamaan garis lurus adalah persamaan yang berbentuk Ax + By = C
c. Dua buah garis sejajar adalah apabila jarak kedua garis itu diukur
disembarang titik diperoleh jarak yang sama.
d. Dua buah Garis tegak lurus adalah apabila perpotongan kedua garis itu
memebentuk sugut siku-siku atau 90 derajat.
e. Gradien adalah kemiringan sebuah garis.
4
BAB II PEMBAHASAN
A. Pengertian Pembalejaran Matematika
Secara umum Gagne Dan Briggs yang dikutip oleh Ismail (1998)
mengatakan bahwa pembelajaran sebagai upaya orang yang tujuannnya adalah
membantu orang belajar.dan secara lebih terinci pembelajaran adalah seperangkat
acara peristiwa eksternal yang dirancang untuk mendukung terjadinya beberapa
proses belajar yang sifatnya internal. Corey yang dikutip oleh ismail (1998)
bahwa pembelajaran adalah suatu proses dimana lingkungan seseorang secara
sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut serta dalam kondisi-kondisi khusus
atau menghasilkan respon terhadap situasi tertentu.
Dalam kamus besar bahasa Indonesia kata pembelajaran adalah kata benda
yang diartikan sebagai “proses, cara, menjadikan orang atau makhluk hidup
belajar” kata ini berasal dari kata kerja belajar yang artinya berusaha untuk
memperoleh kepandaian atau ilmu, berubah tingkah laku atau tanggapan yang
disebabkan oleh pengalaman.
Dari pengertian di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada
kegiatan siswa belajar dan bukan pada berpusat pada kegiatan guru mengajar.
Oleh karena itu pada hakikatnya pembelajaran matematika adalah proses yang
sengaja dirancang dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan
memungkinkan seseorang (sipelajar) melaksanakan kegiatan belajar matematika,
dan proses tersebut berpusat pada guru mengajar matematika. Pembelajaran
matematika harus memberikan peluang kepada siswa untuk berusaha dan mencari
pengalaman tentang matematika.
5
B. Pengertian Persamaan Garis Lurus
Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kami
mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus
selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian
berikut. Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan
pasanganberurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut
absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada
bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y).
Pada Gambar di bawah ini terlihat ada 3 buah titik koordinat pada bidang
koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat,
keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.
A (0,1), B (-2,1), C (2,-2)
A B(-2,1) C (2,-2) Setelah kita memahami bagaimana menggambar itik pada bidang
koordinat kartesius, sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang
yang sama.
6
(2,2) Dari penjelasan diatas dapat dibuat pengertian garis lurus adalah kumpulan
titik-titik yang letaknya sejajar. Terlihat pada 3 titik pada gambar di atas yakni
(0,0), (1,1) dan (2,2)
C. Menggambat Persamaan Garis Lurus Apa yang kita ketahui tentang persamaan garis lurus? Pesamaan garis
lurus adalah suatu persamaan ang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat
kartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar garis lurus
adalah menentukan nilai x dan y secara acak. Hanya dibutuhkan minimal dua titik
untuk menggambar garis lurus. Misalkan kita akan menggambat garis x + y = 4.
Langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan nilai x dan y yang
memenuhi persamaan x + y = 4.n Misalkan
x = 0 maka 0 + y = 4 maka y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0,4).
x = 3 maka 3 + y = 4 maka y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3,1).
Kemudian dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus sebagai
berikut :
o (3,1)
7
D. Pengertian Gradien
Pernahkah kita mendaki gunung? Jika ya, kita pasti akan menyusuri lereng
gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah
yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis
yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut
gradien. Secara matematika Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan
kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan
komponen x.Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan
garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis
yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan
titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
1. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan
melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai
berikut.
Gradien = absis
ordinat
m = xy
maka, y = mx
Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama
dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat,
persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx. Untuk
lebih jelasnya, pelajari lah Contoh berikut.
8
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. y = -2x b. y = 3x c. 4x – 6y = 0 Jawab : a. Persamaan garis y = -2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = -2.
b. Persamaan garis y = 3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 3.
c. Persamaan garis 4x-6y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga -6y = -4x maka y = x64
sehingga diperoleh m = 64
2. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx,
perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan
nilai konstanta di depan variabel x. Untuk lebih jelasnya, mari kitaperhatikan
contoh berikut
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
a. y = 4x + 6
b. y = –5x – 8
c. 2y = x + 12
Jawab :
a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi,nilai m =4.
b.Persamaan garis y = –5x –8sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilaim=–5.
c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
2y = x +12
9
y = 212+x
62+=
xy
Jadi nilai m = 1/2
3. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0 Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat
ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke
dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m
di depan variabel x. Perhatikan Contoh berikut :
Tentukanlah gradien dari persamaan garis x + 2y + 6 = 0 Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
x + 2y + 6 = 0
2y = –x –6
26--
=x
y sehingga diperoleh 21
-=m
4. Sifat-sifat gradien
· Jika garis sejajar dengan sumbu-x maka nilai gradiennya adalah nol
· Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka nilai garis tersebut tidak memiliki
gradien.
· Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
· Hasil kali antara dua gradien dari garis yang yang saling tegak lurus adalah
-1.
10
D. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (x1, y1) dengan Gradien m
Misalkan suatu garis mempunyai gradien m dan melalui sebuah titik (x1, y1).
Bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c.
Untuk menentukan persamaan garis tersebut perhatikan langkah – langkah
berikut.
(a) Substitusi titik (x1, y1) ke persamaan y = mx + c.
y = mx + c
y1 = mx1 + c
c = y1 – mx1
(b) Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c.
y = mx + c
y = mx + y1 – mx1
y – y1 = mx – mx1
y – y1 = m(x – x1)
Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah
y – y1 = m(x – x1).
E. Menentukan persamaan garis yang melalui dua titik
o y – y1 = m(x – x1). Adalah rumus untuk persamaan garis yang melalui
satu titik koordinat.
o 12
12
xx
yym
--
= adalah rumus gradient dari dua titik koodinat.
o Dari kedua rumus tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
y – y1 = m(x – x1)
11
)()(
))(())((
))((
)(
12
1
12
1
1212
112
12
1
12
1121
112
121
xxxx
yyyy
xxyyxxyy
yyyy
xxxxyy
yy
xxxx
yyyy
--
=--
----
=--
---
=-
---
=-
Sehingga diperoleh rumus persamaan garis melalui dua titik adalah
)()(
12
1
12
1
xxxx
yyyy
--
=--
F. Menyelesaikan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat.
Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan memiliki
gradien -2
Penyelesaian :
Pada pemaparan di atas kami telah menuliskan rumus persamaan garis melalui
satu titik dan gradient m yakni y – y1 = m(x – x1) sehingga diperoleh
y – 5 = -2 (x - 3)
y – 5 = -2x + 6
y = -2x + 6 + 5
y = -2x + 11 atau 2x + y = 11
G. Menyelesaikan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik
Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,6) dan (4,-2)
Penyelesaian : Cara 1
Pada pemaparan di atas kami telah menuliskan rumus persamaan garis melalui
dua titik yakni )(
)(
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
--
=--
12
sehingga diperoleh
(2,6) maka x1 = 2 dan y1 = 6
(4,-2) maka x1 = 4 dan y1 = -2
Persamaannya adalah
)(
)(
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
--
=--
01440864
846
)2(8)6(22
286
)24()2(
626
=-+=--+
+-=---=-
-=
--
--
=---
xyxy
xy
xy
xy
xy
Cara 2
428
2462
12
12
-=
-=
---
=
--
=xx
yym
Garis melaui (2,6) dengan gradien -4 adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = -4 (x - 2)
y – 6 = -4x + 8
y + 4x – 6 - 8 = 0
y + 4x – 14 = 0
13
H. Menyelesaikan Persamaan Garis yang melalui satu titik dan sejajar
dengan garis yang lain.
Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan sejajar
terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….
Penyelesaian :
3x + 5y = 15
5315
3155
xy
xy
-=
-=
sehingga diperoleh 53-
=m
Garis sejajar maka m1 = m2 = 53-
Persamaan garis yang melalui (2,3) dengan gradien m2 = 53-
adalah
3x – (-5y) = 3x1 – (-5y1)
3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3
3x + 5y = 21
I. Menyelesaikan Persamaan Garis yang sejajar dengan garis lurus yang
lain
Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan tegak
lurus terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….
Penyelesaian :
3x + 5y = 15
14
5315
3155
xy
xy
-=
-=
sehingga diperoleh 53-
=m
Garis tegak lurus maka m1 = 2
1m-
= 35
Persamaan garis yang melalui (2,3) dengan gradien m2 = 35
adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 35 (x - 2)
y – 3 = 3
105 -x
3y + 9 = 5x - 10
3y - 5x + 9 + 10 = 0
3y - 5x + 19 = 0
J. Menyelesaikan Persamaan Garis dengan Menggunakan Rumus Jitu
Langkah Jitu untuk Menentukan Persamaan Garis
· Persamaan garis melalui (x1,y1 ) bergradien ba
m =
ax–by = a . x1–b. y1
· Persamaan garis melalui dua titik yakni (x1,y1) dan (x2,y2)
Kedua titik disusun ke bawah qdc
bap ú
û
ùêë
é
· Persamaan Garis yang melalui satu titik (x1,y1) dan sejajar dengan garis
ax + by = c
15
ax + by = a . x1 + b. y1
· Persamaan Garis yang melalui satu titik (x1,y1) dan tegak lurus dengan
garis ax + by = c
bx - ay = b . x1 + a. y1
K. Menyelesaikan contoh soal dengan Menggunakan Langkah Jitu
Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan memiliki
gradien -2
Penyelesaian :
a = -2, b= 1, x1= 3 dan x2 = 5
Menggunakan rumus jitu : ax–by = a . x1–b. y1
-2x – y = -2 . 3 – 1. 5
-2x – y = -6 – 5
-2x – y = -11
2x + y = 11
Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,6) dan (4,-2)
Penyelesaian :
a = 2, b = 6, c = 4, d = -2 , p = 4 x 6 = 24, q = 2 x -2 = -4
02882
)4(2482
62
24
=-+--+-=
úû
ùêë
é -
xy
xy
Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan sejajar
terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….
Penyelesaian :
Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 3
16
Menggunakan persamaan jitu : ax + by = a . x1 + b . y1
3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3
3x + 5y = 6 + 15
3x + 5y = 21
Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan tegak
lurus terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….
Penyelesaian :
Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 3
Menggunakan persamaan jitu : bx - ay = b . x1 + a . y1
5x - 3y = 5 . 2 + 3 . 3
5x - 3y = 10 + 9
5x - 3y = 19
17
BAB III PENUTUP
1. Kesimpulan
Rumus Jitu untuk menentukan persamaan garis lurus
· Persamaan garis melalui titik (x1,y1) bergradien m ba
= adalah
ax–by = a . x1–b. y1.
· Persamaan garis melalui titik (a,b) dan (c,d) adalah
qdc
bap ú
û
ùêë
édimana p = a x d dan q = b x c
· Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan sejajar dengan garis ax + by = c.
ax + by = a . x1 + b . y1
· Persamaan garis melalui titik(x1,y1)dan tegak lurus dengan garis ax+by= c.
bx - ay = b . x1 + a . y1
2. Saran
Kami dari penulis selalu menyarankan kepada semua guru agar kiranya selalu
membantu siswa untuk berbuat kreatif dalam meyelesaikan soal-soal yang
ada. Sebaiknya mereka tidak hanya memepelajari rumus atau konsep yang ada
pada buku yang mereka miliki, namun mereka diberi keleluasaan untuk
menciptakan atau membuat ide dalam menemukan cara lain dalam
menyelesaikan tugas yang ia peroleh.
Kami juga akan selalu terbuka kepada seluruh pembaca makalah ini agar
selalu memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan makalah ini agar
kelak makalah ini mendekati sebuah kesempurnaan.
18
19
Daftar Pustaka
Anwar. 2008. Konsep Jitu Matematika SMP. Jakarta : Wahyu media
Budi rahayu. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika. Jakarta :
Pusat Perbukuan DEPDIKNAS
Wagiyo. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan
DEPDIKNAS
20
21
Tugas Kelompok Mata Kuliah : Problematika Pendidikan Matematika Dosen Pengajar : DRS. Ahmad Thalib, M.Si.
RUMUS JITU MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS
DISUSUN OLEH : EDIAMAN AR
WAHIDA JAMALUDDIN
PROGRAM PASCASARJANA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2008
22
top related