a home base to excellence - ocw.upj.ac.id

a home base to excellence

Pengantar Kalkulus

Pertemuan - 1

Mata Kuliah : Kalkulus

Kode : TSP – 102

SKS : 3 SKS


• TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus

• TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real

Mahasiswa mampu menyelesaikan pertaksamaan

Mahasiswa mampu membuat grafik persamaan

Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi

Mahasiswa mampu menentukan daerah definisi fungsi

Mahasiswa mampu menggambarkan fungsi sederhana


• Sub Pokok Bahasan :

Sistem Bilangan Real

Sistem Koordinat dan Grafik Persamaan

Fungsi

• Text Book :

Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon S. (2007). Calculus. 9th edition.

Pearson. ISBN : 9780131293311

Thomas, G.B., Ross L. Finney (1996). Calculus and Analytic Geometry.

9th edition. Addison-Wesley Publishing Company.


N : Bilangan Asli

Z : Bilangan Bulat

Q : Bilangan Rasional

R : Bilangan Real

N : , , ,…….

Z : ….., -2, - , , , , …..

Q :

0,,, bZbab

aq

IrasionalQR :

Contoh bilangan irasional :

√2, √3, 3√5, p




Sifat – Sifat Bilangan Real

1. Trichotomy. Jika x dan y adalah bilangan, maka berlaku salah satu dari hubungan : x < y, x > y atau x = y

2. Transitivity. Jika x < y dan y < z, maka x < z

3. Addition. Jika x < y, maka x + z < y + z

4. Multiplication. Jika z > 0, x < y, maka xz < yz. Dan bila z < 0, x < y, maka xz > yz


Pertaksamaan

• Pertaksamaan a < x < b, yang berasal dari dua pertaksamaan

a < x dan x < b, mendeskripsikan suatu interval terbuka yang

terdiri dari semua bilangan antara a dan b, namun tidak

termasuk titik akhir a dan b. Interval ini dinotasikan (a,b)

• Pertaksamaan a < x < b, mendeskripsikan interval tertutup,

yang dapat dinotasikan [a,b]


Pertaksamaan

Menyelesaikan suatu pertaksamaan artinya mencari suatu Himpunan

Penyelesaian yang berisi bilangan-bilangan yang memenuhi pertaksamaan

tersebut


Pertaksamaan

Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan

Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan

• 2x – 7 < 4x – 2

• − < 2x + 6 < 4

• x2 – x < 6

• 3x2 – x – 2 > 0

• 0 <

• (x+1)(x – 1)2(x-3) < 0

2

1

x

x


Pertaksamaan

Nilai absolut dinotasikan dengan │x│, didefinisikan sebagai : │x│ = x jika x > 0

│x│ = - x jika x < 0

Sifat – sifat nilai absolut :

1. │ab│= │a│ │b│

2. │a+b│< │a│+│b│

3. │a-b│> ││a│-│b││

4. │a/b│ = │a│/│b│

5. │x│< a ↔ -a < x < a

6. │x│> a ↔ x < - a atau x > a


Pertaksamaan

Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan

Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan

1. │x - │ <

2. │ x - │> 1

3. Untuk e (epsilon) bilangan positif, tunjukkan bahwa :

│x- │< e/ ↔ │ x- │< e

4. Misalkan e adalah bilangan positif. Temukan sebuah bilangan

positif d sehingga :

│x- │<d →│6x-18│<e Problem Set 0.2


Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Sistem koordinat persegi panjang terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu horizontal x, dan sumbu vertikal y, yang berpotongan di suatu titik asal O.

• Sumbu x dan y membagi bidang menjadi 4 kuadran (I, II, III dan IV)

• Tiap titik P dalam sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai sepasang angka (a,b) yang disebut dengan koordinat Cartesian



• Jarak antara titik P(x1,y1) dan titik

Q (x2,y2) dapat dihitung dengan

formula jarak :

Hitung jarak antara titik P dan Q

berikut ini :

• P(-2,3) dan Q(4,-1)

• P(√2,√3) dan Q(p,p)

2

12

2

12),( yyxxQPd



• Sekumpulan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama

terhadap suatu titik tetap, dinamakan dengan lingkaran.

• Secara umum persamaan lingkaran yang berpusat di (h,k)

dan memiliki radius r, dapat dinyatakan dalam bentuk :

222rkyhx

• Tuliskan persamaan lingkaran yang berpusat di

(1,-5) dan memiliki radius 5

• Tunjukkan bahwa persamaan berikut adalah

persamaan lingkaran, dan tentukan koordinat

pusat dan radiusnya

x2 – 2x + y2 + 6y = -6



• Titik tengah antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dapat dicari

menggunakan formula titik tengah :

• Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik (1,3) dan

(7,11)

• Garis lurus melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), memiliki

kemiringan/slope, m yang besarnya :

2,

2

2121 yyxx

12

12

xx

yym



• Garis lurus yang melalui (x1,y1) dan memiliki slope m, dapat

dituliskan persamaannya menjadi :

• Bentuk lain persamaan garis :

• Dua buah garis memiliki kemiringan m1 dan m2, maka dua

buah garis tersebut akan :

• Sejajar, apabila m1 = m2

• Tegak lurus bila m1.m2 = -1

11 xxmyy

kx

ky

bmxy

0 CByAx



• Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1)

• Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan sejajar

dengan garis 3x – 5y = 11

• Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong antara

3x+4y = 8 dan 6x – 10y = 7, dan tegak lurus garis yang

pertama

Problem Set 0.3


Grafik Persamaan

• Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari

titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi

persamaan tersebut

• Langkah dalam mebuat grafik persamaan :

• Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan

• Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat

• Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan

suatu kurva mulus

• Gambarkan grafik dari y = x2 – 3

• Gambarkan grafik dari y = x3


Grafik Persamaan

• Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu koordinat, memiliki beberapa peranan penting

• Sebagai contoh, persamaan y = x3-2x2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3)

• Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x.

• Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6) merupakan titik potong grafik dengan sumbu y.

• Tentukan semua titik potong grafik y2 – x + y – 6 = 0

• Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola

y=2x2-4x-2, gambarkan sketsa grafiknya.


Grafik Persamaan

Problem Set 0.4


Fungsi dan Grafiknya

• Sebuah fungsi f adalah sebuah aturan korespondensi yang

menghubungkan tiap obyek x dari suatu himpunan (yang

disebut domain) dengan suatu nilai f(x) dari himpunan lain

(yang disebut dengan range)



• Huruf tunggal seperti f (atau g atau F) digunakan untuk

menamai suatu fungsi.

• Dan biasa dinotasikan menjadi f(x) atau g(x) atau F(x)

• Contoh : jika f(x) = x2 – 2x, maka tentukan :

• f(4)

• f(4+h)

• f(4+h) – f(4)

• [f(4+h) – f(4)]/h



• Untuk menentukan suatu fungsi secara lengkap, maka harus ditentukan domain dari fungsi tersebut.

• Sebagai contoh jika F adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(x) = x2 + 4, dengan domain {-1,0,1,2,3}, maka range fungsinya {1,2,5,10}.

• Jika domain tidak disertakan, maka dianggap bahwa domain fungsi merupakan himpunan terbesar dari bilangan real yang membuat fungsi tersebut menjadi benar. Domain demikian dinamakan domain asli (natural domain)

• Bilangan yang mengakibatkan fungsi memiliki penyebut = 0 atau akar negatif, harus dikeluarkan dari domain.



• Tentukan domain asli dari fungsi berikut :

• f(x) = 1/(x-3)

• g(t) = (9 – t2)1/2

• h(w) = (9 – w2) –½

• Misalkan V(x,d) menunjukkan volume batang silinder dengan

panjang x dan diameter d, tentukan :

• Formula untuk V(x,d)

• Domain dan range dari V

• V(4, 0.1)



• Bila domain dan range suatu fungsi merupakan himpunan

bilangan real, maka fungsi dapat digambarkan grafiknya pada

sistem koordinat.

• Grafik fungsi f, secara sederhana merupakan grafik dari

persamaan y = f(x)

Buat sket grafik fungsi berikut :

• f(x) = x2 – 2

• g(x) = 2/(x – 1)



• Apabila f(-x) = f(x), fungsi tersebut dinamakan fungsi genap

• Jika f(-x) = - f(x), fungsi tersebut dinamakan fungsi ganjil

Periksa apakah fungsi berikut merupakan fungsi ganjil atau

genap :

43

324

3

xx

xxxf



• Fungsi nilai absolut

• Fungsi bilangan bulat terbesar (fungsi tangga) ‖x‖ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Contoh :

│-3,1│=3,1

‖-3,1‖ = - 4

‖3,1‖ = 3

Problem Set 0.5

0,,

0,,

xjikax

xjikaxx


Operasi Fungsi

• Misalkan fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut :

f(x) = (x-3)/2 g(x) = √x

• Maka :


Operasi Fungsi

• Komposisi fungsi :

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

• Misalkan fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut :

f(x) = (x-3)/2 g(x) = √x

• Maka :

Problem Set 0.6

2

3

2

3

2

3)(

xxfxgfxgf

xxgxfgxfg


Fungsi Trigonometri

Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu

bilang positif p, sedemikian hingga :

f(x + p) = f(x)

Untuk semua bilangan real x dalam domain f.

Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode

fungsi.

Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p.

180o = p radians ≈ , 9 7 radians


Fungsi Trigonometri

a home base to excellence - ocw.upj.ac.id

Documents