Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

KONVERGEN MUTLAK DAN BERSYARAT

Deret ukk=

∞∑

1 disebut konvergen mutlak bila deret uk

k=

∞∑

1 konvergen. Bila

deret konvergen mutlak maka konvergen. Sedang deret ukk=

∞∑

1 disebut konvergen

bersyarat bila deret ukk=

∞∑

1 konvergen tetapi deret uk

k=

∞∑

1 divergen.

Pengujian kekonvergenan ( mutlak ) deret ukk=

∞∑

1 dilakukan dengan tes ratio.

Misal ukk=

∞∑

1 dengan uk ≠ 0 dan lim

k

k

k

uu

r→∞

+ =1 . Maka

(i) Bila r < 1 maka deret ukk=

∞∑

1konvergen absolut

(ii) Bila r > 1 maka deret ukk=

∞∑

1divergen

(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan Contoh : Selidiki deret berikut konvergen mutlak / bersyarat / divergen :

a. ( )−

=

∞∑ 1

51

kk

k

k

b. ( )−

=

∞∑ 4

21

k

k k

c. ( )−

=

∞∑ 1

1

k

k k

Jawab :

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

a. Misal ( )uk

kk

k= −

1

5. Maka lim lim

k

k

k k k

kuu

kk→∞

+→∞ +=

+=1

11

5

5 15

. Jadi deret

( )−

=

∞∑ 1

51

kk

k

k konvergen mutlak.

b. Misal ( )

uk

k

k=

− 42 . Maka

( )( ) ( )

lim limk

k

k k

k

kuu k

k

→∞+

→∞

+=

−

+ −=1

1

2

24

1 44 . Jadi deret

( )−

=

∞∑ 4

21

k

k k divergen.

c. Bila dilakukan pengujian di atas maka didapatkan r = 1 ( gagal ). Dari contoh

sebelumnya, deret ( )−

=

∞∑ 1

1

k

k k konvergen tetapi deret

( )−=

=

∞

=

∞∑ ∑1 1

1 1

k

k kk k divergen

( deret harmonis ). Jadi deret ( )−

=

∞∑ 1

1

k

k k konvergen bersyarat.

Soal Latihan ( Nomor 1 sd 6 ) Selidiki kekonvergenan ( mutlak, bersyarat dan divergen ) deret berikut

1. ( )−=

∞∑ 1

1

k

k

kk

ln

2. ( )− +

=

∞∑ 1

21

1

kk

k k !

3. ( )− +

=

∞∑ 1 1

1

kk

k

kk!

4. ( )− +

=

∞∑ 1 1

14

3

k

k k

5. ( )−=

∞∑ 1

51

kk

k

k

6. cos

!k

kk

π

=

∞∑

1