2. 5.2. 5.2. 5.2. 5. Menentukan Menentukan Menentukan Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan LingkaranPersamaan LingkaranPersamaan LingkaranPersamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran Bentuk Umum (1 2 3)4 5 (6 2 7)4 8 94 14 5 64 5 :1 5 ;6 5 < 8 0 dibagi (22) Pusat Jari-jari Pusat (3, 7) 9 ?2 @

4 :, 2 @4 ;A

Jumlah kuadrat pusat dikurangi < Jari-jari 9 8 B?2 @

4 :A4 5 ?2 @4 ;A4 2 <

Persamaan Garis Singgung (PGS)Persamaan Garis Singgung (PGS)Persamaan Garis Singgung (PGS)Persamaan Garis Singgung (PGS) LingkaranLingkaranLingkaranLingkaran PGS Lingkaran PGS Lingkaran di titik (1@, 6@) pada lingkaran dengan gradien D Pangkat duaPangkat duaPangkat duaPangkat dua menjadi perkalian dua faktorperkalian dua faktorperkalian dua faktorperkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus F 8 GH 5 I Pangkat satuPangkat satuPangkat satuPangkat satu menjadi setengah penjumlahansetengah penjumlahansetengah penjumlahansetengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!

14 KLMNOPL QRRRRRRRS 1@1(1 2 3)4 KLMNOPL QRRRRRRRS (1@ 2 3)(1 2 3) 1 KLMNOPL QRRRRRRRS @

4 (1@ 5 1)

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien dua PGS Lingkaran bergradien dua PGS Lingkaran bergradien dua PGS Lingkaran bergradien G,,,, maka PGS tersebut adalah F 8 GH T I dimana I 8 UVW 5 GX PGS lingkaran di titik (1@, 6@) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 9 1@1 5 6@6 8 94 PGS dengan gradien D dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 9 6 8 D1 T 9√1 5 D4 PGS lingkaran di titik (1@, 6@) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 9 (1@ 2 3)(1 2 3) 5 (6@ 2 7)(6 2 7) 8 94 PGS dengan gradien D dari lingkaran pusat (3, 7) dan jari-jari 9 (6 2 7) 8 D(1 2 3) T 9√1 5 D4 PGS lingkaran di titik (1@, 6@) pada lingkaran dengan bentuk umum 14 5 64 5 :1 5 ;6 5 < 8 0 1@1 5 6@6 5 Z

4 (1@ 5 1) 5 [4 (6@ 5 6) 5 < 8 0

Catatan Tambahan:Catatan Tambahan:Catatan Tambahan:Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (1@, 6@) ke garis 31 5 76 5 ] 8 0: ^ 8 _31@ 5 76@ 5 ]

√34 5 74 _ TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (1@, 6@) jari-jari 9 yang sejajar dengan garis 31 5 76 5 ] 8 0:

31 5 76 8 31@ 5 76@ T 9V34 5 74 PGS lingkaran pusat (1@, 6@) jari-jari 9 yang tegak lurus dengan garis 31 5 76 5 ] 8 0: 71 2 36 8 71@ 2 36@ T 9√34 5 74

PGS Lingkaran di titik (1@, 6@) yang berada di luar lingkaran Titik Singgung (3, 7) Diperoleh PGS 5 Persamaan Lingkaran (dalam variabel 3, 7). Substitusi titik (1@, 6@) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran Diperoleh dua titik Singgung (3@, 7@) dan (34, 74) Substitusikan ke PGS di langkah kedua Selesai TRIK TRIK TRIK TRIK SUPERKILAT:SUPERKILAT:SUPERKILAT:SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.

(1@, 6@)

(3, 7)

(0, 0)

Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal:::: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran 14 5 64 8 10! Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik Misal titik Misal titik Misal titik singgung tersebut singgung tersebut singgung tersebut singgung tersebut (a, b).... Artinya titik (3, 7)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran. Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel a dan dan dan dan b. Perhatikan bahwa (3, 7) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (3, 7) adalah aH 5 bF 8 Wd Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (3, 7) adalah aX 5 bX 8 Wd Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan substitusikan substitusikan substitusikan (e, e) ke PGSke PGSke PGSke PGS akan diperoleh: 31 5 76 8 10 f 53 5 57 8 10f 3 5 7 8 2f b 8 2 2 3 Dari persamaan lingkaran 34 5 74 8 10 dan 7 8 2 2 3, substitusikan substitusikan substitusikan substitusikan b 8 X 2 a ke persamaan lingkaranke persamaan lingkaranke persamaan lingkaranke persamaan lingkaran diperoleh: 34 5 (2 2 3)4 8 10

f 34 5 (4 2 43 5 34) 8 10f 234 2 43 5 4 8 10f 234 2 43 5 4 2 10 8 0f 234 2 43 2 6 8 0f 34 2 23 2 3 8 0f (3 5 1)(3 2 3) 8 0f 3 8 21 atau 3 8 3

Dari 3 8 21 atau 3 8 3 akan diperoleh nilai 7, yaitu: 3 8 21 f 7 8 2 2 3 8 2 5 1 8 3 3 8 3 f 7 8 2 2 3 8 2 2 3 8 21 Jadi dua titik singgung tersebut adalah Jadi dua titik singgung tersebut adalah Jadi dua titik singgung tersebut adalah Jadi dua titik singgung tersebut adalah (2W, i) dan dan dan dan (i, 2W).... Sehingga PGS lingkaranPGS lingkaranPGS lingkaranPGS lingkaran pada titik pada titik pada titik pada titik (2W, i) dan dan dan dan (i, 2W) adalah: 21 5 36 8 10 dan 31 2 6 8 10. TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT: Lingkaran 14 5 64 8 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari 9 8 √10. Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus:

6 8 D1 T 9V1 5 D4j 5 8 D(5) T √10V1 5 D4f 5 2 5D 8 T√10V1 5 D4 (kuadratkan kedua ruas)f 25 2 50D 5 25D4 8 10 5 10D4f 15D4 2 50D 5 15 8 0f 3D4 2 10D 5 3 8 0f (3D 2 1)(D 2 3) 8 0k D 8 1

3 atau D 8 3

Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien D 8 @

l 6 2 6@ 8 D(1 2 1@)6 2 5 8 1

3 (1 2 5)21 5 3F 8 10

Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien D 8 3 6 2 6@ 8 D(1 2 1@)

6 2 5 8 3(1 2 5)iH 2 F 8 10

(5, 5)

(3, 7)

(0, 0)

Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran: Menentukan pusat dan jariMenentukan pusat dan jariMenentukan pusat dan jariMenentukan pusat dan jari----jari lingkaranjari lingkaranjari lingkaranjari lingkaran Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal! Contoh: 1. Diberikan persamaan lingkaran 14 5 64 8 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian: (1 2 0)4 5 (6 2 0)4 8 25 Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.

2. Diberikan persamaan lingkaran (1 2 3)4 5 (6 2 4)4 8 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: (1 2 3)4 5 (6 5 4)4 8 25 Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.

3. Diberikan persamaan lingkaran 14 5 64 2 21 5 41 2 20 8 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: 14 5 64 2 21 5 41 2 20 8 0 dibagi (-2) Maka pusat (1, 22), dan jari-jari adalah 9 8 V(1)4 5 (22)4 2 (220)

94 8 25 j 9 8 5

94 8 25 j 9 8 5

1 2 2

Menentukan persamaan lingkaranMenentukan persamaan lingkaranMenentukan persamaan lingkaranMenentukan persamaan lingkaran Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran. Misal diketahui pusat lingkaran (3, 7) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka 9 8 |7|. Misal diketahui pusat lingkaran (3, 7) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka 9 8 |3|. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung. Contoh: 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, 21) dan jari-jari 3 adalah ….

Penyelesaian: Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 7) dengan jari-jari 9: (1 2 3)4 5 (6 2 7)4 8 94(1 2 5)4 5 (6 5 1)4 8 9 atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran: (1 2 5)4 5 (6 5 1)4 8 9 j 14 2 101 5 25 5 64 5 26 5 1 2 9 8 0

f 14 5 64 2 101 5 26 5 17 8 0

2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah …. Penyelesaian:

(1 2 3)4 5 (6 2 2)4 8 24j 14 5 64 2 61 2 46 5 9 8 0

3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (21, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian:

(1 5 1)4 5 (6 2 2)4 8 (21)4j 14 5 64 5 21 2 46 5 4 8 0

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 31 2 46 2 2 8 0 adalah …. Penyelesaian: Pusat (1@, 6@) 8 (1, 4) Garis 31 2 46 2 2 8 0, dengan 3 8 3, 7 8 24, dan ] 8 22. Persamaan lingkaran dengan pusat (1@, 6@) menyinggung garis 31 5 76 5 ] 8 0 adalah: (1 2 3)4 5 (6 2 7)4 8 rNstuvwtux

√Nyuvy z4 j (1 2 1)4 5 (6 2 4)4 8 {3(1) 2 4(4) 2 2

√34 5 44 |4

f 14 2 21 5 1 5 64 2 86 5 16 8 9f 14 5 64 2 21 2 86 5 8 8 0

Menentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.n pada titik yang terletak di lingkaran.n pada titik yang terletak di lingkaran.n pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya. Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan. Contoh: 1. Persamaan garis singgung lingkaran 14 5 64 8 25 di titik (4, 23) adalah ….

Penyelesaian: 1@ 8 4 dan 6@ 8 23 Ingat, ganti 14 menjadi 1@1, dan 1 menjadi ?stus

4 A. 14 5 64 8 25j 1@1 5 6@6 8 25

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 41 2 36 8 25

2. Persamaan garis singgung lingkaran (1 2 1)4 5 (6 2 4)4 8 25 di titik (22, 0) adalah …. Penyelesaian: 1@ 8 22 dan 6@ 8 0 Ingat, ganti 14 menjadi 1@1, dan 1 menjadi ?stus

4 A. (1 2 1)4 5 (6 2 4)4 8 25

j (1@ 2 1)(1 2 1) 5 (6@ 2 4)(6 2 4) 8 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

(22 2 1)(1 2 1) 5 (0 2 4)(6 2 4) 8 25j (23)(1 2 1) 5 (24)(6 2 4) 8 25f 231 2 46 2 6 8 0

3. Persamaan garis singgung lingkaran 14 5 64 2 61 5 46 2 12 8 0 di titik (7, 1) adalah …. Penyelesaian: 1@ 8 7 dan 6@ 8 1 Ingat, ganti 14 menjadi 1@1, dan 1 menjadi ?stus

4 A. 14 5 64 2 6 1 5 4 6 2 12 8 0

j 1@1 5 6@6 2 6 ~1@ 5 142 � 5 4 ~6@ 5 62 � 2 12 8 0

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 71 5 6 2 3(7 5 1) 5 2(1 5 6) 2 12 8 0j 41 5 36 2 31 8 0

Menentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.n pada titik yang terletak di luar lingkaran.n pada titik yang terletak di luar lingkaran.n pada titik yang terletak di luar lingkaran. 1. Persamaan garis singgung lingkaran 14 5 64 8 9 di titik (1, 3) adalah ….

Penyelesaian: TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT: Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 9 8 3. Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?). 14 5 64 8 9 j (1)4 5 (3)4 8 10 � 9 (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut:

6 8 D1 T 9V1 5 D4j 3 8 D(1) T 3V1 5 D4f 3 2 D 8 T3V1 5 D4 (kuadratkan kedua ruas)f 9 2 6D 5 D4 8 9 5 9D4f 8D4 5 6D 8 0f 2D(4D 5 3) 8 0k D 8 0 atau D 8 2 3

4

Melalui (1 ,3) dan gradien D 8 0 6 2 6@ 8 D(1 2 1@)6 2 3 8 0(1 2 1)6 8 3

Melalui (1 ,3) dan gradien D 8 2 l�

6 2 6@ 8 D(1 2 1@)6 2 3 8 2 3

4 (1 2 1)46 2 12 8 231 5 331 5 46 8 15

Menentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaraMenentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.n yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.n yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.n yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis. 1. Persamaan garis singgung lingkaran (1 2 3)4 5 (6 5 5)4 8 80 yang sejajar dengan garis 6 2 21 5 5 8 0 adalah ….

Penyelesaian: Trik SuperkilatTrik SuperkilatTrik SuperkilatTrik Superkilat:::: Sesuaikan sejajar apa nggak? Masukkan substitusikan pusat T Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien Lingkaran pusat (3, 25) dan jari-jari 9 8 √80 PGS yang sejajar 6 2 21 5 5 8 0 adalah 6 2 21 juga!!!

6 2 21 8 (25) 2 2(3) T √80 V14 5 (22)4j 6 2 21 8 211 T 20f 6 8 21 2 11 T 20

2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 14 5 64 2 41 2 86 5 15 8 0 yang tegak lurus garis 1 5 26 8 6 adalah …. Penyelesaian: Trik Superkilat:Trik Superkilat:Trik Superkilat:Trik Superkilat: Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari 9 8 √5 PGS yang sejajar 1 5 26 8 6 adalah 1 5 26 harus diubah menjadi 21 2 6 !!! 21 2 6 8 2(2) 2 (4) T √5 V(2)4 5 (1)4

j 21 2 6 8 0 T 5f 21 2 6 8 5 dan 21 2 6 8 25

31 5 76 8 31@ 5 76@ T 9V34 5 74

PGS lingkaran pusat (1@, 6@) jari-jari 9 yang sejajar dengan garis 31 5 76 5 ] 8 0:

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Lingkaran L ( ) ( ) 931

22=−++≡ yx memotong garis .3=y Garis singgung lingkaran yang melalui titik

potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. 2=x dan 4−=x

B. 2=x dan 2−=x

C. 2−=x dan 4=x

D. 2−=x dan 4−=x

E. 8=x dan 10−=x

2. Lingkaran L ( ) ( ) 93122

=−++≡ yx memotong garis .3=y Garis singgung lingkaran yang melalui titik

potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. 2=x dan 4−=x

B. 2=x dan 2−=x

C. 2−=x dan 4=x

D. 2−=x dan 4−=x

E. 8=x dan 10−=x

Memotong garis 6 8 3 6 8 3 j (1 5 1)4 5 (3 2 3)4 8 9f (1 5 1)4 8 9f 1 5 1 8 T3f 1 5 1 8 23 atau 1 5 1 8 3f 1@ 8 24 ��14 8 2

Jadi titik potongnya di (24, 3) dan (2, 3)

(1@ 5 3)(1 5 3) 5 (6@ 5 7)(6 5 7) 8 94 (24, 3) j (24 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9f 231 2 3 8 9f 1 8 24

(2, 3) j (2 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9f 31 5 3 8 9f 1 8 2

PGS lingkaran

TRIK TRIK TRIK TRIK SUPERKILAT:SUPERKILAT:SUPERKILAT:SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran

6 8 3

1 8 2 1 8 24

TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran

6 8 3

1 8 2 1 8 24

Memotong garis 6 8 3 6 8 3 j (1 5 1)4 5 (3 2 3)4 8 9f (1 5 1)4 8 9f 1 5 1 8 T3f 1 5 1 8 23 atau 1 5 1 8 3f 1@ 8 24 ��14 8 2

Jadi titik potongnya di (24, 3) dan (2, 3)

(1@ 5 3)(1 5 3) 5 (6@ 5 7)(6 5 7) 8 94 (24, 3) j (24 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9f 231 2 3 8 9f 1 8 24

(2, 3) j (2 5 1)(1 5 1) 5 0 8 9f 31 5 3 8 9f 1 8 2

PGS lingkaran