repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/28615/2/005214016_full[1].pdf · distribusi suhu keadaan...

DISTRIBUSI SUHU KEADAAN TAK TUNAK

PADA BENDA PADAT KOMPOSIT DUA DIMENSI

DENGAN SALAH SATU DARI DUA BAHANNYA

BERBANGKIT ENERGI

TUGAS AKHIR

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik

Jurusan Teknik Mesin

DISUSUN OLEH :

LISTA KURNIA NIM : 005214016

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN

JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2006

UNSTEADY – STATE TEMPERTURE DISTRIBUTIONS OF TWO - DIMENSIONAL COMPOSITE SOLID

WITH ENERGY GENERATING AT ONE OF IT’S TWO MATERIALS

FINAL PROJECT

As Partial Fulfilment of Requirements to Obtain the Sarjana Teknik Degree

In Mechanical Engineering

By:

LISTA KURNIA NIM : 005214016

MECHANICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM MECHANICAL DEPARTMENT

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2006

HALAMAN PERSEMBAHAN

KUPERSEMBAHKAN TULISAN INI KEPADA :

TUHAN YESUS, MAMAK, BAPAK, MARINA, RIO, MONIKA,

DAN DINA.

Perkataan ini deras menembus relung hatiku: Tuhan takkan terlambat juga takkan lebih cepat. Semuanya itu, Dia jadikan

indah pada waktu-Nya.(Pengkhotbah 3:1-15)

Sebab rancanganKu bukanlah rancanganmu dan jalanKu bukanlah jalanmu.

Seperti tingginya langit dari bumi demikianlah tingginya jalanKu dari jalanmu

dan rancanganKu dari rancanganmu. (Yesaya 55:8-9)

Bagi kemuliaan Tuhan.

Pernyataan Keaslian Karya

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang telah dinyatakan dalam kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Desember 2006

Penulis

KATA PENGANTAR

Atas berkat dan karunia dari Allah Bapa di surga maka sudah terlaksana

penulis menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul Distribusi Suhu Keadaan Tak

Tunak Pada Benda Padat Komposit Dua Dimensi Dengan Salah Satu Dari Dua

Bahannya Berbangkit Energi.

Tugas Akhir ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

pada Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih pada :

1. Tuhan yang telah menyertai dan memberi kekuatan selama penulis menyelesaikan

Tugas Akhir.

2. Bapak Ir. PK. Purwadi. M.T. , pembimbing Tugas Akhir, yang telah dengan sabar

membimbing dan membantu menyelesaikan Tugas Akhir dari awal hingga akhir.

3. Bapak Ir. YB. Lukiyanto. M.T. , pembimbing akademik, yang juga mendorong

untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini.

4. Romo Ir. Gregorius Heliarko, SJ, S.S., B.S.T, M.A., M.Sc., selaku dekan fakultas

Teknik.

5. Bapak Yosef Agung Cahyanto, S.T., M.T., selaku ketua jurusan Teknik Mesin.

6. Bapak dosen pengajar yang telah memberikan teori-teori sebagai dasar pembuatan

Tugas Akhir ini.

7. Bapak dan mamak yang selalu memberikan dukungan baik material maupun

spiritual dan yang selalu berdoa untuk penulis.

8. Marina, Rio dan Monika yang selalu mendukung dan berdoa untuk penulis.

9. Semua teman-teman, serta semua pihak yang telah memberikan dukungan penuh

hingga selesainya Tugas Akhir ini.

10. Mbah kakung, mbah putri dan semua saudara yang telah mendukung dan selalu

mendoakan penulis.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tugas Akhir ini masih banyak

kekurangan sehingga jauh dari sempurna. Dengan demikian kritik dan saran

diharapkan penulis guna menyempurnakan tulisan ini.

Akhir kata penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat berguna dan

bermanfaat bagi pembaca.

` Penulis

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui (1) pengaruh perubahan nilai

koefisien perpindahan panas konveksi (h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi (2) pengaruh perubahan

nilai energi pembangkitan (•

q ) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi (3) pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi. Penelitian dilakukan dengan metode komputasi numerik, dengan memakai metode beda hingga cara eksplisit. Di analisis dalam dua dimensi.

Penelitian dilakukan pada benda padat komposit. Benda uji berbentuk balok dengan lebar 14 cm (0,14 m), tinggi 14 cm (0,14 m) dan panjang 1 m. Kondisi awal benda merata. Suhu awal benda Ti = 100 oC. Penelitian dilakukan dengan memvariasikan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h), nilai energi

pembangkitan (•

q ) dan bahan yang di luar. Hasil penelitian yang pada kasus ditinjau menunjukkan bahwa semakin besar

nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi (proses pemanasan) dan suhu semakin cepat menyesuaikan dengan

lingkungan sekitar. Semakin besar nilai energi pembangkitan (•

q ) maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konduksi (k) pada bahan di bagian luar maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi.

DAFTAR ISI

Halaman Judul …………………………………………………………………... i

Halaman Persetujuan ……………………………………………………………. ii

Halaman Pengesahan ……………………………………………………………. iii

Halaman Persembahan …………………………………………………………... iv

Pernyataan Keaslian Karya ……………………………………………………… v

Kata Pengantar …………………………………………………………………... vi

Abstrak …………………………………………………………………………... viii

Daftar Isi ………………………………………………………………………… x

Daftar Gambar …………………………………………………………………… xiii

Daftar Tabel ……………………………………………………………………... xvi

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang ………………………………………………………... 1

1.2. Batasan Masalah ……………………………………………………… 2

1.3. Perumusan Masalah …………………………………………………... 2

1.4. Tujuan ………………………………………………………………… 7

1.5. Manfaat ……………………………………………………………….. 8

BAB II DASAR TEORI

2.1. Perpindahan Panas ……………………………………………………. 9

2.1.1. Perpindahan Panas Konduksi …………………………………… 9

2.1.2. Perpindahan Panas Konduksi ……….………………………….. 12

2.2. Metode Beda Hingga …………………………………………………. 21

2.2.1. Beda Maju ………………………………………………………. 22

2.2.2. Beda Mundur …………………………………………………… 23

2.2.3 Beda Tengah …………………………………………………….. 24

BAB III PERSAMAAN PADA SETIAP TITIK

3.1. Model Matematika ……………………………………………………. 26

3.2. Persamaan Pada Setiap Titik …………………………………………... 28

3.2.1. Kasus 1 ………………………………………………………….. 31

3.2.2. Kasus 2 ………………………………………………………….. 32

3.2.3. Kasus 3 ………………………………………………………….. 34

3.2.4. Kasus 4 ………………………………………………………….. 36

3.2.5. Kasus 5 ………………………………………………………….. 38

3.2.6. Kasus 6 ………………………………………………………….. 40

BAB IV HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil Perhitungan ……………………………………………………... 42

4.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h Yang Divariasikan …….. 42

4.1.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 1000 W/m2oC …. 43



4.1.1.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 10000 W/m2oC … 48

4.1.1.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 20000 W/m2oC … 49

4.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •

q Yang Divariasikan …….. 51

4.1.2.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •

q = 20 MW/m3 …….. 51


q = 50 MW/m3 …….. 52


q = 75 MW/m3 …….. 53


q = 100 MW/m3 …… 54


q = 125 MW/m3 …… 55

4.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan 1 Divariasikan ……. 58

4.1.3.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Baja

Karbon 0,5% C …………………………………………… 58

4.1.3.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Nikel ……….. 59

4.1.3.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Seng ………... 60

4.1.3.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Tembaga …… 61

4.1.3.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Perak …….………… 62

4.2. Pembahasan …………………………………………………………… 65

4.2.1. Distribusi Suhu Dengan Variasi h ………………………………. 65

4.2.2. Distribusi Suhu Dengan Variasi •

q ……………………………… 66

4.2.3. Distribusi Suhu Dengan Variasi Bahan Pada Bagian Luar ……... 67

BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan …………………………………………………………… 69

5.2. Saran …………………………………………………………………… 69

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………… 70

LAMPIRAN ……………………………………………………………………... 71

DAFTAR GAMBAR

1. Gambar 1.1. Benda padat komposit dengan energi pembangkitan pada

benda bagian dalam ……………………………………………………… 3

2. Gambar 2.1. Sketsa yang melukiskan perjanjian tentang tanda untuk

aliran panas konduksi ……………………………………………………. 10

3. Gambar 2.2. Perpindahan panas konduksi ………………………………. 10

4. Gambar 2.3. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat padat terhadap

suhu ……………………………………………………………………… 11

5. Gambar 2.4. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat cair terhadap

suhu ……………………………………………………………………… 11

6. Gambar 2.5. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat gas terhadap

suhu ……………………………………………………………………… 12

7. Gambar 2.6. Perpindahan panas konveksi ………………………………. 13

8. Gambar 2.7. Sketsa batas aliran laminar, transisi, dan turbulen pada

bidang datar ……………………………………………………………… 17

9. Gambar 3.1. Sketsa yang melukiskan koordinat untuk penurunan

persamaan konduksi panas umum dalam koordinat Cartesius …………… 27

10. Gambar 3.2. Gambar titik-titik pada benda uji …………………………… 30

11. Gambar 3.3. Volume kontrol pada kasus 1 ……………………………… 31






17. Gambar 4.1. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari

waktu ke waktu untuk h = 1000 W/m2oC ………………………………… 45






waktu ke waktu untuk h = 10000 W/m2oC ..……………………………… 48


waktu ke waktu untuk h = 20000 W/m2oC ..……………………………… 49


waktu ke waktu untuk semua harga h pada saat t = 15 s ………………… 50


waktu ke waktu untuk •

q = 20 MW/m3 …………………………………... 52



q = 50 MW/m3 …………………………………... 53



q = 75 MW/m3 …………………………………... 54



q = 100 MW/m3 ………………………………….. 55



q = 125 MW/m3 ………………………………….. 56


waktu ke waktu untuk semua •

q pada saat t = 7s ………………………... 57


waktu ke waktu untuk besi .............................................................… 59


waktu ke waktu untuk nikel ……………………………………………... 60


waktu ke waktu untuk seng ………….…………………………………... 61


waktu ke waktu untuk magnesium. …..…………………………………... 62


waktu ke waktu untuk aluminium . …..…………………………………... 63


waktu ke waktu untuk semua bahan pada saat t = 15 s …………………. 64

DAFTAR TABEL

1. Tabel 2.1. Bilangan Nusselt untuk dinding vertikal ……………………... 14

2. Tabel 2.2. Konstanta persamaan permukaan isotermal ………………….. 16

3. Tabel 2.3. Nilai – nilai koefisien perpindahan panas konveksi untuk

berbagai keadaan ………………………………………………………… 19

4. Tabel 2.4. Konstanta C dan n untuk perpindahan panas dari silinder ……. 20

5. Tabel 2.5. Konstanta C dan n untuk perpindahan panas dari silinder tak

Bundar …………………………………………………………………… 20

6. Tabel 4.1. Nilai sifat-sifat logam ………………………………………… 41

7. Tabel 4.2. Hasil perhitungan dengan nilai h = 1000 W/m2oC …………… 45



10. Tabel 4.5. Hasil perhitungan dengan nilai h = 10000 W/m2oC ………….. 48

11. Tabel 4.6. Hasil perhitungan dengan nilai h = 20000 W/m2oC …………. 49

12. Tabel 4.7. Hasil perhitungan dengan nilai •

q = 20 MW/m3 ……………… 51


q = 50 MW/m3 ……………… 52


q = 75 MW/m3 ……………… 53


q = 100 MW/m3 …………… 54


q = 125 MW/m3 …………… 55

17. Tabel 4.12. Hasil perhitungan untuk bagian luar : besi …………………. 58

18. Tabel 4.13. Hasil perhitungan untuk bagian luar : nikel ………………… 59

19. Tabel 4.14. Hasil perhitungan untuk bagian luar : seng …………………. 60

20. Tabel 4.15. Hasil perhitungan untuk bagian luar : magnesium ………. 61

21. Tabel 4.16. Hasil perhitungan untuk bagian luar : aluminium ………….. 62

22. Tabel 4.17. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik,

suhu titik di sudut benda mencapai 100oC , komposisi bahan seng –

baja karbon 0,5%C, dan •

q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC ……... 65

23. Tabel 4.18. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC,

komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan •

q = 20 MW/m3,

Ti = 30oC, ∞T = 100oC ……………………………….…………………… 66


suhu titik di sudut benda mencapai 100oC, komposisi bahan seng –

baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m2oC, Ti = 30oC, ∞T = 100oC …….. 66

25. Tabel 4.20. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC,

komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m2oC,

Ti = 30oC, ∞T = 100oC …………………………………………………… 67


suhu titik di sudut benda mencapai 100oC, h = 5000W/m2oC, dan

•

q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC ………………………………….. 68

27. Tabel 4.22. waktu yang diperlukan node sudut benda mencapai 100oC,

h = 5000W/m2oC, dan •

q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC …………. 68

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Perpindahan panas dapat kita jumpai baik dalam kehidupan sehari-hari atau

dalam industri. Pada kehidupan sehari-hari perpindahan panas dapat kita jumpai pada

heater, setrika listrik, panci yang dipanaskan, dan lain-lain. Sedangkan pada industri

dapat kita jumpai pada pengolahan logam.

Benda berbangkit energi adalah benda yang mampu memberikan atau

membangkitkan energi. Contohnya : kawat berarus listrik, elemen pemanas air

(heater), elemen setrika listrik, kompor listrik, dan lain-lain.

Di kehidupan sehari-hari sering kita jumpai suatu benda terdiri dari dua atau

lebih bahan, contoh kabel terdiri dari kawat dan isolator, heater terdiri dari elemen

dan isolator, atau tembok yang terdiri dari batubata dan semen, dan lain-lain.

Untuk mengetahui distribusi suhu pada suatu benda dapat dilakukan dengan

beberapa cara, seperti eksperimen atau dengan metode analisis. Pada penelitian ini

digunakan metode komputasi numerik, untuk kasus tertentu sesuai dengan persoalan

yang ditinjau.

1.2. Batasan Masalah

Menghitung dan menganalisa perubahan suhu dari waktu ke waktu pada benda

padat komposit 2 dimensi dengan energi pembangkitan pada bahan yang di dalam,

keadaan tak tunak. Benda padat komposit tersusun dari dua bahan yang berbeda.

Pada analisis ini diambil beberapa titik tertentu dan titik pusat sebagai wakil

untuk dianalisis. Nilai h selama proses berlangsung (pada keadaan tak tunak)

dianggap bernilai tetap dan merata. Penyelesaian dilakukan dengan metode

komputasi numerik, cara beda hingga dengan metode eksplisit.

1.3. Perumusan Masalah

Benda uji yaitu benda dengan bahan komposit (dua bahan) yang memiliki suhu

mula-mula merata T =Ti, kemudian secara tiba-tiba dicelupkan pada fluida yang

bergerak yang mempunyai suhu T = ∞T yang tetap dipertahankan selama proses tak

tunak berlangsung, dengan nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h yang nilainya

tetap. Energi pembangkitan dihidupkan tepat pada saat benda uji dicelupkan pada

fluida (pada bahan yang didalam). Pencarian distribusi suhu dari waktu ke waktu

diselesaikan dengan model matematik yang sesuai.

a. Model matematika

• t

tyxTkq

ytyxT

xtyxT

BB ∂∂

=+∂

∂+

∂∂

•

),,(1),,(),,(2

2

2

2

α, (1.1)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22baaxba , t > 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22baayba ,

••

= qq

• t

tyxTy

tyxTx

tyxT

A ∂∂

=∂

∂+

∂∂ ),,(1),,(),,(

2

2

2

2

α, (1.2)

0 < x < a, t > 0

0 < y < a

kecuali pada ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22baaxba ,

dan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22baayba ,

y

(0,a) ∞T 2 , h (a,a)

kA, α A

kB, α B

∞T 1, h A B •

q b a ∞T 3, h

b

(0,0) a (a,0) x

∞T 4 , h

Gambar 1.1. Benda padat komposit, dengan ada energi pembangkitan

pada benda bagian dalam.

Keterangan :

A : bahan 1, bahan dengan nilai kA, ukuran luar a x a dengan lubang di tengah b x b

B : bahan 2, bahan dengan nilai kB, ukuran b x b

∞T 1 = ∞T 2 = ∞T 3 = ∞T 4 = ∞T = suhu fluida sekitar benda uji (oC).

h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2 oC)

kA = α A x ρ A x cA , koefisien perpindahan panas konduksi bahan 1 (W/moC)

kB = α B x ρ B x cB , koefisien perpindahan panas konduksi bahan 2 (W/moC)

•

q = energi pembangkitan (W/m3)

α A = difusivitas termal bahan 1 (m2/s).

ρ A = kerapatan (density) bahan 1(kg/m3)

cA = panas jenis bahan1 (J/kg oC)

α B = difusivitas termal bahan 2 (m2/s).

ρ B = kerapatan (density) bahan 2 (kg/m3)

cB = panas jenis bahan 2 (J/kg oC)

b. Kondisi awal

T(x,y,0) = Ti , ≤≤ x0 a, ≤≤ y0 a, t = 0 (1.3)

c. Kondisi batas

1. Kondisi batas dinding permukaan samping kiri

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂+

−−∂

∂−

∂+=

∞=

xtyxTAk

ytyxTAk

TtyxThAy

tyxTAk

yyy

yy

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 1

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (1.4)

x = 0, 0 < y < a, t > 0

2. Kondisi batas dinding permukaan atas

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂+

−+∂

∂−

∂+=

∞=

ytyxTAk

xtyxTAk

tyxTThAx

tyxTAk

xxx

xx

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 2

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (1.5)

y = a, 0 < x < a, t > 0

3. Kondisi batas dinding permukaan samping kanan

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂−

−+∂

∂

∂+=

∞=

xtyxTAk

ytyxTAk

tyxTThAy

tyxTAk

yyy

yy

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 3

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (1.6)

x = a, 0 < y < a, t > 0

4. Kondisi batas dinding permukaan atas

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂−

−−∂

∂

∂+=

∞=

ytyxTAk

xtyxTAk

TtyxThAx

tyxTAk

xxx

xx

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 4

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (1.7)

y = 0, 0 < y < a, t > 0

5. Kondisi batas sudut kiri atas permukaan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂+

−+−− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

tyxTTAhTtyxTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 21

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (1.8)

x = 0, y = a, t > 0

6. Kondisi batas sudut kanan atas permukaan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂−

−+− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

tyxTTAhtyxTTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 32

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (1.9)

x = a, y = a, t > 0

7. Kondisi batas sudut kanan bawah permukaan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂−

−−− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

TtyxTAhtyxTTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 43

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (1.10)

x = a, y = 0, t > 0

8. Kondisi batas sudut kiri bawah permukaan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂+

−−−− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

TtyxTAhTtyxTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 14

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (1.11)

x = 0, y = 0, t > 0

Keterangan

α = k / ρ c , difusivitas termal (m2/s).

ρ = kerapatan (density) (kg/m3)

c = panas jenis (J/kg oC)

h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2 oC).

k = koefisien perpindahan panas konduksi (W/m oC)

t = waktu (s)

A = luas volume kontrol (m2)

Dilakukan variasi pada :

1. Nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h).

2. Nilai energi pembangkitan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •

q .

3. Bahan yang tidak berbangkit energi (bahan yang di luar).

Dengan asumsi :

1. Sifat-sifat bahan tetap ( ρ ,c,k : tetap) atau tidak berubah terhadap perubahan

suhu.

2. Sifat bahan merata, atau tidak merupakan fungsi posisi.

3. Benda dianggap tidak mengalami perubahan bentuk dan volume.

4. Besar energi pembangkitan: q, bersifat merata dan tetap (tidak berubah

terhadap waktu) untuk benda di bagian dalam.

5. Benda uji merupakan benda padat komposit dua dimensi.

1.4. Tujuan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :

1. Mendapatkan pengaruh perubahan nilai koefisien perpindahan panas

konveksi (h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak

dengan salah satu bahan berbangkit energi.

2. Mendapatkan pengaruh perubahan nilai energi pembangkitan (q) terhadap

suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan

berbangkit energi.

3. Mendapatkan pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda

komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit

energi.

1.5. Manfaat

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah :

1. Mengetahui pengaruh perubahan nilai koefisien perpindahan panas konveksi

(h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak.

2. Mengetahui pengaruh perubahan nilai energi pembangkitan (q) terhadap suhu

pada benda komposit pada keadaan tak tunak.

3. Mengetahui pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda komposit

pada keadaan tak tunak.

4. Mengetahui dan dapat memilih bahan yang sesuai saat merancang atau

membuat suatu benda.

BAB II

DASAR TEORI

2.1. Perpindahan Panas

Perpindahan panas atau kalor yaitu berpindahnya energi dari satu daerah ke

daerah yang lain akibat dari adanya perbedaan suhu antara daerah-daerah tersebut.

Panas berpindah dari suhu yang tinggi ke suhu yang lebih rendah. Perpindahan panas

ada tiga macam yaitu konduksi, konveksi, dan radiasi.

2.1.1. Perpindahan Panas Konduksi

Hubungan dasar untuk perpindahan panas dengan cara konduksi diusulkan oleh

ilmuan Perancis, J.B.J. Fourier,pada tahun 1882. Hubungan ini menyatakan bahwa q

yaitu laju aliran panas dengan cara konduksi dalam suatu bahan, sama dengan

hasilkali dari tiga buah besaran berikut :

1. k adalah konduktivitas termal bahan.

2. A adalah luas penampang melalui mana panas mengalir dengan cara

konduksi, yang harus diukur tegak lurus terhadap arah aliran panas.

3. dT/dx adalah gradien suhu pada penampang tersebut, yaitu laju perubahan

suhu T terhadap jarak dalam arah aliran panas x.

Menurut hukum kedua termodinamika panas mengalir dari titik yang bersuhu lebih

tinggi ke titik yang lebih rendah, maka aliran panas akan menjadi positif bila grdien

suhu negatif (Gambar 2.1).

Gambar 2.1. Sketsa yang melukiskan perjanjian tentang tanda

untuk aliran panas konduksi

(F. kreith, Prinsip – prinsip perpindahan panas, Halaman: 8)

A k

q

T1 T2

x∆

Gambar 2.2. Perpindahan panas konduksi

Dari beberapa hal diatas, dapat ditulis persamaan :

dxdTkAq −= (2-1)

Dengan :

q = laju aliran panas (W)

A = Luas perpindahan panas (m2)

k = konduktivitas termal benda (W/moC)

dxdT = gradien suhu (oC/m)

Gambar 2.3. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat padat terhadap suhu.

(Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 105)

Gambar 2.4. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat cair terhadap suhu.

(J.P. Holman, Heat Transfer, Halaman: 9)

Gambar 2.5. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat gas terhadap suhu.

(J.P. Holman, Heat Transfer, Halaman: 8)

2.1.2. Perpindahan Panas Konveksi

Hubungan dasar untuk perpindahan panas dengan cara konveksi diusulkan oleh ilmuan Inggris, Isaac Newton, pada tahun 1701. Laju perpindahan panas dengan cara konveksi antara suatu permukaan dan suatu fluida dapat dihitung dengan hubungan :

)( ∞−= TThAq w (2-2)

∞T

h q

A Tw

Gambar 2.6. Perpindahan panas konveksi

Dengan

q = laju aliran panas (W)

A = Luas perpindahan panas (m2)

h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2oC)

∞T = suhu benda (oC)

Tw = suhu fluida (oC)

Cara mendapatkan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h)

1. Perpindahan panas konveksi bebas

Perpindahan panas konveksi bebas ditandai dengan adanya fluida yang bergerak

yang dikarenakan beda massa jenisnya. Jadi pergerakan aliran fluida tidak disebabkan

adanya alat bantu pergerakan (seperti : fan, kipas angin, pompa, blower, dan lain-

lain). Untuk mencari nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) dapat dicari dari

Bilangan Nusselt. Bilangan Nusselt merupakan fungsi dari bilangan Rayleigh (Ra),

maka bilangan Ra dicari dulu.

Rayleigh number (Ra)

Bilangan Rayleigh dinyatakan dengan persamaan :

Ra = Gr Pr = Pr)(2

3

vTTg s δβ ∞− (2.3)

fT1

=β dengan 2

∞+=

TTT sf

dengan

g = Percepatan gravitasi (9,8 m/s2)

δ = Panjang karakteristik (δ = L), m

Ts = Suhu dinding, K

∞T = Suhu fluida, K

Tf = Suhu film, K

v = Viskositas kinematik, m2/s

Pr = Bilangan Prandtl

Gr = Bilangan Grashof

Bilangan Nusselt (Nu)

Tabel 2.1. Bilangan Nusselt untuk dinding vertikal:

Geometri Panjang Karakteristik

Ra Nusselt (Nu)

104 s.d 109

Nu = 0,59Ra1/4

104 s.d 109

Nu = 0,1Ra1/3

Ts

L=δ Untuk semua Ra ( )[ ]

2

27/816/9

6/1

Pr/492,01

387,0825,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++=

RaNu

* kompleks, tetapi lebih akurat (Sumber: Diktat Praktikum Perpindahan Kalor)

Dari bilangan Nusselt dapat diperoleh nilai koefisien perpindahan panas konveksi :

khNu δ

= atau δ

kNuh .= (2.4)

dengan

h = Koefisien perpindahan panas konveksi, W/m2 oC.

δ = Panjang karakteristik, m.

k = Koefisien perpindahan panas konduksi dari fluida, W/m oC.

2. Perpindahan panas konveksi bebas melewati permukaan

Perpindahan panas konveksi bebas melewati permukaan seperti pada permukaan

silinder vertikal, silinder horizontal dan bola.

Koefisien perpindahan panas konveksi bebas rata-rata untuk berbagai situasi, dapat

dinyatakan sebagai berikut:

Nuf = C (Grf Prf)m (2.5)

Di mana subskrip f menunjukkan bahwa sifat-sifat untuk gugus tak berdimensi

dievaluasikan pada suhu film

2w

fTT

T+

= ∞ (2.6)

Perkalian antara angka Grashof dan angka Prandtl disebut angka Rayleigh:

Ra = Gr Pr (2.7)

a. Konveksi bebas melewati silinder vertikal

Rumus yang berlaku

Nu1/2 =( )[ ] 27/816/9

6/1

Pr/492,01

387,0825,0+

+Ra 10-1 < RaL < 1012 (2.8)

Tabel 2.2. Konstanta persamaan permukaan isotermal

(Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 304) b. Konveksi bebas melewati silinder horisontal

Rumus yang berlaku

Nu1/2 = ( )[ ]

6/1

9/1616/9Pr/559,01

Pr387,060,0⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

Gr 10-5 < Gr Pr < 1012 (2.9)

c. Konveksi bebas melewati bola

Rumus yang berlaku

• bola dengan udara

Nuf = 2 + 0,392 Grf1/4 1 < Grf < 105

Nuf = 2 + 0,43 (Grf Prf)1/4 (2.10)

• bola dengan air

Nuf = 2 + 0,50 (Grf Prf)1/4 3 x 105 < GrPr < 8 x 108 (2.11)

3. Perpindahan panas konveksi paksa

Proses perpindahan panas konveksi paksa ditandai dengan adanya fluida yang

bergerak yang dikarenakan adanya alat bantu. Untuk mencari nilai koefisien

perpindahan panas konveksi (h) dapat dicari dari bilangan Nusselt. Bilangan Nusselt

yang dipilih harus sesuai dengan kasusnya, karena setiap kasus mempunyai bilangan

Nusselt sendiri.

Ada dua bilangan Nusselt yaitu bilangan Nusselt lokal dan bilangan Nusselt rata-

rata. Bilangan Nusselt lokal untuk mencari nilai h pada jarak x yang ditinjau.

Sedangkan bilangan Nusselt rata-rata untuk menghitung nilai h rata-rata dari x = 0

sampai dengan jarak x yang ditinjau.

Bilangan Nusselt (Nu) untuk bidang datar

Gambar 2.7. Sketsa batas aliran laminar, transisi, dan turbulen pada bidang datar

(Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 353)

Untuk aliran laminar

Syarat aliran laminar Rex< 100000, Bilangan Reynold dirumuskan sebagai berikut:

Rex = µ

ρ xU∞ (2.12)

Berlaku persamaan Nusselt Lokal Nu pada jarak x, untuk Pr > 0,6

Nux = f

x

kxh = (0,332) 3

121

PrRex (2.13)

Berlaku persamaan Nusselt rata-rata untuk x = 0 sampai dengan x = L

Nu = fk

hL = (0,664) 31

21

PrReL (2.14)

Dengan

Re = Bilangan Reynold

ρ = Massa jenis fluida, kg/m3

∞U = Kecepatan fluida, m/s

Nu = Bilangan Nusselt

µ = Viskositas, m2/s

kf = Koefisien perpindahan panas konduksi fluida, W/m oC

h = Koefisien perpindahan panas konveksi, W/m2 oC

Pr = Bilangan Prandtl

L = Panjang dinding, m

Untuk turbulen

Syarat aliran turbulen : 500000 < Re < 107

Berlaku persamaan Nusselt Lokal Nu pada jarak x, untuk 60Pr6,0 ≤≤

Nux = f

x

kxh = (0,0296) 3

154

PrRex (2.15)


Nu = fk

hL = (0,037) 31

54

PrReL (2.16)

Untuk kombinasi laminar dan turbulen


Nu = fk

hL = 31

54

Pr)871Re037,0( −L (2.17)

Dengan syarat 60Pr6,0 ≤≤

Tabel 2.3. Nilai-nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) untuk berbagai keadaan.

No Tipe konveksi Nilai kisaran h, W/m2oC Konveksi bebas

• untuk fluida gas 2 –25 1

• untuk fluida cairan 1 – 1000 Konveksi paksa

• untuk fluida gas 25 – 250 2

• untuk fluida cairan 50 – 20.000 Konveksi dengan perubahan fase 3

• untuk proses pendidihan dan pengembunan 2500 – 100.000 (Sumber: Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 30)

4. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan benda

Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan seperti pada permukaan

silinder dan bola.

a. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan silinder

Koefisien perpindahan panas konveksi paksa rata-rata untuk gas dan zat cair, dapat

dinyatakan sebagai berikut:

Nu = 3/1Prn

ff vduC

khd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∞ (2.18)

Tabel 2.4. Konstanta C dan n untuk Perpindahan panas dari silinder

Redf C n

0,4 - 4

4 – 40

40 – 4000

4000 – 40.000

40.000 – 400.000

0,989

0,911

0,683

0,193

0,0266

0,330

0,385

0,466

0,618

0,805

(Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 268)

2. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan silinder tak bundar

Nu = 3/1Prn

ff vduC

khd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∞ (2.19)

Tabel 2.5. Konstanta C dan n untuk Perpindahan panas dari silinder tak bundar

(Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 271)

5. Benda berbangkit energi

Benda berbangkit energi adalah benda yang mampu memberikan/

membangkitkan energi. Contoh benda berbangkit energi yaitu kawat berarus listrik,

elemen pemanas air, elemen setrika listrik, reaktor nuklir dan lain-lain.

Besar energi pembangkitan pada alat pemanas dapat dihitung dengan persamaan:

LDVI

vPq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

•

4

2π (2.20)

Dengan

•

q = energi pembangkitan (W/m3)

P = Daya alat pemanas (W)

v = volume alat pemanas (m3)

V = tegangan (volt)

I = arus (A)

D = diameter alat pemanas (m)

L = panjang alat pemanas (m)

2.2. Metode Beda Hingga

Metode beda hingga merupakan salah satu metode komputasi numeric yang

dapat menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Banyak cara dari metode

komputasi numeric yng mampu menyelesaikan, tetapi hasil yang didapat dari masing-

masing metode itu tidak begitu jauh berbeda. Pada umumnya perbedaan itu terletak

pada akurasi dan waktu penyelesaian. Untuk permasalahan ini menggunakan metode

beda hingga cara eksplisit.

Pendekatan secara numerik dengan metode beda hingga untuk derivatif suatu

fungsi terhadap variable bebasnya menggunakan persamaan dari deret Taylor. Untuk

mendapatkan derivatif pertama dari suatu fungsi, pendekatan dilakukan dengan cara

pemotongan deret ketiga dan keempat, dan seterusnya dari deret Taylor, yang

harganya dapat diabaikan. Pendekatan dapat dilakukan dengan cara beda maju, beda

mundur, atau beda tengah.

2.2.1. Beda Maju

Bila fungsi f(x) analitik, maka f(x + x∆ ) dapat dinyatakan dengan deret Taylor

sebagai berikut :

...!3)(

!2)()()()( 3

33

2

22

+∂∂∆

+∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+xfx

xfx

xfxxfxxf (2.21)

atau dapat ditulis,

∑∞

= ∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+2 !

)()()()(n

n

nn

xf

nx

xfxxfxxf (2.22)

dari persamaan (2.22) diperoleh,

∑∞

= ∂∂∆

−∆

−∆+=

∂∂

2 !)()()(

nn

nn

xf

nx

xxfxxf

xf (2.23)

atau dapat ditulis,

)(0)()( xx

xfxxfxf

∆+∆

−∆+=

∂∂ (2.24)

atau dapat dinyatakan dalam bentuk,

)(01 xx

ffxf ii

i

∆+∆−

=∂∂ + (2.25)

Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x,

dilakukan langkah-langkah sebagai berikut,

...!3)(

!2)()()()( 3

33

2

22

+∂∂∆

+∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+xfx

xfx

xfxxfxxf (2.26)

bila f(x + 2∆ x) diekspansikan dengan deret Taylor, menghasilkan persamaan berikut,

...!3)2(

!2)2()2()()2( 3

33

2

22

+∂∂∆

+∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+x

fxx

fxxfxxfxxf (2.27)

bila f(x + 2∆ x) - 2f(x + ∆x) menghasilkan,

...)()()()(2)2( 3

33

2

22 +

∂∂

∆+∂∂

∆+−=∆+−∆+x

fxx

fxxfxxfxxf (2.28)

dari persamaan (2.18) dapat diperoleh,

)(0)(

)()(2)2(22

2

xx

xfxxfxxfx

f∆+

∆−∆+−∆+

=∂∂ (2.29)

atau dapat dinyatakan dengan,

)(0)(

2212

2

2

xx

fffx

f iii

i

∆+∆

−−=

∂∂ ++ (2.30)

2.2.2. Beda Mundur

Bila fungsi f(x) analitik, maka f(x- x∆ ) dapat dinyatakan dengan deret Taylor

terhadap x sebagai berikut :

...!3)(

!2)()()()( 3

33

2

22

+∂∂∆

−∂∂∆

+∂∂

∆−=∆−x

fxx

fxxfxxfxxf (2.31)

atau dapat ditulis,

∑∞

= ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆±+

∂∂

∆−=∆−2 !

)()()()(n

n

nn

xf

nx

xfxxfxxf , (2.32)

bila n genap : +, bila n ganjil : -

dari persamaan (2.32) diperoleh,

)(0)()( xx

xxfxfxf

∆+∆

∆−−=

∂∂ (2.33)


)(01 xxff

xf ii

i

∆+∆−

=∂∂ − (2.34)

Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x,

dapat dilakukan dengan menggunakan ekspansi deret Taylor fungsi f(x- x∆ ) dan bila

f(x-2∆ x).

...!3)(

!2)()()()( 3

33

2

22

+∂∂∆

−∂∂∆

+∂∂

∆−=∆−x

fxx

fxxfxxfxxf (2.35)

...!3)2(

!2)2()2()()2( 3

33

2

22

+∂∂∆

−∂∂∆

+∂∂

∆−=∆−x

fxx

fxxfxxfxxf (2.36)

bila f(x-2 x∆ ) - 2f(x-∆x), diperoleh turunan kedua dari fungsi f terhadap x, yang

dapat dinyatakan dengan persamaan berikut,

)(0)(

)2()(2)(22

2

xx

xxfxxfxfx

f∆+

∆∆−+∆−−

=∂∂ (2.37)


)(0)(

22

212

2

xx

fffx

f iii

i

∆+∆

+−=

∂∂ −− (2.38)

2.2.3. Beda Tengah

Dengan memanfaatkan ekspansi dari fungsi f(x+ x∆ ) dan f(x- x∆ ), dapat

diperoleh turunan pertama f terhadap x dengan cara beda tengah :

∑∞

= ∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+2 !

)()()()(n

n

nn

xf

nx

xfxxfxxf (2.39)

∑∞

= ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆±+

∂∂

∆−=∆−2 !

)()()()(n

n

nn

xf

nx

xfxxfxxf (2.40)

bila f(x+ x∆ ) - f(x- x∆ ), diperoleh,

...!3)(22)()( 3

33

+∂∂∆

+∂∂

∆=∆−−∆+x

fxxfxxxfxxf (2.41)

dari persamaan (2.41), didapat,

2)(02

)()( xx

xxfxxfxf

∆+∆

∆−−∆+=

∂∂ (2.42)


211 )(02

xxff

xf ii

i

∆+∆−

=∂∂ −+ (2.43)

Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x, dapat

dilakukan dengan menambahkan persamaan f(x+ x∆ ) dengan f(x- x∆ ).

...!3)(

!2)()()()( 3

33

2

22

+∂∂∆

+∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+x

fxx

fxxfxxfxxf (2.44)

...!3)(

!2)()()()( 3

33

2

22

+∂∂∆

−∂∂∆

+∂∂

∆−=∆−x

fxx

fxxfxxfxxf (2.45)

bila f(x+ x∆ ) + f(x- x∆ ), menghasilkan persamaan yang dapat dinyatakan dengan

persamaan berikut :

222

2

)(0)(

)()(2)2( xx

xxfxfxxfx

f∆+

∆∆−−−∆+

=∂∂ (2.46)


22

112

2

)(0)(

2x

xfff

xf iii

i

∆+∆

−−=

∂∂ −+ (2.47)

BAB III

PERSAMAAN PADA SETIAP TITIK

Pada penelitian ini menggunakan metode numerik, dengan memilih metode beda hingga cara eksplisit

3.1. Model Matematika

Untuk mendapatkan model matematika dari persoalan yang sesuai dengan

permasalahan didapat dari kesetimbangan energi pada volume kontrol yang

dinyatakan sebagai berikut :

Untuk 3 dimensi keadaan tak tunak

Seluruh energi Energi yang Seluruh energi yang masuk dibangkitkan yang keluar Perubahan ke dalam + di dalam = dari dalam + energi dalam volume kontrol volume kontrol volume kontrol selama t∆ selama t∆ selama t∆ selama t∆

Atau secara aljabar

tTdxdydzcqqqdxdydzqqqq dzzdyydxxzyx ∂∂

+++=+++ +++

•

)()()()( ρ (3.1)

Energi yang masuk ke dalam volume kontrol

dydzxTkqx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

dxdzyTkqy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= ( 3.2)

dxdyzTkqz ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

Gambar 3.1. Sketsa yang melukiskan koordinat untuk penurunan persamaan

konduksi panas umum dalam koordinat Cartesius

(F. Kreith, Prinsip - Prinsip Perpindahan Panas, Halaman: 78)

Energi yang keluar dari dalam volume kontrol

dydzdxxTk

xxTkq dxx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=+

dxdzdyyTk

yyTkq dyy ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=+ (3.3)

dxdydzzTk

zzTkq dzz ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=+

Kurangkan energi yang masuk ke volume kontrol dengan energi yang keluar dari

volume kontrol, kita memperoleh

dxdydzx

xTk

qq dxxx ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂=− +

dxdydzy

yTk

qq dyyy ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=− + (3.4)

dxdydzz

zTk

qq dzzz ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂=− +

Masukkan rumus-rumus ini ke dalam kesetimbangan energi dan bagilah tiap suku

dengan dx dy dz, maka akan diperoleh

tTcq

zT

zk

yT

yk

xT

xk

∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂ •

ρ (3.5)

jika sistemnya homogen dan panas jenis (specific heat) c serta kerapatan (density) ρ

tidak tergantung pada suhu. Jika k dianggap konstan dan persamaan (3.5) dibagi k,

maka persamaannya menjadi

tT

kq

zT

yT

xT

∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

•

α1

2

2

2

2

2

2

(3.6)

di mana konstanta ρα ck /= disebut difusivitas termal dengan satuan m2/s.

Untuk kasus 2 dimensi keadaan tak tunak seperti kasus dalam penelitian ini, maka

persamaannya adalah

tT

kq

yT

xT

∂∂

=+∂∂

+∂∂

•

α1

2

2

2

2

(3.7)

3.2. Persamaan Pada Setiap Titik

Penyelesaian dilakukan metode beda hingga cara eksplisit. Oleh karena itu

diperlukan persamaan numerik pada setiap node. Pada kasus yang ditnjau, ada enam

persamaan utama :

1. Titik di sudut benda A

Yaitu titik 0, 14, 210 dan 224.

2. Titik di permukaan benda A

Yaitu titik 1 sampai 13, 15, 29, 30, 44, 45, 59, 60, 74, 75, 89, 90, 104, 105,

119, 120, 134, 135, 149, 150, 164, 165, 179, 180, 194, 195, 209 dan 211

sampai 223.

3. Titik di dalam benda A

Yaitu titik 16 sampai 28, 31 sampai 43, 46 sampai 58, 61 sampai 63, 71

sampai 73, 76 sampai 78, 86 sampai 88, 91 sampai 93, 101 sampai 103, 106

sampai 108, 116 sampai 118, 121 sampai 123, 131 sampai 133, 136 sampai

138, 146 sampai 148, 151 sampai 153, 161 sampai 163, 166 sampai 178,

181 sampai 193 dan 196 sampai 208.

4. Titik di sudut antara benda A dengan benda B

Yaitu titik 64, 70, 154 dan 160.

5. Titik di permukaan antara benda A dengan benda B

Yaitu titik 65 sampai 69, 79, 85, 94, 100, 109, 115, 124, 130, 139, 145 dan

155 sampai 159.

6. Titik di dalam benda B

Yaitu titik 80 sampai 84, 95 sampai 99, 110 sampai 114, 125 sampai 129 dan

140 sampai 144.

210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224

195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209

180

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194

165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179

150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14

Gambar 3.2. Gambar titik – titik pada benda uji

3.2.1. Kasus 1 (Titik di sudut benda A, misal titik 0)

qc2, ∞T , h

Ti,j Ti+1,j

∞T , h qc1 qk1 y∆

Ti,j-1 qk2

x∆

Gambar 3.3. Volume kontrol pada kasus 1

= volume kontrol

q = energi yang masuk ke volume kontrol

[ qc1 + qc2 + qk1 + qk2 ] + [ •

q V ] = tTcV∂∂ρ (3.8)

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆ −+

∞∞ yTTxk

xTTykTTxhTTyh

nji

nji

nji

njin

jinji

,1,,,1,, 1

21

21

21

2

= ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+

tTTyxc

nji

nji ,

1,1

22ρ (3.9)

lyx =∆=∆

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=−+−+−+−

+

−+∞∞ tTTclTTkTTkTThlTThl n

jinjin

jinji

nji

nji

nji

nji

,1

,2

,1,,,1,, 42222ρ (3.10

)

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=−+−+−

+

−+∞ tTTclTTkTTkTThl

nji

njin

jinji

nji

nji

nji

,1

,2

,1,,,1, 422ρ (3.11)

Persamaan (3.11) dikali k4 , maka

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=−+−+−

+

−+∞ tTT

lkcTTTTTT

khl n

jinjin

jinji

nji

nji

nji

,1

,2,1,,,1, 224 ρ (3.12)

Bila c

kρ

α = maka persamaan (3.12) menjadi

( )nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TT

tlTTTTT

khlT

khl

,1

,

2

,1,,,1, 222244−

∆=−+−+− +

−+∞ α (3.13)

2)( xtFo ∆

∆=

α , maka diperoleh

( )nji

nji

o

nji

nji

nji

nji TT

FTTTT

khlT

khl

,1

,,1,,1,142244

−=−++− +−+∞ (3.14)

nji

nji

njio

njio

njio

nji

oo TTTFTFTFTk

hlFT

khlF

,1

,,1,,1, 42244

−=−++− +−+∞ (3.15)

1,,,,1,,1

44)2(2 +

∞−+ =−−+++ nji

nji

onjio

nji

nji

njio TT

khlF

TFTTkhlTTF (3.16)

nji

oo

nji

njio

nji T

khlF

FTkhlTTFT ,1,,1

1,

441)2(2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+++= ∞−+

+ (3.17)

Dengan syarat stabilitas

04

41 ≥−−k

hlFF o

o

)1(41

BiFo +

≤

( ))1(4

2

Bixt+

∆≤∆

α (3.18)

3.2.2. Kasus 2 (Titik di permukaan benda A, misal titik 1)

qc, ∞T , h

njiT ,1− n

jiT , njiT ,1+

qk3 qk1 y∆

qk2

Ti,j-1

x∆

Gambar 3.4. Volume kontrol kasus 2

= volume kontrol


[qc + qk1 + qk2 + qk3 ] + ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2Vq =

tTcV∂∂ρ (3.19)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+−∆ −−+

∞ xTTyk

yTT

xkx

TTykTTxhnji

nji

nji

nji

nji

njin

ji,,1,1,,,1

, 12

1)(12

1)(

= ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆∆

+

tTTyxc

nji

nji ,

1,1

2)(ρ (3.20)

lyx =∆=∆

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=−+−+−+−

+

−−+∞ tTTclTTkTTkTTkTThl

nji

njin

jin

jinji

nji

nji

nji

nji

,1

,2

,,1,1,,,1, 2)(

22ρ (3.21


( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=−+−+−+−

+

−−+∞ tTT

lkcTTTTTTTT

khl n

jinjin

jin

jinji

nji

nji

nji

nji

,1

,2,,1,1,,,1, )(22 ρ (3.22)

Bila c

kρ


( )nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TT

tlTTTTTTT

khlT

khl

,1

,

2

,,1,1,,,1, 2222−

∆=−+−+−+− +

−−+∞ α (3.23)

2)( xtFo ∆

∆=

α , maka diperoleh

( )nji

nji

o

nji

nji

nji

nji

nji TT

FTTTTT

khlT

khl

,1

,,,11,,1,14222

−=−+++− +−−+∞ (3.24)

nji

nji

njio

njio

njio

njio

nji

oo TTTFTFTFTFTk

hlFT

khlF

,1

,,,11,,1, 4222

−=−+++− +−−+∞ (3.25)

1,,,,,11,,1

24)22( +

∞−−+ =−−++++ nji

nji

onjio

nji

nji

nji

njio TT

khlF

TFTTkhlTTTF (3.26)

nji

oo

nji

nji

njio

nji T

khlF

FTkhlTTTFT ,,11,,1

1,

241)22( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++++= ∞−−+

+ (3.27)


02

41 ≥−−k

hlFF o

o ⇒ )2(2

1Bi

Fo +≤ ⇒

)2(2)( 2

Bixt+

∆≤∆

α (3.28)

3.2.3. Kasus 3 (Titik di dalam benda A, misal Titik 17)

Ti,j+1

qk2

Ti-1,j qk1 Ti,,j qk3 Ti+1,j

y∆

qk4

Ti,j-1

x∆


= volume kontrol


[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 ] + [ ]qV = tTcV∂∂ρ (3.29)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆ −++−

yTT

xkx

TTyk

yTT

xkx

TTyk

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji ,1,,,1,1,,,1 11)(11)(

= ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆∆

+

tTT

yxcnji

nji ,

1,1)(ρ (3.30)

lyx =∆=∆

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=−+−+−+−

+

−++− tTT

clTTkTTkTTkTTknji

njin

jinji

nji

nji

nji

nji

njiji

,1

,2,1,,,1,1,,.1 )( ρ (3.31)


( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=−+−+−+−

+

−++− tTT

lkcTTTTTTTT

nji

njin

jinji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

,1

,2,1,,,1,1,,,1 )( ρ (3.32)

Bila c

kρ


( )nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TT

tlTTTTTTTT ,

1,

2

,1,,,1,1,,,1 −∆

=−+−+−+− +−++− α

(3.33)

2)( xtFo ∆

∆=

α , maka diperoleh

( )nji

nji

o

nji

nji

nji

nji

nji TT

FTTTTT ,

1,,1,,11,,1

14 −=−+++ +−++− (3.34)

nji

nji

njio

njio

njio

njio

njio TTTFTFTFTFTF ,

1,,1,,11,,1 4 −=−+++ +

−++− (3.35)

1,,,1,,11,,1 4)( +

−++− =−++++ nji

njio

nji

nji

nji

nji

njio TTFTTTTTF (3.36)

( ) njio

nji

nji

nji

njio

nji TFTTTTFT ,1,,11,,1

1, 41)( −++++= −++−+ (3.37)


041 ≥− oF

41

≤oF

α4)( 2xt ∆

≤∆ (3.38)

3.2.4. Kasus 4 (Titik di sudut antara benda A dengan benda B, misal titik 64)

Ti,j+1

k1 qk2

qk3

Ti-1,j qk1 Ti,j Ti+1,j

q qk4 y∆

qk6 qk5 k2

Ti,j-1

x∆


= volume kontrol


[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 + qk5 + qk6 ] + ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

4Vq =

tTcV∂∂ρ (3.39)

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆ +++−

xTTyk

xTTyk

yTT

xkx

TTyk

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji ,,1

2,,1

1,1,

1,,1

1 12

12

)1)((1)(

( ) ( ) )1(22

12

12

,1,1

,1,2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+ −− yxq

yTTxk

yTTxk

nji

nji

nji

nji

= ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−∆∆

++

tTTyxc

tTTyxyxc

nji

nji

nji

nji ,

1,

22,

1,

11 )1(22

122

))(( ρρ (3.40)

lyx =∆=∆

( ) ( ) )(2

)(22

)( ,1,2

,,12

,,11

,1,1,,11nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −+++−

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=+−+

+

− tTT

cclqlTTk nji

njin

jinji

,1

,2211

22

,1,1 3

44)(

2ρρ (3.41)

Persamaan (3.41) dikali 4, maka ( ) ( ) )(2)(22)(44 ,1,2,,12,,11,1,1,,11

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −+++−

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=+−+

+

− tTT

cclqlTTknji

njin

jinji

,1

,2211

22,1,1 3)(2 ρρ (3.42)

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TkTkTkTkTkTkTkTkTk 1,2,2,12,1,11,11,1,1,11 222224444 −+++− +−+−+−+−

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=+−+−

+

− tTT

cclqlTkTkTknji

njin

jinji

nji

,1

,2211

22,11,1,2 3222 ρρ (3.43)

2,211,21,1211,1,11 )412()(2)(244 qlTkkTkkTkkTkTk nji

nji

nji

nji

nji ++−+++++ −++−

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=

+

tTT

cclnji

nji ,

1,

22112 3 ρρ (3.44)

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TT

lccTkk

tlcc

qlTkkTkkTkTkt ,

1,2

211

,212

2211

21,21,1211,1,11

)3()412(

)3()(2)(244

−=+

+∆−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++++++∆ +−++−

ρρρρ (3.45)

1,2

211

,21,2

2211

21,21,1211,1,11

)3()412(

)3()(2)(244 +−++− =

+

+∆−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++++++∆ n

ji

njin

ji

nji

nji

nji

nji T

lccTkk

tTlcc

qlTkkTkkTkTkt

ρρρρ (3.46)

nji

nji

nji

nji

njin

ji Tlcc

kktlcc

qlTkkTkkTkTktT ,2

2211

212

2211

21,21,1211,1,111

, )3()3(41

)3()(2)(244

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+∆−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++++++∆= −++−+

ρρρρ (3.47) Dengan syarat stabilitas

0)3()3(41 2

2211

21 ≥+

+∆−

lcckkt

ρρ

22211

21

)3()3(41lcc

kktρρ ++∆

≥ (3.48)

221

22211

)3(4)3(

lkklcct

++

≤∆ρρ

3.2.5.Kasus 5(Titik dipermukaan antara benda A dengan benda B,misal titik 65)

Ti,j+1

k1 qk1

qk6 qk2

Ti-1,j Ti,j Ti+1,j

qk5 q qk3 y∆

k2

Ti,j-1 x∆


= volume kontrol


[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 + qk5 + qk6 ] + ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2Vq =

tTcV∂∂ρ (3.49)

( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆ −+++

yTT

xkx

TTykx

TTyky

TTxk

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji ,1,

2,,1

2,,1

1,1,

1 112

)1(2

1)(

( ) ( ) ( ) )1(2

12

12

,,11

,,12 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+ −− yxq

xTTyk

xTTyk

nji

nji

nji

nji

= ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆∆

++

tTTyxc

tTTyxc

nji

nji

nji

nji ,

1,

22,

1,

11 )1(2

12

ρρ (3.50)

lyx =∆=∆

( ) ( ) )(2

)(2

)(2 ,,1

2,1,2,,1

2,,1

1,1,1

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −−+++

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=+−+

+

− tTT

cclqlTTk nji

njin

jin

ji,

1,

2211

22

,,11

22)(

2ρρ (3.51)

Persamaan (3.51) dikali 2,maka

( ) ( ) )()(2)(2 ,,12,1,2,,12,,11,1,1nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −−+++

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=+−+

+

− tTT

cclqlTTknji

njin

jin

ji,

1,

221122

,,11 )( ρρ (3.52)

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TkTkTkTkTkTkTkTkTk ,12,21,2,2,12,1,11,11,1 2222 −−+++ +−+−+−+−

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=+−+−

+

− tTT

cclqlTkTkTknji

njin

jin

jinji

,1

,2211

22,1,11,2 ρρ (3.53)

2,21,1211,2,1211,1 )44()(2)(2 qlTkkTkkTkTkkTk nji

nji

nji

nji

nji ++−++++++ −−++

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+=

+

tTT

cclnji

nji ,

1,

22112 ρρ (3.54)

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TT

lccTkk

tlcc

qlTkkTkTkkTkt ,

1,2

211

,212

2211

2,1211,2,1211,1

)()44(

)()(2)(2

−=+

+∆−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++++++∆ +−−++

ρρρρ (3.55)

1,2

211

,21,2

2211

2,1211,2,1211,1

)()44(

)()(2)(2 +−−++ =

+

+∆−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++++++∆ n

ji

njin

ji

nji

nji

nji

nji T

lccTkk

tTlcc

qlTkkTkTkkTkt

ρρρρ (3.56)

nji

nji

nji

nji

njin

ji Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT ,2

2211

212

2211

2,1211,2,1211,11

, )()(41

)()(2)(2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+∆−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++++++∆= −−+++

ρρρρ (3.57) Dengan syarat stabilitas

0)()(41 2

2211

21 ≥+

+∆−

lcckkt

ρρ

22211

21

)()(41lcc

kktρρ ++∆

≥ (3.58)

)(4)(

21

22211

kklcct

++

≤∆ρρ

3.2.6. Kasus 6 (Titik di dalam benda B, misal titik 80)

Ti,j+1

qk1

Ti-1,j qk4 Ti,j qk2 Ti+1,j

q y∆

qk3

Ti,j-1 x∆


= volume kontrol


[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 ] + [ ]qV = tTcV∂∂ρ (3.59)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆ −++−

yTT

xkx

TTyk

yTT

xkx

TTyk

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji ,1,,,1,1,,,1 11)(11)(

)1)()(( yxq ∆∆+ = ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−∆∆

+

tTT

yxcnji

nji ,

1,1)(ρ (3.60)

lyx =∆=∆

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=+−+−+−+−

+

−++− tTT

clqlTTkTTkTTkTTknji

njin

jinji

nji

nji

nji

nji

njiji

,1

,22,1,,,1,1,,.1 )( ρ

(3.61)


( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=+−+−+−+−

+

−++− tTT

lkc

kqlTTTTTTTT

nji

njin

jinji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

,1

,22

,1,,,1,1,,,1 )( ρ (3.62)

Bila c

kρ


( )nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji TT

tl

kqlTTTTTTTT ,

1,

22

,1,,,1,1,,,1 −∆

=+−+−+−+− +−++− α

(3.63)

2)( xtFo ∆

∆=

α , maka diperoleh

( )nji

nji

o

nji

nji

nji

nji

nji TT

FT

kqlTTTT ,

1,,

2

1,,11,,114 −=−++++ +

−++− (3.64)

nji

nji

njioo

njio

njio

njio

njio TTTFF

kqlTFTFTFTF ,

1,,

2

1,,11,,1 4 −=−++++ +−++− (3.65)

1,,,

2

1,,11,,1 4 +−++− =−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++ n

jinjio

nji

nji

nji

nji

njio TTFT

kqlTTTTF (3.66)

( ) njio

nji

nji

nji

njio

nji TF

kqlTTTTFT ,

2

1,,11,,11

, 41−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++= −++−

+ (3.67)


041 ≥− oF

41

≤oF

α4)( 2xt ∆

≤∆ (3.68)

BAB IV

HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil Perhitungan

Untuk penganalisaan, grafik yang akan dianalisis adalah perjalanan suhu titik

yang terletak pada satu baris (diambil titik 105 sampai dengan 119). Hal ini

dimaksudkan agar pada grafik yang akan dibuat dan dianalisis dapat terlihat jelas

perjalanan suhunya sampai dengan keadaan yang telah ditentukan (suhu pada tepi

mencapai 100oC), sekaligus waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai keadaan

tersebut (karena diantara titik 105 – 119 terdapat titik 112 yang merupakan titik pusat

dari benda).

4.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h Yang Bervariasi

Fluida yang berada disekeliling benda memiliki h tertentu, harga h tersebut

divariasikan. Dengan nilai energi pembangkitan •

q = 20 MW/m3. Bahan A pada benda

adalah seng, sedangkan bahan B adalah baja karbon 0,5% C. Sifat-sifat logam yang

perlu diketahui dapa dilihat pada tabel 4.1.

Tabel 4.1. Nilai sifat-sifat logam Logam ρ

kg/m3

cp

kJ/kg.oC

k

W/m.oC

α

m2/s

Baja karbon 0,5%C

Aluminium

Nikel

Magnesium

Seng

Besi

7833

2707

8906

1746

7144

7897

0,465

0,896

0,4459

1,013

0,3843

0,452

54

204

90

171

112,2

73

1,474 x 10-5

8,418 x 10-5

2,266 x 10-5

9,708 x 10-5

4,106 x 10-5

2,034 x 10-5

Sumber : J.P. Holman, Perpindahan Kalor, halaman 581

4.1.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 1000W/m2oC

Kondisi awal : Suhu awal benda merata, sebesar Ti = 30oC, dinyatakan dalam model matematik :

T(x,y,0) = Ti = 30oC , ≤≤ x0 a, ≤≤ y0 a, t = 0

Kondisi batas

Pada kondisi batas, pada saat t > 0, terdapat fluida yang memiliki suhu

∞T 1 = ∞T 2 = ∞T 3 = ∞T 4 = ∞T = 100oC. Harga h = 1000W/m2oC

1.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂+

−−∂

∂−

∂+=

∞=

xtyxTAk

ytyxTAk

TtyxThAy

tyxTAk

yyy

yy

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 1

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (4.1)

x = 0, 0 < y < a, t > 0

2.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂+

−+∂

∂−

∂+=

∞=

ytyxTAk

xtyxTAk

tyxTThAx

tyxTAk

xxx

xx

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 2

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (4.2)

y = a, 0 < x < a, t > 0

3.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂−

−+∂

∂

∂+=

∞=

xtyxTAk

ytyxTAk

tyxTThAy

tyxTAk

yyy

yy

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 3

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (4.3)

x = a, 0 < y < a, t > 0

4.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂−

−−∂

∂

∂+=

∞=

ytyxTAk

xtyxTAk

TtyxThAx

tyxTAk

xxx

xx

),,(2

),,(2

)),,((),,(2 4

t

tyxTVc∂

∂=

),,(2

ρ (4.4)

y = 0, 0 < y < a, t > 0

5.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂+

−+−− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

tyxTTAhTtyxTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 21

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (4.5)

x = 0, y = a, t > 0

6.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂

∂−

−+− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

tyxTTAhtyxTTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 32

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (4.6)

x = a, y = a, t > 0

7.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂−

−−− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

TtyxTAhtyxTTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 43

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (4.7)

x = a, y = 0, t > 0

8.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂

∂+

−−−− ∞∞

ytyxTAk

xtyxTAk

TtyxTAhTtyxTAh

),,(2

),,(2

)),,((2

)),,((2 14

t

tyxTVc∂

∂=

),,(4

ρ (4.8)

x = 0, y = 0, t > 0

Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.2. Perjalanan

suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.1.

Tabel 4.2. Hasil perhitungan dengan nilai h = 1000 W/m2oC Suhu (oC)

No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 26,75 det

1 105 30 52,234 66,120 78,691 104,679

2 106 30 48,619 63,719 77,452 105,872

3 107 30 46,428 62,715 77,714 108,838

4 108 30 45,868 63,395 79,807 113,997

5 109 30 47,235 66,194 84,249 122,031

6 110 30 54,549 76,752 97,570 141,246

7 111 30 56,603 81,043 103,617 150,770

8 112 30 56,966 82,128 105,309 153,617

9 113 30 56,603 81,043 103,617 150,770

10 114 30 54,549 76,752 97,570 141,246

11 115 30 47,235 66,194 84,249 122,031

12 116 30 45,868 63,395 79,807 113,997

13 117 30 46,428 62,715 77,714 108,838

14 118 30 48,619 63,719 77,452 105,872

15 119 30 52,234 66,120 78,691 104,679

Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

020406080

100120140160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suhu

(o C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 26,75 s

Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3

Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 1000 W/m2oC

Gambar 4.1. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

4.1.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 2000W/m2oC Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.3. Perjalanan




1 105 30 63,345 76,933 87,791 103,123

2 106 30 57,419 73,293 86,110 104,266

3 107 30 52,925 70,802 85,644 106,855

4 108 30 50,093 69,757 86,740 111,330

5 109 30 49,214 70,586 89,898 118,339

6 110 30 54,947 78,512 100,778 134,975

7 111 30 56,676 81,746 105,479 142,704

8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922

9 113 30 56,676 81,746 105,479 142,704

10 114 30 54,947 78,512 100,778 134,975

11 115 30 49,214 70,586 89,898 118,339

12 116 30 50,093 69,757 86,740 111,330

13 117 30 52,925 70,802 85,644 106,855

14 118 30 57,419 73,293 86,110 104,266

15 119 30 63,345 76,933 87,791 103,123


0

40

80

120

160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suhu

(o C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t =23,6 s

Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3







1 105 30 79,448 89,125 95,948 103,504

2 106 30 70,697 84,538 94,431 102,516

3 107 30 63,110 80,723 93,779 104,553

4 108 30 57,007 77,998 94,368 108,077

5 109 30 52,751 76,778 96,687 113,695

6 110 30 55,715 81,267 105,118 126,866

7 111 30 56,825 82,933 108,215 132,229

8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922

9 113 30 56,825 82,933 108,215 132,229

10 114 30 55,715 81,267 105,118 126,866

11 115 30 52,751 76,778 96,687 113,695

12 116 30 57,007 77,998 94,368 108,077

13 117 30 63,110 80,723 93,779 104,553

14 118 30 70,697 84,538 94,431 102,516

15 119 30 79,448 89,125 95,948 103,504


0

40

80

120

160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suhu

(o C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 20,1 s

Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3







1 105 30 88,563 94,522 98,589 100,756

2 106 30 78,596 89,785 97,508 101,633

3 107 30 69,480 85,616 97,109 103,298

4 108 30 61,596 82,342 97,798 106,225

5 109 30 55,384 80,365 100,064 110,996

6 110 30 56,352 83,068 107,579 122,110

7 111 30 56,958 83,783 109,910 126,109

8 112 30 57,108 83,945 110,402 127,052

9 113 30 56,958 83,783 109,910 126,109

10 114 30 56,352 83,068 107,579 122,110

11 115 30 55,384 80,365 100,064 110,996

12 116 30 61,596 82,342 97,798 106,225

13 117 30 69,480 85,616 97,109 103,298

14 118 30 78,596 89,785 97,508 101,633

15 119 30 88,563 94,522 98,589 100,756


0

40

80

120

160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suhu

(o C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 18,3 s

Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3







1 105 30 94,030 97,325 99,561 100,385

2 106 30 83,499 92,636 98,880 101,182

3 107 30 73,592 88,395 98,768 102,618

4 108 30 64,716 84,934 99,651 105,173

5 109 30 57,355 82,646 102,028 109,414

6 110 30 56,877 84,320 109,146 119,226

7 111 30 57,076 84,415 111,055 122,369

8 112 30 57,160 84,394 111,385 123,027

9 113 30 57,076 84,415 111,055 122,369

10 114 30 56,877 84,320 109,146 119,226

11 115 30 57,355 82,646 102,028 109,414

12 116 30 64,716 84,934 99,651 105,173

13 117 30 73,592 88,395 98,768 102,618

14 118 30 83,499 92,636 98,880 101,182

15 119 30 94,030 97,325 99,561 100,385


020406080

100120140160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suhu

(o C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 17,25 s

Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3



Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat

t = 15 detik dapat dilihat pada Gambar 4.6.


0

20

40

60

80

100

120

140

160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

h = 1000 W/m h = 2000 W/m h = 5000 W/mh = 10000 W/m h = 20000 W/m

Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3

Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, t = 15 s


4.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •

q Yang Bervariasi

Harga energi pembangkitan pada benda 2 (benda di dalam) divariasi. Dengan

nilai koefisien perpindahan panas konveksi h = 5000 W/m2oC. Bahan A pada benda

adalah seng, sedangkan bahan B adalah baja karbon 0,5%C.


q = 20 MW/m3



Tabel 4.7. Hasil perhitungan dengan nilai •

q = 20 MW/m3

Suhu (oC) No Titik

t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 20,1 det

1 105 30 68,578 79,448 83,894 101,504

2 106 30 55,827 70,697 77,010 102,516

3 107 30 46,400 63,110 70,988 104,553

4 108 30 40,404 57,007 66,141 108,077

5 109 30 37,407 52,751 62,113 113,695

6 110 30 40,415 55,715 66,023 126,866

7 111 30 40,866 56,825 67,321 132,229

8 112 30 40,906 57,053 67,644 133,632

9 113 30 40,866 56,825 67,321 132,229

10 114 30 40,415 55,715 66,023 126,866

11 115 30 37,407 52,751 62,113 113,695

12 116 30 40,404 57,007 66,141 108,077

13 117 30 46,400 63,110 70,988 104,553

14 118 30 55,827 70,697 77,010 102,516

15 119 30 68,578 79,448 83,894 101,504


0

40

80

120

160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 20,1 s

Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oCBahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 20 MW/m3

Gambar 4.7.Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu


q = 50 MW/m3

Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.8. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.8.

Tabel 4.8. Hasil perhitungan dengan nilai q = 50 MW/m3

Suhu (oC) No Titik


1 105 30 69,229 83,103 89,850 103,836

2 106 30 56,986 76,390 86,098 106,406

3 107 30 48,765 72,077 84,647 111,563

4 108 30 45,116 71,053 86,460 120,466

5 109 30 46,221 74,390 92,762 134,645

6 110 30 55,879 91,747 114,508 167,881

7 111 30 57,157 96,592 121,782 181,350

8 112 30 57,264 97,450 123,339 184,828

9 113 30 57,157 96,592 121,782 181,350

10 114 30 55,879 91,747 114,508 167,881

11 115 30 46,221 74,390 92,762 134,645

12 116 30 45,116 71,053 86,460 120,466

13 117 30 48,765 72,077 84,647 111,563

14 118 30 56,986 76,390 86,098 106,406

15 119 30 69,229 83,103 89,850 103,836


020406080

100120140160180200

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 12,05 s


Gambar 4.8 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu


q = 75 MW/m3



Suhu (oC) No Titik


1 105 30 69,771 86,148 94,814 105,651

2 106 30 57,951 81,134 93,672 109,434

3 107 30 50,735 79,550 96,030 117,019

4 108 30 49,042 82,759 103,392 130,099

5 109 30 53,566 92,422 117,669 150,881

6 110 30 68,765 121,773 154,912 198,675

7 111 30 70,733 129,731 167,167 216,895

8 112 30 70,896 131,114 169,753 221,324

9 113 30 70,733 129,731 167,167 216,895

10 114 30 68,765 121,773 154,912 198,675

11 115 30 53,566 92,422 117,669 150,881

12 116 30 49,042 82,759 103,392 130,099

13 117 30 50,735 79,550 96,030 117,019

14 118 30 57,951 81,134 93,672 109,434

15 119 30 69,771 86,148 94,814 105,651


0

50

100

150

200

250

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 9,8 s




q = 100 MW/m3



Suhu (oC) No Titik


1 105 30 70,314 89,194 99,777 107,183

2 106 30 58,917 85,877 101,246 112,031

3 107 30 52,706 87,022 107,413 121,828

4 108 30 52,969 94,464 120,324 138,769

5 109 30 60,910 110,455 142,576 165,679

6 110 30 81,652 151,800 195,316 226,474

7 111 30 84,309 162,870 212,551 248,308

8 112 30 84,527 164,778 216,166 253,320

9 113 30 84,309 162,870 212,551 248,308

10 114 30 81,652 151,800 195,316 226,474

11 115 30 60,910 110,455 142,576 165,679

12 116 30 52,969 94,464 120,324 138,769

13 117 30 52,706 87,022 107,413 121,828

14 118 30 58,917 85,877 101,246 112,031

15 119 30 70,314 89,194 99,777 107,183


0

40

80

120

160

200

240

280

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 8,5 s




q = 125 MW/m3



Suhu (oC) No Titik


1 105 30 70,856 92,239 104,741 108,627

2 106 30 59,883 90,621 108,819 114,486

3 107 30 54,676 94,495 118,795 126,393

4 108 30 56,895 106,170 137,257 147,021

5 109 30 68,255 128,487 167,484 179,784

6 110 30 94,538 181,826 235,721 252,596

7 111 30 97,884 196,010 257,936 277,419

8 112 30 98,159 198,442 262,579 282,841

9 113 30 97,884 196,010 257,936 277,419

10 114 30 94,538 181,826 235,721 252,596

11 115 30 68,255 128,487 167,484 179,784

12 116 30 56,895 106,170 137,257 147,021

13 117 30 54,676 94,495 118,795 126,393

14 118 30 59,883 90,621 108,819 114,486

15 119 30 70,856 92,239 104,741 108,627


0

50

100

150

200

250

300

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 7,65 s



Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat t = 7 detik

dapat dilihat pada Gambar 4.12.


0

50

100

150

200

250

300

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

q = 20 MW/m3 q = 50 MW/m3 q = 75 MW/m3q = 100 MW/m3 q = 125 MW/m3

Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oC,Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, t = 7 s


4.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan 1 Bervariasi

Bahan pada benda 2 (benda di dalam) harganya divariasi. Dengan nilai

koefisien perpindahan panas konveksi h = 5000 W/m2oC dan energi pembangkitannya

•

q = 20 MW/m3. Bahan B pada benda adalah baja karbon 0,5%C sedangkan bahan A

divariasi.

4.1.3.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Besi



Tabel 4.12. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : Besi Suhu (oC)


1 105 30 84,416 90,047 94,299 100,974

2 106 30 73,917 83,310 90,518 101,871

3 107 30 63,997 76,868 87,182 103,577

4 108 30 54,898 70,952 84,583 106,563

5 109 30 46,991 65,971 83,158 111,457

6 110 30 50,501 70,632 90,056 123,690

7 111 30 51,528 72,390 92,702 128,919

8 112 30 51,702 72,818 93,374 130,334

9 113 30 51,528 72,390 92,702 128,919

10 114 30 50,501 70,632 90,056 123,690

11 115 30 46,991 65,971 83,158 111,457

12 116 30 54,898 70,952 84,583 106,563

13 117 30 63,997 76,868 87,182 103,577

14 118 30 73,917 83,310 90,518 101,871

15 119 30 84,416 90,047 94,299 100,974


0

40

80

120

160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 24,5 s

Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3

Bahan A = Besi, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC


4.1.3.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Nikel


Tabel 4.13. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : nikel Suhu (oC)

No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 23,05det

1 105 30 81,862 89,014 94,302 101,212

2 106 30 72,042 83,050 91,320 102,162

3 107 30 63,007 77,549 88,942 104,017

4 108 30 55,030 72,783 87,503 107,256

5 109 30 48,482 69,184 87,480 112,532

6 110 30 52,772 74,988 96,145 126,747

7 111 30 54,108 77,249 99,581 132,929

8 112 30 54,350 79,819 100,474 134,624

9 113 30 54,108 77,249 99,581 132,929

10 114 30 52,772 74,988 96,145 126,747

11 115 30 48,482 69,184 87,480 112,532

12 116 30 55,030 72,783 87,503 107,256

13 117 30 63,007 77,549 88,942 104,017

14 118 30 72,042 83,050 91,320 102,162

15 119 30 81,862 89,014 94,302 101,212


0

40

80

120

160

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

Titik

Suhu

(o C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 23,05

Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3

Bahan A = Nikel, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC


4.1.3.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Seng


Tabel 4.14. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : seng Suhu (oC)


1 105 30 79,448 89,125 95,948 103,504

2 106 30 70,697 84,538 94,431 102,516

3 107 30 63,110 80,723 93,779 104,553

4 108 30 57,007 77,998 94,368 108,077

5 109 30 52,751 76,778 96,687 113,695

6 110 30 55,715 81,267 105,118 126,866

7 111 30 56,825 82,933 108,215 132,229

8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922

9 113 30 56,825 82,933 108,215 132,229

10 114 30 55,715 81,267 105,118 126,866

11 115 30 52,751 76,778 96,687 113,695

12 116 30 57,007 77,998 94,368 108,077

13 117 30 63,110 80,723 93,779 104,553

14 118 30 70,697 84,538 94,431 102,516

15 119 30 79,448 89,125 95,948 103,504


0

40

80

120

160

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

Titik

Suhu

(o C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 20,1 s

Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3



4.1.3.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Magnesium


Tabel 4.15. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : magnesium Suhu (oC)


1 105 30 74,419 88,724 98,097 102,162

2 106 30 67,660 85,915 97,992 103,250

3 107 30 62,740 84,383 99,084 105,553

4 108 30 60,007 84,465 101,746 109,474

5 109 30 59,761 86,523 106,432 115,530

6 110 30 59,629 89,233 115,475 128,394

7 111 30 59,834 89,715 118,315 133,081

8 112 30 59,907 89,780 118,911 134,197

9 113 30 59,834 89,715 118,315 133,081

10 114 30 59,629 89,233 115,475 128,394

11 115 30 59,761 86,523 106,432 115,530

12 116 30 60,007 84,465 101,746 109,474

13 117 30 62,740 84,383 99,084 105,553

14 118 30 67,660 85,915 97,992 103,250

15 119 30 74,419 88,724 98,097 102,162


0

40

80

120

160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 17,85 s

Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3

Bahan A = Magnesium, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC


4.1.3.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Aluminium


Tabel 4.16. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : aluminium

Suhu (oC) No Titik

t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 15,45det

1 105 30 72,425 90,525 103,170 104,104

2 106 30 66,663 89,052 104,723 105,881

3 107 30 63,446 89,775 108,297 109,665

4 108 30 63,514 93,431 114,609 116,175

5 109 30 67,961 101,145 124,774 126,523

6 110 30 114,785 150,224 175,330 177,188

7 111 30 139,574 176,450 202,469 204,396

8 112 30 142,285 184,655 210,983 212,933

9 113 30 139,574 176,450 202,469 204,396

10 114 30 114,785 150,224 175,330 177,188

11 115 30 67,961 101,145 124,774 126,523

12 116 30 63,514 93,431 114,609 116,175

13 117 30 63,446 89,775 108,297 109,665

14 118 30 66,663 89,052 104,723 105,881

15 119 30 72,425 90,525 103,170 104,104


0

50

100

150

200

250

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 15,45 s

Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3

Bahan A = Aluminium, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC


Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat t =

15 detik dapat dilihat pada Gambar 4.18


0

50

100

150

200

250

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

Suh

u (o C

)

Besi - Baja karbon 0,5%C Nikel - Baja karbon 0,5%CSeng - Baja karbon 0,5%C Magnesium - Baja karbon 0,5%CAluminium - Baja karbon 0,5%C

Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3, h = 5000 W/m2oC, t = 15 s


4.2. Pembahasan

4.2.1. Distribusi Suhu Dengan Variasi Nilai h

Dari Gambar 4.6. dapat dilihat perjalanan suhu pada beberapa titik

(titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan nilai koefisien perpindahan

panas konveksi (h) yang berbeda. Untuk nilai h yang lebih besar, suhu yang

dihasilkan lebih tinggi daripada suhu dengan nilai h yang lebih kecil. Semakin

besar nilai h maka suhu semakin tinggi dan suhu semakin cepat menyesuaikan

lingkungan di sekitarnya (pada proses pemanasan). Hal ini dapat di lihat dalam

tabel 4.17. dan 4.18.

Tabel 4.17. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100oC , komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan •

q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC Suhu (oC)

Titik h = 1000 W/m2oC

h = 2000 W/m2oC

h = 5000 W/m2oC

h = 10000 W/m2oC

h = 20000 W/m2oC

105 78,691 87,791 95,948 98,589 99,561

106 77,452 86,110 94,431 97,508 98,880

107 77,714 85,644 93,779 97,109 98,768

108 79,807 86,740 94,368 97,798 99,651

109 84,249 89,898 96,687 100,064 102,028

110 97,570 100,778 105,118 107,579 109,146

111 103,617 105,479 108,215 109,910 111,055

112 105,309 106,765 106,765 110,402 111,385

113 103,617 105,479 108,215 109,910 111,055

114 97,570 100,778 105,118 107,579 109,146

115 84,249 89,898 96,687 100,064 102,028

116 79,807 86,740 94,368 97,798 99,651

117 77,714 85,644 93,779 97,109 98,768

118 77,452 86,110 94,431 97,508 98,880

119 78,691 87,791 95,948 98,589 99,561

Tabel 4.18. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC, komposisi

bahan seng – baja karb0n 0,5%C, dan •

q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC No h (W/m2oC) Waktu (detik) 1 1000 26,75 2 2000 23,6 3 5000 20,1 4 10000 18,3 5 20000 17,25

4.2.2. Distribusi Suhu Dengan Variasi Nilai •

q Dari Gambar 4.12. kita dapat melihat perjalanan suhu pada beberapa titik

(titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan energi pembangkitan (•

q ) yang

berbeda. Untuk nilai •

q yang lebih besar, suhu yang dihasilkan lebih tinggi daripada

suhu dengan nilai •

q yang lebih kecil. Semakin besar nilai •

q maka suhu yang dihasilkan semakin tinggi. Hal ini dapat di lihat dalam tabel 4.19.dan 4.20. Tabel 4.19. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 7 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100oC, komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m2oC, Ti = 30oC, ∞T = 100oC

Suhu (oC) Titik •

q = 20 MW/m3

•

q = 50 MW/m3

•

q = 75 MW/m3

•

q = 100 MW/m3

•

q = 125 MW/m3

105 83,894 89,850 94,814 99,777 104,741

106 77,010 86,098 93,672 101,246 108,819

107 70,988 84,647 96,030 107,413 118,795

108 66,141 86,460 103,392 120,324 137,257

109 62,113 92,762 117,669 142,576 167,484

110 66,023 114,508 154,912 195,316 235,721

111 67,321 121,782 167,167 212,551 257,936

112 67,644 123,339 169,753 216,166 262,579

113 67,321 121,782 167,167 212,551 257,936

114 66,023 114,508 154,912 195,316 235,721

115 62,113 92,762 117,669 142,576 167,484

116 66,141 86,460 103,392 120,324 137,257

117 70,988 84,647 96,030 107,413 118,795

118 77,010 86,098 93,672 101,246 108,819

119 83,894 88,332 94,814 99,777 104,741

Tabel 4.20. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC, komposisi bahan seng - aluminium, dan h = 5000 W/m2oC, Ti = 30oC, ∞T = 100oC

No •

q (MW/m3) Waktu (detik) 1 20 20,1 2 50 12,05 3 75 9,8 4 100 8,5 5 125 765

4.2.3. Distribusi Suhu Dengan Variasi Bahan Pada Bagian Luar

Dari Gambar 4.18. kita dapat melihat perjalanan suhu pada beberapa titik

(titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan koefisien perpindahan panas

konduksi (k) yang berbeda. Untuk nilai k (bahan yang di bagian luar) yang lebih

besar, suhu yang dihasilkan lebih tinggi daripada suhu dengan nilai k yang lebih

kecil. Semakin besar nilai k maka suhu semakin tinggi. Hal ini dapat di lihat

dalam tabel 4.21. dan 4.22.

Tabel 4.21. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di

sudut benda mencapai 100oC, h = 5000W/m2oC, dan •

q = 20 MW/m3, Ti = 30oC,

∞T = 100oC Suhu (oC)

Titik Besi – Baja karbon

0,5% C

Nikel – Baja karbon

0,5% C

Seng – Baja karbon

0,5% C

Magnesium- Baja karbon

0,5% C

Aluminium- Baja karbon 0,5% C

105 94,299 94,302 95,948 98,097 103,170

106 90,518 91,320 94,431 97,992 104,723

107 87,182 88,942 93,779 99,084 108,297

108 84,583 87,503 94,368 101,746 114,609

109 83,158 87,480 96,687 106,432 124,774

110 90,056 96,145 105,118 115,475 175,330

111 92,702 99,581 108,215 118,315 202,469

112 93,374 100,474 106,765 118,911 210,983

113 92,702 99,581 108,215 118,315 202,469

114 90,056 96,145 105,118 115,475 175,330

115 83,158 87,480 96,687 106,432 124,774

116 84,583 87,503 94,368 101,746 114,609

117 87,182 88,942 93,779 99,084 108,297

118 90,518 91,320 94,431 97,992 104,723

119 94,299 94,302 95,948 98,097 103,170

Tabel 4.22. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC,

h = 5000W/m2oC, dan •

q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC No Bahan Waktu (detik) 1 Besi - Baja karbon 0,5%C 24,5 2 Nikel – Baja karbon 0,5%C 23,05 3 Seng – Baja karbon 0,5%C 20,1 4 Magnesium – Baja karbon 0,5%C 17,85 5 Aluminium - Baja karbon 0,5%C 15,45

BAB V

PENUTUP

5.1. KESIMPULAN

Dari hasil perhitungan untuk beberapa kasus yang ditinjau ,diperoleh kesimpulan :

1. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) maka suhu di

dalam benda semakin tinggi (proses pemanasan) dan suhu semakin cepat

menyesuaikan dengan lingkungan sekitar.

2. Semakin besar nilai energi pembangkitan (•

q ) maka suhu di dalam benda

semakin tinggi.

3. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konduksi (k) pada bahan di

bagian luar maka suhu di dalam benda semakin tinggi.

5.2. SARAN

Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat dapat dilakukan dengan

memperbanyak node ( x∆ diperkecil )

DAFTAR PUSTAKA

Cangel, Yunus A. 1998. Heat Transfer A Practical Approach. USA. McGraw-Hill Companies.

Holman, J.P. 1988. Perpindahan Kalor. Jakarta. Erlangga.

Kreith, F. 1986. Prinsip-Prinsip Perpindahan Panas. Jakarta. Erlangga.

1. ( ) noo

nno

n TBiFFBiTTTFT 01151

0 441)2(2 −−+++= ∞+

2. ( ) noo

nnno

n TBiFFBiTTTTFT 121601

1 241)22( −−++++= ∞+

3. ( ) noo

nnno


2 241)22( −−++++= ∞+

4. ( ) noo

nnno


3 241)22( −−++++= ∞+

5. ( ) noo

nnno


4 241)22( −−++++= ∞+

6. ( ) noo

nnno


5 241)22( −−++++= ∞+

7. ( ) noo

nnno


6 241)22( −−++++= ∞+

8. ( ) noo

nnno


7 241)22( −−++++= ∞+

9. ( ) noo

nnno


8 241)22( −−++++= ∞+

10. ( ) noo

nnno


9 241)22( −−++++= ∞+

11. ( ) noo

nnno


10 241)22( −−++++= ∞+

12. ( ) noo

nnno


11 241)22( −−++++= ∞+

13. ( ) noo

nnno


12 241)22( −−++++= ∞+

14. ( ) noo

nnno


13 241)22( −−++++= ∞+

15. ( ) noo

nno


14 441)2(2 −−+++= ∞+

16. ( ) noo

nnno


15 241)22( −−++++= ∞+

17. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1617311511

16 41)( −++++=+

18. ( ) no

nnnno


17 41)( −++++=+

19. ( ) no

nnnno


18 41)( −++++=+

20. ( ) no

nnnno


19 41)( −++++=+

21. ( ) no

nnnno


20 41)( −++++=+

22. ( ) no

nnnno


21 41)( −++++=+

23. ( ) no

nnnno


22 41)( −++++=+

24. ( ) no

nnnno


23 41)( −++++=+

25. ( ) no

nnnno


24 41)( −++++=+

26. ( ) no

nnnno


24 41)( −++++=+

27. ( ) no

nnnno


25 41)( −++++=+

28. ( ) no

nnnno


27 41)( −++++=+

29. ( ) no

nnnno


28 41)( −++++=+

30. ( ) noo

nnno


29 241)22( −−++++= ∞+

31. ( ) noo

nnno


30 241)22( −−++++= ∞+

32. ( ) no

nnnno


31 41)( −++++=+

33. ( ) no

nnnno


32 41)( −++++=+

34. ( ) no

nnnno


33 41)( −++++=+

35. ( ) no

nnnno


34 41)( −++++=+

36. ( ) no

nnnno


35 41)( −++++=+

37. ( ) no

nnnno


36 41)( −++++=+

38. ( ) no

nnnno


37 41)( −++++=+

39. ( ) no

nnnno


38 41)( −++++=+

40. ( ) no

nnnno


39 41)( −++++=+

41. ( ) no

nnnno


40 41)( −++++=+

42. ( ) no

nnnno


41 41)( −++++=+

43. ( ) no

nnnno


42 41)( −++++=+

44. ( ) no

nnnno


43 41)( −++++=+

45. ( ) noo

nnno


44 241)22( −−++++= ∞+

46. ( ) noo

nnno


45 241)22( −−++++= ∞+

47. ( ) no

nnnno


46 41)( −++++=+

48. ( ) no

nnnno


47 41)( −++++=+

49. ( ) no

nnnno


48 41)( −++++=+

50. ( ) no

nnnno


49 41)( −++++=+

51. ( ) no

nnnno


50 41)( −++++=+

52. ( ) no

nnnno


51 41)( −++++=+

53. ( ) no

nnnno


52 41)( −++++=+

54. ( ) no

nnnno


53 41)( −++++=+

55. ( ) no

nnnno


54 41)( −++++=+

56. ( ) no

nnnno


55 41)( −++++=+

57. ( ) no

nnnno


56 41)( −++++=+

58. ( ) no

nnnno


57 41)( −++++=+

59. ( ) no

nnnno


58 41)( −++++=+

60. ( ) noo

nnno


59 241)22( −−++++= ∞+

61. ( ) noo

nnno


60 241)22( −−++++= ∞+

62. ( ) no

nnnno


61 41)( −++++=+

63. ( ) no

nnnno


62 41)( −++++=+

64. ( ) no

nnnno


63 41)( −++++=+

65. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkkTkTktT 642

2211

212

2211

2792165214916311

64 )3()3(4

1)3(

)(2)(244⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

66. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 652

2211

212

2211

2662180264215011

65 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

67. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 662

2211

212

2211

2672181265215111

66 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

68. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 672

2211

212

2211

2682182266215211

67 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

69. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 682

2211

212

2211

2692183267215311

68 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

70. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 692

2211

212

2211

2702184268215411

69 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

71. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkkTkTktT 702

2211

212

2211

2712185216915511

70 )3()3(4

1)3(

)(2)(244⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

72. ( ) no

nnnno


71 41)( −++++=+

73. ( ) no

nnnno


72 41)( −++++=+

74. ( ) no

nnnno


73 41)( −++++=+

75. ( ) noo

nnno


74 241)22( −−++++= ∞+

76. ( ) noo

nnno


75 241)22( −−++++= ∞+

77. ( ) no

nnnno


76 41)( −++++=+

78. ( ) no

nnnno


77 41)( −++++=+

79. ( ) no

nnnno


78 41)( −++++=+

80. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 792

2211

212

2211

2942180264217811

79 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

81. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 80

2

2

819579651

80 41)( −+++++=+

82. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 81

2

2

829680661

81 41)( −+++++=+

83. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 82

2

2

839781671

82 41)( −+++++=+

84. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 83

2

2

849882681

83 41)( −+++++=+

85. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 84

2

2

859983691

84 41)( −+++++=+

86. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 852

2211

212

2211

21002184270218611

85 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

87. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 868710185711

86 41)( −++++=+ 88. ( ) n

onnnn

on TFTTTTFT 87881028672

187 41)( −++++=+

89. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 888910387731

88 41)( −++++=+

90. ( ) noo

nnno


89 241)22( −−++++= ∞+

91. ( ) noo

nnno


90 241)22( −−++++= ∞+

92. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 919210690761

91 41)( −++++=+

93. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 929310791771

92 41)( −++++=+

94. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 939410892781

93 41)( −++++=+

95. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 942

2211

212

2211

21092195279219311

94 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

96. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 95

2

2

1109680941

95 41)( −+++++=+

97. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 96

2

2

1119781951

96 41)( −+++++=+

98. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 97

2

2

1129882961

97 41)( −+++++=+

99. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 98

2

2

1139983971

98 41)( −+++++=+

100. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 99

2

2

11410084981

99 41)( −+++++=+

101. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1002

2211

212

2211

211521992852110111

100 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ 102. ( ) n

onnnn

on TFTTTTFT 10110211610086

1101 41)( −++++=+

103. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 102103117101871

102 41)( −++++=+

104. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 103104118102881

103 41)( −++++=+

105. ( ) noo

nnno


104 241)22( −−++++= ∞+

106. ( ) noo

nnno


105 241)22( −−++++= ∞+

107. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 106107121105911

106 41)( −++++=+

108. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 107108122106921

107 41)( −++++=+

109. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 108109123107931

108 41)( −++++=+

110. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1092

2211

212

2211

2124211102942110811

109 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

111. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 110

2

2

111125109951

110 41)( −+++++=+

112. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 111

2

2

112126110961

111 41)( −+++++=+

113. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 112

2

2

113127111971

112 41)( −+++++=+

114. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 113

2

2

114128112981

113 41)( −+++++=+

115. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 114

2

2

115129113991

114 41)( −+++++=+

116. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1152

2211

212

2211

21302111421002111611

115 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ 117. ( ) n

onnnn

on TFTTTTFT 116117131115101

1116 41)( −++++=+

118. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1171181321161021

117 41)( −++++=+

119. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1181191331171031

118 41)( −++++=+

120. ( ) noo

nnno


119 241)22( −−++++= ∞+

121. ( ) noo

nnno


120 241)22( −−++++= ∞+

122. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1211221361201061

121 41)( −++++=+

123. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1221231371211071

122 41)( −++++=+

124. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1231241381221081

123 41)( −++++=+

125. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1242

2211

212

2211

21392112521092112311

124 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

126. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 125

2

2

1261401241101

125 41)( −+++++=+

127. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 126

2

2

1271411251111

126 41)( −+++++=+

128. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 127

2

2

1281421261121

127 41)( −+++++=+

129. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 128

2

2

1291431271131

128 41)( −+++++=+

130. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 129

2

2

1301441281141

129 41)( −+++++=+

131. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1302

2211

212

2211

21452112921152113111

130 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ 132. ( ) n

onnnn

on TFTTTTFT 131132146130116

1131 41)( −++++=+

133. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1321331471311171

132 41)( −++++=+

134. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1331341481321181

133 41)( −++++=+

135. ( ) noo

nnno


134 241)22( −−++++= ∞+

136. ( ) noo

nnno


135 241)22( −−++++= ∞+

137. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1361371511351211

136 41)( −++++=+

138. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1371381521361221

137 41)( −++++=+

139. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1381391531371231

138 41)( −++++=+

140. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1392

2211

212

2211

21542114021242113811

139 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

141. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 140

2

2

1411551391251

140 41)( −+++++=+

142. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 141

2

2

1421561401261

141 41)( −+++++=+

143. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 142

2

2

1431571411271

142 41)( −+++++=+

144. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 143

2

2

1441581421281

143 41)( −+++++=+

145. ( ) no

nnnno

n TFkqlTTTTFT 144

2

2

1451591431291

144 41)( −+++++=+

146. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1452

2211

212

2211

21602114421302114611

145 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ 147. ( ) n

onnnn

on TFTTTTFT 146147161145131

1146 41)( −++++=+

148. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1471481621461321

147 41)( −++++=+

149. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1481491631471331

148 41)( −++++=+

150. ( ) noo

nnno


149 241)22( −−++++= ∞+

151. ( ) noo

nnno


150 241)22( −−++++= ∞+

152. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1511521661501361

151 41)( −++++=+

153. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1521531671511371

152 41)( −++++=+

154. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1531541681521381

153 41)( −++++=+

155. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkkTkTktT 1542

2211

212

2211

21552113921169115311

154 )3()3(4

1)3(

)(2)(244⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

156. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1552

2211

212

2211

21562114021542117011

155 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

157. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1562

2211

212

2211

21572114121552117111

156 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

158. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1572

2211

212

2211

21582114221562117211

157 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

159. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1582

2211

212

2211

21592114321572117311

158 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

160. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkTkkTktT 1592

2211

212

2211

21602114421582117411

159 )()(4

1)(

)(2)(2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ

161. nnnnn

n Tlcc

kktlcc

qlTkkTkkTkTktT 1602

2211

212

2211

21592114521175116111

160 )3()3(4

1)3(

)(2)(244⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∆

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++++

∆=+

ρρρρ 162. ( ) n

onnnn

on TFTTTTFT 161162176160146

1161 41)( −++++=+

163. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1621631771611471

162 41)( −++++=+

164. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1631641781621481

163 41)( −++++=+

165. ( ) noo

nnno


164 241)22( −−++++= ∞+

166. ( ) noo

nnno


165 241)22( −−++++= ∞+

167. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1661671811651511

166 41)( −++++=+

168. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1671681821661521

167 41)( −++++=+

169. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1681691831671531

168 41)( −++++=+

170. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1691701841681541

169 41)( −++++=+

171. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1701711851691551

170 41)( −++++=+

172. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1711721861701561

171 41)( −++++=+

173. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1721731871711571

172 41)( −++++=+

174. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1731741881721581

173 41)( −++++=+

175. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1741751891731591

174 41)( −++++=+

176. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1751761901741601

175 41)( −++++=+

177. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1761771911751611

176 41)( −++++=+

178. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1771781921761621

177 41)( −++++=+

179. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1781791931771631

178 41)( −++++=+

180. ( ) noo

nnno


179 241)22( −−++++= ∞+

181. ( ) noo

nnno


180 241)22( −−++++= ∞+

182. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1811821961801661

181 41)( −++++=+

183. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1821831971811671

182 41)( −++++=+

184. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1831841981821681

183 41)( −++++=+

185. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1841851991831691

184 41)( −++++=+

186. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1851862001841701

185 41)( −++++=+

187. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1861872011851711

186 41)( −++++=+

188. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1871882021861721

187 41)( −++++=+

189. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1881892031871731

188 41)( −++++=+

190. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1891902041881741

189 41)( −++++=+

191. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1901912051891751

190 41)( −++++=+

192. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1911922061901761

191 41)( −++++=+

193. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1921932071911771

192 41)( −++++=+

194. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1931942081921781

193 41)( −++++=+

195. ( ) noo

nnno


194 241)22( −−++++= ∞+

196. ( ) noo

nnno


195 241)22( −−++++= ∞+

197. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1961972111951811

196 41)( −++++=+

198. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1971982121961821

197 41)( −++++=+

199. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1981992131971831

198 41)( −++++=+

200. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 1992002141981841

199 41)( −++++=+

201. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2002012151991851

200 41)( −++++=+

202. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2012022162001861

201 41)( −++++=+

203. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2022032172011871

202 41)( −++++=+

204. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2032042182021881

203 41)( −++++=+

205. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2042052192031891

204 41)( −++++=+

206. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2052062202041901

205 41)( −++++=+

207. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2062072212051911

206 41)( −++++=+

208. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2072082222061921

207 41)( −++++=+

209. ( ) no

nnnno

n TFTTTTFT 2082092232071931

208 41)( −++++=+

210. ( ) noo

nnno


209 241)22( −−++++= ∞+

211. ( ) noo

nno


210 441)2(2 −−+++= ∞+

212. ( ) noo

nnno


211 241)22( −−++++= ∞+

213. ( ) noo

nnno


212 241)22( −−++++= ∞+

214. ( ) noo

nnno


213 241)22( −−++++= ∞+

215. ( ) noo

nnno


214 241)22( −−++++= ∞+

216. ( ) noo

nnno


215 241)22( −−++++= ∞+

217. ( ) noo

nnno


216 241)22( −−++++= ∞+

218. ( ) noo

nnno


217 241)22( −−++++= ∞+

219. ( ) noo

nnno


218 241)22( −−++++= ∞+

220. ( ) noo

nnno


219 241)22( −−++++= ∞+

221. ( ) noo

nnno


220 241)22( −−++++= ∞+

222. ( ) noo

nnno


221 241)22( −−++++= ∞+

223. ( ) noo

nnno


222 241)22( −−++++= ∞+

224. ( ) noo

nnno


223 241)22( −−++++= ∞+

225. ( ) noo

nno


224 441)2(2 −−+++= ∞+

repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/28615/2/005214016_full[1].pdf · distribusi suhu keadaan...

Documents