repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/34703/2/151414004_full.pdf · i pelabelan total tak ajaib...

i

PELABELAN TOTAL TAK AJAIB TITIK KUAT ),( da PADA GRAF

SIKEL DENGAN TAMBAHAN n ANTING

HALAMAN JUDUL

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd.)

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Lusia Deni Nur Reni

NIM: 151414004

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

A SUPER ),( da VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING ON CYCLE

GRAPH WITH n EXTRA ARMS

A THESIS

Submitted as the Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain a Bachelor of Education Degree

on Mathematics Education Study Program

Written by:

Lusia Deni Nur Reni

Student ID: 151414004

MATHEMATICS EDUCATION STUDY PROGRAM

DEPARTEMENT OF MATHEMATICS AND SCIENCE EDUCATION

FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019


iii

SKRIPSI

PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB TITIK KUAT ),( da PADA GRAF


HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING

Disusun oleh:

Lusia Deni Nur Reni

NIM: 151414004

telah disetujui oleh:

Dosen Pembimbing Skripsi

Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si. Tanggal, 15 Mei 2019


iv

SKRIPSI

PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB TITIK KUAT ),( da PADA GRAF


LEMBAR PENGESAHAN

Dipersiapkan dan ditulis oleh:

Lusia Deni Nur Reni

NIM: 151414004

Telah dipertahankan di hadapan Panitia Penguji

Pada Tanggal: 24 Mei 2019

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Susunan Panitia Penguji:

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ........................

Sekretaris : Beni Utomo, M.Sc. ........................

Anggota I : Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si. ........................

Anggota II : Maria Suci Apriani, S.Pd., M.Sc. ........................

Anggota III : Cyrenia Novella Krisnamurti, M.Sc. ........................

Yogyakarta, Mei 2019

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si.


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Dengan tulus karya ini saya persembahkan kepada:

Tuhan Yesus Yang Maha Kasih

Kedua Orangtuaku S. Rantono dan Sumarsih

Kakak dan adikku Suharni dan Herlinda Prameswaari

Partnerku Donny Lucky Ichsan dan Teman-teman seperjuangan

Bruder Yohanes Sarju, S.J. dan Bapak M. Tri Haryono

Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata dharma


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 15 Mei 2019

Penulis,

Lusia Deni Nur Reni


vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Lusia Deni Nur Reni

Nomor Mahasiswa : 151414004

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

“PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB TITIK KUAT ),( da PADA GRAF

SIKEL DENGAN TAMBAHAN n ANTING”

Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa

perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenar-benarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal: 15 Mei 2019

Yang menyatakan

Lusia Deni Nur Reni


viii

ABSTRAK

Lusia Deni Nur Reni. 2019. Pelabelan Total Tak Ajaib Titik Kuat ),( da pada

Graf sikel dengan Tambahan n Anting. Program Studi Pendidikan

Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Pelabelan total merupakan pemetaan dengan domain titik dan sisi.

Pelabelan total tak ajaib titik dari ),( EVG merupakan pemetaan bijektif

|}|||,...,2,1{: evEVf dengan banyaknya titik || v dan banyaknya sisi || e

dan bobot setiap titik )(xwt , Vx berbeda. Bobot titik diperoleh dengan

menjumlahkan label titik tersebut dengan label semua sisi yang bersisian dengan

titik tersebut. Pada pelabelan total tak-ajaib titik ),( da himpunan bobot titiknya

membentuk suatu barisan aritmatika naik dengan suku pertama a dan beda d

dimana a dan d merupakan bilangan bulat positif. Pelabelan titik dikatakan kuat,

jika label-label sisinya |}|,...,2,1{ e dan label-label titiknya

|}|||,...,2||,1|{| evee .

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui keberlakuan pelabelan total tak-

ajaib titik kuat ),( da pada graf 1nACn dan mencari rumus umum atau pola

pelabelannya. Graf 1nACn merupakan perkembangan dari graf sikel )( nC yang

ditambahkan n titik di luar nC dan masing-masing titik terdapat tepat satu sisi yang

menghubungkan titik tersebut ke titik yang berbeda pada nC . Penelitian ini

merupakan penelitian studi pustaka dengan mengkaji beberapa penelitian

sebelumnya. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pada graf 1nACn dapat

dilakukan pelabelan total tak-ajaib titik kuat ),( da dengan 3n , untuk nilai 1d

dengan 24 na dan 3d dengan 32 na .

Kata kunci: Graf, Pelabelan Total Tak-ajaib Titik Kuat ),( da , Graf Sikel dengan

Tambahan n Anting )( 1nACn


ix

ABSTRACT

Lusia Deni Nur Reni. 2019. A Super ),( da Vertex Antimagic Total Labeling on

the Cycle Graph with n Extra Arms. Mathematics Education Study Program,

Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training

and Education, Sanata Dharma Unversity.

Total labeling is a mapping which the domain are vertexs and edges.

Vertex antimagic total labeling on graph ),( EVG is the bijection mapping of

|}|||,...,2,1{: evEVf and the weights of vertex )(xwt , Vx on the graph

are diferent, where the number of the vertex || v and the number of the edges || e .

The weight of the vertex is obtained by summing the vertex label and all edge that

is incident with its vertex. In ),( da vertex antimagic total labeling, the set of vertex

weight forms a increase arithmatic sequences for the positif integers a and ,d in

which a is first integer and d is in the different aritmatic sequence. Vertex

antimagic total labeling is called super if the labels of the edges are |}|,...,2,1{ e

and the labels of the vertex are |}|||,...,2||,1|{| evee .

The purpose of this research is to know whether the super ),( da vertex

antimagic total labeling on graph 1nACn and to find its formula or its labeling

pattern. Graph 1nACn is the development of cycle graph )( nC which is added up

with n vertex out of nC and each vertex have one edge that connect the vertex with

the unique vertex in nC . This research is the library research where the researcher

reviewed some previous studies to obtain the supporting theories. The result of this

research showed that the cycle graph with n extra arm )( 1nACn imply a super

),( da vertex antimagic total labeling with 3n . For 1d with 24 na and

3d with 32 na .

Key words: Graph, a super ),( da vertex antimagic total labeling, the cycle graph

with n extra arm )( 1nACn


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Baik, atas segala kasih

karunia dan berkat-Nya yang melimpah, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi yang berjudul “Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik Kuat ),( da pada Graf Sikel

dengan Tambahan n Anting” untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar

sarjana di Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Selama penelitian dan penulisan skripsi ini, penulis mendapat berbagai

dukungan dan bantuan oleh banyak pihak. Oleh karena itu, penulis ingin

menyampaikan terimakasih kepada:

1. Bapak Dr. Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Skripsi yang memberi inspirasi dalam memilih judul skripsi, memberi

bimbingan dan juga memberi motivasi dan semangat.

3. Bapak Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

4. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

5. Bruder Yohanes Sarju, S.J. dan Bapak M. Tri Haryono, selaku Ketua dan

Kayawan Administrasi Lembaga Kesejahteraan Mahasiswa yang selalu

mendukung, membantu dan menjadi perantara penulis sebagai penerima

beasiswa.

6. Bapak Febi Sanjawa, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang

memberikan bimbingan selama penulis belajar disini.

7. Seluruh Dosen Program Studi Matematika yang telah banyak memberikan ilmu

pengetahuan dan bekal keterampilan.


xi

8. Orang tua saya S. Rantono dan Sumarsih, serta kakak adik saya Suharni dan

Herlinda Prameswaari yang selalu memberi doa, semangat dan dukungan

kepada penulis selama penyusunan skripsi ini.

9. Teman-teman beasiswa Bidikmisi, Cerdas Humanis, dan Driyarkara sebagai

teman seperjuangan yang saling memotivasi satu sama lain.

10. Seluruh teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2015 khususnya

Donny Lucky Ichsan, Patricia Josephine Barek Baba Tapobali, Petrus Kanisius

Abiyasa, Monica Anita Bunga Krisma dan seluruh teman-teman kelas A .

11. Keluarga dan teman-teman semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis mengharapkan kritik saran yang membangun lewat penulisan

karya lain agar menjadi lebih bermanfaat. Akhir kata, Penulis berharap agar skripsi

ini dapat menambahkan ilmu yang bermanfaat bagi pembaca.

Yogyakarta, 15 Mei 2019

Penulis,

Lusia Deni Nur Reni


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ..................................................... vii

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ......... vii

ABSTRAK ........................................................................................................... viii

ABSTRACT ............................................................................................................. ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................ x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

DAFTAR NOTASI .............................................................................................. xvi

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 2

C. Batasan Masalah........................................................................................... 3

D. Tujuan dan Manfaat Penelitian .................................................................... 3

E. Sistem Penulisan .......................................................................................... 3

BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 5

A. Graf .............................................................................................................. 5

B. Pelabelan Graf ............................................................................................ 13

C. Graf Sikel dengan Tambahan 1 Anting ...................................................... 18

D. Graf Sikel dengan Tambahan 2 Anting ...................................................... 19

BAB III METODE PENELITIAN........................................................................ 21


xiii

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ...................................... 22

A. Graf Sikel )( nC dengan Tambahan n Anting )( 1nACn .......................... 22

B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik Kuat ),( da pada Graf

Sikel )( nC dengan Tambahan 𝑛 Anting )( 1nACn .................................. 25

C. Pelabelan Total Tak Ajaib Titik Kuat ),( da pada Graf 1nACn untuk

1d dan 3d .......................................................................................... 32

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 54

A. Kesimpulan ................................................................................................ 54

B. Saran ........................................................................................................... 55

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 56


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Graf G ................................................................................................. 5

Gambar 2. 2 Graf Tak Berarah ............................................................................... 7

Gambar 2. 3 Graf Berarah ....................................................................................... 7

Gambar 2. 4 Graf Kosong ....................................................................................... 8

Gambar 2. 5 Graf tak Berhingga ........................................................................... 10

Gambar 2. 6 Graf Berbobot ................................................................................... 13

Gambar 2. 7 Graf 3C ............................................................................................. 14

Gambar 2. 8 Graf dengan Pelabelan Tak-Ajaib Titik ........................................... 16

Gambar 2. 9 13 1AC ............................................................................................ 18

Gambar 2. 10 14 1AC .......................................................................................... 18

Gambar 2. 11 15 1AC .......................................................................................... 19

Gambar 2. 12 11ACn .......................................................................................... 19

Gambar 2. 13 13 2AC .......................................................................................... 19

Gambar 2. 14 14 2AC ......................................................................................... 19

Gambar 2. 15 15 2AC ......................................................................................... 20

Gambar 2. 16 12ACn ......................................................................................... 20

Gambar 3. 1 Alur Penelitian.................................................................................. 21

Gambar 4. 1 Graf 13 3AC ................................................................................... 22

Gambar 4. 2 Graf 14 4AC ................................................................................... 23

Gambar 4. 3 Graf 15 5AC ................................................................................... 24

Gambar 4. 4 Graf 1nACn ................................................................................... 24

Gambar 4. 5 Pelabelan total tak ajaib titik kuat )1,14( pada 13 3AC .................. 33

Gambar 4. 6 Pelabelan total tak ajaib titik kuat )1,18( pada 14 4AC .................. 34

Gambar 4. 7 Pelabelan total tak ajaib titik kuat )1,22( pada 15 5AC ................ 35

Gambar 4. 8 Pelabelan total tak ajaib titik kuat (9,3) pada 13 3AC ................... 43


xv

Gambar 4. 9 Pelabelan total tak ajaib titik kuat (11,3) pada 14 4AC ................ 44

Gambar 4. 10 Pelabelan total tak ajaib titik kuat (13,3) pada 15 5AC .............. 45


xvi

DAFTAR NOTASI

: gabungan himpunan

: untuk setiap

: mendekati

∎ : akhir pembuktian

},...,,{ 21 ivvvV : himpunan titik pada graf

iv : titik ke-i

},...,,{ 21 ieeeE : himpunan sisi pada graf

)( jivve : sisi yang menghubungkan iv dan jv

),( EVG : graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E

)( ivd : derajat titik iv

|| v : banyaknya titik pada graf

|| e : banyaknya sisi pada graf

vS : jumlah semua label titik

eS : jumlah semua label sisi

wS : jumlah semua bobot titik

)( ivwt : bobot titik iv

)( jivvwt : bobot sisi jivv

f : fungsi

)( ivf : label titik iv

)( jivvf : label sisi jivv

c : konstanta ajaib

nC : graf sikel dengan n titik

1A : anting pada graf

1nACn : graf sikel dengan tambahan n anting


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pelabelan graf merupakan salah satu kajian dari graf. Pelabelan graf

memiliki peranan terutama dalam sektor sistem komunikasi dan transportasi,

penyimpanan data komputer, dan desain integrated circuit pada komponen

elektronik (Aman, Rido, 2013:61-62). Pelabelan graf merupakan pemetaan dari

unsur-unsur pada graf ke suatu bilangan positif atau bilangan non-negatif

(Wallis, W. D., 2001: 11). Pelabelan disini dilakukan pada graf sederhana dan

tak berarah. Kotzing dan Rosa (1970:451) mendefinisikan pelabelan ajaib

sebagai pelabelan total dimana labelnya merupakan bilangan bulat dari 1

sampai banyaknya unsur pada graf. Pelabelan ajaib ini merupakan generalisasi

dari persegi ajaib.

Pada tahun 1990, Hartsfield dan Ringel memperkenalkan konsep

mengenai pelabelan anti ajaib pada graf. Pelabelan anti ajaib dari suatu graf

merupakan pelabelan sisi dari suatu graf dengan bilangan bulat positif

|}|,...,2,1{ e sehingga setiap bobot titiknya berbeda, dimana bobot titiknya

didefinisikan sebagai jumlahan label sisi yang bersisian dengan titik tersebut.

Mereka sudah membuktikan bahwa terdapat pelabelan anti ajaib pada beberapa

graf, yaitu path nP , star nS , cycle nC , complete graph nK , wheel nW , dan

bipartite graph nK ,2 , 3n . Kemudian, pada tahun 1993, Bodendiek dan

Walter mendefinisikan konsep ),( da tak ajaib graf sebagai suatu pelabelan tak

ajaib yang bobot titiknya membentuk suatu barisan aritmatika dengan suku

pertama a dan beda d.

Selanjutnya, pada tahun 2003, Martin Baca, dkk. telah menunjukkan

keberlakukan pelabelan total tak ajaib titik untuk path, graf petersen, dan sikel

ganjil. Selain itu, telah banyak dilakukan penelitian untuk menunjukkan

keberlakuan pelabelan ajaib maupun tak ajaib pada graf, salah satunya

pelabelan pada graf yang berkaitan dengan graf sikel (cycle graph), seperti dua


2

graf sikel dengan banyak titik berbeda baru saja ditunjukkan oleh Prasetyo pada

tahun 2018 bahwa graf tersebut dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib titik

super. Graf multicycle pmC telah ditunjukkan memenuhi ),( da vertex

antimagic total labelling oleh Prasetyo pada tahun 2012 dan telah ditunjukkan

bahwa graf tersebut bisa dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi kuat oleh

Sanjaya pada tahun 2013. Selain itu, graf sikel dengan tambahan anting, seperti

graf sikel dengan tambahan satu anting telah ditunjukkan keberlakuan

pelabelan total ajaib titik oleh Septian pada tahun 2012, graf sikel dengan

tambahan dua anting telah ditunjukkan keberlakuan pelabelan total ajaib sisi

kuat oleh Yulianto pada tahun 2012 dan telah ditunjukkan keberlakuan

pelabelan total ajaib titik oleh Andriyani pada tahun 2014. Peneliti lainnya,

Kristianna pada tahun 2013 juga sudah membahas mengenai graf sikel dengan

tambahan n anting dan didapatkan bahwa graf tersebut dapat dilakukan

pelabelan total ajaib sisi kuat untuk 3n dan n ganjil.

Berdasarkan hasil dari penelitian-penelitian sebelumnya, penulis ingin

mengembangkan hasil penelitian yang dilakukan oleh Kristianna mengenai

graf sikel dengan tambahan n anting )( 1nACn . Kristianna telah menunjukkan

keberlakuan pelabelan total ajaib sisi kuat untuk 3n dan n ganjil namun

belum membuktikan mengenai keberlakuan pelabelan total tak ajaib titik kuat

pada graf tersebut dan belum ada peneliti yang melakukan penelitian tersebut.

Oleh karena itu, pada skripsi ini akan dibahas mengenai bentuk graf sikel

dengan tambahan n anting )( 1nACn , kemudian menentukan keberlakuan

pelabelan total tak ajaib titik kuat dan mencari pola pelabelan total tak-ajaib

titik kuat ),( da pada graf 1nACn .

B. Rumusan Masalah

Berikut ini merupakan rumusan masalah yang akan dibahas:

1. Apakah graf 1nACn memenuhi pelabelan total tak ajaib titik kuat?

2. Bagaimana pola pelabelan total tak-ajaib titik kuat ),( da pada graf

1nACn ?


3

C. Batasan Masalah

Pada penelitian ini, penulis membatasi penelitian dengan mencari salah satu

pola pelabelan total tak-ajaib titik kuat ),( da yang berlaku pada graf sikel

dengan tambahan n anting ( 1nACn ). Karena ada kemungkinan terdapat lebih

dari satu pola perumusan untuk ),( da yang sama.

D. Tujuan dan Manfaat Penelitian

Tujuan dan Manfaat penelitian ini yaitu:

1. Mengetahui keberlakuan pelabelan tak ajaib titik pada graf 1nACn .

2. Mentukan nilai dari suku pertama a dan beda d yang memenuhi pelabelan

total tak-ajaib titik kuat ),( da pada graf 1nACn .

3. Menentukan rumus umum/pola pelabelan tak ajaib titik pada graf 1nACn

.

E. Sistem Penulisan

Untuk mempermudah penulis maupun pembaca dalam mengkaji skripsi ini,

skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian, yaitu:

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dipaparkan mengenai latar belakang, rumusan masalah,

tujuan dan manfaat penelitian, serta sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini dipaparkan mengenai definisi-definisi graf dan

pelabelan graf yang digunakan dalam skripsi ini.

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

Pada bab ini dipaparkan mengenai langkah-langkah penelitian.

BAB IV PEMBAHASAN

Pada bab ini dipaparkan mengenai graf 𝐶𝑛 + 𝑛𝐴1, perhitungan dasar

untuk menentukan pelabelan total tak ajaib titik kuat ),( da pada graf

𝐶𝑛 + 𝑛𝐴1 dan pola perumusan pelabelan.


4

BAB V PENUTUP

Pada bab ini dipaparkan mengenai kesimpulan dari pembahasan

yang telah diuraikan pada BAB IV dan dipaparkan juga saran-saran

yang berkaitan dengan pembahasan.


5

BAB II

LANDASAN TEORI

Berikut ini akan disajikan beberapa teori untuk mempermudah

pemahaman mengenai graf. Landasan teori ini dibagi menjadi 4 bagian, meliputi

graf, pelabelan graf, graf sikel dengan tambahan 1 anting, dan graf sikel dengan

tambahan 2 anting.

A. Graf

Berikut ini diberikan definisi graf dan istilah-istilah yang digunakan dalam

graf.

Definisi 2.1 (Rosen, Kenneth H., 2019:673)

Diberikan himpunan tak kosong titik },...,,{ 21 nvvvV dan himpunan sisi

},...,,{ 21 neeeE dengan ),( ji vve , Vvv ji , . Suatu himpunan G yang

terdiri dari V dan E disebut graf, yang dinotasikan dengan ),( EVG .

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai suatu graf.

Contoh 2.1

Diberikan },,{ 321 vvvV dan )}(),(),(),(),{( 4231312111 vvvvvvvvvvE .

Graf tersebut dapat digambarkan seperti diagram berikut ini:

Gambar 2. 1 Graf G


6

Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa, gambar tersebut memiliki tiga

titik yang berarti memiliki himpunan tak kosong titik. Gambar tersebut juga

memiliki lima sisi yang berarti memiliki himpunan sisi. Selain itu, setiap sisi

memiliki titik yang terkait dengannya, sisi 1e terkait dengan satu titik yang

menjadi ujungnya dan sisi lainnya terkait dengan dua titik yang menjadi

ujungnya. Oleh karena itu, gambar tersebut memenuhi Definisi 2.1, sehingga

gambar tersebut dapat dikatakan sebagai suatu graf.

Berikut ini diberikan definisi graf tak berarah dan graf berarah.

Definisi 2.2 (Johnsonbaugh, Richard, 2009: 378)

Diberikan suatu gabungan himpunan V titik (vertices atau nodes) dan

himpunan E sisi (edges atau arcs) dimana setiap Ee dikaitkan dengan

sepasang titik dengan himpunan E diasumsikan sebagai himpunan berhingga

dan V diasumsikan sebagai himpunan tak kosong, maka:

1. Gabungan himpunan tersebut dinamakan graf tak berarah jika setiap

Ee dikaitkan dengan sepasang titik yang tidak berurutan. Jika terdapat

sisi e yang terkait dengan titik iv dan jv , maka dapat ditulis )( jivve

atau )( ijvve . Notasi )( jivv menunjukkan sisi diantara iv dan jv di graf

tak berarah dan bukan pasangan berurutan.

2. Gabungan himpunan tersebut dinamakan graf berarah (digraph) jika

setiap Ee dikaitkan dengan sepasang titik yang berurutan. Jika

terdapat sisi e yang terkait dengan titik iv dan jv , maka dapat ditulis

)( jivve , dimana menotasikan sisi dari iv ke jv .

Pada kajian ini, graf yang digunakan merupakan graf tak berarah.

Berikut ini akan diberikan contoh yang berkaitan dengan graf tak berarah dan

graf berarah.


7

Contoh 2.2

Diberikan suatu graf ),( EVG dengan },,{ 321 vvvV dan },,{ 321 eeeE

dimana ),( 211 vve ),( 232 vve ),( 313 vve jika graf ),( EVG tersebut

tidak diketahui bahwa graf tersebut adalah graf berarah maka graf ),( EVG

tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar 2.2. Namun, jika diketahui

bahwa graf tersebut graf berarah maka graf ),( EVG dapat digambarkan

seperti pada Gambar 2.3.

Gambar 2. 2 Graf Tak Berarah Gambar 2. 3 Graf Berarah

Berikut akan diberikan definisi graf kosong.

Definisi 2.3 (Munir, Rinaldi, 2001: 192)

Diberikan suatu graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.

Graf tersebut disebut sebagai graf kosong (null graph atau empty graph) dan

disimbolkan nN , yang dalam hal ini n adalah banyaknya titik pada graf

tersebut.

Berikut ini akan diberikan contoh graf kosong.


8

Contoh 2.3

Gambar 2. 4 Graf Kosong

Graf pada Gambar 2.4 merupakan salah satu contoh dari graf kosong,

karena himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.

Pada kajian ini, graf yang digunakan adalah graf sederhana. Untuk

menjelaskan definisi graf sederhana akan diberikan definisi loop dan garis

sejajar (paralel).

Definisi 2.4 (Siang, Jong Jek, 2009: 219)

Sisi yang hanya terkait dengan satu titik ujung disebut gelang atau loop.

Berikut ini akan diberikan contoh dari gelang atau loop.

Contoh 2.4

Pada Gambar 2.1 sisi 1e dinamakan gelang (loop), karena sisi 1e hanya terkait

dengan satu titik ujung yaitu 1v .


Dua sisi berbeda ie dan je dengan ji yang terkait dengan titik ujung yang

sama disebut garis sejajar (paralel).

Berikut ini akan diberikan contoh garis sejajar (paralel).


9

Contoh 2.5

Pada Gambar 2.1, 3e dan 4e merupakan suatu sisi sejajar (paralel), karena sisi

3e dan 4e terkait dengan titik ujung yang sama yaitu, )( 313 vve dan

)( 314 vve .

Berikut ini diberikan definisi graf sederhana.


Diberikan suatu graf yang tidak memiliki loop ataupun sisi paralel. Graf

tersebut disebut graf sederhana (simple graph).

Berikut ini akan diberikan contoh graf sederhana dan tak sederhana.

Contoh 2.6

Graf sederhana dapat dilihat pada Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 karena pada

Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 merupakan graf yang tidak memiliki loop dan sisi

paralel. Sedangkan Gambar 2.1 merupakan graf yang memiliki loop dan sisi

paralel, sehingga graf tersebut merupakan graf tak sederhana.

Pada peneitian ini, graf yang digunakan merupakan graf berhingga,

sehingga akan diberikan definisi dari graf berhingga dan tak berhingga.


Diberikan graf yang banyaknya titiknya n berhingga. Graf tersebut disebut

graf berhingga.

Berikut ini akan diberikan contoh dari graf berhingga.


10

Contoh 2.7

Graf pada Gambar 2.1, Gambar 2.2, dan Gambar 2.3 merupakan contoh dari

graf beringga karena banyaknya titik pada graf tersebut berhingga, yaitu pada

ketiga graf tersebut banyaknya titik adalah 3.


Diberikan graf yang banyaknya titiknya tidak berhingga. Graf tersebut disebut

graf tak berhingga.

Berikut akan diberikan contoh dari graf tak berhingga.

Contoh 2.8

Gambar 2. 5 Graf tak Berhingga

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai derajat untuk

mendefinisikan graf sikel.


Diberikan iv adalah titik dalam suatu Graf G.

1. Derajat titik iv (simbol ))( ivd adalah jumlah sisi yang berhubungan

dengan titik iv dan sisi suatu loop dihitung dua kali.

2. Derajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G.


11

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai derajat.

Contoh 2.9

Pada Gambar 2.1

5)( 1 vd , karena sisi yang berhubungan dengan titik 1v adalah ,2e ,3e ,4e dan

loop 1e

2)( 2 vd , karena sisi yang berhubungan dengan titik 2v adalah 2e dan 5e

3)( 3 vd , karena sisi yang berhubungan dengan titik 3v adalah ,3e ,4e dan 5e

Berikut ini akan diberikan definisi graf sikel.

Definisi 2.10 (S, Suryadi H., 1996: 31)

Diberikan graf dengan lintasan tertutup dengan derajat setiap titik yaitu dua.

Graf tersebut disebut graf sikel. Sikel dengan banyaknya titik n disebut Sikel-

n atau n-Cycle (disimbolkan nC ).

Berikut diberikan contoh dari Graf Sikel.

Contoh 2.10

Graf pada Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 merupakan contoh dari graf sikel,

karena graf tersebut merupakan graf dengan lintasan tertutup dengan derajat

masing-masing titiknya 2)()()( 321 vdvdvd . Banyaknya titik pada graf

tersebut adalah 3, sehingga dapat disebut graf 3C .

Selanjutnya akan diberikan definisi bertetangga (adjacent) dan

bersisian (incident).


12


Dua titik dikatakan bertetangga (adjacent) jika keduanya terhubung langsung

atau dapat dikatakan iv bertetangga dengan jv jika )( jivveEe .

Berikut akan diberikan contoh dua titik yang dikatakan bertetangga.

Contoh 2.11

Pada Gambar 2.1 titik 1v bertetangga dengan titik 2v dan 3v .


Untuk sebarang sisi )( jivve , dikatakan e bersisian (incident) dengan titik

iv atau e bersisian dengan titik titik jv .

Berikut akan diberikan contoh sisi yang bersisian.

Contoh 2.12

Pada Gambar 2. 1 sisi 2e bersisian dengan titik 1v dan titik 2v .

Berikut ini akan diberikan definisi dari graf berbobot.


Diberikan graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot). Graf tersebut

disebut graf berbobot.

Bobot setiap sisi bisa menyatakan sebuah jarak antar kota, biaya perjalanan

antar dua kota, waktu tempuh, ongkos produksi, dan sebagainya. Berikut ini

diberikan contoh dari graf berbobot.


13

Contoh 2.13

Gambar 2. 6 Graf Berbobot

Pada Gambar 2.6

9)( 21 vvwt , karena pada sisi pada sisi 21vv bobotnya yaitu 9.



B. Pelabelan Graf

Pelabelan graf merupakan pemetaan suatu himpunan unsur-unsur

pada graf ke suatu himpunan bilangan. Terdapat beberapa macam pelabelan

graf, yaitu pelabelan dengan domain himpunan titik yang dinamakan pelabelan

titik, pelabelan yang domainnya sisi yang dinamakan pelabelan sisi dan

pelabelan yang domainnya titik dan sisi yang dinamakan pelabelan total. Pada

penelitian ini, akan digunakan pelabelan total atau pelabelan yang domainnya

titik dan sisi. Oleh karena itu, akan diberikan beberapa definisi mengenai

pelabelan total.

Berikut akan diberikan definisi bobot titik dan bobot sisi untuk

mendefinisikan pelabelan total.


14

Definisi 2.14 (Wallis, W.D., 2001:11)

Diberikan 𝐴 adalah sebuah himpunan bilangan bulat positif, yaitu

|}|||,...,2,1{ evA dan f merupakan sebuah fungsi yang memetakan

himpunan unsur-unsur pada graf, yaitu titik dan sisi ke himpunan A. Fungsi

tersebut dinotasikan dengan AEVf : dan untuk bobot titik dan bobot

sisi disimbolkan wt. Diberikan Vvv ji , dan jivv merupakan sisi pada graf

yang salah satu ujungnya di 𝑣𝑖, maka bobot titik dapat dicari dengan:

ji vv

jiii vvfvfvwt~

)()()(

Sedangkan bobot sisi dapat dicari dengan:

)()()()( jjiiji vfvvfvfvvwt

Berikut akan diberikan contoh menghitung bobot titik dan bobot sisi

pada suatu graf berbobot.

Contoh 2.14

Gambar 2. 7 Graf 3C

Untuk mencari bobot titik pada Gambar 2.7 tersebut dapat dilakukan

dengan menjumlahkan label titik tersebut dengan label sisi yang bersisian

dengan titik tersebut. Misalnya, bobot titik dengan label 1 dapat dicari dengan

menjumlahkan label tersebut yaitu 1 dan label-label sisi yang bersisian dengan

titik tersebut yaitu 5 dan 6 sehingga didapatkan bahwa bobot titik tersebut


15

adalah 12 ( 12651 ). Sedangkan, untuk mencari bobot sisi dapat

dilakukan dengan menjumlahkan label sisi tersebut dengan label titik-titik

ujung sisi tersebut. Misalnya, bobot sisi dengan label 6 dapat dicari dengan

menjumlahkan label sisi tersebut yaitu 6 dan label titik-titik ujung sisi tersebut

yaitu 1 dan 2, sehingga didapatkan bahwa bobot sisi tersebut adalah 9

)9216( .

Berikut ini akan diberikan definisi pelabelan total ajaib titik.

Definisi 2.15 (Wallis, W.D., 2001:65)

Suatu pemetaan bijektif f dari gabungan himpunan sisi dan himpunan titik ke

himpunan bilangan bulat |}|||,...,2,1{ ev disebut vertex magic total labeling

atau pelabelan total ajaib titik jika terdapat konstanta c sehingga untuk setiap

titik iv , cefvf ii )()( , dimana untuk semua ie yang bersisian dengan

iv . Konstanta h disebut magic constant untuk f. Selanjutnya, graf yang

memenuhi vertex magic total labeling disebut vertex magic total graph.

Berikut ini akan diberikan contoh pelabelan total ajaib titik pada

suatu graf.

Contoh 2.15

Dengan menggunakan Definisi 2.14, Graf pada Gambar 2.7 dapat dicari bahwa

bobot masing-masing titiknya adalah 12 yaitu:

bobot titik berlabel 1 12651 ,

bobot titik berlabel 2 12462 , dan

bobot titik berlabel 3 12543 . Oleh karena itu, graf pada Gambar 2.7

merupakan salah satu contoh dari pelabelan total ajaib titik (vertex magic total

labeling).


16

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai pelabelan total tak ajaib

titik.

Definisi 2.16 (Baca, dkk., 2003:69)

Suatu pemetaan bijektif |}|||,...,2,1{: evEVf disebut vertex

antimagic total labeling atau pelabelan total tak-ajaib titik dari ),( EVG ,

jika bobot setiap titik ),( ivwt Vvi berbeda.

Berikut ini akan diberikan contoh pelabelan total tak ajaib titik pada

suatu graf.

Contoh 2.16

Gambar 2. 8 Graf dengan Pelabelan Tak-Ajaib Titik

Graf pada Gambar 2.8 merupakan salah satu contoh graf dengan

pelabelan total tak-ajaib titik, karena bobot setiap titik berbeda, yaitu:

bobot titik dengan label 1 12651 ,

bobot titik dengan label 2 11542 , dan

bobot titik dengan label 3 13643 .

Berikut akan diberikan definisi mengenai pelabelan total tak ajaib

yang bobot titiknya membentuk suatu barisan aritmatika naik atau pelabelan

total tak ajaib titik ),( da .


17

Definisi 2.17 (Baca, dkk., 2003:69)

Suatu pemetaan bijektif |}|||,...,2,1{: evEVf disebut ),( da vertex

antimagic total labeling atau pelabelan total tak-ajaib titik ),( da dari 𝐺 jika

himpunan bobot titik membentuk suatu barisan aritmatika naik

})1(,...,,{}|)({ dvdaaVvvwtW ii untuk a dan d bilangan bulat

positif.

Berikut ini akan diberikan contoh dari pelabelan total tak ajaib yang

bobot titiknya membentuk suatu barisan aritmatika naik (pelabelan total tak

ajaib titik ),( da ).

Contoh 2.17

Graf pada Gambar 2.8 juga merupakan contoh dari graf yang memiliki

pelabelan total tak-ajaib titik ),( da . Hal ini dikarenakan bobot-bobot titiknya

membentuk suatu barisan aritmatika naik yaitu dengan suku pertama 11a

dan beda 1d dengan bobot titik 11 pada titik berlabel 2, bobot titik 12 pada

titik berlabel 1, dan bobot titik 13 pada titik berlabel 3.

Berikut akan diberikan definisi pelabelan total tak-ajaib sisi kuat atau

super. Pada kajian ini, selanjutnya akan digunakan kata kuat untuk menyebut

pelabelan total tak-ajaib sisi kuat.

Definisi 2.18 (Gallian, Joseph A. 2018: 205)

Pelabelan total tak-ajaib sisi dari suatu graf ),( EVG dikatakan pelabelan

total tak-ajaib sisi kuat jika label titiknya |}|,...,2,1{ v dan label sisinya

|}|||,...,2||,1|{| evvv . Oleh karena itu, suatu pelabelan total tak ajaib

titik dapat dikatakan kuat jika label sisi-sisinya |}|,...,2,1{ e dan label titiknya

|}|||,...,2||,1|{| evee dengan || e banyaknya sisi dan || v banyaknya

titik pada graf tersebut.


18

Berikut akan diberikan contoh pelabelan kuat dan bukan pelabelan

kuat.

Contoh 2.18

Pada Contoh 2.17 telah ditunjukkan bahwa Gambar 2.8 merupakan pelabelan

total tak-ajaib titik )1,11( , tetapi pelabelan tersebut tidak bisa dikatakan sebagai

pelabelan total tak-ajaib titik kuat )1,11( . Hal ini dikarenakan label-label

titiknya }3,2,1{ sedangkan label sisinya }6,5,4{ , sehingga tidak sesuai dengan

Definisi 2.18. Gambar 2.8 juga merupakan graf dengan pelabelan total tak-

ajaib sisi )1,8( dengan, bobot sisi 8 pada sisi berlabel 5 yaitu 5+1+2, bobot sisi

9 pada sisi berlabel 4 yaitu 4+2+3, dan bobot sisi 10 pada sisi berlabel 6 yaitu

6+1+3. Selain itu, pelabelan ini juga disebut sebagai pelabelan total tak-ajaib

sisi kuat )1,8( , karena label titiknya }3,2,1{ dan label sisinya }6,5,4{ hal ini

memenuhi Definisi 2.18.

C. Graf Sikel dengan Tambahan 1 Anting

Graf sikel dengan tambahan satu anting merupakan perkembangan

dari graf sikel yang ditambahkan dengan satu titik diluar nC dan satu sisi yang

menghubungkan titik tersebut dengan titik pada nC . Graf ini dapat dinotasikan

dengan 1ACn . Berikut akan diberikan contoh graf sikel dengan tambahan 1

Anting.

Contoh 2.19

Gambar 2. 9 13 1AC Gambar 2. 10 14 1AC


19

Gambar 2. 11 15 1AC Gambar 2. 12 11ACn

D. Graf Sikel dengan Tambahan 2 Anting

Graf sikel dengan tambahan dua anting merupakan perkembangan

dari graf sikel yang ditambahkan dengan dua titik diluar nC dan masing-

masing terdapat sisi yang menghubungkan titik tersebut dengan titik yang

berbeda pada nC . Graf ini dapat dinotasikan dengan 12ACn . Berikut akan

diberikan contoh graf sikel dengan tambahan 1 Anting.

Contoh 2.20

Gambar 2. 13 13 2AC Gambar 2. 14 14 2AC


20

Gambar 2. 15 15 2AC Gambar 2. 16 12ACn


21

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian

pustaka (Library Research). Dalam melakukan penelitian ini, akan dilakukan

beberapa tahapan kerja. Secara garis besar, tahapan tersebut yaitu:

1. Mengumpulkan berbagai literatur mengenai topik pelabelan graf, terutama

pelabelan tak-ajaib titik

2. Mempelajari literatur yang telah dikumpulkan sebelumnya

3. Membangun sebuah graf baru )( 1nACn

4. Menganalisa graf tersebut dengan menggunakan perhitungan dasar

5. Mencari pola dari pelabelan

6. Menetukan rumusan pelabelan untuk unsur dari graf (titik dan sisi)

Tahapan tersebut juga dapat di lihat dari gambar alur penelitian berikut ini:

Gambar 3. 1 Alur Penelitian

Mulai

Mengumpulkan berbagai literatur mengenai topik pelabelan graf, terutama pelabelan tak ajaib titik

Mempelajari literatur yang telah dikumpulkan

sebelumnya

Membangun sebuah graf baru

Menganalisa graf tersebut dengan

menggunakan perhitungan dasar

Mencari pola dari pelabelan

Menetukan rumusan pelabelan untuk unsur dari graf (titik dan sisi)

Selesai


22

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini, peneliti menyajikan hasil penelitian dan pembahasan dalam

beberapa subbab. Pertama, menjelaskan mengenai graf sikel )( nC dengan

tambahan n anting )( 1nACn . Kedua, menentukan suku awal a dan beda d melalui

perhitungan dasar pelabelan tak-ajaib titik kuat. Ketiga, membentuk pelabelan total

tak-ajaib titik kuat yang berlaku pada graf sikel )( nC dengan tambahan n anting

)( 1nACn dengan beberapa contoh dan menentukan rumus pelabelan total tak-

ajaib titik kuat pada graf sikel )( nC dengan tambahan n anting )( 1nACn .

A. Graf Sikel )( nC dengan Tambahan n Anting )( 1nACn

Graf 1nACn merupakan pengembangan dari graf sikel nC yang

ditambahkan sebanyak n titik di luar sikel nC dan masing-masing titik terdapat

sisi yang menghubungkan titik tersebut ke titik yang berbeda pada nC . Berikut

merupakan contoh dari beberapa graf sikel dengan tambahan n anting

)( 1nACn .

Gambar 4. 1 Graf 13 3AC

Graf pada Gambar 4.1 merupakan salah satu contoh dari graf sikel

dengan tambahan n anting yaitu dengan 3n (graf 13 3AC ). Pada gambar


23

tersebut terlihat bahwa terdapat 3 titik pada sikel 3C dan 3 titik diluar sikel ,3C

sehingga banyaknya titik pada graf 13 3AC yaitu 63233 . Pada

gambar tersebut juga terlihat bahwa terdapat 3 sisi pada sikel 3C dan 3 sisi

diluar sikel 3C , sehingga banyaknya sisi pada graf 13 3AC yaitu

63233 .








84244 .


24








105255 .

Gambar 4. 4 Graf 1nACn


25

Graf pada Gambar 4.4 merupakan gambar graf sikel dengan tambahan

n anting secara umum (graf 1nACn ) Berdasarkan beberapa graf sebelumnya,

banyaknya titik dan sisi pada graf membentuk sebuah pola, yaitu 2n. Dari pola

tersebut, maka graf sikel ( nC ) dengan tambahan n anting )( 1nACn , memiliki

2n buah titik dan 2n buah sisi. Jadi, banyaknya unsur pada graf:

nnnev 422|||| (1)

dengan |𝑣| yaitu banyaknya titik pada graf 1nACn dan || e yaitu banyaknya

sisi pada 1nACn .

B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik Kuat ),( da pada

Graf Sikel )( nC dengan Tambahan 𝒏 Anting )( 1nACn

Pada bagian ini, pembahasan mengenai perhitungan dasar pelabelan

total tak-ajaib titik kuat ),( da pada graf sikel )( nC dengan tambahan n anting

)( 1nACn dibagi menjadi beberapa bagian. Pertama, mencari jumlah semua

label. Kedua, mencari jumlah bobot titik. Ketiga, mencari batasan bobot titik

terkecil dan terbesar. Keempat mencari nilai beda d. Kelima, mencari batasan

nilai bobot titik terkecil a. Keenam, mencari nilai bobot terkecil a.

1. Jumlah Semua Label

Berdasarkan Definisi 2.16 pelabelan total tak ajaib titik merupakan

pemetaan bijektif dari setiap unsur pada graf (titik dan sisi) ke suatu

bilangan bulat positif |}|||,...,2,1{ ev . Dengan demikian, menggunakan

persamaan (1) dapat dicari jumlah semua label titik dan sisi )( ev SS pada

graf 1nACn dengan menjumlahkan semua label titik dan label sisi dari

satu sampai |)||(| ev , sehingga didapatkan:

|)||(|...21 evSS ev

n4...21

2

14n


26

)!214(!2

)!14(

n

n

)!14(2

)!14(4)14(

n

nnn

2

4)14( nn

nn 2)14( (2)

dimana vS yaitu jumlah semua label titik dan eS yaitu jumlah semua label

sisi.

2. Jumlah Bobot Titik

Berdasarkan Definisi 2.17 pada pelabelan total tak ajaib titik, bobot

titiknya membentuk barisan aritmatika akibatnya:

))12((...)2()( dnadadaaSw

))12(...2(2 dnddna

dnna ))12(...21(2

dn

na

2

22

dn

nna

)!22(!2

!22

dn

nnnna

)!22(2

)!22)(12(22

dnn

na2

)12(22

dnnna )12(2 (3)

Berdasarkan Definisi 2.14 pada pelabelan total tak ajaib titik,

bobot suatu titik dicari dengan menjumlahkan label titik tersebut dengan

label sisi yang memiliki ujung di titik tersebut, sehingga label titik dihitung

satu kali dan label sisi dihitung dua kali, akibatnya:

evw SSS 2


27

eevw SSSS )(

ew SnnS 2)14( (4)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (4) akan

didapatkan:

eSnndnnna 2)14()12(2 (5)

Berdasarkan Definisi 2.18 yaitu tentang pelabelan kuat, label-

label untuk sisinya yaitu }2,...,2,1{ n dan label-label untuk titiknya yaitu

}4,...,22,12{ nnn . Oleh karena itu, persamaan (5) menjadi:

eSnndnnna 2)14()12(2

)2...21(2)14()12(2 nnndnnna

2

122)14()12(2

nnndnnna

)!212(!2

)!12(2)14()12(2

n

nnndnnna

)!12(2

)!12(2)12(2)14()12(2

n

nnnnndnnna

2

2)12(2)14()12(2

nnnndnnna

nnnndnnna )12(2)14()12(2

)12(2)14()12(2 nndna

dnnna )12()12(2)14(2

dnnna )12(12282

dnna )12(3102

2

)12(310 dnna

(6)

3. Batasan Bobot Titik Terkecil dan Terbesar

Bobot titik pada pelabelan total titik dihitung dari bobot titik

tersebut ditambah dengan bobot sisi yang bersisian dengan titik tersebut,


28

sehingga untuk mencari bobot terkecil ambil titik dengan sisi yang

bersisian paling sedikit. Pada graf 1nACn titik untuk menghitung bobot

terkecil dipilih titik pada anting graf, karena hanya terdapat 1 titik dan 1

sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Pada pelabelan total tak ajaib titik

kuat label pada sisi terdiri dari bilangan bulat positif dari 1 sampai total sisi

maka untuk mencari batasan bobot titik terkecil diambil bilangan 1 untuk

label sisi dan 12 n untuk label titik, sehingga:

a bobot titik terkecil

22

121

na

na

Berbeda dengan mencari bobot titik terkecil yang menggunakan

titik dengan sisi yang bersisian paling sedikit, untuk mencari batasan bobot

terbesar, dipilih titik dengan sisi yang bersisian paling banyak. Pada graf

1nACn , titik untuk menghitung bobot terbesar dipilih titik pada sikel. Hal

ini dikarenakan titik pada sikel memuat 3 sisi yang bersisian dengan titik

tersebut. Selain itu, untuk menentukan bobot yang terbesar, ambil label-

label yang besar pula, akibatnya batasan bobot titik terbesar dapat dicari

dengan:

dna )12( bobot titik terbesar

310)12(

)22()12(24)12(

ndna

nnnndna

4. Batasan Nilai Beda d

Untuk mencari batasan nilai 𝑑, diambil nilai bobot titik terkecil 𝑎

yaitu, 𝑎 = 2𝑛 + 2. Dengan mensubstitusikan nilai 𝑎 = 2𝑛 + 2 ke batasan

bobot maka akan didapatkan:

310)12( ndna

310)12()22( ndnn

)22(310)12( nndn

58)12( ndn


29

412

58

n

nd

Jadi, didapatkan nilai 4d , sehingga kemungkinan nilai d-nya

adalah 1, 2, 3, atau 4.

5. Batasan Nilai Bobot Terkecil 𝒂

Selanjutnya akan dicari batasan nilai 𝑎 dengan 𝑑 ≤ 4

menggunakan batasan bobot titik terbesar,

a. Untuk 1d , diperoleh:

310)12( ndna

3101)12( nna

31012 nna

13210 nna

28 na

Jadi, batasan untuk nilai 𝑎 agar dapat dilakukan pelabelan yaitu

2822 nan .

b. Untuk 2d , diperoleh:

310)12( ndna

3102)12( nna

31024 nna

23410 nna

16 na


1622 nan .

c. Untuk 𝑑 = 3, diperoleh:

310)12( ndna

3103)12( nna

31036 nna

33610 nna

na 4


30


nan 422 .

d. Untuk 𝑑 = 4, diperoleh:

310)12( ndna

3104)12( nna

31048 nna

43810 nna

12 na

Batasan untuk nilai a yang didapatkan yaitu, 1222 nan .

Tetapi batasan tersebut tidak memungkinkan karena tidak ada nilai a

yang memenuhi batasan tersebut. Jadi, 4d tidak dapat dipakai

untuk melakukan pelabelan total titik kuat ),( da pada graf sikel )( nC

dengan tambahan n anting )( 1nACn .

6. Nilai bobot titik terkecil a

Pada persamaan (5) telah ditunjukkan bahwa

2

)12(310 dnna

dan berdasarkan hasil perhitungan a dan d

sebelumnya, maka pelabelan total tak ajaib titik kuat pada graf 1nACn

kemungkinan dapat dilakukan ketika 1d , 2d atau 3d , maka akan

dicari nilai a untuk 1d , 2d dan 3d dengan 3n .

a. Untuk 1d dengan 3n

2

)12(310 dnna

2

1)12(310

nna

2

12310

nna

2

48

na

24 na


31

Untuk 1d diperoleh 24 na . Nilai a tersebut memenuhi batasan

bobot titik yaitu 22 na . Jadi, pada graf sikel )( nC dengan

tambahan n anting )( 1nACn terdapat pelabelan total tak ajaib titik

kuat )1,24( n untuk 3n .

b. Untuk 2d dengan 3n

2

)12(310 dnna

2

2)12(310

nna

2

24310

nna

2

56

na

Untuk 2d diperoleh 2

56

na . Hal ini tidak memenuhi Definisi

2.16 bahwa label titiknya adalah bilangan bulat, karena nilai

2

56

na tidak mungkin menghasilkan nilai a bulat untuk setiap

3n . Jadi pada graf sikel )( nC dengan tambahan n anting )( 1nACn

tidak dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib titik kuat dengan nilai

2d .

c. Untuk 3d dengan 3n

2

)12(310 dnna

2

3)12(310

nna

2

36310

nna

2

64

na

32 na


32

Untuk 3d diperoleh 32 na . Nilai a tersebut memenuhi batasan

bobot titik yaitu 22 na . Jadi, pada graf sikel )( nC dengan

tambahan 𝑛 anting )( 1nACn terdapat pelabelan total tak ajaib titik

kuat )3,32( n untuk 3n .

Nilai a yang memenuhi batasan bobot titik dan memenuhi definisi

pelabelan total tak ajaib titik hanya nilai a dengan 1d dan 3d , yaitu

24 na untuk 1d dan 32 na untuk 3d . Nilai a untuk 2d

tidak memenuhi karena didapatkan nilai yang tidak bulat, sehingga tidak

sesuai dengan Definisi 2.16 tentang pelabelan total tak ajaib titik. Oleh

karena itu, pasangan ),( da untuk pelabelan total tak-ajaib titik kuat dapat

dilakukan untuk pasangan )1,24( n dan )3,32( n .

C. Pelabelan Total Tak Ajaib Titik Kuat ),( da pada Graf 1nACn untuk

1d dan 3d

Terdapat dua macam pelabelan total tak ajaib titik kuat yang telah

didapatkan pada subbab sebelumnya dan akan dibahas pada bagian ini, yaitu:

pelabelan total tak ajaib titik kuat )1,24( n pada graf 1nACn dan pelabelan

total tak ajaib titik kuat )3,32( n pada graf 1nACn .

1. Pelabelan total tak ajaib titik kuat )1,24( n pada graf 1nACn

Berikut ini akan diperlihatkan pelabelan total tak ajaib titik kuat

pada beberapa graf 1nACn .


33

Gambar 4. 5 Pelabelan total tak ajaib titik kuat )1,14( pada 13 3AC

Pada gambar tersebut, dapat dilihat bahwa label untuk sisinya

}6,5,4,3,2,1{ dan label untuk titiknya }12,11,10,9,8,7{ . Bobot masing-

masing titiknya }19,18,17,16,15,14{ yaitu:

a. titik dengan label 12 adalah ,14212

b. titik dengan label 11 adalah ,15411

c. titik dengan label 10 adalah ,16610

d. titik dengan label 9 adalah ,175219

e. titik dengan label 8 adalah ,186318 dan

f. titik dengan label 7 adalah .195437


34



}8,7,6,5,4,3,2,1{ dan label untuk titiknya }.16,15,14,13,12,11,10,9{ Bobot

masing-masing titiknya }25,24,23,22,21,20,19,18{ yaitu:





e. titik dengan label 12 adalah ,2272112

f. titik dengan label 11 adalah ,2383111

g. titik dengan label 10 adalah ,2465310 dan

h. titik dengan label 9 adalah .257549


35



}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{ dan label untuk titiknya

}.20,19,18,17,16,15,14,13,12,11{ Bobot masing-masing titiknya

}31,30,29,28,27,26,25,24,23,22{ yaitu:







g. titik dengan label 14 adalah ,28103114

h. titik dengan label 13 adalah ,2985313

i. titik dengan label 12 adalah ,3076512 dan

j. titik dengan label 11 adalah .3197411

Berdasarkan pada pelabelan tersebut, dapat diperoleh bahwa pada

graf 1nACn dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib titik kuat ).1,24( n


36

Misalkan f merupakan fungsi pelabelan tersebut, maka konstruksi graf sikel

dengan tambahan n anting )1,24( n dengan label sisi sebagai berikut:

(Rumus 4.1)

nnni

ni

untuk

untuk

ni

inef i

2,...2,1

,...,2,1

2))1((2

2)1()12()(

dengan:

nnniuntuk

niuntuk

niuntuk

vv

vv

vv

e

nii

i

ii

i

2,...,2,1

1,...,2,1

)(

)(

)(

1

1

Sedangkan label titiknya sebagai berikut:

(Rumus 4.2)

nnniuntuk

niuntuk

iuntuk

nin

in

n

vf i

2,...2,1

,...,3,2

1

))1((4

)1(2

3

)(

Dengan menggunakan induksi matematis, akan ditunjukkan

bahwa konstruksi pelabelan graf sikel dengan tambahan n anting tersebut

berlaku untuk semua graf sikel dengan tambahan n anting dengan 3n .

Induksi Matematis

b. Akan ditunjukkan bahwa

nef i 2)(

untuk setiap i dengan 3n .

1) Untuk ni ,...,2,1

a) Langkah awal: Akan dibuktikan bahwa 1i benar

Pernyataan tersebut benar untuk 1i , karena

nnnef 2122)11()12()( 1

b) Langkah induksi: Jika ki benar maka akan dibuktikan

1 ki benar.


37

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk ki dengan ,nk

yaitu:

nknknknef k 221222122)1()12()(

Untuk 1 ki , dengan nk , yaitu:

nknknef k 22122)1)1(()12()( 1

yang memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut juga benar

untuk 1 ki , dengan nk .

2) Untuk nnni 2,...,2,1

a) Langkah awal: Akan dibuktikan bahwa 1 ni benar

Pernyataan tersebut benar untuk 1 ni , karena

nnnef 222)0(22))1()1((2)( 1


1 ki benar.

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk ki dengan

nkn 21 , yaitu:

nnknknkef k 2222)1(22))1((2)(

Untuk 1 ki , dengan nkn 21 , yaitu:

nnknknkef k 22222)(22))1()1((2)( 1



Dari 1) dan 2) terbukti bahwa

nef i 2)(

benar untuk setiap i dengan 3n ∎

c. Akan ditunjukkan bahwa

nvf i 2)(


1) Untuk 1i

Jelas bahwa pernyataan tersebut benar untuk 1i , karena

nnvf 23)( 1


38

2) Untuk ni ,...,3,2



nnnvf 212)12(2)( 2


1 ki benar.


yaitu:

nknknvf k 212)1(2)(


nknknvf k 22)1)1((2)( 1



3) Untuk nnni 2,...,2,1



nnnnnvf n 24))1()1((4)( 1


1 ki benar.


nkn 21 , yaitu:

nknnknnknvf k 21514))1((4)(


nknnknnknvf k 25114))1()1((4)( 1



Dari 1), 2), dan 3) terbukti bahwa

nvf i 2)(



39

Telah ditunjukkan bahwa konstruksi label untuk sisi tersebut

merupakan bilangan bulat positif {1,2,…, 2n} dan label untuk titik

}.4,...,22,12{ nnn Hal ini sesuai dengan Definisi 2.18 tentang pelabelan

kuat. Oleh karena itu, konstruksi pelabelan tersebut berlaku untuk setiap

.3n

Berikut akan diberikan contoh pelabelan total titik kuat pada graf

1nACn .

Contoh 4.1

a. Pelabelan totak tak ajaib titik kuat (14,1) pada graf 13 3AC

Graf pada Gambar 4.1 merupakan graf sikel dengan tambahan

n anting dengan 3n ( 13 3AC ) yang akan diberi label dengan bobot

titik terkecilnya 14 )14( a dan bedanya 1 )1( d menggunakan

konstruksi pelabelan graf yang telah didapatkan sebelumnya.

Label untuk sisi:

2)1()12()( inef i 3,2,1i

5052)11()1)3(2()( 1 ef

3252)12()1)3(2()( 2 ef

1452)13()1)3(2()( 3 ef

2))1((2)( nief i 6,5,4i

2202)44(22))13(4(2)( 4 ef

4222)45(22))13(5(2)( 5 ef

6242)46(22))13(6(2)( 6 ef

Label untuk titik:

nvf i 3)( 1i

9)3(3)( 1 vf


40

)1(2)( invf i 3,2i

716)12()3(2)( 2 vf

826)13()3(2)( 3 vf

))1((4)( ninvf i 6,5,4i

12012)44(12))13(4()3(4)( 4 vf

11112)45(12))13(5()3(4)( 5 vf

10212)46(12))13(6()3(4)( 6 vf

Dari perhitungan tersebut didapatlah graf berlabel seperti pada

gambar 4.5.

b. Pelabelan totak tak ajaib titik kuat (18,1) pada graf 14 4AC


𝑛 anting dengan 4n ( 14 4AC ) yang akan diberi label dengan bobot



Label untuk sisi:

2)1()12()( inef i 4,3,2,1i

7072)11()1)4(2()( 1 ef

5272)12()1)4(2()( 2 ef

3472)13()1)4(2()( 3 ef

1672)14()1)4(2()( 4 ef

2))1((2)( nief i 8,7,6,5i

2202)55(22))14(5(2)( 5 ef

4222)56(22))14(6(2)( 6 ef

6242)57(22))14(7(2)( 7 ef


41

8262)58(22))14(8(2)( 8 ef

Label untuk titik:

nvf i 3)( 1i

12)4(3)( 1 vf

)1(2)( invf i 4,3,2i

918)12()4(2)( 2 vf

1028)13()4(2)( 3 vf

1138)14()4(2)( 4 vf

))1((4)( ninvf i 8,7,6,5i

16016)55(16))14(5()4(4)( 5 vf

15116)56(16))14(6()4(4)( 6 vf

14216)57(16))14(7()4(4)( 7 vf

13316)58(16))14(8()4(4)( 8 vf


gambar 4.6.

c. Pelabelan totak tak ajaib titik kuat (22,1) pada graf 15 5AC



titik terkecilnya 22 )22( a dan bedanya 1 ( 1d ) menggunakan


Label untuk sisi:

2)1()12()( inef i 5,4,3,2,1i

9092)11()1)5(2()( 1 ef

7292)12()1)5(2()( 2 ef


42

5492)13()1)5(2()( 3 ef

3692)14()1)5(2()( 4 ef

1892)15()1)5(2()( 5 ef

2))1((2)( nief i 10,9,8,7,6i

2202)66(22))15(6(2)( 6 ef

4222)67(22))15(7(2)( 7 ef

6242)68(22))15(8(2)( 8 ef

8262)69(22))15(9(2)( 9 ef

10282)610(22))15(10(2)( 10 ef

Label untuk titik:

nvf i 3)( 1i

15)5(3)( 1 vf

)1(2)( invf i 5,4,3,2i

11110)12()5(2)( 2 vf

12210)13()5(2)( 3 vf

13310)14()5(2)( 4 vf

14410)15()5(2)( 5 vf

))1((4)( ninvf i 10,9,8,7,6i

20020)66(20))15(6()5(4)( 6 vf

19120)67(20))15(7()5(4)( 7 vf

18220)68(20))15(8()5(4)( 8 vf

17320)69(20))15(9()5(4)( 9 vf

16420)610(20))15(10()5(4)( 10 vf


43


Gambar 4.7.

2. Pelabelan total tak ajaib titik kuat )3,32( n pada graf .1nACn

Gambar 4. 8 Pelabelan total tak ajaib titik kuat (9,3) pada 13 3AC

Pada Gambar 4.8 tersebut, dapat dilihat bahwa label untuk sisinya

}6,5,4,3,2,1{ dan label untuk titiknya }12,11,10,9,8,7{ . Bobot masing-

masing titiknya }24,21,18,15,12,9{ yaitu:





e. titik dengan label 9 adalah ,215439 dan

f. titik dengan label 11 adalah .2465211


44



}8,7,6,5,4,3,2,1{ dan label untuk titiknya }.16,15,14,13,12,11,10,9{ Bobot

masing-masing titiknya }32,29,26,23,20,17,14,11{ yaitu:







g. titik dengan label 13 adalah ,2976313 dan

h. titik dengan label 15 adalah .3287215


45



}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{ dan label untuk titiknya

}.20,19,18,17,16,15,14,13,12,11{ Bobot masing-masing titiknya

}40,37,34,31,28,25,22,19,16,13{ yaitu:







g. titik dengan label 13 adalah ,3176513

h. titik dengan label 15 adalah ,3487415

i. titik dengan label 17 adalah ,3798317 dan

j. titik dengan label 19 adalah .40109219

Berdasarkan pada pelabelan tersebut, dapat diperoleh bahwa pada

graf 1nACn dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib titik kuat

).3,32( n Misalkan f merupakan fungsi pelabelan tersebut, maka


46

konstruksi graf sikel dengan tambahan n anting )3,32( n dengan label sisi

sebagai berikut:

(Rumus 4.3)

nnni

ni

untuk

untuk

ni

inef i

2,...2,1

,...,2,1)1(2)(

dengan:

nnniuntuk

niuntuk

niuntuk

vv

vv

vv

e

nii

i

ii

i

2,...,2,1

1,...,2,1

)(

)(

)(

1

1

Sedangkan label titiknya sebagai berikut:

(Rumus 4.4)

nnniuntuk

niuntuk

iuntuk

i

in

n

vf i

2,...2,1

,...,3,2

1

2

2)2()14(

12

)(

Dengan menggunakan induksi matematis, akan ditunjukkan

bahwa konstruksi pelabelan graf sikel dengan tambahan n anting tersebut

berlaku untuk semua graf sikel dengan tambahan n anting dengan 3n .

Induksi Matematis

a. Akan ditunjukkan bahwa

nef i 2)(


1) Untuk ni ,...,2,1



nnnef 22)11(2)( 1


1 ki benar.


47


yaitu:

nknknef k 212)1(2)(


nknknef k 22)1)1((2)( 1



2) Untuk nnni 2,...,2,1



nnnef n 21)1()( 1


1 ki benar.


nkn 21 , yaitu:

nnkef k 2)(


nnknkef k 21)1()( 1



Dari 1) dan 2) terbukti bahwa

nef i 2)(


b. Akan ditunjukkan bahwa

nvf i 2)(


1) Untuk 1i

Jelas bahwa pernyataan tersebut benar untuk 1i , karena

nnvf 212)( 1


48

2) Untuk ni ,...,3,2



nnnvf 2142)22()14()( 2


1 ki benar.

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk ki dengan nk

, yaitu:

nknknvf k 24242)2()14()(


nknknvf k 22242)2)1(()14()( 1



3) Untuk nnni 2,...,2,1



nnnvf n 222)1(2)( 1


1 ki benar.


nkn 21 , yaitu:

nkvf k 22)(


nkkvf k 222)1(2)( 1



Dari 1), 2), dan 3) terbukti bahwa

nvf i 2)(



49

Telah ditunjukkan bahwa konstruksi label untuk sisi tersebut

merupakan bilangan bulat positif {1,2,…, 2n} dan label untuk titik

}.4,...,22,12{ nnn Hal ini sesuai dengan Definisi 2.18 tentang pelabelan

kuat. Oleh karena itu, konstruksi pelabelan tersebut berlaku untuk setiap

.3n

Berikut akan diberikan contoh pelabelan total titik kuat pada graf

𝐶𝑛 + 𝑛𝐴1.

Contoh 4.2

a. Pelabelan totak tak ajaib titik kuat (9,3) pada graf 13 3AC


n anting dengan 3n ( 13 3AC ) yang akan diberi label dengan bobot



Label untuk sisi:

)1(2)( inef i 3,2,1i

606)11()3(2)( 1 ef

516)12()3(2)( 2 ef

426)13()3(2)( 3 ef

nief i )( 6,5,4i

134)( 4 ef

235)( 5 ef

336)( 6 ef

Label untuk titik:

12)( nvf i 1i


50

71)3(2)( 1 vf

2)2()14()( invf i 3,2i

110112)0()112(2)22()1)3(4()( 2 vf

92112)1()112(2)23()1)3(4()( 3 vf

ivf i 2)( 6,5,4i

8)4(2)( 4 vf

10)5(2)( 5 vf

12)6(2)( 6 vf


Gambar 4.8.

b. Pelabelan totak tak ajaib titik kuat (10,3) pada graf 14 4AC





Label untuk sisi:

)1(2)( inef i 4,3,2,1i

808)11()4(2)( 1 ef

718)12()4(2)( 2 ef

628)13()4(2)( 3 ef

538)14()4(2)( 4 ef

nief i )( 8,7,6,5i

145)( 5 ef

246)( 6 ef


51

347)( 7 ef

448)( 8 ef

Label untuk titik:

12)( nvf i 1i

91)4(2)( 1 vf

2)2()14()( invf i 4,3,2i

150152)0()116(2)22()1)4(4()( 2 vf

132152)1()116(2)23()1)4(4()( 3 vf

114152)2()116(2)24()1)4(4()( 4 vf

ivf i 2)( 8,7,6,5i

10)5(2)( 5 vf

12)6(2)( 6 vf

14)7(2)( 7 vf

16)8(2)( 8 vf


Gambar 4.9.

c. Pelabelan totak tak ajaib titik kuat (13,3) pada graf 15 5AC





Label untuk sisi:

)1(2)( inef i 5,4,3,2,1i

10010)11()5(2)( 1 ef


52

9110)12()5(2)( 2 ef

8210)13()5(2)( 3 ef

7310)14()5(2)( 4 ef

6410)15()5(2)( 5 ef

nief i )( 10,9,8,7,6i

156)( 6 ef

257)( 7 ef

358)( 8 ef

459)( 9 ef

5510)( 10 ef

Label untuk titik:

12)( nvf i 1i

111)5(2)( 1 vf

2)2()14()( invf i 5,4,3,2i

190192)0()120(2)22()1)5(4()( 2 vf

172192)1()120(2)23()1)5(4()( 3 vf

154192)2()120(2)24()1)5(4()( 4 vf

136192)3()120(2)25()1)5(4()( 4 vf

ivf i 2)( 10,9,8,7,6i

12)6(2)( 6 vf

14)7(2)( 7 vf

16)8(2)( 8 vf

18)9(2)( 9 vf


53

20)10(2)( 10 vf


Gambar 4.10.


54

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

1. Pelabelan total tak ajaib titik kuat ),( da dapat dilakukan pada graf sikel

)( nC dengan tambahan n anting )( 1nACn .

2. Pelabelan total tak ajaib titik kuat ),( da pada graf sikel )( nC dengan

tambahan n anting )( 1nACn untuk 3n dapat dilakukan dengan nilai

1d dan 3d .

a. Untuk 1d , diperoleh nilai awal bobot titik 24 na dan rumus

pelabelannya yaitu:

Label sisi:

nnni

ni

untuk

untuk

ni

inef i

2,...2,1

,...,2,1

2))1((2

2)1()12()(

dengan:

nnniuntuk

niuntuk

niuntuk

vv

vv

vv

e

nii

i

ii

i

2,...,2,1

1,...,2,1

)(

)(

)(

1

1

Label titik:

nnniuntuk

niuntuk

iuntuk

nin

in

n

vf i

2,...2,1

,...,3,2

1

))1((4

)1(2

3

)(

b. Untuk 3d , diperoleh nilai awal bobot titik 32 na dan rumus

pelabelannya yaitu:

Label sisi:

nnni

ni

untuk

untuk

ni

inef i

2,...2,1

,...,2,1)1(2)(

dengan:


55

nnniuntuk

niuntuk

niuntuk

vv

vv

vv

e

nii

i

ii

i

2,...,2,1

1,...,2,1

)(

)(

)(

1

1

Label titik:

nnniuntuk

niuntuk

iuntuk

i

in

n

vf i

2,...2,1

,...,3,2

1

2

2)2()14(

12

)(

B. Saran

Pembaca yang tertarik dapat melanjutkan dengan mencari keberlakuan

pelabelan total tak-ajaib sisi pada graf 1nACn atau pelabelan total tak-ajaib

titik pada graf lainnya yang belum diketahui keberlakuan pelabelannya. Selain

itu, penelitian ini juga dapat dikembangkan dengan pembuatan program,

misalnya Program Turbo Pascal maupun yang lainnya.


56

DAFTAR PUSTAKA

Aman, Rido. 2013. Pelabelan Total (a,d)-Titik Antiajaib Super Pada Graf Petersen

P(n,2) dengan N Ganjil, N ≥ 5. Jurnal Matematika UNAND. Vol 2 No. 1 P.

61-64.

Andriyani, Rini. 2014. Pelabelan Total Tak Ajaib Titik pada Graf Sikel dengan

Tambahan Dua Anting. Skripsi. Universitas Sanata dharma.

Baca, M., dkk. 2003. Vertex-Antimagic Total Labelings of Graphs. Discussiones

Mathematicae. Graph Theory 23 P. 67-83.

Gallian, Joseph A.. 2018. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The electronic

Journal of Combinatorics. #DS6.

Johnsonbaugh, Richard. 2009. Discrete Mathematics (Seventh Edition). United

States of America: Pearson Practice Hall.

Kotzig, Anton & Alexander Rosa. 1970. Magic Valuations of Finite Graphs.

Canad. Math. Bull. Vol. 13 (4) P. 451-461.

Kristianna, Ayu. 2013. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan

Tambahan 𝑛 Anting untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 Ganjil. Skripsi. Yogyakarta:

Universitas Sanata Dharma.

Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung: Penerbit Informatika.

Prasetyo, D. A. B.. 2012. Vertex Antimagic Total Labeling pada Graph Multicycle.

Pythagoras Vol 7, No 1 P. 57-64.

---------------------. 2018. Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik ),( da pada Graf Sikel

dengan Tambahan Dua Anting )2( 1ACp untuk 𝑑 = 3 dan 𝑑 = 4. Prosiding

Sendika. Vol. 4 No. 1 P. 190-195.

Prasetyo, D. A. B.. 2018. Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik ),( da pada Graf Sikel

dengan Tambahan Dua Anting )2( 1ACp untuk 𝑑 = 3 dan 𝑑 = 4. Prosiding

Sendika. Vol. 4 No. 1 P. 190-195.

Rosen, Kenneth H.. 2019. Discrete Mathematics and Its Applications (Eighth

Edition). New York: McGraw-Hill Education.


57

Sanjaya, Ryan. 2013. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi Kuat pada Graf Multisikel

)( pmC . Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Septian, C. W.. 2012. Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Sikel dengan

Tambahan Satu Anting. Skripsi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Siang, Jong Jek. 2009. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.

Yogyakarta: Penerbit Andi.

Wallis, W.D.. 2001. Magic Graph. Boston: Birkhauser

Yuliyanto, B. D.. 2012. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan

Tambahan Dua Anting. Skripsi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.


repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/34703/2/151414004_full.pdf · i pelabelan total tak ajaib...

Documents