1 pendahuluan mekanika newton

1

Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com

1. Pendahuluan Mekanika Newton

1.1 Pendahuluan

Mekanika adalah studi gaya dan gerak benda. Mekanika merupakan salah satu ilmu tertua dan

sangat menarik untuk dipelajari. Hukum mekanika digunakan di semua ukuran benda, mikroskopik

dan makroskopik, seperti gerak elektron dalam atom dan gerak planet dalam ruang angkasa. Mekanika

dapat dibagi menjadi dua bagian : kinematika dan dinamika. Kinematika mempelajari deskripsi gerak

benda, mengabaikan gaya penyebab gerak . Kinematika menjelaskan posisi, kecepatan dan percepatan

benda setiap waktu. Dinamika mempelajari gaya yang menghasilkan perubahan posisi, ukuran dan

bentuk benda. Dalam kasus khusus statik, benda tetap diam dalam pengaruh gaya eksternal. Sebelum

kita memulai studi mekanika lebih jauh, kita akan mempelajari besaran dan satuan terlebih dahulu.

1.2 Besaran Besaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan memiliki nilai. Besaran selalu didasari oleh

pengukuran. Setiap besaran diukur dalam satuannya. Berdasarkan satuan, besaran dibedakan menjadi

dua bagian, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yang satuannya

telah didefenisikan terlebih dahulu. Pada tahun 1971 dalam pertemuan Bereau of weight and measure

di Prancis disepakati tujuh besaran pokok seperti pada Tabel 1.1 dan dua besaran tambahan.

Tabel 1.1 : Daftar besaran pokok

Besaran Pokok Satuan Simbol Satuan Dimensi

Panjang meter m [L]

Massa kilogram kg [M]

Waktu sekon (detik) s (det) [T]

Kuat arus listrik ampere A [I]

Suhu kelvin K []

Intensitas cahaya candela Cd [J]

Jumlah zat mol N [N]

Besaran tambahan, yaitu sudut datar (plane angle) dengan satuan radian (rad) dan sudut ruang (solid

angle) dengan satuan steradian (sr). Sudut radian digunakan untuk menunjukkan besar fase dan sudut.

Sudut steradian digunakan untuk menyatakan intensitas cahaya dalam ruang. Dua besaran tambahan

ini tidak memiliki dimensi. Besaran turunan adalah besaran yang satuannya disusun oleh satuan

besaran pokok. Contoh besaran turunan adalah kecepatan, percepatan, luas, volume, gaya, momen

gaya, momentum, impuls, tekanan, daya, kerja, dan frekuensi.

Berdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian , yaitu besaran skalar dan besaran

vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja, seperti panjang, massa, waktu,

temperatur, frekuensi, daya, dan kerja. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah,

seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya, momentum, luas, impuls, berat, dan

medan listrik.

Contoh 1.1 :

Tentukan besaran di bawah ini yang termasuk dalam besaran skalar atau besaran vektor !

a. energi kinetik b. medan listrik c. entropi d. kerja e. gaya sentrifugal

f. temperatur g. potensial gravitasi h. muatan i. frekuensi j. capasitas kalor

Penyelesaian :

a. besaran skalar b. besaran vektor c. besaran skalar d. besaran skalar e. besaran vektor f. besaran skalar

2


g. besaran skalar h. besaran skalar i. besaran skalar j. besaran skalar

1.3 Satuan dan sistem satuan

Satuan adalah ukuran yang menjadi acuan nilai besaran. Besaran tanpa satuan tidak memiliki arti.

Misalnya, sebuah benda panjangnya 10. Agar angka 10 memiliki arti, maka kita harus menambahkan

satuan pada angka 10, misalnya menambahkan satuan panjang, 10 meter. Karena itu, kita harus

menuliskan satuan pada besaran fisika. Jangan lupa menuliskan satuan di akhir perhitungan jika anda

sedang mengerjakan soal. Ada beberapa besaran fisika yang tidak memiliki satuan seperti koefisien

gesek.

Sistem satuan

Berikut ini sistem satuan yang umum digunakan dalam mekanika :

1. Sistem MKS atau sistem metrik Sistem ini menggunakan satuan panjang adalah meter, satuan massa adalah kilogram , dan satuan

waktu adalah sekon.

2. Sistem CGS atau sistem Gaussian Sistem ini menggunakan satuan panjang adalah centimeter, satuan massa adalah gram , dan satuan

waktu adalah sekon.

3. Sistem British Sistem satuan ini masih tetap digunakan di Amerika Serikat dan beberapa negara di Eropa. Dalam

sistem British, satuan panjang adalah kaki (feet), inci (in) dan mil, satuan massa adalah slug, satuan

waktu adalah sekon, dan satuan kecepatan adalah knot. Konversi satuan metrik adalah

1 slug = 14,59 kg

1 foot (1 kaki) = 0,3048 m

1 in = 2,54 cm

1 mil = 1,61 km

1 lb = 4,45 N

4. Sistem Satuan Internasional Sistem Satuan Internasional (SI) digunakan setelah pertemuan Bereau of weight and measure di

Prancis. Sistem ini adalah bentuk pengembangan dari sistem metrik. Sistem SI menggunakan satuan

besaran pokok dalam Tabel 1.1. SI menggunakan dua satuan besaran tambahan, yaitu radian dan

steradian. Sistem SI dikenal sistem satuan standar. Anda perlu memperhatikan satuan sebelum

melakukan perhitungan suatu soal fisika, sebaiknya memilih salah satu sistem satuan dalam

menyelesaikan soal fisika, untuk contoh, jika anda menggunakan sistem CGS, maka satuan besaran

gaya adalah dyne dan satuan energi adalah kalori.

Defenisi satuan besaran pokok untuk besaran panjang, massa dan waktu.

a. Panjang satuannya meter Satu meter adalah jarak yang ditempuh oleh cahaya di ruang hampa dalam waktu 1/299.792.458

sekon.

b. Waktu satuannya sekon Satu sekon adalah interval waktu dari 9.192.631.770 kali waktu getar atom Cesium-133.

c. Massa satuannya kilogram Satu kilogram adalah massa sebuah silinder platinum-iridium yang disimpan di Serves Prancis.

3


Tabel 1.2 menunjukkan awalan dari satuan SI. Untuk menyatakan hasil pengukuran yang sangat besar

dan sangat kecil , kita akan menggunakan awalan satuan dalam Tabel 1.2.

Tabel 1.2 : Awalan Satuan SI

Faktor Awalan Simbol

1024

yotta- Y

1021

zetta- Z

1018

exa E

1015

peta- P

1012

tera- T

109 giga- G

106

mega- M

103 kilo- k

102

hekto- h

101

deka- da

10-1

desi- d

10-2

centi- c

10-3

milli- m

10-6

mikro-

10-9

nano- n

10-12

piko- p

10-15

femto- f

10-18

atto- a

10-21

zepto- z

10-24

okto- y

Contoh 1.2 : Jari-jari Bumi adalah 6,4 10

6 m = 6.400 km = 6,4 Mm

Massa Bulan adalah 7,36 1022

kg = 73,6 Zkg.

Konversi satuan

Kita sering melakukan konversi satuan besaran fisika dalam penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian besaran dalam perhitungan fisika. Contohnya, 1 jam =60 menit = 3600

detik, kita dapat menuliskan

1jam1

3600detik dan

3600detik1

1jam

Faktor 1 jam/3600 detik dan 3600 detik/ 1 jam disebut faktor konversi. Untuk mengubah suatu satuan

ke bentuk satuan yang lain, kita harus mengalikannya dengan faktor konversinya.

Sekarang kita akan merubah 36 km/jam ke dalam satuan meter per sekon.

Penting untuk menyamakan satuan saat melakukan operasi aljabar dalam persamaan fisika.

Satuan yang tidak diperlukan dapat saling menghilangkan satu sama lain. Sebagai contoh, sebuah

benda bergerak dengan kecepatan konstan 54 km/jam selama 20 menit. Untuk menemukan jarak yang

ditempuh oleh benda, mari kita ubah satuan waktu dalam jam.

1jam 120menit =(20 menit ) jam

60 menit 3

Jarak yang ditempuh oleh benda adalah

km 154 jam=18km

jam 3s vt

km km 1000m 1jam m36 =(36 ) 10

jam jam km 3600s s

3600detik0,5 jam=(0,5 jam) 1800detik

jam

4


Kita juga dapat melakukan konversi sistem satuan SI ke dalam sistem satuan British menggunakan

faktor konversinya.

Contoh 1.3 :

Ubahlah sistem satuan di bawah ini ke dalam sistem satuan standar (SI)!

a. 1 dyne = 1 gr. cm/s2 b. 1 slug / kaki3

Penyelesaian :

a. 5 52 2 2

gr cm gr cm 1kg 1m kg m1 1 10 10 N

1000gr 100cms s s

b. 1 slug = 14,59 kg, 1 kaki = 0, 3048 m atau 1 kaki3 = 0,02832 m3 3

53 3 3 2 3

slug slug 14,59kg 1kaki kg m kg1 1 10 515,2

1slugkaki kaki 0,02832m s m

Contoh 1.4 :

Sebuah bak mandi berbentuk persegi dengan panjang sisinya 10 kaki. Air mengalir ke dalam bak

mandi melalui kran dengan kelajuan 0,1 liter/detik. Jika mula-mula bak mandi belum berisi air,

hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi sampai penuh!

Penyelesaian:

Panjang sisi bak mandi adalah 0,3048m

10kaki 10kaki 3,048m1kaki

s

.

Volume bak mandi adalah 33 3 33,048m 28,31683m 28316,83dmV s .

Oleh karena, 1 dm3 = 1 L, maka 28316,83LV

Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi sampai penuh adalah

s28316,83 L 0,1 2832s

Lt

1.4 Analisa dimensi

Dimensi suatu besaran menunjukkan cara suatu besaran tersusun dari besaran pokok. Lihat

kembali Tabel 1.1, lambang [ ] adalah simbol dimensi besaran. Besaran panjang memiliki dimensi L,

massa memiliki dimensi M, dan waktu memiliki dimensi T. Kita dapat menentukan dimensi besaran

turunan dari satuan besaran pokok penyusunnya. Satuan kecepatan adalah m/s, maka dimensi

kecepatan adalah L/T =LT-1

. Dimensi suatu besaran diperoleh dengan menguraikan satuannya ke

dalam satuan SI. Satuan gaya adalah Newton atau setara dengan kg.m/s2, maka dimensi gaya adalah

2MLT .

Contoh 1.5 :

Tentukanlah dimensi besaran fisika di bawah ini!

a. percepatan b. momentum c. tekanan d. konstanta gravitasi

Penyelesaian :

a. Satuan percepatan (a) adalah m/s2. Sehingga, 2[ ]a LT

b. Momentum adalah perkalian massa dan kecepatan, p mv , maka satuan momentum adalah

kg m s . Sehingga,1[ ]p MLT .

5


c. Tekanan adalah gaya persatuan luas, P=F/A. Satuan tekanan adalah 2 -1 -2N m =kg m s . Sehingga,

1 2[ ]p ML T .

d. Untuk menentukan dimensi konstanta gravitasi, kita menggunakan rumus gaya gravitasi.2

1 2F Gm m r , maka satuan konstanta gravitasi G adalah 2 2 3 2Nm kg =m s kg . Dimensi

konstanta gravitasi adalah 1 3 2[ ]G M L T .

Dalam Tabel 1.2 terdapat daftar dimensi besaran mekanika yang dinyatakan dalam besaran

massa, panjang, dan waktu.

Tabel 1.2 : Daftar dimensi besaran mekanika

Besaran Rumus Satuan MKS Dimensi

Luas A p l m2 2L

Volume V p l t m3 3L

Massa jenis m V -3kg m 3ML

Kecepatan v dx dt m/s 1LT

Percepatan 2a d x dt m/s2 2LT

Gaya F ma -2kg m s N 2MLT

Momentum linear p mv -1kg m s 1MLT

Impuls I F t p -1kg m s =N s 1MLT

Energi kinetik 212

Ek mv 2 -2kg m s J 2 2ML T

Energi potensial gravitasi Ep mgh 2 -2kg m s J 2 2ML T

Energi potensial pegas 212

Ep kx 2 -2kg m s J

2 2ML T

Usaha W F x EK 2 -2kg m s J 2 2ML T

Daya P W t 2 -3kg m s J s 2 3ML T

Tekanan p F A

2 -1 -2N m = kg m s

2 3ML T

Frekuensi 1f T s-1

= hertz= Hz 1T

Kecepatan angular 2 f -1rad s 1T

Percepatan angular 0 t -2rad s 2T

Momen inersia partikel 2I mr

2kg m 2ML

Momen gaya (Torsi) sinI rF

2 2kg m N ms 2 2ML T

Momentum sudut L I mvr 2 1kg m s 2 1ML T

Studi dimensi besaran fisika sangat penting dalam ilmu fisika. Kegunaan analisa dimensi adalah

1. Memeriksa kebenaran persamaan fisika. Kita dapat mengetahui kebenaran menggunakan analisa dimensi. Setiap bentuk persamaan fisika

harus memenuhi syarat bahwa dimensi ruas kanan sama dengan dimensi ruas kiri. Jika dimensi ruas

kanan berbeda dengan dimensi ruas kiri maka persamaan fisika tersebut salah. Besaran dapat

dijumlahkan jika memiliki dimensi yang sama. Relasi matematis pada setiap persamaan harus

memiliki dimensi sama. Sebuah persamaan posisi benda dinyatakan dengan 210 2

x v t at , x memiliki

dimensi yang sama dengan 0v t dan 21

2at ,yaitu [ ]L . Kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan

posisi benda 210 2

x v t at benar secara dimensi. Banyak siswa kadang-kadang lupa rumus periode

6


bandul matematis 2T l g atau 2T g l . Dengan menggunakan analisa dimensi, kita dapat

menentukan bahwa rumus periode yang benar adalah 2T g l .

Contoh 1.6 :

Seorang siswa ingin memeriksa kebenaran dari tiga persamaan berikut ini :

i. 2 2x vt at

ii. 212

ma x mv Fx

iii. 2 212

2E p m kx

Tiga persamaan ini terdiri dari besaran perubahan posisi x, kecepatan v, percepatan a , waktu t, massa

m, momentum p, konstanta pegas k dan energi mekanik E. Tentukan persamaan di atas yang benar

secara dimensi!

Penyelesaian :

Tinjau persamaan (i) : 2 2x vt at

Dimensi ruas kiri adalah L

Dimensi ruas kanan adalah 1 2 2 1LT T LT T LT LT .

Dimensi ruas kiri dan ruas kanan tidak sama, maka persamaan (i) salah.

Tinjau persamaan (ii) : 21

2ma x mv Fx

Dimensi ruas kiri adalah 22 1 2 2 2 2M LT L M LT ML T ML T

Dimensi ruas kanan adalah 22 2MLT L ML T .

Dimensi ruas kiri dan ruas kanan sama, maka persamaan (ii) benar.

Tinjau persamaan (iii) : 2 21

22E p m kx

Dimensi ruas kiri adalah 2 2ML T

Dimensi ruas kanan adalah 2 2 22

1 1 2 22MLT M MT L ML T ML T .

Dimensi ruas kiri dan ruas kanan sama, maka persamaan (iii) benar.

2. Memeriksa hasil perhitungan akhir. Hasil perhitungan akhir harus memiliki dimensi yang sama dengan besaran yang ditanyakan

dalam soal. Sangat penting untuk memeriksa dimensi hasil perhitungan akhir setelah mengerjakan

soal. Jika dimensi jawaban anda tidak sama dengan dimensi besaran yang ditanyakan, maka jawaban

keliru dan sebaiknya memeriksa kembali hasil pekerjaan anda.

Contoh 1.7 :

Seorang siswa menyelesaikan soal olimpiade fisika dengan menemukan nilai waktu (t) dan gaya (F)

dengan hasil perhitungan akhir :

i. 1

1 2

sin 2m yt

m m g

ii. 2

m g pF

t y t

dimana besaran massa (m), jarak (y), percepatan gravitasi (g), momentum (p). Tentukan jawaban di

atas yang benar secara dimensi!

Penyelesaian :

Jawaban bagian (i) benar karena dimensi waktu (t) sama dengan dimensi jawaban akhir. Jawaban

bagian (ii) salah karena dimensi gaya (F) sama dengan dimensi jawaban akhir. Karena hasil akhir

7


jawaban bagian (ii) salah, maka penting untuk siswa mengulang kembali mengerjakan soal tersebut

dengan lebih teliti.

3. Membentuk rumus fisika Kita dapat mengetahui ketergantungan suatu besaran terhadap besaran lainnya menggunakan

analisa dimensi. Selanjutnya, kita dapat mengetahui perbandingan besaran-besaran tersebut. Rumus

fisika benar hanya jika dimensi ruas kanan sama dengan dimensi ruas kiri.

Contoh 1.8 :

Sebuah benda benda bermassa m bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan linear v dan jari-jari

lintasan r. Tentukan gaya sentripetal Fs yang dialami oleh benda bergantung pada besaran m,v dan r !

Penyelesaian :

Kita dapat menuliskan bahwa x y z

sF k m v r

dimana k ,x,y, dan z adalah konstanta tidak berdimensi. Nilai konstanta k dapat diperoleh secara

eksperimen atau teoritik. Nilai x, y dan z akan diperoleh menggunakan analisa dimensi. Satuan gaya

adalah kg.m/s2 sehingga 2sF MLT

. Satuan massa adalah kg, sehingga m M . Satuan kecepatan

adalah m/s, sehingga 1v LT . Satuan jari-jari lintasan adalah m, sehingga r L . Gunakan syarat

bahwa sebuah persamaan harus memiliki kesamaan dimensi ruas kiri dan ruas kanan. Kita peroleh

hubungan

2 1yx z

MLT M LT L

2 x y z yMLT M L T Kita peroleh tiga buah persamaan : 1, 1x y z dan 2y . Jadi, 1, 2x y

dan 1z . Gaya

sentripetal yang dialami oleh benda adalah 2

svF k mr

Secara teori dapat dibuktikan bahwa nilai k = 1. Besar gaya sentripetal yang dialami oleh benda

bergerak melingkar adalah 2

svF mr

.

Contoh 1.8 :

Sebuah planet bergerak mengintari matahari dalam suatu orbit melingkar. Periode revolusi planet T,

bergantung pada jari-jari orbit R, massa matahari M dan tetapan gravitasi G.

a. Tentukanlah ketergantungan T dalam besaran R, M dan G ! b. Jika jari-jari orbit planet membesar menjadi dua kali semula dan massa Matahari berkurang

menjadi setengah kali semula. Hitung periode planet sekarang dinyatakan dalam periode awal T!

Penyelesaian :

a. Kita dapat menuliskan bahwa x y zT k M G R

Massa M memiliki dimensi M. Satuan G adalah N.m2/kg

2 = kg

-1.m

3.s

2 , sehingga G memiliki

dimensi 1 3 2M L T . Jari-jari orbit R memiliki dimensi L. 1 3 2( )x y zT M M L T L

0 0 1 3 2x y y z yM L T M L T Dengan menyamakan dimensi ruas kanan dan ruas kiri, maka kita peroleh tiga buah persamaan

yaitu: 0, 3 0 dan -2 1x y y z y . Jadi, 1 2, 1 2, dan 3 2x y x .

Rumus periode revolusi planet adalah 1 2 1 2 3 2T kM G R

dapat disederhanakan dalam bentuk

RT kR

MG

8


b. Diketahui bahwa 4R R dan 2M M . Jadi,

12

(2 )(2 ) 4 4

( )

R R RT kR k R kR T

M G M G MG

1.5 Pendekatan kasus khusus Pendekatan kasus khusus akan membantu anda untuk penyelesaian kasus fisika yang lebih rumit.

Metode ini sangat penting untuk dilakukan di akhir perhitungan untuk memeriksa apakah jawaban

akhir benar untuk kondisi limit khusus. Langkah ini anda lakukan setelah memeriksa dimensi.

Jawaban akhir yang anda peroleh benar jika pada limit kasus khusus juga benar. Pendekatan kasus

khusus dilakukan dengan cara memilih kondisi massa benda sangat besar atau sangat kecil, tali sangat

panjang, permukaan bidang licin atau sangat kasar, dan simpangan benda kecil. Metode ini akan

membantu kita untuk melihat sifat sistem untuk kasus ekstrim. Pendekatan kasus khusus juga akan

memudahkan kita dalam menginterpretasikan makna fisis jawaban akhir. Pendekatan kasus khusus

sering dilakukan dengan pendekatan deret, misalnya deret binomial Newton, deret Taylor, dan deret

Maclaurin.

Contoh 1.9 :

Sebuah peluru ditembakkan ke atas bidang miring (sudut kemiringan ) dengan kecepatan awal 0v

pada sudut terhadap bidang horizontal, seperti ditunjukan pada gambar. Peluru menumbuk bidang

miring pada jarak d dari titik asal penembakan.

Tentukan jarak d yang paling tepat menurut analisa dimensi dan pendekatan kasus khusus!

A.

20

2

2 cos sin

cos

vd

g

B.

2

2 20

2 sin

cos

gd

v

C. 2 20

2

2 sin

cos

vd

g

D. 2 20

2

2 sin

sin

vd

g

Penyelesaian :

Pilihan B salah secara dimensi, karena dimensi ruas kanan tidak sama dengan dimensi ruas kiri. Jarak

maksimum peluru yang ditembakkan di atas permukaan horizontal dengan kecepatan v0 dan sudut

elevasi adalah 2 20 0sin 2 2 sin cosv vR

g g

Untuk kasus peluru ditembakkan di atas permukaan horizontal, mari kita lakukan pendekatan kasus

khusus saat 0 , nilai d harus sama dengan R. Jadi jawaban yang benar secara dimensi dan pada

limit khusus adalah pilihan A. Sangat penting untuk melakukan pendekatan kusus di akhir perhitungan

untuk memastikan kebenaran hasil perhitungan akhir.

d

0v

9


Deret Binomial Newton

Untuk setiap bilangan riil n dan |x|

10


Deret Maclaurin

Apabila a = 0, kita peroleh deret Maclaurin :

2 3(0) (0)( ) (0) (0)2! 3!

f ff x f f x x x

(1.3)

Contoh 1.12 :

Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = sin x !

Penyelesaian:

(4) (4)

( ) cos (0) 1

( ) sin (0) 0

( ) cos (0) 1

( ) sin (0) 0

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

Sehingga, 3 5 7

sin3! 5! 7!

x x xx x

Beberapa Deret Maclaurin yang penting :

1. 3 5 7

sin3! 5! 7!

x x xx x

2. 2 4 6

cos 12! 4! 6!

x x xx

3. 3 52

tan | |3 15 2

x xx x x

4. 2 3 41

11

x x x xx

5. 2 3 4

ln(1 )2! 3! 4!

x x xx x

6. 2 3 4

12! 3! 4!

x x x xe x

Jika x

11


Penyelesaian :

a. Pada titik tertinggi ( ) 0mv t .

0 0mk tkv gg

ek k

0

mk tg

ekv g

0

lnmg

ktkv g

01 ln 1mkv

tk g

b. Kita gunakan ekspansi untuk z kecil (z

12


Tentukanlah dimensi dasar (M,L,T ) untuk konstanta dan dan nyatakan juga dalam satuan

SI!

Penyelesaian :

Percepatan partikel : ln 1m v

a

Dimensi dari konstanta sama dengan dimensi kecepatan adalah 1LT dan memiliki satuan SI

adalah m/s.

m

a

atau

12 MLTLT

Konstanta memiliki dimensi MT dan satuan SI-nya adalah kg.s .

4. Tentukan kebenaran persamaan fisika di bawah ini! Simbol yang digunakan dalam setiap persamaan mengikuti aturan berikut : F (gaya), x (perpindahan), v (kecepatan), a (percepatan), t

(waktu), tekanan (P), massa (m), percepatan gravitasi (g), massa (m)!

a. 212

konstanP v gh

b. 21

2

p Fx t

m m

c. 2v Fx m

d. 2 20 2v v ax

Penyelesaian :

Persamaan (a), (b), dan (c) benar, sedangkan persamaan (d) salah.

5. Frekuensi osilasi senar tegantung pada panjang senar L, gaya yang diberikan pada senar T dan kerapatan massa linear . Tentukan rumus frekuensi sebagai fungsi L, T dan !

Penyelesaian :

Kita asumsikan bahwa rumus frekuensi : x y zf kL T

Untuk menemukan nilai x, y dan z kita gunakan analisa dimensi.

Kita gunakan kesamaan dimensi : x y z

f L T

1 2 1y zx

T L MLT ML

1 2x y z y z yT L M T Kita akan mendapatkan tiga persamaan berserta solusinya seperti berikut ini:

2 1 1 2

0 1 2

0 1

y y

y z z

x y z x

Jadi,

1 1 2 1 2 1 Tf kL T kL

6. Sebuah bola jatuh bebas dari suatu ketinggian tertentu. Gaya gesek udara ( DF ) yang dialami bola

bergantung pada kecepatan bola (v), massa jenis udara ( u ) , luas penampang bola jika dilihat dari

atas tanah ( 2A R , R adalah jari-jari bola) dan koefisien gesek DC yang bergantung pada

13


bentuk dan tekstur bola. Konstanta DC tidak berdimensi yang nilainya antara 0 dan 1. Rumus

gaya gesek yang bekerja pada bola memenuhi hubungan x x z

D D uF kC v A

a. Tentukan nilai x,y, dan z !

b. Massa jenis bola adalah b . Percepatan gravitasi bumi g. Tentukanlah kecepatan terminal

bola (Tv )!

c. Tentukan kecepatan terminal bola jika jari-jari bola dijadikan dua kali semula!

Penyelesaian :

a. Gaya gesek udara DF memenuhi persamaan

x y z

D DF k C v A

Konstantan CD tidak berdimensi. Persamaan di atas harus memenuhi kesamaan dimensi ruas

kanan dan kiri,

2 1 3 2x y z

MLT LT ML L

2 3y x y z xMLT M L T

Kita akan memperoleh nilai 1, 2y x dan 1z . Gaya gesek udara adalah 2

D DF C v A

b. Bola mencapai kecepatan terminal saat benda dalam keadaan setimbang, terjadi saat gaya

gesek sama dengan berat bola. Kecepatan bola maksimum saat mencapai kecepatan terminal.

0Dmg F

Bola memiliki massa 34

3 bm R .

Dmg F

3 2 24

3b D T uR g C v R

4

3

bT

D u

gv R R

kC

.

dimana 4

3

b

D u

g

kC

.

c. Jari-jari bola dijadikan dua kali semula, 2R R .

2T

T

v R

v R

2T Tv v

Bola yang berukuran lebih besar memiliki kecepatan terminal lebih besar.

7. Ketika cairan mengalir dalam pipa, gesekan antara cairan dan permukaan pipa dinyatakan oleh koefisien viskositas , didefenisikan oleh persamaan F/A = dv/ds, dimana F adalah gaya gesek

yang bekerja melewati luas A dan dv/ds adalah gradien kecepatan antara lapisan cairan. Jika P

adalah perbedaan tekanan berbanding lurus terhadap l, menggunakan metode analisa dimensi,

tunjukkan bahwa

4

Pk

l a

dimana k adalah konstanta tanpa dimensi, adalah volume cairan tiap detik yang melalui pipa

dan a adalah jari-jari pipa.

14


Penyelesaian :

Rumus gradien tekanan P/l dalam suku , a dan dinyatakan dalam persamaan

berikut ,

x y zP k al

k, x, y, dan z adalah konstanta tidak berdimensi. Satuan P/l adalah N/m3 atau sama

dengan 2 2detkg m sehingga 2 2P l ML T . Satuan adalah m3/det sehingga

3 1V L T . Satuan dari persamaan F/A = dv/ds adalah kg/(det.m) sehingga

1 1ML T Dimensi ruas kanan sama dengan dimensi ruas kiri,

2 2 1 1 3 1x zy

ML T ML T L L T

2 2 3x x y z x zML T M L T

Kita peroleh, : 1M x

: 3 2L x y z

: 2T x z

Kita peroleh 1, 4 dan 1x y z . Jadi,

4

Pk

l a

8. Dua benda titik masing-masing bermassa m dihubungkan oleh tali ringan panjangnya l. Benda digantungkan vertikal dekat permukaan bumi, supaya salah satu benda tergantung di bawah yang

lainnya. Kemudian kedua benda dilepaskan. Massa bumi M, radius bumi R, dan konstanta

gravitasi G.

Besar tegangan tali adalah

2 2

1 1

2

GmMT

R R l

Buktikan bahwa tegangan tali akan mendekati sama dengan

2

GmMT

R

untuk l

15


2

21 1

GmM lT

RR

Gunakan eskpansi binomial Newton, (1 + x)n = 1 + nx , dimana x

16


( ) 1 rGMm

V r aer

Untuk jarak dekat r

17


Kita akan memperoleh :

21

g

L dan 22

B

A

kL m g

m L

Solusi 21 memiliki arti bahwa mA diam dan mB bergerak hormonis sederhana yang sama

dengan gerak pendulum. Konstanta pegas sangat besar menybabkan mA akan diam.

b. Jika batang bandul tidak ada ( 0L ):

2 22

2 22 2

21 12

A BA B A B

A A B A B

m m gkLk LkL m m g m m gm L m m g m m g

Gunakan ekspansi 1 1n

x nx untuk x

1 pendahuluan mekanika newton

Documents