1

Nama : Heri Sunaryo, S.Si., M.Sc.Pekerjaan : TNI AU / AAUAlamat : Komplek TNI AU Blok P – 7

Lanud AdisutjiptoPendidikan : - S1 : Prodi Statistika

Jurusan Matematika FMIPA UGM- S2 : Teknik Industri UGM

Contact : 0813 2803 1682

BIO DATA SINGKAT

2

KALKULUS IBAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan

dan Koordinat Kartesius BAB 2 Fungsi dan LimitBAB 3 TurunanBAB 4 Penggunaan TurunanBAB 5 IntegralBAB 6 Penggunaan IntegralBAB 7 Fungsi-Fungsi TransendenBAB 8 Teknik Pengintegralan

REFERENSI1. “Calculus with Analyic Geometric, 5th edition”,

Edwin J. Purcell., Dale Varberg., Prentice Hall, Inc., 1987.2. “Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 & 2, Edisi Kelima”,

Drs. I Nyoman Susila, M.Sc., Bana Kartasasmita, Ph.D., Drs. Rawuh, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1987.

3. “Buku kalkulus / CALCULUS yang lain” 3

PenilaianFaktor

Kehadiran 20 %Quiz / tugas 20 %UTS 30 %UAS 30 %

Rentang NA Huruf Nilai0 - 39,99 E (0)

40 - 54,99 D (1)55 - 64,99 C (2)65 - 79,99 B (3)80 - 100 A (4)

NA = 0,2 K + 0,2 Q + 0,3 UTS + 0,3 UAS

4

Why study calculus?

Kalkulus adalah metode matematika yang menggunakan proses infinite untuk menyelesaikan masalah-masalah finite.Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua masalah fundamental:

- problems of change (e.g. motion)- problems of content (e.g. area, volume)

5

Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan

Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, 4, 5, • • •}

Himpunan Bilangan Rasional : Q = { p/q │p,q ∈ Z , q ≠ 0 }

Himpunan Bilangan Bulat : Z = {• • • , -2, -1, 0, 1, 2, 3, • • •}

Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnya adalah √2. Apakah √2 bilangan rasional ? 1

1 √2

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real / riil, disimbolkan R

Jelas bahwa N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat.

6

Penambahan dan Perkalian dua bilangan riil x dan y akan memperoleh dua bilangan riil baru, yaitu x + y dan x . y (biasanya ditulis xy), dengan sifat-sifat sebagai berikut : (disebut sebagai SIFAT-SIFAT MEDAN / LAPANGAN / field)

1. Hukum Komutatif x + y = y + x dan xy = yx

2. Hukum Asosiatif x + (y+z) = (x+y) + z dan x(yz) = (xy)z

3. Hukum Distributif x(y+z) = xy + xz

4. Elemen-elemen Identitas 0 dan 1

5. Balikan (Invers) • Setiap bil x mempunyai balikan aditif - x , yg

memenuhi x + (-x) = 0

• Setiap bil x kecuali 0, mempunyai balikan perkalian (kebalikan) x - 1 yang memenuhi x.x - 1 = 1

7

Sifat-sifat Urutan

Urutan pada garis bilangan riil misal x < y , berarti x berada di sebelah kiri y pada garis bilangan riil, yaitu :

x y

1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan, maka pasti satudiantara yang berikut berlaku :

x < y , atau x = y , atau x > y2. Ketransitifan. Jika x < y dan y < z maka x < z3. Penambahan. x < y ↔ x + z < y + z4. Perkalian.

• Bila z positif , x < y ↔ xz < yz• Bila z negatif , x < y ↔ xz > yz

Sifat-sifat nomor 2,3 dan 4 berlaku juga bila lambang < diganti ≤ dan > diganti ≥ 8

DESIMAL hasil bagi antara pembilang dan penyebut.Pernyataan desimal suatu bil rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanyaContoh : 3/8 = 0,375. atau 13/11 = 1,1818181818 …Pernyataan desimal suatu bil irrasional tdk berulang menurut suatu daur, sebaliknya suatu desimal tak berulang pastimenyatakan suatu bilangan irrasional

Contoh : 0, 10100100010001 … adalah bil irrasional

KERAPATAN diantara dua bilangan riil sebarang yg berlainan terdapat tak berhingga bilangan riil lain.Shg : sebarang bilangan irrasional dapat dihampiri oleh

suatu bilangan rasional sedekat yg kita sukaiContohnya adl √2, barisan bilangan-bilangan 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,14121 ; 1,414213 … berbaris menuju √2

9

a b

KETAKSAMAAN / PERTIDAKSAMAAN / PERTAKSAMAANPenyelesaian pertidaksamaan mencari semua himpunan bil riil yg membuat pertidaksamaan berlaku ( biasanyadinyatakan dengan menggunakan selang / interval)

4. (a,b] = { x │a < x < b }

6. [a, ∞) = { x │ x > a }

8. (−∞ ,b] = { x │ x < b }

Notasi Interval: Misalkan a, b ∈ R1. (a,b) = { x│a < x < b }2. [a,b] = { x │ a < x < b }3. [a,b) = { x │ a < x < b }

5. (a,∞) = { x │ x > a }

7. (−∞,b) = { x │ x < b }

9. ( −∞, ∞) = RHati2: −∞ dan ∞ bukan bilangan real 10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Contoh 1 : Selesaikan pertaksamaan 2x – 7 < 4x – 2

2x – 7 < 4x – 22x < 4x +5– 2x < 5x > – 5/2 (-5/2,∞) = { x │ x > - 5/2 }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Contoh 2 : Selesaikan pertaksamaan – 5 < 2x + 6 < 4

– 5 < 2x + 6 < 4

– 11 < 2x < – 2

– 11/2 < x < – 1 [-11/2, - 1) = { x │ – 11/2 < x < – 1}

11

12

13

14

15

16

NILAI MUTLAK / HARGA MUTLAKJika x ∈R , maka harga mutlak x ditulis │x│adalah

│x│= x , jika x > 0│x│= - x , jika x < 0

Sifat – sifat harga mutlak :

4. │a – b│> │ │a│- │b│ │

3. │a + b│< │a│+ │b│ Ketaksamaan segitiga

1. │ab│= │a│ │b│

ba

ba

=2.

17

AKAR KUADRATMisalkan x > 0. Akar kuadrat dari x, ditulis √x adalah bilangan real nonnegatif a sehingga a2 = x.

Ilustrasi: (a) √9= 3, (b) √(-4)2 = 4.

Secara umum : Bila b ∈ R maka √ b2 = │b│

Pertaksamaan yang memuat nilai mutlak dan akar kuadrat

Sifat2 │x│< a ↔ - a < x < a

│x│> a ↔ x < - a atau x > a

Untuk mencari solusi pertaksamaan yang memuat nilai mutlak / akar kuadrat, usahakan menghilangkan nilai mutlak / akar kuadratnya, lalu diselesaikan sebagai pertaksamaan rasional. 18

Contoh : selesaikan │x – 4│< 1,5Lihat sifat 1, x diganti x – 4, didapat

│x – 4│< 1,5 ↔ - 1,5 < x – 4 < 1,52,5 < x < 5,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Contoh 2 : selesaikan │3x – 5│> 1Lihat sifat 2, x diganti 3x – 5, shg dpt ditulis berurutan sbb

3x – 5 < - 1 atau 3x – 5 > 13 x < 4 atau 3 x > 6

x < 4/3 atau x > 2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 19

20