Download - 01 Kalkulus1
1
Nama : Heri Sunaryo, S.Si., M.Sc.Pekerjaan : TNI AU / AAUAlamat : Komplek TNI AU Blok P – 7
Lanud AdisutjiptoPendidikan : - S1 : Prodi Statistika
Jurusan Matematika FMIPA UGM- S2 : Teknik Industri UGM
Contact : 0813 2803 1682
BIO DATA SINGKAT
2
KALKULUS IBAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan
dan Koordinat Kartesius BAB 2 Fungsi dan LimitBAB 3 TurunanBAB 4 Penggunaan TurunanBAB 5 IntegralBAB 6 Penggunaan IntegralBAB 7 Fungsi-Fungsi TransendenBAB 8 Teknik Pengintegralan
REFERENSI1. “Calculus with Analyic Geometric, 5th edition”,
Edwin J. Purcell., Dale Varberg., Prentice Hall, Inc., 1987.2. “Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 & 2, Edisi Kelima”,
Drs. I Nyoman Susila, M.Sc., Bana Kartasasmita, Ph.D., Drs. Rawuh, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1987.
3. “Buku kalkulus / CALCULUS yang lain” 3
PenilaianFaktor
Kehadiran 20 %Quiz / tugas 20 %UTS 30 %UAS 30 %
Rentang NA Huruf Nilai0 - 39,99 E (0)
40 - 54,99 D (1)55 - 64,99 C (2)65 - 79,99 B (3)80 - 100 A (4)
NA = 0,2 K + 0,2 Q + 0,3 UTS + 0,3 UAS
4
Why study calculus?
Kalkulus adalah metode matematika yang menggunakan proses infinite untuk menyelesaikan masalah-masalah finite.Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua masalah fundamental:
- problems of change (e.g. motion)- problems of content (e.g. area, volume)
5
Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, 4, 5, • • •}
Himpunan Bilangan Rasional : Q = { p/q │p,q ∈ Z , q ≠ 0 }
Himpunan Bilangan Bulat : Z = {• • • , -2, -1, 0, 1, 2, 3, • • •}
Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnya adalah √2. Apakah √2 bilangan rasional ? 1
1 √2
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real / riil, disimbolkan R
Jelas bahwa N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat.
6
Penambahan dan Perkalian dua bilangan riil x dan y akan memperoleh dua bilangan riil baru, yaitu x + y dan x . y (biasanya ditulis xy), dengan sifat-sifat sebagai berikut : (disebut sebagai SIFAT-SIFAT MEDAN / LAPANGAN / field)
1. Hukum Komutatif x + y = y + x dan xy = yx
2. Hukum Asosiatif x + (y+z) = (x+y) + z dan x(yz) = (xy)z
3. Hukum Distributif x(y+z) = xy + xz
4. Elemen-elemen Identitas 0 dan 1
5. Balikan (Invers) • Setiap bil x mempunyai balikan aditif - x , yg
memenuhi x + (-x) = 0
• Setiap bil x kecuali 0, mempunyai balikan perkalian (kebalikan) x - 1 yang memenuhi x.x - 1 = 1
7
Sifat-sifat Urutan
Urutan pada garis bilangan riil misal x < y , berarti x berada di sebelah kiri y pada garis bilangan riil, yaitu :
x y
1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan, maka pasti satudiantara yang berikut berlaku :
x < y , atau x = y , atau x > y2. Ketransitifan. Jika x < y dan y < z maka x < z3. Penambahan. x < y ↔ x + z < y + z4. Perkalian.
• Bila z positif , x < y ↔ xz < yz• Bila z negatif , x < y ↔ xz > yz
Sifat-sifat nomor 2,3 dan 4 berlaku juga bila lambang < diganti ≤ dan > diganti ≥ 8
DESIMAL hasil bagi antara pembilang dan penyebut.Pernyataan desimal suatu bil rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanyaContoh : 3/8 = 0,375. atau 13/11 = 1,1818181818 …Pernyataan desimal suatu bil irrasional tdk berulang menurut suatu daur, sebaliknya suatu desimal tak berulang pastimenyatakan suatu bilangan irrasional
Contoh : 0, 10100100010001 … adalah bil irrasional
KERAPATAN diantara dua bilangan riil sebarang yg berlainan terdapat tak berhingga bilangan riil lain.Shg : sebarang bilangan irrasional dapat dihampiri oleh
suatu bilangan rasional sedekat yg kita sukaiContohnya adl √2, barisan bilangan-bilangan 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,14121 ; 1,414213 … berbaris menuju √2
9
a b
KETAKSAMAAN / PERTIDAKSAMAAN / PERTAKSAMAANPenyelesaian pertidaksamaan mencari semua himpunan bil riil yg membuat pertidaksamaan berlaku ( biasanyadinyatakan dengan menggunakan selang / interval)
4. (a,b] = { x │a < x < b }
6. [a, ∞) = { x │ x > a }
8. (−∞ ,b] = { x │ x < b }
Notasi Interval: Misalkan a, b ∈ R1. (a,b) = { x│a < x < b }2. [a,b] = { x │ a < x < b }3. [a,b) = { x │ a < x < b }
5. (a,∞) = { x │ x > a }
7. (−∞,b) = { x │ x < b }
9. ( −∞, ∞) = RHati2: −∞ dan ∞ bukan bilangan real 10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Contoh 1 : Selesaikan pertaksamaan 2x – 7 < 4x – 2
2x – 7 < 4x – 22x < 4x +5– 2x < 5x > – 5/2 (-5/2,∞) = { x │ x > - 5/2 }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Contoh 2 : Selesaikan pertaksamaan – 5 < 2x + 6 < 4
– 5 < 2x + 6 < 4
– 11 < 2x < – 2
– 11/2 < x < – 1 [-11/2, - 1) = { x │ – 11/2 < x < – 1}
11
12
13
14
15
16
NILAI MUTLAK / HARGA MUTLAKJika x ∈R , maka harga mutlak x ditulis │x│adalah
│x│= x , jika x > 0│x│= - x , jika x < 0
Sifat – sifat harga mutlak :
4. │a – b│> │ │a│- │b│ │
3. │a + b│< │a│+ │b│ Ketaksamaan segitiga
1. │ab│= │a│ │b│
ba
ba
=2.
17
AKAR KUADRATMisalkan x > 0. Akar kuadrat dari x, ditulis √x adalah bilangan real nonnegatif a sehingga a2 = x.
Ilustrasi: (a) √9= 3, (b) √(-4)2 = 4.
Secara umum : Bila b ∈ R maka √ b2 = │b│
Pertaksamaan yang memuat nilai mutlak dan akar kuadrat
Sifat2 │x│< a ↔ - a < x < a
│x│> a ↔ x < - a atau x > a
Untuk mencari solusi pertaksamaan yang memuat nilai mutlak / akar kuadrat, usahakan menghilangkan nilai mutlak / akar kuadratnya, lalu diselesaikan sebagai pertaksamaan rasional. 18
Contoh : selesaikan │x – 4│< 1,5Lihat sifat 1, x diganti x – 4, didapat
│x – 4│< 1,5 ↔ - 1,5 < x – 4 < 1,52,5 < x < 5,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Contoh 2 : selesaikan │3x – 5│> 1Lihat sifat 2, x diganti 3x – 5, shg dpt ditulis berurutan sbb
3x – 5 < - 1 atau 3x – 5 > 13 x < 4 atau 3 x > 6
x < 4/3 atau x > 2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 19
20