Pertanika J. Sci. & Techno!. 10(1): 89 - 97 (2002)ISSN: 0128-7680

© Universiti Putra Malaysia Press

Model Resapan Mekanik Kuantum Zarah Bebas dalamSelang Terbatas

Shaharir bin Mohamad Zain & Nik Rusdi bin YaacobPusat Pengajian Sains MatematikUniversiti Kebangsaan Malaysia

43600 UKM, BangiSelangor, Malaysia

Diterima: 8 Januari 2001

ABSTRAK

Mengikut tafsiran piawai (tafsiran Born dan tafsiran Copenhagen Bohr) mekanikkuantum, magnitud kuasa dua fungsi gelombang bagi sesuatu zarah selama inidianggap mewakili fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi zarah berkenaanberada dalam keadaan tersebut apabila sukatan dilakukan ke atasnya. Dalammakalah ini, ditunjukkan bahawa bagi zarah yang secara klasiknya berupazarah bebas (potensinya sifar) berjisim m dalam selang terbatas, kuasa duamodulus fungsi gelombangnya memenuhi persamaan resapan dengan pekali

. aF 1 2resapan p = Ii /2m, pekah hanyutan -2 - dan bersumberkan W = Z(U + - K )

~ 4dengan F ialah fasa fungsi gelombang berkenaan, K suatu ungkapan yang

a2F aF j aF)2melibatkan fasa dan tenaga zarah tersebut, dan U = P ax2 +~ +~ axialah sumber bagi resapan yang berpekali resapan dan hanyutan yang sarna.

ABSTRACT

Acoording to the standard interpretation of quantum mechanics (Born andBohr-Copenhagen interpretations), the square of the magnitude of the wavefunction represents a probability density function for a particle in a statewhereby a measurement is made on it. In this article it is shown that a quantumparticle which is classically a free particle in a bounded interval with mass 711,

has its wave function whose square modulus satisfies a diffusion equation with

a diffusion coefficient p = Ii/2m, a drift coefficient -2 aF and a sourceax

W =Z(U +~ K 2 ) where F is the phase function, K depends on the phase and4

a2F aF j aF)2the energy of the particle, and U = P ax2+at +~ ax IS a source of a

diffusion with the same diffusion and drift coefficients.

PENGENALAN

Semenjak kemunculan persamaan Schroedinger (1926) yang terkenal itu, selepasini dirujuk sebagai PsS sahaja, iaitu

Shaharir bin Mohamad Zain & Nik Rusdi bin Yaacob

iW li 2 21ik = - =(- - V +V) 'P, k =,1-1), Ii pemalar Planck-Dirac,ot 2m

(I)

bagi zarah klasik berjisim m dan berpotensi V, pelbagai tafsiran telah diberikankepada fungsi gelombang 'P sehingga melahirkan berbagai-bagai mazhab dalammekanik kuantum. Tafsiran yang paling terkenal ialah tafsiran Born (1926), iaituI'PI 2 ialah fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi zarah berkenaan itu beradadalam sesuatu kedudukannya apabila sukatan dilakukan ke atasnya. Tafsiran inicuba diperjelaskan oleh ramai pihak dan sekaligus mendapat tentangan daripadapelbagai pihak yang lain sehingga melahirkan banyak mazhab dalam mekanikkuantum (Lihat keadaan ini umpamanya dalam Wick 1995). Hujah-hujah Bornyang asal itu telah cuba diperjelaskan oleh ramai penyokongnya dari semasa kesemasa hingga hari ini seperti yang dapat dilihat dalam Pais (1982), Cartwright(1987) dan Robinett (1997) kerana tafsiran ini (yang terkenal sebagai tafsiranCopenhagen) masih menjadi ikutan umum walaupun kelemahannyajuga diutarakandari semasa ke semasa (sejak Einstein mengkritik keras Bohr dan rakan-rakansealirannya di Copenhagen itu) dan kritikan yang panjang lebar dan canggih padadua dasawarsa terakhir ini ialah yang dilakukan oleh Healey (1990). KeserupaanPsS dengan persamaan resapan, selepas ini yang kemudian itu dirujuk sebagai PsRsahaja,

OW 9

- = (rV- +U)wat (2)

dengan p > 0 sebagai pekali resapan yang boleh bergantung pada masa dan Usebagai sumber resapan, telah mendorong ramai pihak mengkaji PsS menerusi PsRkerana, antara lainnya, PsR berhubung rapat dengan proses stokastik yang taburannyadiberikan oleh penyelesaian PsR itu, dan membawa kepada penyelesaian Kac danFeynman yang sorotan mutakhirnya dapat dilihat dalam tesis Zainal (1997).Sementara itu Bess (1994) cuba berhujah menerusi mekanik statistik klasik danpersamaanJakobi-Hamilton dalam mekanik zarah klasik bagi memperoleh PsS yangbertujuan menzahirkan asal-usul kebarangkalian dalam mekanik kuantum itu.Karya yang lebih meyakinkan dan lebih komprehensif dan luas jangkauannya ialahkerja Nagasawa (1993) dan Aebi (1996), tetapi mereka ini memulakan kajiananalogi PsS dan konjugatnya dengan sepasang PsR yang satu daripadanya berpekaliresapan negatif, yang tentunya menimbulkan banyak kemusykilan. Yang lainnyaberpuas hati dengan model mekanik bendalir klasik dan hidrodinamik klasikdengan mengimbau kepada persamaan keselanjaran dan persamaan Euler dalambidang ini, iaitu suatu kajian yang dimulai oleh Madelung (1926) dan mendapatsambutan yang hebat juga sehingga kini seperti yang dapat dilihat dalam karyaGilson (1978, 1980), Sonego (1991) dan Wallstrom (1994). Satu kumpulan lagi,yang mendapat inspirasi dan galakan daripada Einstein, ialah yang langsung inginmenyingkir tafsiran kebarangkalian dalam mekanik kuantum kerana mereka tidakpercaya kepada hukum alam (tabii atau sunnatullah) yang secara intrinsiknyaberkebarangkalian (atau kini didapati lebih am lagi hukum kemungkinan menerusimodel kabur itu). Sarjana yang paling berjaya dalam pendekatan ini ialah Bohm

90 PertanikaJ. Sci. & Techno!. Vo!. 10 No.1, 2002

Model Resapan Mekanik Kuantum Zarah Bebas dalam Selang Terbatas

(1952, 1984) yang kini melahirkan mekanik yang dinamai mekanik Bohman(Berndl et at. 1995, Cushing et al. 1996) dan implikasi falsafah dan metafiziknyacukup besar seperti yang dapat dilihat dalam Bohm et al. (1987), Bohm dan Hiley(1993) dan Sharpe (1993).

Kajian kami ini juga dimotivasikan oleh analogi PsS dengan PsR tetapi berbezadaripada karya-karya yang tersebut di atas, kerana kami menumpukan kepada sifatI\fJ12 modulus kuasa dua fungsi gelombang itu, dan buat permulaan ini kepadakasus zarah bebas (iaitu potensi V = 0) dalam selang terhingga (a,b) (sehinggatenaganya menjadi diskret dan positif). Kami membuktikan kuantiti ini memenuhipersamaan resapan dan resapan kuasa dua iaitu persaman untuk bagi u memenuhiPsR, persamaan (2) itu. Kajian ini ialah pelengkap kepada kajian kami sebelum ini(Shaharir dan Nik Rusdi 2000) yang menyelesaikan isu ini menerusi penyelesaiankamiran (daripada teknik jelmaan Fourier dan bukan pemisahan pemboleh ubahyang dilakukan di sini), walaupun tersirat dalam penyelesaian kamiran (menerusijelmaan Fourier itu) terkandung kasus tenaga diskret ini. Kami sedar ten tangbe tapa istilah zarah bebas yang biasanya dimaksudkan sebagai zarah berpotensi sifaratas seluruh set nombor nyata yang mengimplikasikan mekanik kuantumnyamenghasilkan hanya tenaga positif yang kontinum dan oleh itu sudah pundibicarakan dalam makalah kami (2000) sebelum ini.

Teorern 1

Apabila '¥ memenuhi PsS zarah bebas beIjisim m dengan syarat awalnya '¥(-,O) =<p(x), fungsi yang kuasa duanya terkamirkan Lebesgue, dan zarah atom itu beradadalam selang terbatas (a,b) sehingga '¥(a,-) = '¥(b , e), maka kuasa dua modulusfungsi gelombang S = I\fJ12 memenuhi persamaan resapan yang berpekali resapan

h of 1 2P= - dan berpekali hanyutan -2 P-;- serta bersumberkan W=2 (U + -4 pK ) yang

2m uX

2 I-lc,c,lp, sin(f,,)K= ,f,,= [(p,-p,)x+E,-E,)t+<j\- <P,J/h,<P,= h huj(c,),

hI-1c,c,lkos(f" )

COl ialah pekali Fourier kompleks bagi fungsi <p gelombang awal, E, ialah aras tenaga

o2 F of j OF)2ke-r, p,2 = 2mE.. dan U = P ox2 +at + 1.. ox ialah sumber bagi resapan yang

dipenuhi oleh R = I \fJ1 yang berpekali resapan dan hanyutan yang sarna denganresapan Situ.

Pertanikaj. Sci. & Techno!. Vo!. 10 No.1, 2002 91

Shaharir bin Mohamad Zain & ik Rusdi bin Yaacob

Bukti:

Penyelesaian PsS zarah bebas dan dalam selang terbatas (a,b) ialah

\fI(x, t) = ~ IC nrksp[ (</.1n,q > +<Pn)k I Ii]11=-00

<Pn Iii =hl~(c,)

Il n = (Pn,En),q = (x,t)

(i)

(ii.a)

(ii.b)

? ( nnli )P - =2mE = -- E

II II b- a ' 1\

dan

<Il, q) = px - Et,

> 0, n, integer (ii.c)

(ii.d)

I bcn = --2 J <p(x)eksp[-kpnxl Ii]dx

II \fin II a

yang

\fI..{x) = eksp [kp"x I Ii]

b 2

IIfl12 = Jlf(x)1 dxa

dan

b 2

J \fin (X)\¥m (x)dx = Il\fInll Omna

(ii.e)

(ii.£)

(ii.g)

(ii.h)

[Dalam buku-buku teks, selang yang dipertimbangkan ialah selang simetri (-b,b).Lihat umpamanya Schiff 1968 ]

Dalam bentuk perwakilan kutub, fungsi gelombang ini ialah

dengan

92 PertanikaJ. Sci. & Techno!. Vo!. 10 No. 1,2002

(iii)

Model Resapan Mekanik Kuantum Zarah Bebas dalam Selang Terbatas

f = L - Lnf n r

dan

Oleh itu

= -~ Ijcncrlsin(fnr)Er> sebutan kos itu menjadi sifar,Ii

dan

=-~ Ilcncrlsin(fnr)Pn , sebutan kos menjadi sifar.

Oleh itu

PertanikaJ. Sci. & Technol. Vol. 10 o. 1,2002

(iv.a)

(iv.b)

(iv.c)

(iv.d)

(v)

(vi.a)

(vi.b)

(vii.a)

(viLb)

(viii.a)

(viii.b)

(viii.c)

93

Shaharir bin Mohamad Zain & ik Rusdi bin Yaacob

Dengan ini, maka

Iijelaslah Y= 2m ialah nilai pekali resapan yang paling bersahaja lagi memenuhi

keperluan unit atau matra jasmani bagi persamaan di atas.

Tetapi

Oleh itu

a2F 1as aF 1 .-=------2:lc C Ip (p -pn)sm(f )ax2 s ax ax Ii 2S "'" , m

atau

aF as a2

Fs_ ~I (2mE,,). (f )--+- -L.-C C -- smax ax ax 2 '" Ii 2 rn

setelah menggunakan identiti

kerana frn = -f", sedangkan faktor lainnya simetri.

Dengan hasil (xi) ini, maka persamaan (ix) menjadi

(x)

(xi)

(xii)

Tetapi

(xiv)

94 PertanikaJ. Sci. & Techno!. Vo!. 10 No. 1,2002

Model Resapan Mekanik Kuantum Zarah Bebas dalam Selang Terbatas

Oleh itu persamaan (xiii) menjadi

as a2s [aF as a

2F aF] 2y--y-=-2 p--+p-S+-s --Ilc c Ikos(f )p p

at ax2 ax ax ax2 at 11 2 n r nr n r

Tetapi daripada persamaan (x)

(xv)

=+IlcncuIPnPukos(fnu) - ~ IlcncrlPn sin (fnr )~ Ilcucvlpu sin(fuv )11 S I1S I1S

........... (xvi)

(xvii)

Persamaan (xv) dan (xvi) memberikan bahagian pertama teorem.

Persamaan R didapati menerusi hubungan R = "S yang memberikan

Teorem terbukti dengan menggunakan bahagian satu teorem ini dan persamaan(xvii) .

KESIMPULAN

Teorem di atas membuktikan bahawa zarah bebas kuantum dapat dianggap sebagaizarah klasik yang pergerakannya dapat dimodelkan sebagai suatu resapan tidakbebas yang berpekali resapan, berpekali hanyutan dan bersumber luar W atau Udalam teorem itu. Ini tentunya boleh menguatkan lagi keesahan tafsiran Born(tafsiran piawai atau tafsiran Copenhagen) tentang tabii kebarangkalian tentangzarah kuantum itu dengan lebih bersahaja lagi kerana penyelesaian persamaanresapan inilah yang menjadi taburan kebarangkalian itu. Pada masa yang samateorem ini juga dapat digunakan untuk menguatkan tafsiran bukan

PertanikaJ. Sci. & Techno!. Va!. 10 o. 1,2002 95

Shaharir bin Mohamad Zain & Nik Rusdi bin Yaacob

berkebarangkalian tentang mekanik kuantum seperti yang pertama kali diutarakanoleh Bohm itu, walaupun potensi kuantum kami berbeza daripada yang diperolehiBohm itu. Kajian ini bersama dengan kajian kami sebelum ini (Shaharir dan NikRusdi 2000) melengkapkan program pentafsiran semula zarah bebas kuantummengikut model resapan dan zarah bebas klasik dalam fasa pertamanya. Kajianselanjutnya ialah memodelkan hasil-hasil kajian ini menerusi kalkulus stokastikpula.

RUJUKANAEBI, R. 1996. Schroedinger Diffusion Process. Birkhauser-Verlag.

BERNDL, K., M. DAUMER, D. DURR, S. GOLDSTEIN, dan N. ZANGIII. ] 995. A survey of BohmianMechanics. Ii Nuovo Cimento 110B: 737-750.

BESS, L. 1994. New features of the Schroedinger diffusion model. Physics Essays 7(1): 77­82.

Boml, D. 1952. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of "hiddenvariables". I and II. Phys. Rev. 85: 166-179; 180-193. Dicetak kembali dalam QuantumTheory and Measurement, disunting oleh Wheeler,j.A. & Zurek, W.H. 1983. PrincetonUniv. Press.

_____ . 1984. Causality and Chance in Quantum Physics. 2"d ed. Routledge.

BOliN, D. dan BJ. HILEY. 1993. The Undivided Universe. London: Routledge.

Boml, D., BJ. HILEY dan P.N. KOLOYEROU. 1987. An ontological basis for the quantumtheory. Phys. Reports 144(4): 321-375.

BORN, M. 1926a. On the quantum mechanics of collisions (preliminary communication).Dim. Quantum Theory and Measurement, disunting oleh Wheeler, j.A. dan W.H.Zurek, 1983. Princeton Univ. Press.

. 1926b. On quantum mechanics of collision. Dim Wave Mechanics,disunting oleh Ludwig, G. 1968. Oxford: Pergamon Press

CARTWRIGHT, N. 1987. Max Born and the reality of quantum probability. Dalam TheProbabilistic Revolution. Vol. 2: Ideas in the Sciences, disunting oleh Kruger, L.,Gigerenzer,G. & Morgan, M.S. p. 409-416. MIT Press.

CUSIIING, j.T., A. FINE dan S. GOLDSTEIN. 1996. Bohmian Mechanics and Quantum Theory: AnApjJraisal. Dordrecht: Kluwer.

GILSON,j.G. 1980. A classical basis for quantum mechanics. Ann. Ins. Henri Poincare. Sec.A:Physique 77leorie XXXII (4): 319-325.

_____ . 1978. The fluid process underlying quantum mechanics. Acta PhysicsaHungaricae. t. 44(4): 333

HEALEY, A. 1990. The Philosophy of Quantum Mechanics: An Interactive Approach. CambridgeUniv. Press.

MAoELUNG, E. 1926. Quantenttheorie in hydrodynamischer form. Zeitschrifl fur Physik. t.40: 332

96 PertanikaJ. Sci. & Technol. Vol. 10 '0. 1,2002

Model Resapan Mekanik Kuantum Zarah Bebas dalam Selang Terbatas

NAGASAWA, M. 1993. Schroedinger Equation and DiJJusion Theory. Birkhauser-Verlag.

PAIS, A. 1982. Max Born's statistical interpretation of quantum mechanics. Science 218Dec: 1193-1198.

ROBINETI, R.W. 1997. Quantum Mechanics: Classical Results, Modern System, and VisualizedExamples. N.York: OUP.

SCHIFF, I. 1968. Quantum Mechanics. 3'd Ed. . York: McGraw-Hill.

SCHROEDINGER, E. 1926. Quantisation as a problem of proper values, part 1. DalamSchroedinger, E. 1928. Collected Papers on Wave Mechanics. p. 1-12. London: Blackie& Sons Ltd.

SHAHARIR MOHA1>lAD ZAIN dan NIK RusDI YAACOB. 2000. Zarah Schroedinger bebas sebagaisuatu resapan. Laporan penyeiidikan Ql3/99, Pusat Pengajian Sains Matematik,UKM.

SHARPE, KJ. 1993. David Bohm's World: New Physics and New Religions. London: AssociatedUniv. Press

SONEGO, S. 1991. Interpretation of the hydrodynamicai formalism of quantum mechanics.Foundation of Phys. 21(10): 1135-1181

WALLSTRml, T.e. 1994. Inequivaience between the Schroedinger equation and theMadelung hydrodynamic equations. Phys. Rev. A. 49(3): 1613-1617

WICK, D. 1995. The hifamous Boundry: Seven Decades of Controversy in Qantum Mechanics.Birkhauser-Verlag.

ZAINAL ABDUL AzIZ. 1997. Penyelesaian Persamaan Resapan Kompleks yang Serasi denganKamiran Feynmanan. Tesis Doktor Falsafah, Jabatan Matematik, UKM. (tidakditerbitkan).

PertanikaJ. Sci. & Techno!. Vo!. 10 No. 1,2002 97