HUKUM- HUKUM LOGIKA

DAN KAIDAH INFERENSI

Disusun untuk memenuhi salah satu tugas Pengantar Logika

Dosen Pengampu : Beny Asyar, M. Pd

Disusun oleh:

1. Nirdya Hidayat (3214113128)

2. M. Saiful Anwar (2814133128)

3. Nisa Maghfirotul L. (2814133134)

4. Novi Rohmatul (2814133135)

5. Nuril Aniswatul (2814133140)

6. Restu Harianti (2814133152)

7. Ria Sastifiani (2814133153)

8. Rifda Almas (2814133155)

Kelas:

TMT- 2E

Jurusan: Tadris Matematika

Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)

Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Tulungagung

1. Tentukan dual dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) p ∨⇁q ∨⇁r=p ∧ q ∧ r

b) (p ∨ q ∨ r)∧ s=(p ∧ q ∧ r) ∨ s

c) (p ∧ Fo) ∨ (q ∧ To )=(p ∨ Fo ) ∧ (q ∨Fo )2. Tentukan sd≡ td jika s dan t adalah pernyataan-pernyataan :

Sd ≡Td jika s dan t adalah pernyataan

a) S: ⇁(p∨⇁q) dan t:⇁p ∧ q. a). S: ~(p∨q) dan t : ~p ∨ qSd : (p ∨ q) ≡ p ∨ qTd = p ∨ q

p q p q p∧q (p∧q) p∨qB B S S S B BB S S B B S SS B B S S B BS S B B S B B

Ekuivalen

Dari hokum de morgan, (p ∨ q) ≡ p ∨ q sehingga s≡tJadi terbukti bahwa (p ∨ q) ≡ p ∨ q dual dari td

b) S: ⇁(p ∨ →q ) dan t: ⇁p ∧⇁ q b). S: (p → q ) dan t: q ∧ qS: (p ∨ q)Sd: ~(p∧ q) ≡ p ∨ qtd: ⇁p ∨ q

P q −p −q P∧ q −(p∧q) p∨q

B B S S B S SB S S B S B BS B B S S B BS S B B S B B

Ekuivalen

Dari hokum de morgan, (p ∨ q) ≡ p ∨ q sehingga s≡t Jadi terbukti bahwa (p ∨ q) ≡ p ∨ q dual dari td

c) S= (p→q) dan t: q∧q

S= (p∨q)

Sd= (p∧q) ≡ p∨qtd= p∨q

p q P q p∧q (p∧q) p∨qB B S S S B BB S S B B S SS B B S S B BS S B B S B B

Ekuivalen

Dari hokum de morgan, (p ∨ q) ≡ p ∨ q sehingga s≡tJadi terbukti bahwa (p ∨ q) ≡ p ∨ q dual dari td

3. Untuk setiap pernyataan-pernyataan primitif p dan q.

a) Tunjukkan bahwa p →(q →( p ∧ q ) adalah tautologi

Jawab:

p →(q →( p ∧ q )

≡∼p ∨ ( ∼q ∨ p) ∧ (∼q ∨ q)

≡¿p ∨ p ∨ q) ∧ T O

≡¿p ∨ p) ∨ q] ∧ T O

≡¿ ∨ ∼q) ∧ T O

≡T O ∨ ∼q

≡T O

Jadi, terbukti bahwa p →(q →( p ∧ q ) adalah tautologi

b) Menggunakan (a) dan aturan subtitusi dan penghubung logika, tunjukkan

pernyataan berikut adalah tautologi

( p ∨ q) →(q → q)

Jawab:

( p ∨ q) →(q → q)

≡p →(q → q)

≡ p →(∼q ∨ q)

≡p → TO

≡∼ p ∨ T O

≡T O

Jadi, terbukti bahwa ( p ∨ q) →(q → q) adalah tautologi

4. Menggunakan aturan Subtitusi, tunjukkan pernyataaan-pernyataan berikut tautologi

a) [ p ∨ ( q ∧ r)] ∨ ∼[ p ∨ ( q ∧ r)]

Jawab:

[ p ∨ ( q ∧ r)] ∨ ∼[ p ∨ ( q ∧ r)]

≡[ p ∨ s ] ∨ ∼[ p ∨ s ]

≡u ∨ ∼u

≡T O

Jadi, terbukti bahwa [ p ∨ ( q ∧ r)] ∨ ∼[ p ∨ ( q ∧ r)] adalah tautologi

b) [( p ∨ q) →r] ⟺ [∼r →∼( p ∨ q)]

Jawab:

[( p ∨ q) →r] ⟺ [∼r →∼( p ∨ q)]

≡( s →r) ⟺ (∼r →∼s)

≡(∼s∨r) ⟺ (r∨∼s)

≡(∼s∨r) ⟺ (∼s∨r)

≡a ⟺ a

≡ (a → a) ∧ (a → a)

≡T O ∧ T O

≡T O

Jadi, terbukti bahwa [( p ∨ q) →r] ⟺ [∼r →∼( p ∨ q)] adalah tautologi

c) [[( p ∨ q) →r]∨ ( s ∧ t ¿] ⟺ [[[( p ∨ q) →r]∨ s ] ∧ [[( p ∨ q) →r]∨ t ]]

Jawab:

[[( p ∨ q) →r]∨ ( s ∧t ¿] ⟺ [[[( p ∨ q) →r]∨ s ] ∧ [[( p ∨ q) →r]∨ t ]]

≡ [ a ∨ ( s ∧t ¿] ⟺ [[ a ∨ s ] ∧ [ a ∨ t ]]

≡ [ a ∨ ( s ∧t ¿] ⟺ [ a ∨ (s ∧ t)]

≡ ( a ∨ z) ⟺ ( a ∨ z)

≡ u ⟺ u

≡ (u → u) ∧ (u → u)

≡T O ∧ T O

≡T O

Jadi, terbukti bahwa [[( p ∨ q) →r]∨ ( s ∧t ¿] ⟺ [[[( p ∨ q) →r]∨ s ] ∧[[( p ∨ q) →

r]∨ t ]] adalah tautology

5. Sederhanakan pernyataan-pernyataan majemuk berikut:

a) [( p ∨q ) ⟶ r ]

Jawab:

[( p ∨q ) ⟶ r ]≡ ¿ ∨ r ]≡ ( p∨q ) ∧∼ r

b) [ p ∨( q ∧r ) ] ∨∼[ p ∨( q ∧r ) ]

Jawab:

[ p ∨( q ∧r ) ] ∨∼[ p ∨( q ∧r ) ]

≡ a ∨∼ a

≡ To

6. Berikan alasan untuk setiap langkah dalam penyederhanaan dari pernyataan-pernyataan

berikut:

a) [ ( p ∨q ) ∧( p ∨∼q ) ] ∨q alasan

≡[ p ∨( q ∧∼ q ) ] ∨q distributif

≡ ( p ∨Fo ) ∨q invers

≡ p ∨q identitas

b) ( p ⟹q ) ∧¿r ∨ ∼ q ) ] alasan

≡ ( p ⟹q ) ∧∼q absorsi

≡¿p ∨ q ) ∧ ∼q ekuivalensi

≡ ∼ q ∧ ¿p ∨ q ) komutatif

≡ ¿ q ∧ ∼p ) ∨ (∼ q ∧ q ) distributif

≡ ¿ q ∧ ∼p ) ∨Fo invers

≡ ∼ q ∧ ∼p identitas

≡ ∼¿ q ∨p ) de morgan

c) ∼ ( p ∨q ) ∨ [ ( ∼ p ∧ q ) ∨ ∼ q ] alasan

≡∼ ( p ∨q ) ∨ [ ∼ q ∨ ( ∼ p ∧ q ) ] komutatif

≡∼ ( p ∨q ) ∨ [ ∼ q ∨ ∼ p ) ∧ ( ∼q∨ q ) ] distributif

≡∼ ( p ∨q ) ∨ [ ∼ q ∨ ∼ p ) ∧To ] invers

≡∼ ( p ∨q ) ∨ [ ∼ q ∨ ∼ p ) identitas

≡∼ ( p ∨q ) ∨ ∼ ( q ∧ p ) De morgan

≡∼[ ( p ∨q ) ∧ ( q ∧ p ) ] De morgan

≡∼[ ( q ∨p ) ∧ ( p ∨ q ) ] komutatif

≡∼[ q ∧[ p ∧ ( p ∨ q ) ] ] asosiatif

≡∼ ( q ∧ p ) absorsi

7. Berikan langkah-langkah dan alasan bahwa pernyataan berikut ekuivalen.

a) p˅[ p ˄(p ˅ q)]≡ p

Penyelesaian:

p˅[ p ˄(p ˅ q)] Alasan

≡ p ˅ p Hukum Absorbsi

≡ p Hukum Idempoten

Jadi, terbukti bahwa p˅[ p˄(p ˅ q)]≡ p

b) p˅q ˅ (∼ p˄∼q ˄r )≡ p˅ q ˅r

Penyelesaian:

p˅q ˅ (∼ p˄∼q ˄r ) Alasan

≡ p ˅ q˅[(∼ p ˄∼q)˄ r ] Hukum Asosiatif

≡ p ˅ q˅[∼ ( p˅q )˄ r ] Hukum De Morgan

≡( p ˅q ˅∼( p˅q))˄( p˅ q ˅r ) Hukum Distributif

≡T o ˄(p ˅ q˅r ) Hukum Invers

≡ ( p˅ q˅r ) ˄T o Hukum Komulatif

≡ p ˅ q˅r Hukum Identitas

Jadi, terbukti bahwa p˅q˅ (∼ p˄∼q˄r )≡ p ˅ q˅r

c) ¿∼p ˅∼q¿→( p˄q˄ r ) ¿ ≡ p˄q

Penyelesaian:

¿∼p ˅∼q¿→( p˄q˄ r ) ¿ ≡ p˄q Alasan

≡∼ (∼ p ˅∼q )˅( p˄ q ˄r ) Hukum Switcheroo

≡ ( p ˄ q ) ˅( p˄ q˄r ) Hukum Negasi Ganda

≡ ( p ˄ q ) ˅[(p ˄ q)˄r ] Hukum Asosiatif

≡ p ˄ q Hukum AbsorbsiJadi, terbukti bahwa ¿∼p ˅∼q¿→( p ˄q ˄ r ) ¿ ≡ p ˄qd) p ˄¿∼q→(r ˄ r¿˅∼[ q˅¿r ˄ s¿˅(r ˄∼ s)¿¿¿ ≡ pPenyelesaian:p ˄¿∼q→(r ˄ r¿˅∼[ q˅¿r ˄ s¿˅(r ˄∼ s)¿¿¿ Alasan≡ p ˄¿[ q˅¿r ˄ s¿˅(r ˄∼ s)¿¿¿ Hukum Idempoten≡ p ˄¿[ q˅¿r ˄ s¿˅(r ˄∼ s)¿¿¿ Hukum Disjungsi≡ p ˄¿[ q˅(r ˄(s˅∼s))¿¿ Hukum Distributif≡ p ˄¿[ q˅(r ˄T o)¿ ¿ HukumInvers≡ p ˄¿[(q˅ r¿¿ Hukum Identitas≡ p˄T o Hukum Invers

≡ p Hukum IdentitasJadi, terbukti bahwa p ˄¿∼q→(r ˄ r¿˅∼[ q˅¿r ˄ s¿˅(r ˄∼ s)¿¿¿ ≡ p8. Didefinisikan penghubung “Nand” dengan bentuk “Tidak…dan…” yang diberi symbol “↑”. Untuk setiap pernyataan-pernyataan p dan q, p ↑q≡∼ ( p˄ q ) . Tuliskan pernyataan - pernyataan berikut menggunakan penghubung ini.a) p ˅qPenyelesaian:

p ˅q ≡∼(∼ p˄∼q)≡∼ p ↑∼ qJadi, p˅q≡∼ p↑∼qb) p ˄qPenyelesaian:p˄q ≡∼(∼ p ˅∼q)≡∼ (p ↑q)Jadi, p ˄q ≡∼( p↑ q)≡∼(∼ p˅∼q)c) p →qPenyelesaian:p →q≡∼ p˅ q ≡∼ ( p ˄∼ q ) ≡ p ↑∼qJadi, p →q≡ p↑∼qd) p ↔qPenyelesaian:p ↔q ≡ ( p→ q )˄ (q → p )≡(∼ p ˅q)˄(∼q ˅ p)

≡∼( p˄∼q)˄∼(q ˄∼ p)

≡( p ↑∼q)˄(q ↑∼ p)Jadi, p↔q≡( p ↑∼q)˄(q ↑∼ p)9. Didefinisikan penghubung Nordengan bentuk Tidak…atau… yang diberi simbol ↓ . untuk setiap pernyataan-pernyataan p dan q , p ↑q ≡⇁ ( p∨q ) . Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut menggunakan penghubung ini,(a) p∨q .Jawab:p∨q ≡⇁ ( p↓q )(b) p∧q .Jawab:p∧q ≡(⇁ p∨⇁ q)≡(⇁ p↓⇁q)

(c) p→q .Jawab:p→ q≡⇁ p∨q ≡ p∧⇁q≡⇁ p ↓q(d) p ↔q .Jawab: p↔q ≡ ( p→ q )∧ (q→ p ) ≡ (⇁ p∨q )∧ (⇁ q∨ p ) ≡ (⇁ p↓ q )∧ (⇁ q↓ p ). 10. Buktikan bahwa untuk setiap pernyataan-pernyataan p dan q berlaku(a) ⇁ ( p ↓ q ) ≡(⇁ p ↑⇁ q)Jawab:

⇁ ( p↓ q ) ≡ (⇁ p↑⇁q ) . ⇁ ( p↓ q ) ≡⇁(⇁ p∧⇁ q) ≡ p∨q ≡⇁ (⇁ p∧⇁ q) ≡⇁ p↑⇁q

Jadi, terbukti bahwa ⇁ ( p↓q ) ≡ (⇁ p↑⇁q ) . (b) ⇁ ( p↑ q ) ≡(⇁ p ↓⇁ q)Jawab: ⇁ ( p ↑ q ) ≡(⇁ p ↓⇁ q) ≡⇁ (⇁ p∨⇁q ) ≡ p∧q ≡⇁ (⇁ p∨⇁ q) ≡⇁ p↓⇁qJadi, terbukti bahwa ⇁ ( p↑ q ) ≡(⇁ p ↓⇁ q)

11. Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa argument-argumen berikut valid.

a.[ p˄(p→q)˄r]⟹ [(p˅q)→r

p q r p→q p˄(p→q) p˄(p→q)˄r p˅q (p˅q)→r p˄(p→q)˄r→(p˅q)→rB B B B B B B B BB B S B B S B S BB S B S S S B B BB S S S S S B S B

S B B B S S B B BS B S B S S B S BS S B B S S S B BS S S B S S S B B

Jadi argument tersebut valid.

b. [[(p˄q) →r] ˄ ‒q ˄ (p→ ‒r)]⟹ (‒p˅‒q)

p q r ‒p ‒q ‒r p˄q (p˄q)→r [(p˄q)→r]˄‒q ( p → ‒r)B B B S S S B B S SB B S S S B B S S BB S B S B S S B B SB S S S B B S B B BS B B B S S S B S BS B S B S B S B S BS S B B B S S B B BS S S B B B S B B B

[[(p˄q) →r] ˄‒q˄(p→ ‒r)] ‒p˅‒q [[(p˄q) →r] ˄ ‒q ˄ (p→ ‒r)]⟹ (‒p˅‒q)S S BS S BS B BB B BS B BS B BB B BB B B

Jadi argument tersebut valid.

c. [[[ p˅ (q˅r) ˄ ‒q]⟹ (p˅r)

p Q r q˅r p˅( q˅r) ‒q p˅ (q˅r) ˄ ‒q p˅r [[[ p˅ (q˅r) ˄ ‒q]⟹ (p˅r)B B B B B S S B BB B S B B S S B BB S B B B B B B BB S S S B B B B BS B B B B S S B BS B S B B S S S BS S B B B B B B BS S S S S B S S B

Jadi argument tersebut valid.

12. Apakah argumen-argumen berikut valid? Jika argument valid, identifikasi kaidah inferensi mana yang digunakan.

(a) Jika saya memaksa bekerja, maka saya akan lelah.

Saya tidak lelah jika saya bekerja.

∴ Saya tidak memaksa bekerja.

Kaidah inferensi yang digunakan adalah modus Tollens.

(b) Jika saya memaksa untuk bekerja, maka saya akan lelah.

Saya tidak memaksa bekerja.

∴ Saya tidak akan lelah.

Kaidah inferensi yang digunakan adalah modus Ponens.

13. Apakah argumen-argumen berikut valid ? Jika argumen valid, identifikasi kaidah inferensi

mana yang di gunakan.

a. Saya akan menjadi terkenal atau saya tidak akan menjadi artis

Saya akan menjadi artis

Saya akan menjadi terkenal.

Jawab:

p = Saya akan menjadi terkenal

q = Saya akan menjadi artis

p V ~ q

q

p

jadi, argument tersebut valid

b. Saya akan menjadi terkenal atau saya akan menjadi artis

Saya tidak akan menjadi artis.

Saya akan menjadi terkenal

Jawab:

p = Saya akan menjadi terkenal

q = Saya akan menjadi artis

p V q

~q silogisme disjungtif

p

jadi, argument tersebut valid

14. apakah argument-argumen berikut valid ? jika argument valid, identifikasi mana yang

digunakan.

Jika saya berlatih keras dan memiliki bakat, maka akan menjadi seorang pebulutangkis

Jika saya menjadi seorang pebulutangkis, maka saya akan senang

Jika saya tidak senang, maka saya tidak berlatih keras atau saya tidak memiliki bakat

Jawab:

p = saya berlatih keras

q = saya memiliki bakat

r = akan menjadi seorang pebulutangkis

( p Ʌ q ) r

r s

~ s ( ~ p V ~ q )

15. Tulislah konklusi menggunakan hipotesis yang diberikan dan Modus Ponens atau Modus

Tollens.

(a) Jika Anton menjawab soal pertama benar, maka jawabannya adalah 125.

Jawaban Anton untuk soal pertama bukan 125.

Anton menjawab soal pertama tidak benar. (Modus Tollens)

c) Jika Ani mempunyai masalah pada tombol starter motornya, maka kakak Ani

akan memeriksa busi motornya.

Ani mempunyai masalah pada tombol starter motornya.

Kakak Ani akan memeriksa busi motornya. (Modus Ponens)

16. Periksalah argument-argumen berikut. Jika argumen valid, identifikasi kaidah inferensi

mana yang digunakan. Jika argumen tidak valid, tunjukkan letak kesalahannya.

(a) Jika program komputer Andi benar, maka Andi akan menyelesaikan

skripsinya paling lama tiga bulan.

Andi akan menyelesaikan skripsinya lebih dari tiga bulan.

Program komputer Andi tidak benar.

Penyelesaian :

Misalkan p dan q adalah pernyataan-pernyataan :

p : Program computer Andi benar.

q : Andi akan menyelesaikan skripsinya paling lama tiga bulan.

Sehingga argumen berbentuk :

p q

q

p

Jadi, argumen tersebut valid dan menggunakan kaidah modus tollens.

(b) Jika Rahma memperoleh beasiswa, maka ia akan membeli handphone.

Jika Rahma membeli handphone, maka ia akan pergi ke Ancol.

Jika Rahma memperoleh beasiswa, maka ia akan pergi ke Ancol.

Penyelesaian :

Misalkan p, q dan r adalah pernyataan-pernyataan :

p : Rahma memperoleh beasiswa.

q : Rahma akan membeli handphone.

r : Rahma akan pergi ke Ancol.

misalkan pernyataan p q dan q r benar, maka pernyataan p r juga benar.

Jadi, argumen tersebut valid dan menggunakan kaidah silogisme hipotetik.

(c) Jika suku bunga bank turun, maka stok mobil bekas akan naik

Suku bunga bank tidak turun.

Stok mobil bekas tidak akan naik.

Penyelesaian :

Misalkan p dan q adalah pernyataan-pernyataan :

p : Suku bunga bank turun.

q : Stok mobil bekas akan naik.

Sehingga argumen berbentuk :

p q

p

q

Jadi, argumen tersebut valid dan menggunakan kaidah modus tollens.

17. Untuk pernyataan-pernyataan primitif p, q, dan r, misalkan

P adalah pernyataan majemuk [ p ∧ (q∧ r)] ∨ ∼[ p ∧ (q∧ r)] dan

Q adalah pernyataan majemuk [ p ∧ (q∧ r)] ∨ ∼[ p ∧ (q∧ r)]

a) Gunakan kaidah inferensi untuk menunjukkan bahwa

(q∧ r) ⟹ (q∨r)

b) Apakah benar bahwa P⟹Q

Jawab:

a) Langkah Alasan

1) qΛ r Premis

2) q Penyederhanaan konjungtif

3) q V r Penguatan Disjungtif

Jadi, terbukti bahwa (q Λ r) → (q V r)

b) Apakah benar bahwa P → Q

Penyelesaian :

Salah, karena dari pembuktian 17 (a) terbukti q r q r sehingga

P Q p (q r) p (q r) p (q r ) p (q r). Bernilai salah.

18. Berikan alasan-alasan untuk setiap langkah yang menunjukkan

[ ( p⟶q )∧ (¬ r∨ s)∧ ( p∨r )]⇒ (¬q → s )

Jawab:

Pernyataan:

P1=p⟶q

P2=¬ r∨ s

P3=p∨r

P4=¬q → s

Langkah Alasan

1) ¬(¬ q⇒s ) Negasi P4

2) ¬ q∧¬ s Kongruensi negasi dari 1)

3) ¬ s Penyederhanaan Konjungtif dari 2)

4) ¬ r∨ s P2

5) ¬ r Silogisme Disjungtif dari 3) dan 4)

6) p⇒q P1

7) ¬ q Penyederhanaan Konjungtif dari 2)

8) ¬ p Modus Tollens dari 6) dan 7)

9) p∨r P3

10) r Silogisme Disjungtif dari 8) dan 9)

11) ¬ r∧ r Konjungsi dari 5) dan 10)

12) ∴¬ q⇒ s Negasi dari 1)

19. Tentukan kevalidan argument-argumen berikut:

a. [( p∧¬ q)∧ r ]⇒[( p∧r )∨q ]

Alasan:

( p∧¬ q)∧ r Pernyataan

≡ p∧(¬q∧ r ) Hukum Asosiatif

≡ p∧(r∨q) Hukum Kongruensi

≡( p∧r )∨ q Hukum Asosiatif

Jadi, argumen tersebut valid

b) [ p∧ ( p→ q )∧ (¬ q∨r )]⇒r

Pernyataan: Buktikan:

P1=p p

P2=p⟶q p⟶q

P3=¬ q∨r ¬ q∨r

∴r

Penyelesaian:

Langkah: Alasan:

1) p P1

2) p⟶q P2

3) q Modus Ponens dari 1) dan 2)

4) ¬ q∨r P3

5) r Silogisme Disjungtif dari 3) dan 4)

Jadi, argumen tersebut valid

20. Tentukan kevalidan argumen-argumen berikut:

(a) p ⟹ q

‒q

‒r

∴ ‒ (p ˅ r)

Penyelesaian

Langkah alasan

1) p ⟹ q premis2) ‒q premis3) ‒p modus tollens4) ‒r premis5) ‒p ˄ ‒r konjungsi6) ∴‒ (p ˅ r) ekuivalensi

(b) p →( q → r)‒ q → ‒ p p ∴ rPenyelesaian

Langkah alasan

1) p →( q→r) premis2) ‒ q→ ‒ p premis3) ‒ q ˄ p (2) implikasi4) ‒ r (1) dan (2) bukti bersyarat5) p premis6) ∴‒ r ˄ p konjungsi

(c) p ˅ q‒ p ˅ r‒ r ∴ qPenyelesaian

Langkah alasan

1) ‒ p ˅ r premis2) p → r ekuivalensi (1)3) ‒ r premis4) ‒ p modus tollens5) ‒p → q premis6) ∴ q modus ponens

(d) ‒ p → q

p→ r

q→s

∴ ‒r→s

Penyelesaian

Langkah alasan

1) p → r premis2) ‒r→‒p ekuivalensi3) ‒p→q premis4) ‒r→q silogisme hipotetik5) q→s premis6) ∴ ‒r→s silogisme hipotetik