PENGGUNAAN PERSAMAAN DAN KETAKSAMAAN LINEARSISTEM HOMOGENKETAKSAMAAN LINEAR DAN PENGATUCARAAN LINEARSISTEM PERSAMAAN LINEAR

KAEDAH PEGHAPUSANKAEDAH GANTIANKAEDAH GAUSS & JORDAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

JENIS PENYELESAIAN ADA 3

Satu PenyelesaianBanyak penyelesaianTidak mempunyai penyelesaian

KAEDAH PEGHAPUSAN

KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSSDinamakan sempena nama ahlimatematik German, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Menggunakanmatriksdalammewakilkansistempersamaan linear.Sebarangsistemdenganmpersamaan linear dannpembolehubahbolehditulissepertiberikut: . : . :Matriks A: matrikspekali/koefisienMatriks x: matrikspembolehubahMatriks b: matrikspemalarKAEDAH

CARA PENYELESAIAN MENGGUNAKAN KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSSTukarkan system persamaan linear yang diberi kepada matriks imbuhanGunakan operasi baris permulaan sehingga berbentu kMatriks EselonBarisContoh MatriksEselonBarisKemudian tukarkan kepada sistem linear yang berpadananSelesaikan system ini dengan kaedah gentian kebelakang

KAEDAH GANTIAN

Contoh3a + 2b = 4;---------------(1) a b = 8 ---------------(2) a = 8 + bGantikan a = 8 + b dalam (1)Selesaikanbagi bKemudianselesaikanbagi a3a+2b=43(8 +b)+2b=424 + 3b+2b=424+5b=45b=4- 245b=-20b=-4a=8 + ba=8 +(-4)a=4

KAEDAH GAUSS & JORDANKAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS-JORDANDinamakan sempena dua nama ahli matematik, Carl Gauss dan Wilhelm Jordan (1842-1899).Merupakan lanjutan daripada kaedah penghapusan Gauss.Caranya ialah :Sistem persamaan linear yang telah ditukar kepada matriks imbuhan akan diturunkan kebentuk MatriksEselonBarisTerturun semua unsur di sebelah atas dan bawah 1 terdahulu adalah sifar.Seterusnya, tukarkanmatrik sini kepada system persamaan linear.- Contoh Matriks Eselon Baris TerturunKAEDAH

Di manaialahmatriksidentitiperingkat n danmatriks B dipanggilmatrikssongsangbagi A.MencariMatriksSongsangRumusMatrikssaiz 2x2Menggunakan Gauss-JordanContoh:, makaiaakanmenjadi, makaakandapatJawapannyaadalahMATRIKS SONGSANG

SISTEM HOMOGENSemua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar.Contoh:Setiap system persamaan linear homogeny sentiasa konsisten.Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear HomogenHomogen

PENGGUNAAN PERSAMAAN DAN KETAKSAMAAN LINEAR

MengirajarakperjalananMenukar jam keminitBerat

PENYELESAIAN PENEROKAAN PETAK AJAIB SECARA MANUALTUGASAN 21) Wakilkantempatkosongdengana.b.c.d.edan f: 4ab

c5d

ef6

2) Berdasarkan formula, bentukkanpersamaansepertidibawah

3) Tulispersamaandalambentuk AX = B seperti di bawah :

4) Tukarkepadamatriksimbuhansepertiberikut:

5.) Selesaikanpersamaanmatrikstersebutmengikutlangkah di bawah :

B1 B5

B5 B1B1 B5B2 B5

B5 B1

B2 B5

B6 - B2

B5 - B3B3 B4B6 - B2

B3 B4

B5 - B3

B4 B5

B6 - B4

B6 - B4B6 B5

B6 B5

Berdasarkan kaedah Gauss , persamaan yang diperoleh adalah :

a+ f = 10b -f = 1c + e = 11d e = -1e + f = 9f = arbitrari

Gunakan penggantian ke belakang untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut.

Andaikan f=1e+f=9e+1=9e=8

c+e=11c+8=11c=3

d-e= -1d-8= -1d=7

b-f= 1b-1= 1b=2

a+f=10a+1=10a=9

Petak ajaib yang sudah diselesaikan adalah seperti di bawah : 492

357

816

1) Andaikanpetak-petakkosong di dalampetakajaibtersebutdiwakiliolehpembolehubahseperti di bawah : 712114

ab8c

16def

g6hi

2) Setiapbaris, lajurdanpenjurudidalampetakiniadalahberjumlah 34..3) Persamaan yang bolehdibentukadalahseperti di bawah.

4) Tulisdalambentuk AX = B seperti di bawah :

5)Tukarkepadabentukmatriksimbuhansepertiberikut :

5) Selesaikanpersamaanmatrikstersebutmengikutlangkah di bawah :

B4 B1

B2 B5

B2 B5

B4 + B2B9 B2B9 B2B4 + B2

B3 B4B3 B4

B7 B3B7 B3

B4 B5B4 B5

B8 B4B7 B4B9 + B4B9 + B4B8 B4B7 B4

B5 B6B5 B6

B7 + B5B9 + 2B5B8 + B5B8 + B5B9 + 2B5B7 + B5

B8 B7B8 + B6B6 B9B9 B7B6 B9

B8 + B6

B9 B7B8 B7

a + b + c = 26b + d = 16c d g = -1d + e + f = 18e + h = 25f 2h + i = -21g + h + i = 28-2h = -30i = arbitrariBerdasarkan kaedah Gauss, persamaan yang diperoleh adalah :

6) Gunakan penggantian ke belakang untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut.

d + e + f = 18d + 10 + 4 = 18d = 4Andaikani = 5

-2h = -30h = 15

g + h + i = 28g + 15 + 5 = 28g = 8c d g = -1c 4 8 = -1c =11

b + d = 16b + 4 = 14b = 12

f 2h + i = -21f 2(15) + 5 = -21f = 4a + b + c = =26a + 12 + 11 = 26a = 3

e + h = 25e + 15 = 25e = 10

5. Petak ajaib yang sudah diselesaikan adalah seperti di bawah : 712114

312811

164104

86155

PENYELESAIAN PETAK AJAIB MENGGUNAKAN PERISIAN

PENYELESAIAN PETAK AJAIB 6X6 MENGGUNAKAN PERISIAN LINEAR ALGEBRA TOOLKIT

1) Akseslaman web http://www.math.odu.edu?~bogacki/lat/.danpilih 'Solving a linear system of equations'.

2) Masukkanbilanganpersamaandanbilangananu.

3) Masukkancoeeficientsbagisetappersamaan.

4) Kemudiantekan 'Submit' danperisianakanmemaparkanjalankiradanjawapan.

PENYELESAIAN PETAK AJAIB 9X9 MENGGUNAKAN PERISIAN LINEAR ALGEBRA TOOLKIT2) Akseslaman web http://www.math.odu.edu?~bogacki/lat/.danpilih 'Solving a linear system of equations'.

2) Masukkanbilanganpersamaandanbilangananu. .3) Masukkancoeeficientsbagisetappersamaan.

5) Kemudiantekan 'Submit' danperisianakanmemaparkanjalankiradanjawapan.

BANDING BEZA KAEDAH PENYELESAIAN SECARA MANUAL DAN PERISIAN

KEKUATAN DAN KELEMAHAN KAEDAH YANG DIGUNAKANPENYELESAIAN SECARA MANUALPENYELESAIAN MENGGUNAKAN PERISIAN

KEKUATAN

Memberilebihkefahamandalammeyelesaikanpetakajaibmenggunakansistempersamaan linear danketaksamaan linear.Masa yang digunakanuntukmenyelesaikanpetakajaibadalahlebihsingkat.

Memupukkseabarandalammenyelesaikanmasalah.Jawapan yang diberikanlebihtepatberbandingkaedah manual.

Fokusakanlebihtinggiterhadapsesuatumasalah.Jawapandapatdisemakdenganlebihcepat.

Menjimatkanpenggunaankertas di manadapatmemupukkelestariandalampengajaranmatematik.

Kesalahandapatdibetulkandengancepatdanmudah.

MesraPengguna, mudahdigunakan.

KELEMAHAN

Ralatmudahberlakudalampengiraanataupunpemasukkan data.Jawapanmudahsangatdiperoleh di manatidakdapatmemberikefahaman yang lebihmendalammengenaicaramenyelesaikanpetakajaib.

Masa yang digunakanuntukmenyelseaikanmasalahadalahlebih lama.Menjadikanpelajarmalasmengirakeranasudahadakemudahan.

Semakanjawapanakanmemakanmasa yang agak lama

Perlupengiraan yang banyakmenggunakankertas.

Sukaruntukmembetulkansesuatukesilapan.