alovieanta.files.wordpress.com · web viewdaftar isi ii bab i pembahasan a. latihan 6.1 halaman 182...

Tugas Akhir

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Disusun untuk Memenuhi Tugas Akhir

Mata Kuliah Pengantar Dasar Matematika

Dosen : Siti Zahra Harahap, M.Pd.

Oleh :

Kelompok 2

Aprilya Prawidya 0305162138

Dela Fitria 0305163181

Lika Malika 0305161051

Lovieanta Arriza 0305161057

Melida Andriani Nasution 0305163167

Siti Nurkholizah 0305161056

Vega Esti Handayani 0305162092

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan karunia Nya sehingga kami diberikan waktu dan

kesempatan untuk menyelesaikan tugas akhir Pengantar Dasar Matematika

dengan judul “BARISAN DAN DERET ARITMATIKA”.

Tugas akhir ini diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengantar

Dasar Matematika program studi Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah

dan Keguruan UIN Sumatera Utara - Medan. Kami menulis tugas ini untuk

membantu mahasiswa dalam menjawab dan memecahkan masalah mengenai

Barisan dan Deret Aritmatika.

Terima kasih kami ucapkan kepada semua pihak terutama Ibu Siti Zahra

Harahap, M.Pd. selaku dosen pengampu mata kuliah Pengantar Dasar

Matematika, dan termasuk juga teman-teman yang telah berpartisipasi dalam

mencari bahan-bahan untuk menyusun tugas ini sehingga memungkinkan

terselesaikan, meskipun banyak terdapat kekurangan.

Akhir kata, kami berharap mudah-mudahan tugas akhir ini dapat

memberikan sumbangan pikiran dan bermanfaat khususnya bagi kami dan

umumnya bagi pembaca. Kami menyadari bahwa tugas ini masih jauh dari

sempurna, mengingat keterbatasan kemampuan dan pengetahuan kami. Oleh

karena itu dengan terbuka dan senang hati kami menerima kritik dan saran dari

semua pihak.

Medan, Desember 2016

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................ i

DAFTAR ISI........................................................................................................ ii

BAB I PEMBAHASAN

A. Latihan 6.1 Halaman 182...................................................................... 1

B. Latihan Bab 6 Halaman 208................................................................. 4

BAB II PENUTUP

A. Kesimpulan...........................................................................................14

B. Saran.....................................................................................................14

ii

BAB I

PEMBAHASAN

A. Latihan 6.1 Halaman 182

1. Tulislah bentuk penjumlahan-penjumlahan berikut dalam notasi sigma:

a. 2 + 6 + 10 + 14 + 18

b. 2 + 4 + 8 + 16 + 32

c. 1 +3 + 9 + 27

Penyelesaian

a. 2 = disebut suku pertama

6 = disebut suku ke-2




Ternyata suku-suku di atas mengikuti pola tertentu. Perhatikan polanya:

Suku ke-1 = 2 = 4 . (1) - 2

Suku ke-2 = 6 = 4 . (2) - 2

Suku ke-3 = 10 = 4 . (3) - 2

Suku ke-4 = 14 = 4 . (4) - 2

Suku ke-5 = 18 = 4 . (5) - 2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola jumlah 5 bilangan

tersebut adalah 4 . k - 2, dimana k ∈ {1,2,3,4,5 }. Maka penulisan

penjumlahan bilangan diatas adalah:

∑k =1

5

(4 . k−2)

b. 2 = disebut suku pertama




1



Suku ke-1 = 2 = 21

Suku ke-2 = 4 = 22

Suku ke-3 = 8 = 23

Suku ke-4 = 16 = 24

Suku ke-5 = 32 = 25


tersebut adalah 2k, dimana k ∈ {1,2,3,4,5 }. Maka penulisan penjumlahan

bilangan diatas adalah:

∑k =1

5

2k

c. 1 = disebut suku pertama





Suku ke-1 = 1 = 30

Suku ke-2 = 3 = 31

Suku ke-3 = 9 = 32

Suku ke-4 = 27 = 33


tersebut adalah 3k , dimana k ∈ {0 ,1,2,3 }. Maka penulisan penjumlahan

bilangan diatas adalah:

∑k =1

4

3k

2. Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan:

2

a .∑k=1

6

(2 k2¿+3)¿

b .∑k=1

5

(3 k−4)

c .∑k=1

(k 2¿+2 k )¿

Penyelesaian

a .∑k=1

6

(2 k2¿+3)¿

2 .(1)2+3=5

2 .(2)2+3=11

2 .(3)2+3=21

2 .(4 )2+3=35

2 .(5)2+3=53

2 .(6)2+3=75

Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :

5 + 11 + 21 + 35 + 53 + 75

b .∑k=1

5

(3 k−4)

3 . (1 )−4=−1

3 . (2 )−4=2

3 . (3 )−4=5

3 . (4 )−4=8

3 . (5 )−4=11


-1 + 2 + 5 + 8 + 11

c .∑k=1

(k 2¿+2 k )¿

12+2 (1 )=3

3

22+2 (2 )=8

32+2 (3 )=15

42+2 (4 )=24

52+2 (5 )=35

Jadi Barisannya adalah :

3 + 8 + 15 + 24 + 35 + … + … + …

B. Latihan Bab 6 Halaman 208

1. Tuliskan n suku barisan aritmatika jika diketahui:

a. a1 = 3, b = 4, n = 5

b. a1 = 17, b = -2, n = 6

c. a3 = 8, a4 = 11, n = 5

d. a2 = 0, a5 = -6, n = 6

e. a3 = 7, a6 = 13, n = 7

Penyelesaian

a. U 1 = 3

U 2 = U 1+4

= 3+4

= 7

U 3 = U1+2(4)

= 3+2(4)

= 11

U 4 = U 1+3(4)

= 3+3(4)

= 15

U 5 = U 1+4 (4)

= 3+4(4)

= 19

4


3 + 7 + 11 + 15 + 19

b. U 1 = 17

U 2 = U 1+(−2)

= 17+(−2)

= 15

U 3 = U1+2(−2)

= 17+2(−2)

= 13

U 4 = U 1+3(−2)

= 17+3 (−2)

= 11

U 5 = U1+4 (−2)

= 17+4(−2)

= 9

U 6 = U 1+5(−2)

= 17+5 (−2)

= 7


17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7

c. U 3 = 8

U 4 = 11

b= U4 - U3 = 11 - 8 = 3

U2 = U 3−b

= 8−3

= 5

U 1 = U 2−b

= 5−3

= 2

5

U 5 = U 1+(n−1 )b

= 2+ (5−1 )3

= 2+( 4 ) 3

= 14


2 + 5 + 8 + 11 + 14

d. a2=a+b

a5=a+4b

a+b=0a+4 b=−6

−¿

−3b=6

b=−2

a+b=0

a+(−2)=0

a=2

U 1 = a=2

U 2 = a+b=2+ (−2 )=0

U 3 = a+2b=2+2 (−2 )=−2

U 4 = a+3b=2+3 (−2 )=−4

U 5 = a+4b=2+4 (−2 )=−6

U 6 = a+5b=2+5 (−2 )=−8


2 + 0 + (-2) + (-4) + (-6)+(-8)

e. U3=a+2 b

U6=a+5 b

a+2b=7a+5b=13

−¿

6

−3b=−6

b=2

a+2b=7

a+2(2)=7

a=7−4

a=3

U 1 = a=3

U 2 = a+b=3+2=5

U 3 = a+2b=3+2 (2 )=7

U 4 = a+3b=3+3 (2 )=9

U 5 = a+4b=3+4 (2 )=11

U 6 = a+5b=3+5 (2 )=13

U 7 = a+6 b=3+5 (2 )=15


3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

2. Tentukan nilai x jika 3 x−1 , 1−2 x dan 2 x−5 merupakan suku-suku

berurutan dari barisan aritmatika!

Penyelesaian

3 x−1⏟U 1

, 1−2x⏟U2

, 2 x−5⏟U 3

Nilai x

U2−U 1=U 3−U 2

(1−2 x )−(3 x−1 )= (2 x−5 )−(1−2 x )

2−5 x=4 x−6

2+6=4 x+5 x

8=9 x

x=89

3. Tentukan nilai x dan y

3 x− y ,2 x+ y , 4 x+3 , dan3 x+3 y,

Merupakan suku suku berurutan dari suatu barisan aritmatika.

Penyelesaian

7

3 x− y⏟U 1

, 2 x+ y⏟U 2

, 4 x+3⏟U 3

, 3 x+3 y⏟U 4

U2−U 1=U 4−U3

2 x+ y−(3 x− y )=3 x+3 y−(4 x+3)

2 y−x=3 y−x−3

− y=−3

y=3

U 2−U 1=U 3−U 2

2 x+ y−(3 x− y )=4 x+3−(2 x+ y )

2 y−x=2 x− y+3

2. (3 )−x=2 x−(3)+3

6−x=2 x

x=2

Jadi nilai x dan y adalah {2 ,3 }

4. Tunjukan jika a , b , c dan x , y , z merupakan dua barisan aritmatika, maka

a+x , b+ y , c+z merupakan barisan aritmatika.

Penyelesaian

Barisan I ¿a , b , c

Barisan II¿ x , y , z

Barisan III¿a+x , b+ y , c+ z

Misal : a=2 , b=4 , c=6

x=3 , y=6 , z=9

Barisan III¿2+3 , 4+6 , 6+9

¿5 ,10 ,15

Jadi jika beda pada barisan I "p" dijumlahkan dengan beda barisan II

"q", maka hasilnya beda pada barisan III.

5. Berapakali jam berdentang selama 24 jam jika jam tersebut hanya

berdentang tiap jam, dan berdentang satu kali pada pukul 1, dua kali pada

pukul 2, tiga kali pada pukul 3 dan seterusnya.

Penyelesaian

8

Diketahui :

n=24

U 1=1

U 2=2

U 3=3

b=U 2−U 1=2−1=1

Ditanya :

S24=…?

Jawab :

Sn=n2 (2 a+(n−1 )b )

S24=242 (2 .(1)+ (24−1 )1 )

S24=12 (2+23 )

S24=12 (25 )

S24=300

Jadi selama waktu 24 jam berdentang sebanyak 300 kali.

6. Suatu benda padat jatuh secara vertikal 16 meter selama detik pertama, 48

meter pada detik kedua, 80 meter selama detik ketiga dan seterusnya,

seberapa jauh benda tersebut jatuh pada detik ketujuh, dan berapa jarak yang

ditempuh benda tersebut selama tujuh detik pertama?

Penyelesaian

Diketahui :

U1=16

U2=48

U3=80

Ditanya :

U 7=…?, S7=…?

Jawab :

9

U 1=16

b=U 2−U 1

b=48−16

b=32

U7=a+6 b

U 7=16+6(32)

U7=16+192

U7=208

S7=n2[2 a+6 b]

S7=72[2 .(16)+6 .(32)]

S7=72[32+192]

S7=72[224]

S7=784

7. Sita mendapat nilai 64 pada tes pertama dan mendapat 7 poin lebih tinggi

pada tiap tes berikutnya. Berapakah nilainya pada tes kelima? Dan

berapakah nilai rata-rata dari lima tes tersebut?

Penyelesaian

Diketahui :

U1=64

b=7

Ditanya :

U 5=…?

Nilai rata-rata = ...?

Jawab :

U 5=a+4b

10

U 5=64+4(7)

U5=64+28

U 5=92

Nilai rata-rata:

Sn=n2[2 a+4 b]

S5=52[2.(64)+4 .(7)]

S5=52[128+28]

S5=52[156]

S5=390

Jadi nilai rata-ratanya ¿S5

5=390

5=78

8. Sebuah mesin seharga Rp5.800.000,- mengalami penyusutan sebesar 15%

pada tahun pertama, 13,5% pada tahun kedua, 12% pada tahun ketiga dan

seterusnya. Berapa rupiahkah nilai mesin tersebut pada tahun kesembilan

setelah mengalami penyusutan?

Penyelesaian

Harga = Rp5.800.000,-

U1=5.800 .000 x15 %

U1=5.800 .000−870.000

U1=4.930 .000

b=15 %−13,5 %=1,5 %

b=5.800 .000 x 1,5 %

b=87.000

U1=4.930 .000

U9=a+8 b

U 9=4.930 .000+8(−87.000)

U9=4.930 .000−696.000

11

U9=4.234 .000

9. Tentukan tiga angka yang disisipkan antara 3 dan 15 sehingga menjadi

barisan aritmatika!

Penyelesaian

Diketahui :

x=3 , y=15 , n=5

Ditanya :

3 angka yang disisipkan antara 3 dan 15 = ...?

Jawab :

b= y−xn−1

=15−35−1

=124

=3

Barisan Aritmatika : 3 , 6 , 9 ,12 , 15

Jadi 3 angka yang disisipkan adalah : 6 ,9 , dan 12

10. Tentukan lima angka yang disisipkan antara 3 dan 15 sehingga menjadi

barisan aritmatika!

Penyelesaian

Diketahui :

x=3 , y=15 , n=7

Ditanya :

5 angka yang disisipkan antara 3 dan 15 = ...?

Jawab :

b= y−xn−1

=15−37−1

=126

=2

Barisan Aritmatika : 3 , 5 ,7 ,9 , 11 ,13 ,15

Jadi 5 angka yang disisipkan adalah : 5, 7 , 9 , 11dan13

11. Sisipkan 4 angka antara 10 dan -10 sehingga menjadi barisan aritmatika!

12

Penyelesaian

Diketahui :

x=10 , y=−10 , n=6

Ditanya :

4 angka yang disisipkan antara 10 dan -10 = ...?

Jawab :

b= y−xn−1

=−10−106−1

=−205

=4

Barisan Aritmatika : 10 ,6 ,2,−2 ,−6 ,−10

Jadi 4 angka yang disisipkan adalah : 6 ,2 ,−2 , dan−6

12. Sisipkan 6 angka antara 18 dan 7,5 sehingga menjadi barisan aritmatika!

Penyelesaian

Diketahui :

x=18 , y=7,5 , n=8

Ditanya :

6 angka yang disisipkan antara 18 dan 7,5 = ...?

Jawab :

b= y−xn−1

=7,5−188−1

=−10,57

=−1,5

Barisan Aritmatika : 18 , 16.5 ,15 , 13.5 ,12 , 10.5 ,9 ,7.5

Jadi 6 angka yang disisipkan adalah : 16.5 ,15 ,13.5 ,12 ,10.5 , dan 9

BAB II

13

PENUTUP

A. Kesimpulan

Notasi Sigma digunakan untuk menyingkat penjumlahan dengan menggunaan

huruf kapital Yunani Ʃ. Notasi sigma akan banyak dijumpai penggunaannya

dalam bagian matematika yang lain misalnya dalam mata kuliah Statistik untuk

menghitung rumus rata-rata (mean) dan simpangan baku atau ragam, kolerasi dan

lain-lain. Juga dalam hitung keuangan sebagaian menggunakan notasi sigma

untuk mengitung bunga majemuk maupun anuitas.

Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan satu bilangan tertentu yang

bisa ditambahkan pada suku keberapa pun untuk mendapatkan suku berikutnya.

Dengan demikian jika U1 ,U 2 ,U 3 ,…,U n ,… merupakan barisan aritmatika dengan

selisih (beda) antar suku sama, (common diference) yaitu b. Bentuk umum barisan

aritmatika seperti berikut : U1, U2, U3, ...... , Un-1 atau a, a + b, a + 2b,……, a +

(n-1) b

Keterangan :

U1 = a = suku pertama

Un - Un-1 = beda = b

Un = suku ke-n

n = banyaknya suku / urutan suku

Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n =

1,2,3,……

Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah

suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un.

Maka: Sn = 1/2 n (a + Un).

B. Saran

Semoga dengan selesainya tugas ini, diharapkan agar para pembaca khususnya

mahasiswa UINSU Medan dapat lebih mengetahui dan memahami tentang

Barisan dan Deret Aritmatika. Kami selaku penulis memohon kritik dan saran dari

para pembaca menegenai tugas kami demi kesempurnaan kedepannya.

14

alovieanta.files.wordpress.com · web viewdaftar isi ii bab i pembahasan a. latihan 6.1 halaman 182...

Documents