utp-sesion 07 tecnicas de conteo

7/26/2019 Utp-sesion 07 Tecnicas de Conteo

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Ing. Luis Enrique Vilca Siguas

e-mail: [email protected]

PRO!ILI"!"ES

SESIN 07

#$cnicas %e &onteo


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2

Cul es la probabilidad de aprobar la asignatura?

Cul es la probabilidad de no sufrir un accidente cuando voy a clases?

Todos los das nos hacemos preguntas sobre probabilidade incluso los que hayan visto de esta materia en cursosanteriores, tendrn una idea intuitiva lo suficientemente

correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.

En este tema vamos a

!plicarlas a algunos conceptos nuevos de inter"s en las

ciencias !dministrativas.

Estudiar qu" entendemos por probabilidad.

#er algunas reglas de clculo de probabilidades.

#er c$mo se aplican las probabilidades en las ciencias!dministrativas.

ES#!"'S#I&! ( PRO!ILI"!"ES


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INTRODUCCIN A LAS PROBABILIDADES

Es una teora que sirve de modelopara elanlisis y la descripcin de hechos oenmenos alea!orios o es!ocs!icos.

Clc"lo de Pro#a#ilidades$

Es la pr"e#a, ensa%ou o#ser&acinde unhechoo enmeno.

E'perimen!o$


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4

Es cualquier operaci$n cuyo resultado no

puede predecirse con e%actitud antes dereali&arse el e%perimento.

E'perimen!o Alea!orio( )$

*: 'an&ar una moneda y observar la carasuperior.

2: 'an&ar un dado y observar el n(meroque aparece en la cara superior.+: )esignar un delegado de un grupo de

*+ alumnos.

E)emplos$


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5

E'perimen!o no Alea!orio(De!ermin*s!ico+$

*: oltar una piedra en el aire.2: 'an&ar una pelota en una piscina con

agua.

*:

Espacio ,"es!ral ( +$Es el con-unto de todos los resultadosposibles de un e%perimento aleatorio.

2:

+:

2, {1, 2, 3, 4, 5, 6} *, {C, S}

+, {A1, A2 , A3 , A30}

E)emplos$

E)emplos$


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6

Diga cules de ls siguie!"es e#$e%i&e!"s s!alea"%is'

2) Extraer una bola de una bolsa que tiene 8 bolasrojas.

3) Arrojar una piedra al vaco.

4) Extraer una carta de una baraja.

1) Se cuenta la cantidad de fuadores en un curso de

alunos deterinado.

!) Si calentaos a"ua# esta ebullir$ a 1%%& '.

E#$e%i&e!" alea"%i

E#$e%i&e!" ! alea"%i


E#$e%i&e!" alea"%i



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7

8) Abrir al a(ar un libro anotar la cifra de lasunidades de la p$"ina.

*) Sacar una bola de una bolsa que contiene ! bolasrojas 3 bolas ne"ras.

+) ,edir el $rea de un cuadrado de lado 4 c.

-) ejar caer un objeto por un plano inclinado.

1%) Se fabrica un artculo en una lnea de producci/n se observa si la pie(a es defectuosa.

E#$e%i&e!" alea"%i


E#$e%i&e!" alea"%i


E#$e%i&e!" alea"%i


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Eerimentos /ni%os or la O1

Ecluente 3/ni4n o Suma)Un experimento compuesto , se

dice que es una O combinacin delos experimentos simples 1y 2si y

solo si el experimento ocurre

cuando los experimentos en un 1

2ocurren, pero no ambos.


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(

*:'an&ar un dado.2:'an&ar una moneda.

*,{1, 2, 3, 4, 5, 6} 2,{C,S}

Sol"cin$

*

2, / * 2, 0 , * 2

, {1, 2, 3, 4, 5, 6,C,S}

((Considere el e%perimento que consiste en

lan&ar un dado o una moneda.allar el espacio muestral.

E)emplo$

*

2,


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Eerimentos /ni%os or la (1&om5inaci4n 3Intersecci4n6

Pro%ucto)

Un experimento compuesto , se

dice que es una Y combinacin de

los experimentos simples *y 2si y

solo si el experimento ocurrecuando los experimentos en un 1y

2

ocurren.


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*:/rimer'an&amiento.

2:egundo'an&amiento.

*,{C,S}

2,{C,S}

Sol"cin$

,{ccc,ccs,csc,scc,css,scs,ssc,sss}

+:Tercer'an&amiento. +,{C,S}

, * 2x +x

* 2, + +* 2, 0 0

,{c,s}3

'an&ar una moneda !res &eces. allar el

espacio m"es!ral.

E)emplo$


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78#O"O "EL 9ROL Para obtener el espacio muestral de los experimentos

compuestos resulta conveniente en mucos casos utili!ar

un %iagrama en r5ol.

"i se lan!a tres veces una moneda, el espacio muestral esel si#uiente$

%l n&mero de elementos delespacio muestral es$ 2'( )

c

c

c

c

c

c

s

s

s

s

s

cs

s

* ccc

* ccs

* csc

* css

* scc

* scs

* ssc

* sss

*;

2;+;

"el e


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#EOR'! "EPRO!ILI"!"ES

Ing. Luis Enrique Vilca Siguas


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OBJETIVOS:

TEORIA DE PROBABILIDADES: ANLISISCOMBINATORIO

Utilizar las propiedades o!"#!tistas para elpla!tea$ie!to del pro%le$a.

ANLISIS COMBINATORIO:

Es parte de la matemtica que estudia siste$&tia$e!telas disti!tas Orde!aio!es de los diferentes ele$e!tosde un o!"#!todado cuando se forman grupos de un gradodeterminado.

Proporio!arlos '#!da$e!tos de las pro%a%ilidades ysu apliai(! para proesos estad)stios.


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PRINCIPIO *UNDAMENTAL:Si cierta seleccin de ordenacin de objetivos puederealizarse de m maneras diferentes y otra seleccinpuede efectuarse de n maneras distintas, ambas

selecciones, se pueden producir de mn manerasdiferentes.

Si un partido pol!tico tiene " candidatos a lapresidencia y # candidatos a la vicepresidencia. Eln$mero de parejas distintas de candidatos para amboscargos se formaran de%&

ANLISIS COMBINATORIO

E"e$plo +:

, - . / +. 'or$as0


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PRINCIPIO *UNDAMENTAL:

Si 'arlos tiene " camisas de vestir y ( pantalones.


te!dre$os: , - 1 /

E"e$plo 2:

Sol#i(!:

)'untos serian las diferentes formas que tendr paravestirse con dic*as prendas%

+2 'or$as de 3estirse0


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PERMUTACIONES:

Sea n el n$mero de elementos de un conjunto + y run n$mero natural donde - r n las permutacionesse definen como el n$mero de ordenaciones diferentesque se pueden formar con los elementos del conjunto

+, tomando en grupos de n en n o de r en rpueden ser si! repetii(! o o! repetii(!.


Es todo arre4lode ele$e!tosen donde !os i!teresael l#4ar o posii(! que ocupa cada uno de los

ele$e!tosque constituyen dic*o arre4lo.

PERMUTACI5N:

/efinimos una per$#tai(! como un reao$odo deo%"etos.


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Permutaciones sin reetici4n:

) De 6!7 ele$e!tos di'ere!tes to$ados todos a la 3ez:Si n es el n$mero de elementos de un conjunto + eln$mero de permutaciones que pueden *acerse con todoslos n elementos se obtiene as!&

n0n1/2n, =

/e un conjunto + 0 1, y, z2.

Sol#i(!:'omo n0", el n$mero de permutaciones sin repeticin ser&

=

/2*,*1? ? ?


? ? ?=

*0 3=

*45 xx

3allar el n$mero de permutaciones que pueden formarsecon todo los elementos de +.


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Permut ciones sin repeticin:

b) De n elementos diferentes tom dos de r

en r con r < n

/e n elementos diferentes, el n$mero de permutacionesdiferentes sin repeticin tomados de r en r est dadopor&

Si + 0 1 a, b, c, d 2. 'untas ordenaciones diferentes

pueden formarse tomando grupos de a 4 %Sol#i(!:n = 4 ; r = 2 como:

r1062nn0r1/2n, =

547*40

70

/27,41 === x


E"e$plo:


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CO!"#$C"O#%&:

5as combinaciones son las diferentes grupos de n

elementos que se pueden formar tomndolos de r enr, donde - r n de modo que cada grupo difiere delotro en por lo menos un elemento.

r102nr0

n0r1C2n,

=

ANLISISCOMBINATORIO

Es todo arre4lo de ele$e!tos en donde !o !os i!teresa

el l#4ar o posii(! que o#pacada uno de los ele$e!tosque o!stit#8e!dic*o arre4lo.

COMBINACI5N:6os permiten 'or$ar 4r#pos o $#estrasde ele$e!tosendonde lo 9!io que nos i!teresa es el o!te!ido de los$is$os0


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CO!"#$C"O#%

&:

/e un grupo de 7 libros )'untas selecciones de ( libros se pueden*acer%

n 0 7 r 0 (

r102nr0

n0r1C2n,

=

=C25+,71


E"e$plo:

Sol#i(!:

70305+0

=

30.70

%8%9%:%5+3045+=

%7*%5%4

8%9%:%5+

=

71025+705+0

=C25+,71


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CONTEOCONTEO

a8 El maestro desea que tres delos alumnos lo ayuden enactividades tales como

mantener el aula limpia oentregar material a los alumnoscuando as! sea necesario.

Di'ere!ia e!tre o$%i!ai(! 8 per$#tai(!0

b8 El maestro desea que se nombre alos representantes del saln

9:residente, Secretario y ;esorero8.


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TCNICAS DE CONTEO') P("#C"P"O D% *+"P*"C$C",#- *$ CO#.#C",#

): /Sea&

+: un eperimento simple con n7 formas diferentes deocurrir.

: eperimento compuesto por + y 2 puede ocurrirde& n 0 n7 n4formas diferentes de ocurrir.

2: un eperimento simple con n4 formas diferentes deocurrir.

/ + 2-

+:5anzar una moneda.

:5anzar una moneda y un dado.2:5anzar un dado.

Sean&E"e$plo:

n70 4 formas diferentes de ocurrir.n40 < formas diferentes de ocurrir.

n 0 n7 n4

0 4 < 0 74 formas diferentes de ocurrir.


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78 =n producto se arma de " etapas diferentes, para la 7>etapa se tiene disponible < l!neas de armado, la 4>etapa? l!neas de armado y para la ">7 l!neas de armado.

)/e cuntas maneras puede moverse el producto en elproceso de armado%

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