teselasi

7/17/2019 teselasi

http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 1/29

1.0 PENGENALAN

Geometri adalah sebahagian daripada matematik yang mengambil berat

persoalan mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat

ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Pada mulanya iahanyalah sebahagian jasad dari pengetahuan praktikal yang mengambil berat

jarak, luas dan isipadu tetapi pada abad ketiga S.M, Geometri telah diletakkan di

dalam bentuk aksiom oleh Euclid membentuk Geometri Euclid, yang hasilnya

menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya. Secara umumnya,

geometri merupakan salah satu daripada cabang matematik yang berhubung

kait tentang ciriciri ruang, termasuklah titik, garisan, lengkungan, satah dan

permukaan ruang serta bentukbentuk poligon.

2.0 Teselasi Menurut Wikipedia

!essellation adalah proses mewujudkan satah dua dimensi menggunakan

pengulangan bentuk geometri dengan tidak bertindih dan tiada jurang .

Generalisasi kepada dimensi yang lebih tinggi juga mungkin. !essellations sering

muncul dalam seni M" Escher, yang mendapat ilham ketika mengkaji

penggunaan Moor simetri dalam jubin #lhambra semasa lawatan beliau ke sana

pada tahun $%&&. !essellations boleh dilihat sepanjang sejarah seni, seni bina

purba seni moden.

Sejarah Teselasi Pada tahun $'$% (ohannes )epler telah membuat satu

kajian mengenai teselasi yang telah didokumenkan pertama kalinya apabila dia

menulis tentang tessellation tetap dan semiregular, yang merupakan penutup

satah dengan poligon sekata. )irakira &** tahun kemudian pada tahun $+%$,

crystallographer usia -egraf /yodoro membuktikan bahawa setiap jubin yang

dipasang berkala mempunyai salah satu daripada $0 kumpulan yang berbeza

daripada isometries. )erja fyodoro menandakan permulaan tidak rasmi kajian

matematik tessellations. Penyumbang terkemuka yang lain termasuk Shubniko

dan 1elo 2$%3$45 dan 6einrich 6eesch dan 7tto )ienzle 2$%'84.

$

7/17/2019 teselasi


Sejarah awal tessellations bermula sejak tamadun awal orang Greek. Perkataan

asalnya datang daripada perkataan -unani 9tesseres9 yang bermaksud 9empat9

dalam 1ahasa :nggeris. 7rang -unani yang sebenarnya menggunakan jubin

sisiempat kecil sebagai tanda dalam permainan mereka. (ubin ini kemudian telah

diambil dan digunakan untuk membuat gambar mozek pada dinding, lantai dan

siling. !essellation berasal daripada penggunaan dalam seni. ;ari 1ahasa

-unani )uno, !essera atau !essella ialah dadu kecil keping batu yang digunakan

dalam mosaik. 7leh itu, kamus mencadangkan, tessellations yang asal adalah

mozek. !essellations pertama kali digunakan dalam bentuk mosaik kirakira 8***

SM di Mesopotamia Purba. !essellation dalam mosaik adalah berkaitan dengan

struktur sebenar susunan kepingan kecil batu atau jubin, yang tessellation tetap.

amai menggunakan mosaik bukan sahaja dalam corak seni tetapi juga

bangunan, pakaian, alatan rumah, perhiasan dan sebagainya.

<mat :slam juga menggunakan jubin untuk menghiasi bangunanbangunan

mereka, kerana agama mereka melarang mereka dari menggunakan gambar

gambar orang atau bendabenda hidup dalam menghias rumah dan bangunan

mereka. (ubin yang terbaik dipercayai boleh didapati di :stana #lhambra di

Granada di selatan Sepanyol.)erana paparan ini indah di istana di Granada, M"Escher, pakar grafik 1elanda atau seniman yang tidak pernah secara rasmi

dilatih dalam bidang matematik, menjadi terpesona dalam seni jubin ini. 1eliau

tidak pernah lulus dari sekolah tinggi. )arya pertama seninya bermula

pada awal tahun $%&*an, tetapi dalam kerjakerja mengecat dan kayu dan

kayu. 1eliau pertama kalinya berminat dalam seni jubin semasa melawat :stana

#lhambra di Granada. ;ia melihat contoh gaya hiasan #rab. :deaidea

ini mencetuskan imaginasi, tetapi terletak tidak aktif di dalam fikirannya untuk $8

tahun akan datang. 1eliau kembali semula :stana dan sekali lagi mengkaji

mengenai jubin ini.Pada titik ini dalam hidupnya, Escher mendapati bahagian

selatan :tali menjadi tempat yang paling memberi inspirasi kerana peperangan

yang berlaku disekeliling beliau, beliau berpaling minat kepada teselasi. Pada

&

7/17/2019 teselasi


tahun $%80, Escher menunjukkan beberapa karya beliau kepada saudaranya,

yang merupakan seorang profesor geologi. ;ia kagum dengan potensi kerja

kerja ini untuk kristalografi. Pada tahun $%8+, Escher terus mencuba dengan

pengisian teknik, bentuk dan transformasi. ;ia terus bekerja dengan perubahan,

transformasi, dan lainlain teknikpengisian pesawat. $%3% terbukti adalah tahun

yang menarik untuk Escher. ;r. MacGillary mengaturkan untuk beliau untuk

memberi satu seminar tentang simetri pada perhimpunan antarabangsa

crystallographers. Matematik dan kristalografi yang dibentangkan dalam aspek

kerjakerja Escher dan jubin menjadi popular.

1eliau menjadi popular di dunia seni pada tahun $%03 di konensyen Persatuan

7rigami 1ritish di mana karyakarya beliau telah mula diiktiraf sebagai bentuk

seni. #hli matematik, saintis, dan crystallographers semua menghargai kerja

kerja yang dilakukan, dan beberapa cetakan telah digunakan untuk mengkaji

persepsi isual dalam bidangbidang seperti fizik, geologi, kimia, dan psikologi.

#hli matematik cenderung untuk menjadi sangat berminat dalam tessellations

kerana hubungan mereka kepada simetri angka, bahagian sudut, putaran objek,

dan lainlain konsep geometri pelbagai. ;engan maklumat yang didapati dari

Escher , maka itulah dia digelar bapa tessellations.

Pada masa ini, kita dapat melihat tessellations dalam pelbagai bentuk= dalam

bidang seni bina, alam semula jadi, sejarah sosial, seperti membuat selimut, dan

menghias, hanya untuk menamakan beberapa perkara.

3.0 Teselasi Dala Mateatik

!eselasi, atau memasang jubin, menutupi satah oleh bentuk tertutup, dipanggil

jubin, tanpa jurang atau bertindih. !esselasi mempunyai banyak contohcontoh

nyata dunia dan berhubungkait antara matematik dan seni. "ontohcontoh

mudah tteselasi ialah lantai berjubin, kerja bata, dan tekstil. #rtis sangat

8

7/17/2019 teselasi


berminat dalam jubin kerana simetri dan replika corak mudah. #hli matematik

berminat untuk belajar bagaimana jubin boleh meliputi satah, lainlain permukaan

dan ruang. Mereka mahu tahu jika dan bagaimana jubin boleh meliputi satah,

bagaimana jubin dikelilingi oleh jubin lain,dan jika tompokan memasang jubin

boleh dilanjutkan untuk meliputi seluruh ruang. M.". Escher mempunyai minat

yang kukuh dalam matematik. ;ia belajar matematik topik sebagai satu cara

untuk merealisasikan isi artistik beliau. !opiktopik tertentu yang dikaji oleh

Escher adalah bahagian satah, kumpulan simetri $0 dan ruang topologi. Escher

juga rakan kepada ahli matematik terkenal abad ke&*, oger Penrose dan 6SM

"o>eter. Selepas saling berutus surat dengan "o>eter tentang tilings dalam

satah yang hiperbolik, Escher mendapat inspirasi untuk mewujudkan "ircle ?imit

:. Escher berminat dalam 9corak dengan @motif@ kecil dan semakin kecil sehingga

mereka sampai ke tahap menghadkan kekecilan tidak terhingga. 9!ilings satah

yang hiperbolik dalam model cakera Poincar@e yang adalah alat yang Escher

gunakan untuk mewujudkan imej yang lenyap ke infiniti. Sejak akhir $%3*an

apabila Escher mula menghasilkan cetakan "ircle ?imit, ahli matematik dan

saintis komputer terus mengkaji tessellations hiperbolik. !eknologi telah

bertambah baik dari hari ke hari. Gabungan matematik, pemikiran kreatif dan

teknologi komputer yang datang bersamasama dalam kajian tessellations dangeometri hari ini menghasilkan karya seni dalam Matematik yang amat

menakjubkan. !iada algoritma yang boleh menentukan dengan tepat bagaimana

jubin boleh direka atau bagaimana polyhedra boleh mengisi ruang. 9Penggunaan

@komputer isual@ menimbulkan cabarancabaran baru untuk ahli matematik

pada masa yang sama, grafik komputer pada masa akan datang mungkin

bersatu bahasa antara seni dan sains.

!.0 "enis#jenis Teselasi

1entuk teselasi meliputi pesawat tanpa jurang dan tanpa bertindih. !erdapat

hanya tiga !essellations tetap pada satah Euclid 2bentuk &;4 yang dibuat

daripada salinan bentuk poligon tetap tunggal pada setiap bucu. :ni adalah

A

7/17/2019 teselasi


segitiga sama sisi, segi empat atau heksagon biasa 2setiap yang ditunjukkan di

bawah4. 6anya ada tiga kerana sudut dalam poligon mesti menjadi faktor 8'* B

supaya poligon boleh beratur pada titik tanpa meninggalkan jurang.

ectangle 7ctagon dan SCuare Pentagon

$. !eselasi Sekata =

• !erhasil daripada teselasi satu jenis poligan sekata yang kongruen.

• 6anya terdapat tiga jenis poligon sekata yang kongruen yang

terdapat diteselasi iaitu segi tiga sama sisi, segi empat sama dan

heksagon.

"ontoh =

?ihat pada titik sudut=

Dorte> adalah titik sudut dimana bentukbentuk ditemukan tanpa pertindihan.

<ntuk teselasi sekata, coraknya dikenalpasti dari titik orte>.

3

7/17/2019 teselasi


&. !eselasi Separa Sekata=

• !erhasil daripada teselasi dua jenis atau lebih poligon sekata yang

kongruen yang disusun secara cyclic orderF.

• !erdapat enam jenis corak teselasi separa sekata iaitu kombinasi oleh

poligonpoligon segi tiga sama sisi. Segi empat sama, heksagon, oktogon

dan dodecagon.

"ontoh=

8. !eselasi !idak Sekata=

• !eselasi yang melibatkan poligon yang tidak sekata.

• !erdapat banyak jenis teselasi tidak sekata.

7/17/2019 teselasi


'

"ontoh=

!eselasi tidak sekata adalah di mana tidak ada halangan dalam susunan polygon

sekeliling. !erdapat nombor infiniti dalam teselasi. !eselasi boleh direka dengan

mempersembahkan satu atau lebih operasi asas melalui proses translasi,

putaran dan pantulan pada polyamond 2gabungan segitiga sama sisi4.

!ranslasi 2translation4 menggelongsorkan polyiamond sepanjang pesawat.

7perasi translasi 2terjemahan4 boleh digunakan kepada semua polyiamonds.

Putaran 2rotation4 yang memutar polyiamond dalam satah. 7perasi penggiliran

boleh digunakan untuk semua polyiamonds yang tidak memiliki simetri pekeliling,

contohnya heksagon he>iamond, yang tidak berubah putaran berikut melalui '*o

atau gandaan daripadanya.

Pantulan 2reflection4 mencerminkan polyiamond dalam satah, seolaholah

dilihat di cermin. 7perasi refleksi terhad kepada polyiamonds yang

enantiomorphic. Satu polyiamond enantiomorphic adalah salah satu yang tidak

boleh menindih refleksi, imej cermin.

0

7/17/2019 teselasi


Segitiga, segiempat dan he>agon adalah bentuk biasa yang menjadi teselasi

tersendiri.. #nda boleh mempunyai teselasi lain bentuk yang tetap jika

anda menggunakan lebih daripada satu jenis bentuk. #nda juga boleh mencipta

teselasi pentagon, tetapi bentuk itu tidak akan menjadi bentukbentuk yang

tetap. !eselasi boleh digunakan untuk corak jubin atau kuilt campur aduk.

Teselasi Tun$$al %entuk %iasa

Se$iti$a 1oleh menjadi teselasi yang sangat cantik. ;ua segitiga menjadi

diamond. Enam segitiga menjadi he>agon.

Se$iepat ;engan mewarnakannya, anda boleh membina corakyang lebih

rumit.

7/17/2019 teselasi


+

&e'a$(n ?ebah membuat teselasi semulajadi he>agon pada sarang mereka.

7/17/2019 teselasi


9

Teselasi Pel)a$ai %entuk %iasa

Se$iepat dan se$iti$a !erdapat dua cara untuk bergaul segiempat dan

segitiga dalam corak yang sama.

:ni adalah cara yang membosankan. #nda boleh menjadikan ia lebih menarik

dengan mewarna.

7/17/2019 teselasi


10

Grid lain kelihatan aneh, kerana kita tidak mengiktiraf kuasa dua sebagai mudah

apabila mereka condong.

&e'a$(n dan se$iti$a !erdapat dua cara biasa untuk mencampur he>agon

dan segitiga dalam corak yang sama. #nda boleh bermainmain dengan grid

segitiga untuk mencari jalan lain untuk mencampur he>agon dan segitiga.

:ni padat dengan segitiga rapat dengan beberapa segitiga di antaranya.

$$

7/17/2019 teselasi


;i sini, he>agon lebih jauh, dengan garis segitiga antara mereka.

12

7/17/2019 teselasi


&e'a$(n* se$iepat dan se$iti$a

+,ta$(ns - sisi/ dan kuasa dua

$8

7/17/2019 teselasi


D(de,a$(ns -12 sisi/ and se$iti$a Setiap sisi mesti sama panjang

supaya teselasi boleh dicorakkan bersama dan kita akan dapati bahawa

dodecagons lebih besar daripada segitiga.

$A

7/17/2019 teselasi


D(de,a$(ns* he'a$(ns and se$iepat

Teselasi Lain#lain %entuk

15

7/17/2019 teselasi


Wael #nda tidak perlu untuk menyekat diri anda kepada bentuk sekata. ;i sini

ialah corak wafel, dan skim warna yang dicadangkan.

kan corak ini adalah berdasarkan reka bentuk ikan yang mudah, dibuat persegi

menyerong dengan segi tiga ekor.

:a mengejutkan berapa banyak cara yang anda boleh muat ini bersamasama.

16

7/17/2019 teselasi


!eselasi boleh diklasifkasikan dengan lebih mendalam mengikut bagaimana unit

sel mengandungi satu atau lebih polyiamond yang disusun. (ika unit sel disusun

seperti corak sekata yang berulangulang atau corak rambang, teselasi disebut

periodic. (ika susunan menghasilkan teselasi dengan pusat simetri bulat adalah

disebut radial seperti teselasi, dengan pengeculian keskes istimewa, adalah

kompleks dan akan meliputi dua per tiga atau enam unit sel yang salah satunya

mengandungi nombor polyiamond yang tidak terbatas.

)esemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set simetri yang

berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh

diulang tanpa had dalam dua dimensi.

Pembaca sepatutnya sedar bahawa susunan ganji polyiamond tidak boleh

menjadi teselasi mudah. 7perasi putaran dan pantulan mesti digunakan untuk

menyediakan keseimbangan unit sel untuk teselasi

)esemua susunan polyiamond lapan atau kurang, dengan pengecualian salah

satu heptiamond akan menteselasikan sata. Pengucualiannya ialah heptiamond

berbentuk HDF Gardner menulis mengenai masalah mengenalpasti heptiamond

dan menghasilkan semula bukti ketidak mungkinan Gregory.

Ialaubagaimanapun, dalam kombinasi dengan heptiamond yang lain, teselasi

yang menggunakan heptiamond berbentuk D boleh di bentuk.

$0

7/17/2019 teselasi


5.0 Contoh-contoh tesalasi

!erdapat banyak contoh teselasi dalam dunia yang sebenar. )ita telah belajar

yang teselasi adalah bentuk polygon yang berulangulang tanpa mempuyai

ruang atau seksyen yang bertindih. Siapa yang pertama menemui corak ini, dan

siapay yang menggunakannyaJ Maka, untuk yang pertama kalinya fikirkan

bentuk yang berbeza yang ada dalam alam semula jadi, dan lihat sama ada

anda boleh fikirkan sesuatu yang boleh diklasifikasikan sebagain teselasi. Sisik

pada ikan, cengkerang kurakura, ataupun kulit neneas. (adi, hanya dengan

memerhatikan dunia sekeliling kita kita boleh pelajari macam mana untuk

mengenalpasti coraknya dan bagainmana kita boleh aplikasikannya dalam kerja

kita. "ontoh teselasi yang dapat kita lihat adalah dalam pembinaan batu bata

semasa membina bangunan. Selama beribu tahun manusia telah menggunakan

teselasi untuk mereka bangunan yang cantik, mozek, kerja kayu, lantai dan

taman.

7rang greek dan oman dahulu kala telah mencipta mozek yang rumit

menggunakan bahagian batubatu kecil yang ditampalkan pada dindingdinding

dan lantailantai. Mozekmozek ini adalah bukan teselasi dalam systemmatematik kecuali bentuk batu di dalam mereka yang membentuk corak

berulang. !etapi selalunya, mozekmozek ini menggunakan rekaan geometric

yang akan diteselasikan pada satah dalam sempadan dan latar belakangnya.

<bin yang lebih besar diperbuat daripada marmar atau granit yang digunakan

pada corak lantai. )adangkala, seluruh lantai dihamparkan dalam satah teselasi

yang besar.

Seni islam dinotakan mempunyai hiasan mozek yang ekstrem. ?ebih banyak

rekaan ubin mempunyai segmen yang bertindih dan disebabkan itu ia bukanlah

teselasi yang sebenar. 1anyak masjid dahulukala dan istana dibina di :stanbul,

dan warnanya yang terang tidak hilang. Masjid biru dan 6aiga Sophia adalah

$+

7/17/2019 teselasi


dua tempat yang popular di :stanbul, !urki yang mana banyak corak teselasi

pada bangunannya. )adangkala, corak yang diwarnakan pada jubin adalah

daripada rekaan geometric mereka sendiri yang mana apabila dilihat daripada

jauh menampakkan teselasi.

)awasan lain dalam dunia yang menggunakan teselasi pada dinding dan lantai

adalah Kegara "ina, di mana seramik porselin biru dan putih yang popular

menjadi aspirasi artisartis daripada Kegara lain untuk membuat jubin yang

sama5 (epun, yang mana dikenali sebagai pengukir kayu dalam mereka teselasi5

#frika <tara dan Sepanyol terutamanya senibina Moorish. 1elanda juga

mempuyai industry jubin ;elft begitu juga England iaitu Iestminster #bbey di

?ondon mempunyai rekaan yang hebat yang ditiru biara lain. 1udaya lain juga

dikiatakan menggunakan teselasi pada bangunan mereka dan rekaan tekstil

termasuk Kaajos dan #mish. )ita boleh mendapatkan buku berkenaan

keseniaan dan senibina di perpustakaan. !erdapat banyak sebab mengapa kita

harus belajar teselasi.

"ontoh tesalasi yang dapat kita lihat adalah dalam pembinaan ialah susunan

batu bata dan mozek semasa membina bangunan,"ontoh pembinaan yang menggunakan tesalasi ialah=

$. Masjid 1iru dan 6aiga Sophia di :stanbul, !urki

&. Senibina Moorish di Sepanyol.

8. :ndustri jubin ;elft di 1elanda.

A. Iestminster #bbey di ?ondon, England

$%

7/17/2019 teselasi


.1 (nt(h#,(nt(h Teselasi Dala 4ehidupan Se)enar

$. Masjid 1iru, !urki

&. :stana #l6ambra,

Granada, Sepanyol

8. 1unga Matahari

20

7/17/2019 teselasi


A. )ulit <lar Sawa

3. Sarang ?ebah

5. Sisik kan

21

7/17/2019 teselasi


0. ?antai Parket

+. 1uah Kenas

%. amarama

&&

7/17/2019 teselasi


$*. )ura)ura

$$. Siput

$&. #nyaman otan

&8.

7/17/2019 teselasi


.2 (nt(h#,(nt(h Teselasi Seni

25

7/17/2019 teselasi


&'

7/17/2019 teselasi


6.0 Bagaimana tesalasi boleh dihasilkan

7.0 Penerangan tentang penghasilan tesalasi saya

?angkah $ = Gunakan MicrosoftwordL untuk membuat teselasi saya.

?angkah & = Saya klik pada #utoShape di sebelah kiri komputer saya dan pilih

bentuk yang saya senang buat iaitu segitiga

&0

7/17/2019 teselasi


?angkah 8 = )emudian saya pantulkan segitiga berkenaan ke bawah untuk

menghasilkan segitiga yang satu lagi.

Langkah 4 : .Kemudian saya gunakan teknik copy dan paste untuk

memperbanyakkan segitiga berkenaan

?angkah 3 = )emudian saya masukkan warna dalam segitiga tersebut dengan

mengklik pada icon colour di bar bahagian bawah komputer.

Langkah 6 : Saya penuhkan ruang dokumen saya dan kemudian saya

print kan

ke dalam sehelai kertas..

7/17/2019 teselasi


&+

?angkah 0 = Setelah siap di print, saya tampal teselasi saya ke atas sekeping

mounting board bersaiz #A

Langkah 8 : Kemudian saya balut teselasi dengan menggunakan

plastik dan

meletakkan binding pada setiap penjuru selebar 1 cm.

7/17/2019 teselasi


&%

teselasi

Documents