1.0 Pengenalan

Geometri adalah sebahagian daripada matematik yang mengambil berat persoalan

mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah

salah satu dari sains yang tertua. Pada mulanya ia hanyalah sebahagian jasad dari

pengetahuan praktikal yang mengambil berat jarak, luas dan isipadu tetapi pada abad

ketiga S.M, Geometri telah diletakkan di dalam bentuk aksiom oleh Euclid membentuk

Geometri Euclid, yang hasilnya menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya.

Secara umumnya, geometri merupakan salah satu daripada cabang matematik yang

berhubung kait tentang ciri-ciri ruang, termasuklah titik, garisan, lengkungan, satah dan

permukaan ruang serta bentuk-bentuk polygon.

2.0 Definisi Teselasi

Kata teselasi berasal dari kata bahasa Inggeris iaitu Tesselation.Namun menurut

MathForum, kata tessellate berasal dari bahasa Yunani,Tesseres yang dalam bahasa

Inggeris ertinya adalah “empat”. Secara mudahnya,ia boleh diertikan sebagai corak yang

mencakupi permukaan satah dengan memasang bersama-sama dari bentuk asas yang

sama yang telah diciptakan oleh Alam dan bentuk. Contoh-contoh susunan dari corak

heksagonal mudah seperti sarang madu lebah,jubin rumah,dan sebagainya.

Dalam terminologi geometri,teselasi adalah satu bentuk pola yang meliputi sesuatu

permukaan sepenuhnya, dengan tiada ruang di antara bentuk dan tanpa sebarang

pertindihan bentuk digunakan. Contoh teselasi yang paling asas termasuklah jubin rumah.

Bentuk-bentuk teselasi yang lebih menarik termasuklah teselasi Islam berbentuk bintang.

Corak ini biasanya berulang. Teselasi merupakan konsep matematik yang digunakan oleh

guru-guru misalnya untuk pelajaran seni dan matematik.

Dalam pembelajaran matematik, teselasi dapat digunakan untuk membantu para pelajar

mempelajari konsep-konsep matematik secara lebih mendalam misalnya polygon,regular

polygon, non-regular/irregular polygon, kongruen, sudut dalam, jumlah sudut dalam dari

segibanyak yang saling bertemu pada titik sudut (vertex) tesselasi, translasi, refleksi, dan

pusingan.Tesselasi adalah suatu konsep matematik yang digunakan oleh guru-guru

misalnya untuk pelajaran seni dan matematik.

1

2.1 Teselasi Menurut Wikipedia

Tessellation adalah proses mewujudkan satah dua dimensi menggunakan pengulangan

bentuk geometri dengan tidak bertindih dan tiada jurang . Generalisasi kepada dimensi yang

lebih tinggi juga mungkin. Tessellations sering muncul dalam seni MC Escher, yang

mendapat ilham ketika mengkaji penggunaan Moor simetri dalam jubin Alhambra semasa

lawatan beliau ke sana pada tahun 1922. Tessellations boleh dilihat sepanjang sejarah seni,

seni bina purba seni moden.

3.0 Sejarah Awal Teselasi

Teselasi telah wujud selama berabad tahun lamanya. Ia masih digunakan sehingga ke

hari ini. Menurut artikel “History of Tesellation” (2011), pada tahun 1619, Joannes Kepler

telah menjalankan satu kajian pertama teselasi yang telah didokumentasikan. Beliau

menulis tentang „regular dan semiregular yang merupakan penutup satah dengan poligon

sekata.. Teselasi di mana bentuk-bentuk ini telah di kenalpasti sebagai rangka pesawat

dalam bentuk poligon. Kajian E.S Federov pada tahun 1891 membuktikan bahawa setiap

sudut pesawat itu dibina berasaskan satu daripada tujuh belas bentuk isometri yang

berbeza. Secara tidak langsung, kajian Federov telah memperkenalkan kajian teselasi

dalam matematik.

Terdapat juga beberapa ahli matematik lain yang melakukan kajian terhadap tajuk

teselasi ini. Antaranya ialah Shubnokov dan Belov (1951), dan Heinrich Heeschdan Klienzie

(1963) Pelukis Belanda, MC Escher adalah penyumbang yang paling terkenal. Beliau

merupakan seorang yang amat dihormati oleh ahli matematik serta ahli sains yang

lain.Beliau tidak mempunyai latihan formal dalam bidang sains dan matematik. MC Ester

paling terkenal untuk struktur beliau yang dipanggil „Ascending and Descending‟,

„Relativity‟, Transformation Prints seperti Metamorphosis I,Metamorphosis II,Metamorphosis

III, Sky & Water dan Reptiles.

Kira-kira 200 tahun kemudian pada tahun 1891, crystallographer Rusia Yevgraf

Fyodorov membuktikan bahawa setiap jubin yang dipasang berkala mempunyai salah satu

daripada 17 kumpulan yang berbeza daripada isometries. Kerja fyodorov menandakan

permulaan tidak rasmi kajian matematik tessellations. Penyumbang terkemuka yang lain

termasuk Shubnikov dan Belov (1951); dan Heinrich Heesch dan Otto Kienzle (1963).

2

Sejarah awal tessellations bermula sejak tamadun awal orang Greek. Perkataan asalnya

datang daripada perkataan Yunani "tesseres" yang bermaksud "empat" dalam Bahasa

Inggeris. Orang Yunani yang sebenarnya menggunakan jubin Sisi empat kecil sebagai

tanda dalam permainan mereka. Jubin ini kemudian telah diambil dan digunakan untuk

membuat gambar mozek pada dinding, lantai dan siling. Tessellation berasal daripada

penggunaan dalam seni. Dari Bahasa Yunani Kuno, Tessera atau Tessella ialah dadu kecil

keping batu yang digunakan dalam mosaik. Oleh itu, kamus mencadangkan, tessellations

yang asal adalah mozek. Tessellations pertama kali digunakan dalam bentuk mosaic kira-

kira 3000 SM di Mesopotamia Purba. Tessellation dalam mosaik adalah berkaitan dengan

struktur sebenar susunan kepingan kecil batu atau jubin, yang tessellation tetap.

Ramai menggunakan mosik bukan sahaja dalam corak seni tetapi juga bangunan,

pakaian, alatan rumah, perhiasan dan sebagainya. Umat Islam juga menggunakan jubin

untuk menghiasi bangunan-bangunan mereka, kerana agama mereka melarang mereka

dari menggunakan gambar-gambar orang atau benda-benda hidup dalam menghias rumah

dan bangunan mereka. Jubin yang terbaik dipercayai boleh didapati di Istana Alhambra di

Granada di selatan Sepanyol.Kerana paparan ini indah di istana di Granada, MC Escher,

pakar grafik Belanda atau seniman yang tidak pernah secara rasmi dilatih dalam bidang

matematik, menjadi terpesona dalam seni jubin ini. Beliau tidak pernah lulus dari sekolah

tinggi. Karya pertama seninya bermula pada awal tahun 1920-an, tetapi dalam kerja-kerja

mengecat dan kayu dan. Beliau pertama kalinya berminat dalam seni jubin semasa melawat

Istana Alhambra di Granada. Dia melihat contoh gaya hiasan Arab. Idea-idea ini

mencetuskan imaginasi, tetapi terletak tidak aktif di dalam fikirannya untuk 13 tahun akan

datang. Beliau kembali semula Istana dan sekali lagi mengkaji mengenai jubin ini. Pada titik

ini dalam hidupnya, Escher mendapati bahagian selatan Itali menjadi tempat yang paling

memberi inspirasi kerana peperangan yang berlaku disekeliling beliau, beliau berpaling

minat kepada teselasi. Pada tahun 1937, Escher menunjukkan beberapa karya beliau

kepada saudaranya, yang merupakan seorang profesor geologi. Dia kagum dengan potensi

kerja- kerja ini untuk kristalografi. Pada tahun 1938, Escher terus mencuba dengan

pengisian teknik, bentuk dan transformasi. Dia terus bekerja dengan perubahan,

transformasi, dan lain-lain teknik-pengisian pesawat. 1959 terbukti adalah tahun yang

menarik untuk Escher. Dr. MacGillavry mengaturkan untuk beliau untuk memberi satu

seminar tentang simetri pada perhimpunan antarabangsa crystallographers. Matematik dan

kristalografi yang dibentangkan dalam aspek kerja-kerja Escher dan jubin menjadi popular.

3

Beliau menjadi popular di dunia seni pada tahun 1975 di konvensyen Persatuan Origami

British di mana karya-karya beliau telah mula diiktiraf sebagai bentuk seni. Ahli matematik,

saintis, dan crystallographers semua menghargai kerjakerja yang dilakukan, dan beberapa

cetakan telah digunakan untuk mengkajipersepsi visual dalam bidang-bidang seperti fizik,

geologi, kimia, dan psikologi. Ahli matematik cenderung untuk menjadi sangat berminat

dalam tessellations kerana hubungan mereka kepada simetri angka, bahagian sudut,

putaran objek, dan lain-lain konsep geometri pelbagai. Dengan maklumat yang didapati dari

Escher , maka itulah dia digelar bapa tessellations. Pada masa ini, kita dapat melihat

tessellations dalam pelbagai bentuk: dalam bidang seni bina, alam semula jadi, sejarah

sosial, seperti membuat selimut, dan menghias, hanya untuk menamakan beberapa

perkara.

4.0 Teselasi Dalam Matematik

Teselasi, atau memasang jubin, menutupi satah oleh bentuk tertutup, dipanggil jubin,

tanpa jurang atau bertindih. Teselasi mempunyai banyak contoh-contoh nyata dunia dan

berhubungkait antara matematik dan seni. Contoh-contoh mudah teselasi ialah lantai

berjubin, kerja bata, dan tekstil. Artis sangat berminat dalam jubin kerana simetri dan replika

corak mudah. Ahli matematik berminat untuk belajar bagaimana jubin boleh meliputi satah,

lain-lain permukaan dan ruang. Mereka mahu tahu jika dan bagaimana jubin boleh meliputi

satah, bagaimana jubin dikelilingi oleh jubin lain,dan jika tompokan memasang jubin boleh

dilanjutkan untuk meliputi seluruh ruang. M.C. Escher mempunyai minat yang kukuh dalam

matematik. Dia belajar matematik topik sebagai satu cara untuk merealisasikan visi artistik

beliau. Topik-topik tertentu yang dikaji oleh Escher adalah bahagian satah, kumpulan simetri

17 dan ruang topologi. Escher juga rakan kepada ahli matematik terkenal abad ke-20,

Roger Penrose dan HSM Coxeter. Selepas saling berutus surat dengan Coxeter tentang

tilings dalam satah yang hiperbolik, Escher mendapat inspirasi untuk mewujudkan Circle

Limit I. Escher berminat dalam "corak dengan 'motif' kecil dan semakin kecil sehingga

mereka sampai ke tahap menghadkan kekecilan tidak terhingga. "Tilings satah yang

hiperbolik dalam model cakera Poincar'e yang adalah alat yang Escher gunakan untuk

mewujudkan imej yang lenyap ke infiniti.

Sejak akhir 1950-an apabila Escher mula menghasilkan cetakan Circle Limit, ahli

matematik dan saintis komputer terus mengkaji tessellations hiperbolik. Teknologi telah

bertambah baik dari hari ke hari. Gabungan matematik, pemikiran kreatif dan teknologi

4

komputer yang datang bersama-sama dalam kajian tessellations dan geometri hari ini

menghasilkan karya seni dalam Matematik yang amat menakjubkan. Tiada algoritma yang

boleh menentukan dengan tepat bagaimana jubin boleh direka atau bagaimana polyhedra

boleh mengisi ruang. "Penggunaan 'komputer visual' menimbulkan cabaran-cabaran baru

untuk ahli matematik - pada masa yang sama, grafik komputer pada masa akan datang

mungkin bersatu bahasa antara seni dan sains.

5.0 Jenis-Jenis Teselasi

Teselasi terbahagi kepada beberapa jenis. Teselasi dapat dibahagikan kepada 3 jenis

utama iaitu;

a) Teselasi sekatab) Teselasi separuh-sekatac) Teselasi tidak sekatad) Teselasi ringkase) Teselasi kompleks

5.1 Teselasi Sekata

Teselasi sekata merupakan sepenuhnya daripada poligon sekata kongruen semua

pertemuan bucu bertemu bucu. Hanya terdapat tiga teselasi sekata yang menggunakan

segitiga sama sisi, segi empat tepat dan segi enam. Berikut yang menggunakan segi tiga

dan segi enam.

a. Segitiga Sama Sisi

b. Segi Empat Tepat

c. Segi Enam.

Rajah di atas merupakan contoh kepada segi tiga sama sisi dan segi enam.

5

5.2 Teselasi Separuh Sekata

Teselasi separuh sekata merupakan teselasi yang dicipta dengan dua atau lebih jenis

polygon sekata yang dipasangkan bersama-sama sedemikian rupa supaya polygon yang sama

dalam susunan kitaran yang sama mengelilingi setiap bucu. Terdapat lapan teselasi separa-

sekata yang merangkumi pelbagai kombinasi segi tiga sama sisi, segi empat sama sisi, segi

enam, octagons dan dodecagons.

5.3 Teselasi Tidak Sekata

Teselasi tidak sekata merupakan teselasi yang tidak ada halangan dalam susunan polygon

di sekeliling . Terdapat nombor infiniti di dalam teselasi. Tesalasi boleh direka dengan

mempersembahkan satu atau lebih operasi asas, translasi, putaran dan pantulan pada

polyiamond (gabungan segitiga sama sisi). Contoh di bawah yang melibatkan translasi, putaran

dan pantulan.

Translasi ialah pergerakan polyiamond di sepanjang satah. Operasi translasi boleh

diaplikasikan kepada semua polyiamond.

6

Putaran ini memutarkan polyiamond di atas satah.Operasi putaran boleh diaplikasikan

kepada semua polyiamond yang mana tidak mempunyai simetri bulat, contohnya

hexiamond isi enam, yang mana tidak berubah.

Pantulan merupakan dimana ia memantulkan polyiamond di atas satah, seperti yang

terdapat pada cermin.

5.4 Teselasi ringkas

Teselasi ringkas merupakan dimana operasi translasi digunakan.

5.5 Teselasi kompleks

Teselasi kompleks merupakan dimana ia menggunakan satu atau lebih putaran dan

pantulan yang digunakan bersama-sma translasi. Satu atau lebih polyiamond boleh

digabungkan untuk membentuk rajah yang boleh menteseslasikan satah menggunakan

hanya operasi translasi.. Rajah ini akan dipanggil unit sel. Satu unit sel yang biasa boleh

diisi dengan beberapa polyiamond yang berlainan. Gardner menerangkan bagaimana lima

pasang heptiamond boleh digunakan untuk mengisi unit sel corak teselasi yang sama. Anda

akan berupaya untuk mencari contoh lain di dalam ilustrasi-ilustrasinya kemudian. Di bawah

merupakan contohnya.

Teselasi boleh dinyatakan dengan mudah apabila ia mengikut bagaimana unit sel

mengandungi satu atau lebih polyiamond yang disusun.. Jika unit sel disusun seperti corak

sekata yang berulang-ulang atau corak rambang , teselasi disebut periodic. Jika susunan

menghasilkan corak yang tidak sekata atau rambang , teselasi disebut aperiodic. Susunan

lain yang menghasilkan teselasi dengan pusat simetri bulat adalah disebut radial – seperti

teselasi, dengan pengecualian kes-kes istimewa , adalah kompleks dan akan meliputi dua

per tiga atau enam unit sel yang salah satunya mengandungi nombor polyiamond yang

tidak terbatas. Kesemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set simetri yang

7

berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh diulang tanpa

had dalam dua dimensi. Operasi putaran dan pantulan mesti digunakan untuk menyediakan

keseimbangan unit sel untuk teselasi.

5.5 Teselasi yang lain

Terdapat banyak corak tesalasi dalam dunia yang sebenar. Kita telah belajar tesalasi

yang berbentuk poligon yang berulang-ulang tanpa mempunyai ruang atau seksyen yang

bertindih. Contohnya sisik pada ikan, cengkerang kura-kura, ataupun kulit nanas. Dalam

pembinaan guna, terdapat pelbagai corak teselasi yang digunakan. Corak ini terdapat

dalam susunan batu dan mozek yang terdapat bangunan. Pembinaan bangunan yang

menggunakan teselasi seperti Masjid Biru dan Haiga Sophia di Istanbul, Turki dan

Westminster Abbey di London, England.

Masjid Biru, Turki

5.6 Teselasi dalam kehidupan seharian.

Dalam kehidupan seharian kita, terdapat pelbagai corak teselasi yang dapat kita lihat.

Corak-corak teselasi ini mempunyai corak yang menarik. Berikut merupakan contoh teselasi

dalam kehidupan seharian kita.

1. Kulit ular sawa

8

2. Buah nenas

3. Sarang lebah

4. Sisik ikan

5. Lantai karpet

9

6.0 Kesimpulan

Kesimpulannya, teselasi merupakan sebahagian daripada kehidupan manusia, teselasi

telah banyak memberikan sumbangan kepada manusia sejak zaman berzaman lagi

terutamanya dalam pembinaan. Teselasi merupakan gabungan corak geometri yang terdiri

daripada segi empat, segi tiga, bulat dan banyak lagi. Ciptaan teselasi yang dihasilkan oleh

tokoh-tokoh matematik banyak memberikan ihlam kepada wujudnya corak teselasi yang ada

pada masa sekarang.

10

7.0 Rujukan

Man Ah Keow, (2013) . Literasi Nombor. Kuala Lumpur : Bs Print (M) Sdn. Bhd

Douglas H. Clements and Julie Sarama. ( 2009 ) . Learning And Teaching Early

Math ( The Learning Trajectories Approach ). New York : Routledge

Taylor and Francis Group.

Margaret Sangster and Rona Catterall, ( 2009 ). Early Numeracy ( Mathematical

Activities For 3 And 5 Year Old ). New York : CPI Antony Rowe,

Chippenham, Wiltshire.

Rujukan Teselasi diambil pada 01 September dari laman web

http://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation.html

Rujukan Teselasi diambil pada 03 September dari laman web

http://www.coolmath4kids.com/tesspag1.html

Rujukan Teselasi diambil pada 04 September dari laman web

http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html

11