statistik dan analisa data

Statistika (MMS-1403)Dr. Danardono, [email protected]

Program Studi StatistikaJurusan Matematika FMIPA UGM

Materi dan JadualMingguke-

Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan

1. Pendahuluan 1 Perkuliahan MMS-14032 Kompetensi dan Karir3 Konsep dan Terminologi4 Data, Variabel dan Skala Pengukuran

2. Grafik dan RingkasanNumerik

1 Distribusi Frekuensi dan Grafiknya2 Ukuran Tengah dan Ukuran Dispersi3 Analisis Data Eksploratif

3. Peluang 1 Kejadian dan Peluang2 Peluang Bersyarat

4. Variabel Random 1 Variabel Random dan Distribusinya2 Harga Harapan, Variansi dan

Sifat-Sifatnya

5. Distribusi VariabelRandom Diskret

1 Distribusi Bernoulli dan Binomial2 Distribusi Poisson3 Distribusi Hipergeometrik

MMS-1403 p.1/204

Materi dan Jadual6. Distribusi Variabel

Random Kontinu1 Distribusi Uniform Kontinu2 Distribusi Normal3 Pendekatan Normal untuk Binomial

7. Distribusi Sampling Statistik 1 Sampling Random2 Distribusi Sampling Statistik untuk

Rerata3 Teorema Limit Sentral

8. Review dan Latihan

9. Inferensi Statistik 1 Estimasi Parameter2 Uji Hipotesis

10. Inferensi Statistik SatuPopulasi Sembarang

1 Inferensi untuk Mean2 Inferensi untuk Proporsi

11. Inferensi Statistik SatuPopulasi Normal

1 Inferensi untuk Mean2 Hubungan Interval Konfidensi dan Uji

Hipotesis3 Inferensi untuk Variansi

MMS-1403 p.2/204

Materi dan Jadual12. Inferensi Statistik Dua

Populasi Sembarang1 Inferensi untuk Selisih Mean Dua

Populasi2 Inferensi untuk Selisih Proporsi Dua

populasi

13. Inferensi Statistik DuaPopulasi Normal

1 Inferensi untuk Selisih Mean DuaPopulasi

2 Inferensi untuk Perbandingan VariansiDua Populasi

3 Inferensi untuk Observasi Berpasangan

14. Review dan latihan

MMS-1403 p.3/204

StatistikaStatistika (Statistics)Sekumpulan konsep dan metode yang digunakan untukmengumpulkan dan menginterpretasi data kuantitatif danmengambil kesimpulan dalam situasi dimana ada ketidakpastiandan variasi

MMS-1403 p.4/204

DataPenghasilan mingguan 40 buruh bangunan di suatu kota(dalam ribuan rupiah):58 72 64 65 67 92 55 51 69 7364 59 65 55 75 56 89 60 84 6874 67 55 68 74 43 67 71 72 6662 63 83 64 51 63 49 78 65 75

MMS-1403 p.5/204

DataHasil pengukuran keasaman (PH) dari 35 kolam di suatudaerah:6,4 6,6 6,2 7,2 6,2 8,1 7,07,0 5,9 5,7 7,0 7,4 6,5 6,87,0 7,0 6,0 6,3 5,6 6,3 5,85,9 7,2 7,3 7,7 6,8 5,2 5,26,4 6,3 6,2 7,5 6,7 6,4 7,8

MMS-1403 p.6/204

DataTinggi (cm) dan berat badan (kg) 10 orang mahasiswa:Mahasiswa Tinggi Berat

1 170 702 162 653 169 594 165 625 171 676 170 657 168 608 163 619 166 6310 172 64

MMS-1403 p.7/204

DataBanyaknya penjualan telepon seluler di suatu toko:

Merek Banyak penjualanSony-Ericsson 72

Motorola 60Nokia 85

Samsung 54LG 32

Siemens 64

MMS-1403 p.8/204

Skala PengukuranSkala Yang dapat ditentukan untuk dua

pengamatan sembarangNominal persamaan (klasifikasi)Ordinal persamaan dan urutanInterval persamaan, urutan dan jarak (satuan

pengukuran)Rasio persamaan, urutan, jarak dan rasio

(titik nol yang murni ada)

MMS-1403 p.9/204

Skala PengukuranContoh:

Nominal: jenis pekerjaan, warnaOrdinal: kepangkatan, tingkat pendidikanInterval: tahun kalender (Masehi, Hijriyah), temperatur(Celcius, Fahrenheit)Rasio: berat, panjang, isi

MMS-1403 p.10/204

Statistika DeskriptifMetode atau cara-cara yang digunakan untuk meringkas danmenyajikan data dalam bentuk tabel, grafik atau ringkasannumerik data.

MMS-1403 p.11/204

Grafik Stem-and-leafUntuk menunjukkan bentuk distribusi dataData berupa angka dengan minimal dua digit

Contoh (Data penghasilan buruh):4 3 95 1 1 5 5 5 6 8 96 0 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 8 97 1 2 2 3 4 4 5 5 88 3 4 99 2Stem= 10, Leaf = 1

MMS-1403 p.12/204

Distribusi FrekuensiMerupakan suatu tabel menunjukkan frekuensi kemunculandata atau frekuensi relatifnya yang berguna untuk meringkasdata numerik maupun kategori.

Untuk data diskret atau data kategori, banyaknya nilai yangdihitung kemunculannya biasanya sesuai denganbanyaknya nilai data yang berbeda dari data diskret ataukategori tersebutUntuk data kontinu, biasanya dibuat kelas interval 5-20banyaknya.

MMS-1403 p.13/204

Distribusi FrekuensiContoh (Data penghasilan buruh):Kelas Frekuensi Frekuensi Relatif Frekuensi Relatif

Kumulatif[40, 50) 2 0,050 0,050[50, 60) 8 0,200 0,250[60, 70) 17 0,425 0,625[70, 80) 9 0,225 0,900[80, 90) 3 0,075 0,975[90, 100) 1 0,025 1,000

MMS-1403 p.14/204

HistogramRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data kontinu.

Contoh (Data penghasilan buruh):

Penghasilan (ribu rupiah)

F

r

e

k

u

e

n

s

i

40 50 60 70 80 90 100

0

5

1

0

1

5

MMS-1403 p.15/204

Poligon FrekuensiRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data kontinu denganmengambil nilai tengah tiap kelas.


40 50 60 70 80 90 100

0

5

1

0

1

5


F

r

e

k

u

e

n

s

i

MMS-1403 p.16/204

Ogive Frekuensi KumulatifPlot frekuensi kumulatif dengan batas atas interval dari distribusifrekuensi.


40 50 60 70 80 90 100

0

1

0

2

0

3

0

4

0


F

r

e

k

u

e

n

s

i

K

u

m

u

l

a

t

i

f

MMS-1403 p.17/204

Diagram BatangRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data diskret ataukategori.

Contoh (Data telepon seluler):

SonyEricsson Motorola Nokia Samsung LG Siemens

0

2

0

4

0

6

0

8

0

MMS-1403 p.18/204

Diagram LingkaranRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data diskret ataukategori.

Contoh (Data telepon seluler):

SonyEricsson

Motorola

Nokia

SamsungLG

Siemens

MMS-1403 p.19/204

Notasi Himpunan DataData statistik sering dilambangkan dengan huruf X, Ydilengkapi dengan indeks.

MMS-1403 p.20/204


Contoh (Data penghasilan buruh):X: penghasilan mingguan buruh (dalam ribuan rupiah)X1 = 58; X2 = 72; X10 = 73; X40 = 75;

MMS-1403 p.20/204


Contoh (Data tinggi dan berat mahasiswa):X : tinggi mahasiswa (cm)Y : berat mahasiswa (kg)X1 = 170; Y1 = 70;X7 = 1683; Y7 = 60;

MMS-1403 p.20/204

Notasi Sigman

i=1

Xi = X1 + X2 + . . . + Xn

ni=1

mj=1

Xij = X11 + X12 + . . . + Xnm

MMS-1403 p.21/204

Notasi SigmaBeberapa aturan:

Jika Xi = k, k suatu konstan, makan

i=1

Xi = nk

MMS-1403 p.22/204



i=1

Xi = nk

Jika k suatu konstan, makan

i=1

kXi = kn

i=1

Xi

MMS-1403 p.22/204



i=1

Xi = nk

Jika k suatu konstan, makan

i=1

kXi = kn

i=1

Xi

ni=1

(Xi + Yi) =n

i=1

Xi +n

i=1

Yi

MMS-1403 p.22/204

Ringkasan NumerikRingkasan Numerik atau statistik:

Data tunggal (tidak dikelompokkan), dengan n observasidinotasikan sebagai

x1, x2, . . . , xn

Data berkelompok (distribusi frekuensi), dengan k nilaitunggal dinotasikan sebagai

x1, x2, . . . , xk

yang masing-masing mempunyai frekuensi

f1, f2, . . . , fk

dengan n =ki=1 fi adalah total observasiMMS-1403 p.23/204

Mean AritmetikData tunggal:

x =1

n

ni=1

xi

Data berkelompok:

x =1

n

ni=1

fixi

MMS-1403 p.24/204

Mean TerbobotMisalkan wi 0 adalah bobot (weight) untuk data tunggal xi

xw =1n

i=1 wi

ni=1

wixi

MMS-1403 p.25/204

VariansiData tunggal:

s2 =1

n 1n

i=1

(xi x)2

atau

s2 =1

n 1n

i=1

(x2i nx2)

MMS-1403 p.26/204

VariansiData berkelompok:

s2 =1

n 1n

i=1

fi(xi x)2

atau

s2 =1

n 1n

i=1

(fix2i nx2)

MMS-1403 p.27/204

Kuis 1Jika xi, i = 1, 2, . . . , n adalah data bernilai sembarang danx =

ni=1 xin

1. Hitungn

i=1

(xi x)

2. Tunjukkann

i=1

(xi x)2 =n

i=1

xi nx2

MMS-1403 p.28/204

Tugas 1 (Kelompok)Carilah suatu masalah nyata yang dapat dibantupenyelesaiannya dengan statistika.

Deskripsikan latar belakang masalah yang saudara pilihSebutkan masalahnyaDefinisikan populasinyaSebutkan variabel-variabel yang diperlukan

MMS-1403 p.29/204

PeluangStatistika Inferensial: Mengambil kesimpulan, inferensi atau

generalisasi tentang suatu populasi berdasarkan informasiyang diperoleh dari sampel.

Peluang (probabilitas): Harga angka yang menunjukkanseberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.

MMS-1403 p.30/204




tidak mungkin

sangat tidak mungkin

mungkin ya mungkin tidak

sangat mungkin

pasti

MMS-1403 p.30/204




0 1tidak mungkin

sangat tidak mungkin

mungkin ya mungkin tidak

sangat mungkin

pasti

MMS-1403 p.30/204

PeluangEksperimen (percobaan, trial): Prosedur yang dijalankan pada

kondisi yang sama dan dapat diamati hasilnya (outcome).Ruang sampel (semesta, universe: Himpunan semua hasil yang

mungkin dari suatu eksperimen.Peristiwa (kejadian, event): Himpunan bagian dari suatu ruang

sampel.

MMS-1403 p.31/204

PeluangContohEksperimen : Pelemparan sebuah mata uang logam

dua kaliHasil : Sisi mata uang yang tampakRuang sampel : S = {MM,MB,BM,BB}

dengan M: sisi muka dan B: sisi belakangPeristiwa : A = paling sedikit muncul satu belakang

= {MB,BM,BB}B = muncul sisi yang sama

= {MM,BB}

MMS-1403 p.32/204

PeluangContohEksperimen : Sebuah biji kedelai ditanamHasil : Tumbuh atau tidak tumbuhRuang sampel : S = {tidak tumbuh, tumbuh}

atau S = {0, 1}Peristiwa : A = biji kedelai tumbuh

= {1}

MMS-1403 p.33/204

PeluangContohEksperimen : Pemilihan seorang mahasiswa secara

random dan dicatat IPnyaHasil : Bilangan antara 0 sampai dengan 4Ruang sampel : S = {0 X 4 | X R}

Himpunan bilangan real antara 0 sampaidengan 4

Peristiwa : A = IP di atas 2= {2 X 4 | X R}

B = IP di bawah 1= {0 X 1 | X R}

MMS-1403 p.34/204

PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil :Ruang sampel :Peristiwa :

MMS-1403 p.35/204

PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel :Peristiwa :

MMS-1403 p.35/204

PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa :

MMS-1403 p.35/204

PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa : A = muncul mata dadu genap

MMS-1403 p.35/204


= {2, 4, 6}

MMS-1403 p.35/204


= {2, 4, 6}B = muncul mata dadu gasal

= {1, 3, 5}

MMS-1403 p.35/204

PeluangPeluang Suatu PeristiwaDefinisi klasik, dengan menganggap tiap-tiap elemen ruangsampel S mempunyai peluang yang sama untuk terjadi.Peluang terjadinya peristiwa A,

P (A) =n(A)

n(S)

dengan n(A) = banyaknya anggota dalam peristiwa A, dann(S) = banyaknya anggota ruang sampel

MMS-1403 p.36/204

PeluangPeluang Suatu PeristiwaBeberapa ketentuan:

0 P (A) 1P (S) = 1 (peluang dari ruang sampel)P () = 0 (peluang dari peristiwa yang tidak akan pernahterjadi)P (A) = 1 P (Ac) (aturan komplemen)P (AB) = P (A)+P (B)P (AB) (aturan penjumlahan)Bila A dan B adalah kejadian yang saling asing,A B = , maka P (A B) = P (A) + P (B)P (B) = P (A B) + P (Ac B)A B dan Ac B saling asing

MMS-1403 p.37/204

PeluangPeluang Suatu PeristiwaContohSebuah dadu dilempar sekali. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6.Misal didefinisikan A : muncul mata dadu 3 dan B : munculmata dadu bilangan prima A = {3} dan n(A) = 1 ; B = {2, 3, 5}dan n(B) = 3 dan

P (A) =n(A)

n(S)=

1

6

danP (B) =

n(B)

n(S)=

3

6=

1

2

MMS-1403 p.38/204

PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiDiketahui A dan B dua peristiwa dari ruang sampel S, danP (B) > 0, maka peluang bersyarat terjadinya A jika diketahui Btelah terjadi, ditulis P (A | B), didefinisikan sebagai

P (A | B) = P (A B)P (B)

Dua kejadian A dan B disebut kejadian independen jika

P (A B) = P (A).P (B)

MMS-1403 p.39/204

PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Sepasang dadu dilempar bersama jika diketahui jumlah keduamata dadu yang keluar adalah 6, hitunglah peluang bahwa satudiantara dua dadu tersebut adalah mata dadu 2.B = {jumlahan mata dadu adalah 6}

= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} danA = {mata dadu 2 muncul dari salah satu dadu}

= {(2, 4), (4, 2)}

P (A | B) = n(A B)n(B)

=2

5

MMS-1403 p.40/204

PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teraturberangkat tepat waktu adalah P (A) = 0, 83; peluang sampaitepat waktu adalah P (B) = 0, 82; peluang berangkat dansampai tepat waktu adalah P (A B) = 0, 78.

Peluang bahwa suatu pesawat sampai tepat waktu jika diketahuiberangkat tepat waktu adalah

P (B | A) = P (A B)P (A)

=0, 78

0, 83= 0, 94

MMS-1403 p.41/204

PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teraturberangkat tepat waktu adalah P (A) = 0, 83; peluang sampaitepat waktu adalah P (B) = 0, 82; peluang berangkat dansampai tepat waktu adalah P (A B) = 0, 78.

Peluang bahwa suatu pesawat berangkat tepat waktu jikadiketahui sampai tempat waktu adalah

P (A | B) = P (A B)P (B)

=0, 78

0, 82= 0, 95

MMS-1403 p.42/204

PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (independensi)Suatu kota kecil mempunyai satu unit mobil pemadamkebakaran dan satu ambulans yang bekerja saling independenuntuk keadaan darurat. Peluang mobil kebakaran siap saatdiperlukan adalah 0.98. Peluang ambulans siap waktudiperlukan adalah 0.92. Dalam suatu kejadian kebakarangedung, hitung peluang keduanya siap.Misalkan A dan B menyatakan kejadian mobil pemadamkebakaran dan ambulans siap. Karena A dan B independen,peluang mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap :

P (A B) = P (A).P (B) = 0, 98 0, 92 =, 9016

MMS-1403 p.43/204

PeluangTeorema BayesContohSebuah pabrik mempunyai 3 mesin A, B dan C yangmemproduksi berturut-turut 60%, 30%, dan 10% dari totalbanyak unit yang diproduksi pabrik. Persentase kerusakanproduk yang dihasilkan dari masing-masing mesin tersebutberturut-turut adalah 2%, 3% dan 4%. Suatu unit dipilih secararandom dan diketahui rusak. Hitung probabilitas bahwa unittersebut berasal dari mesin C.Misal kejadian R adalah unit yang rusak, akan dihitungP (C | R), yaitu probabilitas bahwa suatu unit diproduksi olehmesin C dengan diketahui unit tersebut rusak.

MMS-1403 p.45/204

PeluangTeorema BayesContoh (lanjutan)Dengan teorema Bayes, kejadian P (A), P (B) dan P (C) adalahpeluang (persentase produksi) dari masing-masing mesin;P (R | A), P (R | B) dan P (R | C) adalah peluang (persentasekerusakan) dari masing-masing mesin.

P (C | R) = P (C).P (R | C)P (A).P (R | A) + P (B).P (R | B) + P (C).P (R | C)

=(0, 1)(0, 04)

(0, 6)(0, 02) + (0, 3)(0, 03) + (0, 1)(0, 04)=

4

25

MMS-1403 p.46/204

Variabel RandomVariabel random adalah suatu cara memberi harga angkakepada setiap elemen ruang sampel, atau suatu fungsi bernilaireal yang harganya ditentukan oleh setiap elemen dalam ruangsampel

ContohEksperimen (proses random) melemparkan uang logam tigakali, S = {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM}.Didefinisikan variabel random X : banyak M (muka) munculdalam pelemparan uang logam tiga kali.

MMS-1403 p.47/204

Variabel RandomContoh (variabel random)

S R

BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM

0

1

2

3

MMS-1403 p.48/204


S RX : S R


0

1

2

3

MMS-1403 p.49/204


S RX : S R


0

1

2

3

MMS-1403 p.50/204


S RX : S R


0

1

2

3

MMS-1403 p.51/204


S RX : S R


0

1

2

3

MMS-1403 p.52/204


S RX : S R


0

1

2

3

MMS-1403 p.53/204

Variabel RandomVariabel random diskret: Suatu variabel random yang hanya

dapat menjalani harga-harga yang berbeda yangberhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilanganbulat)

Variabel random kontinu: Suatu variabel random yang dapatmenjalani setiap harga dalam suatu interval (tak berhinggabanyaknya)

Distribusi Peluang: Model matematik yang menghubungkansemua nilai variabel random dengan peluang terjadinyanilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluangdapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, ataugrafik. Distribusi peluang dapat dianggap sebagaifrekuensi relatif jangka panjang.

MMS-1403 p.54/204

Peluang dan Variabel RandomDistribusi Peluang DiskretFungsi f(x) disebut sebagai fungsi peluang dari variabelrandom diskret X, jika untuk setiap harga x yang mungkin :

1. f(x) 02.

x f(x) = 1

Peluang untuk nilai x tertentu:

P (X = x) = f(x)

Distribusi kumulatif F (x)

F (x) = P (X x) =tx

f(t)

MMS-1403 p.55/204

Peluang dan Variabel RandomDistribusi Peluang DiskretDistribusi peluang X dalam bentuk tabel:Harga X P (X = x) = f(x)

x1 P1

x2 P2

. . . . . .

xk Pk

MMS-1403 p.56/204

Variabel RandomDistribusi Peluang DiskretContohDistribusi banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparanmata uang logam tiga kali.Harga X P (X = x) = f(x)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8P (x) = 1

MMS-1403 p.57/204

Variabel RandomDistribusi Peluang Kontinu (Fungsi Densitas)Distribusi peluang untuk variabel random kontinu.Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi densitas peluang darivariabel random kontinu X, jika untuk setiap harga x yangmungkin :

1. f(x) 02. f(x)dx = 1

Nilai peluang untuk interval tertentu

P (a X b) = b

af(x)dx

Distribusi kumulatif F(x)

F (x) = P (X x) = x

f(u)du

MMS-1403 p.58/204

Variabel RandomDistribusi Peluang Kontinu (Fungsi Densitas)ContohFungsi densitas suatu variabel random X

f(x) =

{x2 untuk 0 < x < 20 untuk x yang lain

MMS-1403 p.59/204

Variabel RandomHarga harapan, Variansi dan sifat-sifatnyaHarga Harapan (Ekspektasi, Expected Value)

E(X) =

x xf(x) bila X diskret

xf(x)dx bila X kontinu

E(X) sering ditulis sebagai X atau

Variansi (Variance)

Var(X) = E(X )2= E(X2) 2

MMS-1403 p.60/204

Variabel RandomHarga harapan, Variansi dan sifat-sifatnyaSifat-sifat Harga Harapan

E(aX + b) = aE(X) + b, a, b konstanE [g(X) + h(X)] = E [g(X)] + E [h(X)]

Sifat-sifat VariansiVar(aX + b) = a2Var(X), a, b konstan

Deviasi standar (akar dari variansi):X =

Var(X)

MMS-1403 p.61/204

Variabel RandomDua Variabel Random

Ada dua variabel random yang diamati bersamaan dalam suatueksperimen.

Contoh:Sebuah mata uang logam dilemparkan tiga kali.X: banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertamaY : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga

Distribusi peluang untuk dua variabel random disebut sebagaidistribusi peluang bersama

MMS-1403 p.62/204

Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random X :

x P (X = x)

S RX : S R


X : banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertama

MMS-1403 p.63/204


x P (X = x)

012

S RX : S R


0

1

2


MMS-1403 p.64/204


x P (X = x)

012

S RX : S R


0

1

2


MMS-1403 p.65/204


x P (X = x)

0 1/41 1/22 1/4

S RX : S R


0

1

2


MMS-1403 p.66/204

Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random Y :

y

P (Y = y)

S RY : S R


Y : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga

MMS-1403 p.67/204


y

0 1P (Y = y)

S RY : S R


0

1


MMS-1403 p.68/204


y

0 1P (Y = y) 1/2 1/2

S RY : S R


0

1


MMS-1403 p.69/204

Peluang dan Variabel RandomContoh (dua variabel random)Distribusi peluang bersama X dan Y , P (X = x, Y = y)::

x y P (X = x)

0 10 1/41 1/22 1/4

P (Y = y) 1/2 1/2 1

MMS-1403 p.70/204

Peluang dan Variabel RandomContoh (dua variabel random)Distribusi peluang bersama X dan Y , P (X = x, Y = y):

x y P (X = x)

0 10 {BBB} {BBM} 1/41 {BMB, MBB} {BMM, MBM} 1/22 {MMB} {MMM} 1/4

P (Y = y) 1/2 1/2 1

MMS-1403 p.71/204


x y P (X = x)

0 10 1/8 1/8 1/41 2/8 2/8 1/22 1/8 1/8 1/4

P (Y = y) 1/2 1/2 1

MMS-1403 p.72/204


x y P (X = x)

0 10 1/8 1/8 1/41 2/8 2/8 1/22 1/8 1/8 1/4

P (Y = y) 1/2 1/2 1

Jika P (X = x, Y = y) = P (X = x).P (Y = y) untuk setiap nilaidari X dan Y maka dua variabel random tersebut dikatakanindependen

MMS-1403 p.73/204

Variabel RandomKovariansiUkuran numerik untuk variansi bersama dua variabel random

Kov(X, Y ) = E [(X X)(Y Y )]= E(XY ) XY

KorelasiKovariansi dibagi dengan standar deviasi X dan standar deviasiY

Kor(X, Y ) =Kov(X, Y )

X .Y

MMS-1403 p.74/204

Variabel RandomHarga harapan untuk penjumlahan dan pengurangan duavariabel random,

E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

E(X Y ) = E(X) E(Y )

Variansi untuk penjumlahan dan pengurangan dua variabelrandom,

Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Kov(X, Y )

Var(X Y ) = Var(X) + Var(Y ) 2Kov(X, Y )

MMS-1403 p.75/204

Distribusi Variabel Random DiskretEksperimen BernoulliEksperimen dengan hanya dua hasil yang mungkinContoh

melempar mata uang logam satu kaliMengamati telur ayam, apakah anak ayam itu jantan ataubetinaMengamati kedelai yang ditanam, tumbuh atau tidakReaksi obat pada tikus, positif atau negatif

MMS-1403 p.76/204

Distribusi Variabel Random DiskretSifat-sifat Eksperimen Bernoulli

tiap usaha (trial) menghasilkan satu dari dua hasil yangmungkin, dinamakan sukses (S) dan gagal (G);peluang sukses, P (S) = p dan peluang gagalP (G) = 1 p, atau P (G) = q;usaha-usaha tersebut independen

MMS-1403 p.77/204

Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Bernoulli

P (X = x; p) = px(1 p)1x,dengan x = 0, 1 (gagal, sukses) dan p adalah peluangmendapatkan hasil sukses.

MMS-1403 p.78/204

Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi BinomialEksperimen Bernoulli dengan n usaha dan X : banyaknyasukses dalam n usaha tersebut.

P (X = x;n, p) =

(n

x

)px(1 p)nx, x = 0, 1, 2, . . . , n

Mean dan variansiE(X) = np; Var(X) = np(1 p)

MMS-1403 p.79/204

Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuBinomial dengan n = 6, p = 0, 5

0 1 2 3 4 5 6

0

.

0

0

0

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

0

.

2

0

0

.

2

5

0

.

3

0

MMS-1403 p.80/204


0 1 2 3 4 5 6

0

.

0

0

.

1

0

.

2

0

.

3

MMS-1403 p.81/204


0 1 2 3 4 5 6

0

.

0

0

.

1

0

.

2

0

.

3

MMS-1403 p.82/204

Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Binomial)Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalahbanyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut.Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah mukamuncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 danp = 1/2 dengan distribusi peluang:

P (X = x; 4,1

2) =

(4

x

)(1

2

)x(1 1

2)4x, x = 0, 1, 2, 3, 4

MMS-1403 p.83/204


P (X = x; 4,1

2) =

(4

x

)(1

2

)x(1 1

2)4x, x = 0, 1, 2, 3, 4

Peluang muka muncul dua kali, X = 2

P (X = 2; 4,1

2) =

(4

2

)(1

2

)2(1 1

2)42

=3

8

MMS-1403 p.83/204


P (X = x; 4,1

2) =

(4

x

)(1

2

)x(1 1

2)4x, x = 0, 1, 2, 3, 4

Peluang muka muncul paling tidak dua kali, X 2

P (X 2; 4, 12) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)

=11

16

MMS-1403 p.83/204

Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Hipergeometrik

Eksperimen hipergeometrik:Dalam populasi berukuran N sebanyak k dinamakansukses sedangkan sisanya N k dinamakan gagalsampel berukuran n diambil dari N bendaCara pengambilan sampel tanpa pengembalian

MMS-1403 p.84/204

Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Hipergeometrik

Distribusi peluang:

P (X = x;N, n, k) =

(kx

)(Nknx)

(Nn

) , x = 0, 1, 2, . . . , min(n, k)

Mean dan VariansiE(X) = n kN ; Var(X) = n

kn

NkN

NnN1

MMS-1403 p.85/204

Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Hipergeometrik)Suatu kotak berisi 40 suku cadang dengan 3 rusak. Sampel berukuran5 diambil sekaligus dari kotak. Pengambilan sampel ini adalah suatueksperimen hipergeometrik dengan X adalah banyaknya suku cadangrusak, N = 40, n = 5 dan k = 3 dengan distribusi peluang:

P (X = x; 40, 5, 3) =

(3

x

)(37

5x

)(40

5

) , x = 0, 1, 2, 3

MMS-1403 p.86/204


P (X = x; 40, 5, 3) =

(3

x

)(37

5x

)(40

5

) , x = 0, 1, 2, 3Peluang ditemukan satu suku cadang rusak dalam pengambilansampel tersebut

P (X = 1; 40, 5, 3) =

(3

1

)(37

4

)(40

5

) = 0, 3011

MMS-1403 p.86/204


P (X = x; 40, 5, 3) =

(3

x

)(37

5x

)(40

5

) , x = 0, 1, 2, 3Peluang ditemukan paling tidak satu suku cadang rusak dalampengambilan sampel tersebut

P (X 1; 40, 5, 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)= 0, 301 + 0, 0354 + 0, 0010

= 0, 3376

MMS-1403 p.86/204

Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Poisson

Sifat-sifat eksperimen Poisson:banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu ataudaerah tertentu tidak terpengaruh (bebas) dari apa yangterjadi pada interval waktu atau daerah yang lain,peluang terjadinya sukses dalam interval waktu yangsingkat atau daerah yang sempit sebanding denganpanjang interval waktu, atau luas daerah dan tidaktergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luarinterval waktu atau daerah tersebut,peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam intervalwaktu yang singkat atau daerah yang sempit tersebutdapat diabaikan.

MMS-1403 p.87/204

Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Poisson

X adalah banyaknya sukses dalam eksperimen Poisson, yangmempunyai distribusi probabilitas

P (X = x;) =ex

x!, x = 0, 1, 2, . . .

Mean dan VariansiE(X) = ; Var(X) =

MMS-1403 p.88/204

Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPoisson dengan = 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

.

0

0

0

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

0

.

2

0

0

.

2

5

MMS-1403 p.89/204


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15

0

.

0

0

0

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

MMS-1403 p.90/204


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4

0

.

0

6

0

.

0

8

0

.

1

0

0

.

1

2

MMS-1403 p.91/204

Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Poisson)Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatucounter selama 1 milidetik dalam suatu percobaan dilaboratorium adalah 4. Peluang 6 partikel melewati counterdalam suatu milidetik tertentu adalah

P (X = 6; = 4) =e44x

6!= 0, 1042

MMS-1403 p.92/204

Distribusi Variabel Random DiskretPendekatan Binomial untuk Hipergeometrik

X Hipergeometrik(N, n, k)Bila n cukup kecil (n/N < 5%)

Hipergeometrik(N, n, k) Binomial(N, p), dengan p = kN

MMS-1403 p.93/204

Distribusi Variabel Random DiskretPendekatan Binomial untuk Hipergeometrik

Hipergeometrik(N = 10000, n = 3, k = 40000)

0 1 2 3

0

.

0

0

.

1

0

.

2

0

.

3

0

.

4

0

.

5

0

.

6

Binomial(n = 3, p = 40000/10000)

0 1 2 30

.

0

0

.

1

0

.

2

0

.

3

0

.

4

0

.

5

0

.

6

MMS-1403 p.94/204

Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPendekatan Poisson untuk Binomial

X Binomial(n, p)Bila n besar dan n kecil,

Binomial(n, p) Poisson(), dengan = np

MMS-1403 p.95/204

Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPendekatan Poisson untuk Binomial

Binomial(N = 2000, p = 0, 002)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

.

0

0

0

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

0

.

2

0

0

.

2

5

Poisson( = np = 4)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

.

0

0

0

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

0

.

2

0

0

.

2

5

MMS-1403 p.96/204

Distribusi Variabel Random KontinuDistribusi Normal

Distribusi Normal dengan mean E(X) = dan variansiVar(X) = 2 mempunyai fungsi peluang,

f(x;, 2) =1

2pi2e

(x)2

22 , < x <

dan < < , 2 > 0

MMS-1403 p.97/204

Distribusi Variabel Random KontinuDistribusi Normal

Distribusi Normal dengan mean E(X) = dan variansiVar(X) = 2 (ditulis N(, 2)) mempunyai fungsi peluang,

f(x;, 2) =1

2pi2e

(x)2

22 , < x <

dengan < < , 2 > 0, pi = 3, 141593 . . . dane = 2, 718282 . . .

Distribusi Normal standar: distribusi Normal dengan mean 0 danvariansi 1, ditulis N(0, 1)

MMS-1403 p.98/204

Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal

- Sumbu x : < x <

MMS-1403 p.99/204


- Sumbu x : < x < Fungsi peluang (sumbu y):

f(x;, 2) =1

2pi2e

(x)2

22 , < x <

MMS-1403 p.99/204


- Sifat-sifat:

MMS-1403 p.99/204


- Sifat-sifat:

simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,

MMS-1403 p.99/204


- - Sifat-sifat:

simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,

MMS-1403 p.99/204


- Sifat-sifat:

simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,harga modus (maksimum) terletak pada x = ,

MMS-1403 p.99/204


- + Sifat-sifat:

simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,harga modus (maksimum) terletak pada x = ,mempunyai titik belok pada x = ,

MMS-1403 p.99/204


- Sifat-sifat:

simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,harga modus (maksimum) terletak pada x = ,mempunyai titik belok pada x = ,luas kurva Normal sama dengan 1.

MMS-1403 p.99/204

Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal

b

L

Luasan kurva di bawah kurva normal sampai batas b:

L =

b

12pi2

e(x)2

22 dx

MMS-1403 p.100/204


b

L

Dapat dihitung menggunakan tabel Normal Standar denganterlebih dahulu mentransformasikan skala X N(, 2) keZ N(0, 1),

Z =X

MMS-1403 p.100/204


Xb

L

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,4-3,3. . .

0,0. . .

3,33,4

MMS-1403 p.100/204


x = 76

L

Contoh 1:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122)

Hitunglah luas kurva Normal mulai ekor paling kiri () sampai 76

MMS-1403 p.101/204


Z = 1, 33

L

Contoh 1:transformasi dari X ke Z,

Z =X

=76 60

12= 1, 33

MMS-1403 p.101/204


Z = 1, 33

L

Contoh 1:z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

. . .

0,0. . .

1,3

MMS-1403 p.101/204


Z = 1, 33

L = 0, 9082

Contoh 1:z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

. . .

0,0. . .

1,3 0,9082

MMS-1403 p.101/204


7660

L

Contoh 2:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122)

Hitunglah luas kurva Normal antara 60 sampai 76

MMS-1403 p.102/204


1, 330

L

Contoh 2:transformasi dari X = 60 ke Z,

Z =X

=60 60

12= 0

transformasi dari X = 76 ke Z,

Z =X

=76 60

12= 1, 33

MMS-1403 p.102/204


1, 330

L2 = 0, 9082

Contoh 2:

L = L2 L1= 0, 9082 L1

MMS-1403 p.102/204


1, 330

L1 = 0, 5

Contoh 2:

L = L2 L1= 0, 9082 0, 5

MMS-1403 p.102/204


L

1, 330

Contoh 2:

L = L2 L1= 0, 9082 0, 5= 0, 4082

MMS-1403 p.102/204


68 84

L

Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.

MMS-1403 p.103/204


68 84

L

Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)

MMS-1403 p.103/204


0, 67 2, 00

L


= P (0, 67 Z 2, 00)

MMS-1403 p.103/204


0, 67 2, 00

L1


= P (0, 67 Z 2, 00)= P ( < Z 2, 00) P ( < Z 0, 67)

MMS-1403 p.103/204


0, 67 2, 00

L1


= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 9772 P ( < Z 0, 67)

MMS-1403 p.103/204


0, 67 2, 00

L2


= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 9772 P ( < Z 0, 67)

MMS-1403 p.103/204


0, 67 2, 00

L2


= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 9772 0, 7486

MMS-1403 p.103/204


0, 67 2, 00

L


= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 2286

MMS-1403 p.103/204


1, 5

Contoh 4:Diketahui N(0, 1), hitunglah P (Z 1, 5).

MMS-1403 p.104/204


1, 5

Contoh 4:Diketahui N(0, 1), hitunglah P (Z 1, 5).P (Z 1, 5) = 1 P ( Z 1, 5)

MMS-1403 p.104/204


1, 5

Contoh 4:Diketahui N(0, 1), hitunglah P (Z 1, 5).P (Z 1, 5) = 1 P ( Z 1, 5)

= 1 0, 9332= 0, 0668

MMS-1403 p.104/204


3 2 1 0 1 2 3

X N(, 2)

Z N(0, 1)

MMS-1403 p.105/204


3 2 1 0 1 2 3

X N(, 2)

Z N(0, 1)

+

MMS-1403 p.105/204


3 2 1 0 1 2 3

X N(, 2)

Z N(0, 1)

+ + 2 2

MMS-1403 p.105/204


3 2 1 0 1 2 3

X N(, 2)

Z N(0, 1)

+ + 2 2 + 3 3

MMS-1403 p.105/204


3 2 1 0 1 2 3

X N(, 2)

Z N(0, 1)

+ + 2 2 + 3 3

68%

MMS-1403 p.105/204


3 2 1 0 1 2 3

X N(, 2)

Z N(0, 1)

+ + 2 2 + 3 3

95%

MMS-1403 p.105/204


3 2 1 0 1 2 3

X N(, 2)

Z N(0, 1)

+ + 2 2 + 3 3

99%

MMS-1403 p.105/204

Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?

MMS-1403 p.106/204


0,325

MMS-1403 p.106/204


0,325

X =?X N(45, 132)

X =?

MMS-1403 p.106/204


0,325

X =?X N(45, 132)

Z N(0, 1)

MMS-1403 p.106/204


0,325

X =?X N(45, 132)

Z N(0, 1)Z = 0, 45

MMS-1403 p.106/204


0,325

X N(45, 132)

Z N(0, 1)Z = 0, 45

X = 13 0, 45 + 45

MMS-1403 p.106/204


0,325

X N(45, 132)

Z N(0, 1)Z = 0, 45

50, 85

MMS-1403 p.106/204

Pendekatan Normal untuk BinomialTeoremaBila X adalah variabel random binomial dengan mean = npdan variansi 2 = npq, maka untuk n besar

Z =X np

npq

merupakan variabel random normal standar.

MMS-1403 p.107/204

Pendekatan Normal untuk BinomialBinomial(n = 10, p = 0, 5) Normal

0 2 4 6 8 10

0

.

0

0

0

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

0

.

2

0

0

.

2

5

MMS-1403 p.108/204


0 2 4 6 8 10

0

.

0

0

0

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

0

.

2

0

0

.

2

5

MMS-1403 p.109/204


30 40 50 60 70

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4

0

.

0

6

0

.

0

8

MMS-1403 p.110/204


30 40 50 60 70

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4

0

.

0

6

0

.

0

8

MMS-1403 p.111/204

Distribusi Sampling StatistikPopulasi: himpunan keseluruhan obyek yang diamati.Sampel: himpunan bagian dari populasi.Sampel Random: sampel yang diperoleh dengan cara

pengambilan sampel sedemikian sehingga setiap elemenpopulasi mempunyai kemungkinan yang sama untukterambil.

Unit: Anggota (elemen) populasiKerangka sampel: Daftar anggota populasi (unit)Variabel: Karakteristik dari unit yang ingin diamatiParameter: suatu harga (numerik) yang dihitung dari populasi,

memberi deskripsi/karakteristik pada populasi.Statistik: suatu harga (numerik) yang dihitung dari sampel.Distribusi sampling statistik: distribusi peluang suatu statistik.

MMS-1403 p.112/204

Distribusi Sampling Statistik

PopulasiX1, X2, . . . , XN

2

MMS-1403 p.113/204



2

Sampel 1X1, X2, . . . , Xn

X1 S21

MMS-1403 p.113/204



2

Sampel 1X1, X2, . . . , Xn

X1 S21

Sampel 2X1, X2, . . . , Xn

X2 S22

MMS-1403 p.113/204



2

Sampel 1X1, X2, . . . , Xn

X1 S21

Sampel 2X1, X2, . . . , Xn

X2 S22

.......

MMS-1403 p.113/204



2

Sampel 1X1, X2, . . . , Xn

X1 S21

Sampel 2X1, X2, . . . , Xn

X2 S22

.......

Sampel MX1, X2, . . . , Xn

XM S2M

MMS-1403 p.113/204

Distribusi Sampling StatistikContoh:

Populasi{2, 4, 3}, N = 3

Sampling dengan pengembalian

MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3

Distribusi peluang

x P (X = x)

2 1/33 1/34 1/3

E(X) = (2 + 3 + 4) 13

= 3

Var(X) = (22 + 32 + 42) 13 32=2/3


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3

Sampel 4{3, 2}, n = 2

X4 = 2, 5


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3

Sampel 4{3, 2}, n = 2

X4 = 2, 5

Sampel 5{3, 3}, n = 2

X5 = 3


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3

Sampel 4{3, 2}, n = 2

X4 = 2, 5

Sampel 5{3, 3}, n = 2

X5 = 3

Sampel 6{3, 4}, n = 2

X6 = 3, 5


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3

Sampel 4{3, 2}, n = 2

X4 = 2, 5

Sampel 5{3, 3}, n = 2

X5 = 3

Sampel 6{3, 4}, n = 2

X6 = 3, 5

Sampel 7{4, 2}, n = 2

X7 = 3


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3

Sampel 4{3, 2}, n = 2

X4 = 2, 5

Sampel 5{3, 3}, n = 2

X5 = 3

Sampel 6{3, 4}, n = 2

X6 = 3, 5

Sampel 7{4, 2}, n = 2

X7 = 3

Sampel 8{4, 3}, n = 2

X8 = 3, 5


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3

Sampel 4{3, 2}, n = 2

X4 = 2, 5

Sampel 5{3, 3}, n = 2

X5 = 3

Sampel 6{3, 4}, n = 2

X6 = 3, 5

Sampel 7{4, 2}, n = 2

X7 = 3

Sampel 8{4, 3}, n = 2

X8 = 3, 5

Sampel 9{4, 4}, n = 2

X9 = 4


MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 2}, n = 2

X1 = 2

Sampel 2{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 3{2, 4}, n = 2

X3 = 3

Sampel 4{3, 2}, n = 2

X4 = 2, 5

Sampel 5{3, 3}, n = 2

X5 = 3

Sampel 6{3, 4}, n = 2

X6 = 3, 5

Sampel 7{4, 2}, n = 2

X7 = 3

Sampel 8{4, 3}, n = 2

X8 = 3, 5

Sampel 9{4, 4}, n = 2

X9 = 4

Sampling dengan pengembalian M = Nn = 32 = 9

MMS-1403 p.114/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

x P (X = x)

2,0 1/92,5 2/93,0 3/93,5 2/94,0 1/9


MMS-1403 p.115/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

x P (X = x)

2,0 1/92,5 2/93,0 3/93,5 2/94,0 1/9

X = E(X) = 2(19) + 2, 5( 2

9) + 3( 3

9) + 3, 5( 2

9) + 4( 1

9) = 3

2X

= Var(X) = 22( 19) + 2, 52( 2

9) + 32( 3

9) + 3, 52( 2

9) + 42( 1

9) 32 = 1/3


MMS-1403 p.115/204

Distribusi Sampling StatistikSampling dengan pengembalianUntuk sampel berukuran n dari populasi berukuran N denganmean dan variansi 2, mean dan variansi dari statistik X:

X = E(X) =

2X = Var(X) =2

n

MMS-1403 p.116/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampling tanpa pengembalian

MMS-1403 p.117/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5


MMS-1403 p.117/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 2{2, 4}, n = 2

X2 = 3


MMS-1403 p.117/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 2{2, 4}, n = 2

X2 = 3

Sampel 3{3, 4}, n = 2

X3 = 3, 5


MMS-1403 p.117/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

Sampel 1{2, 3}, n = 2

X2 = 2, 5

Sampel 2{2, 4}, n = 2

X2 = 3

Sampel 3{3, 4}, n = 2

X3 = 3, 5

Sampling tanpa pengembalian M = (Nn) = (32) = 3MMS-1403 p.117/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

x P (X = x)

2,5 1/33,0 1/33,5 1/3


MMS-1403 p.118/204


Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3

x P (X = x)

2,5 1/33,0 1/33,5 1/3

X = E(X) =) + 2, 5(13) + 3( 1

3) + 3, 5( 1

3) = 3

X = Var(X) =) + 2, 52( 1

3) + 32( 1

3) + 3, 52( 1

3) 32 = 1/6


MMS-1403 p.118/204

Distribusi Sampling StatistikSampling tanpa pengembalianUntuk sampel berukuran n dari populasi berukuran N denganmean dan variansi 2, mean dan variansi dari statistik X:

X = E(X) =

2X = Var(X) =2

n

N nN 1

MMS-1403 p.119/204

Distribusi Sampling StatistikSifat-sifat Distribusi Sampling untuk MeanSifat 1: Apabila sampel-sampel random dengan n elemen

masing-masing diambil dari suatu populasi yangmempunyai mean dan variansi 2 , maka distribusisampling mean akan mempunyai mean X = danvariansi 2

X= 2/n.

Sifat 2: Apabila populasi (dalam sifat 1) berdistribusi Normal,maka distribusi sampling untuk mean juga berdistribusiNormal.

MMS-1403 p.120/204

Distribusi Sampling StatistikSifat-sifat Distribusi Sampling untuk MeanSifat 3 (Teorema Limit Pusat): Apabila sampel-sampel random

diambil dari suatu populasi yang berdistribusi sembarang,yang mempunyai mean dan variansi 2, maka untuk nbesar, distribusi sampling untuk mean dapat dianggapmendekati Normal dengan X = dan variansi2

X= 2/n, sehingga

Z =X /

n

mendekati Normal Standar.

MMS-1403 p.121/204

Distribusi Sampling StatistikContoh 1:Seorang peneliti di bidang pertanian akan meneliti hasil dari suatuvarietas padi di Indonesia. Akan diteliti 5 tanah pertanian tersebar diseluruh Indonesia yang dapat ditanami padi tersebut.

MMS-1403 p.122/204


Populasi untuk masalah ini adalah hasil padi jenis tersebut yangdiperoleh dari seluruh tanah pertanian di Indonesia.

MMS-1403 p.122/204


Sampel untuk masalah ini adalah hasil padi yang diperoleh dari 5tanah pertanian yang terpilih. Sampel ini akan merupakan sampelrandom jika, setiap tanah pertanian di Indonesia mempunyai peluangyang sama untuk terpilih ; dan pemilihan satu tanah pertanian tidakmempengaruhi atau dipengaruhi pemilihan tanah yang lain.

MMS-1403 p.122/204


Sampel untuk masalah ini adalah hasil padi yang diperoleh dari 5tanah pertanian yang terpilih. Sampel ini akan merupakan sampelrandom jika, setiap tanah pertanian di Indonesia mempunyai peluangyang sama untuk terpilih ; dan pemilihan satu tanah pertanian tidakmempengaruhi atau dipengaruhi pemilihan tanah yang lain.

Hal ini dapat dilakukan dengan mendaftar terlebih dahulu semua tanahpertanian di Indonesia dan diberi nomor identitas, kemudian dipilih 5tanah pertanian secara random berdasarkan nomor identitas(misalnya dengan tabel bilangan random).

MMS-1403 p.122/204

Distribusi Sampling StatistikContoh 2:Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari suatu populasidengan mean 41,4 dan variansi 84,64. Hitung peluang bahwa meansampel itu terletak antara 40 dan 45. Anggap ukuran populasinyasangat besar relatif terhadap ukuran sampel.

MMS-1403 p.123/204


Berdasarkan Sifat 1, distribusi sampling untuk mean (X) mempunyaimean (E(X), harga harapan): X = = 41, 4 dan variansi (Var(X)):X =

2/n = 84, 64/40 = 2, 116.

MMS-1403 p.123/204



2/n = 84, 64/40 = 2, 116.

Ukuran sampel n = 40 cukup besar untuk berlakunya Sifat 3,

MMS-1403 p.123/204



2/n = 84, 64/40 = 2, 116.


X N(; 2/n)

Z N(0, 1)40 45

MMS-1403 p.123/204



2/n = 84, 64/40 = 2, 116.


X N(41, 4; 2, 116)

Z N(0, 1)0, 97 2, 48

40 45

MMS-1403 p.123/204



2/n = 84, 64/40 = 2, 116.


X N(41, 4; 2, 116)

Z N(0, 1)0, 97 2, 48

40 45

0, 8274

MMS-1403 p.123/204

Distribusi Sampling StatistikContoh 3:Diketahui suatu populasi dengan mean 82 dan deviasi standar 12.

a. Jika suatu sampel random berukuran 64 diambil, berapa peluangbahwa mean sampel akan terletak antara 80,8 dan 83,2 ?

MMS-1403 p.124/204


a. Jika suatu sampel random berukuran 64 diambil, berapa peluangbahwa mean sampel akan terletak antara 80,8 dan 83,2 ?Karena n = 64 cukup besar, dapat digunakan Teorema limitpusat (sifat 3). Distribusi X akan mendekati normal denganmean X = 82 dan deviasi standar X = 12/

64 = 1, 5

P (80, 8 X 83, 2) dapat dihitung melalui Z = X821,5

P (80, 8 X 83, 2) = P (80, 8 821, 5

Z 83, 2 821, 5

)

= P (0, 8 Z 0, 8)= 0, 5762

MMS-1403 p.125/204


b. Berapa probabilitasnya jika ukuran sampel random 100 ?

MMS-1403 p.126/204


b. Berapa probabilitasnya jika ukuran sampel random 100 ? Untukn = 100, X = 12/

100 = 1, 2

P (80, 8 X 83, 2) = P (80, 8 821, 2

Z 83, 2 821, 2

)

= P (1, 0 Z 1, 0)= 0, 6826

MMS-1403 p.127/204

Inferensi StatistikPermasalahan dalam peluang

MMS-1403 p.128/204

Inferensi StatistikPermasalahan dalam peluang

?

Berapa peluang mendapatkan satubola hitam dalam satu pengambilan

MMS-1403 p.128/204

Inferensi StatistikPermasalahan dalam inferensi

MMS-1403 p.129/204

Inferensi StatistikPermasalahan dalam inferensi

?

Bagaimana karakteristik populasiberdasarkan sampel

MMS-1403 p.129/204

Inferensi StatistikInferensi statistik: pengambilan kesimpulan tentang parameter

populasi berdasarkan analisis pada sampelKonsep-konsep inferensi statistik: estimasi titik, estimasi interval

dan uji hipotesisEstimasi parameter: Menduga nilai parameter populasi

berdasarkan data/statistik.Estimasi titik: Menduga nilai tunggal parameter populasi.

Misalnya parameter diduga dengan statistik XEstimasi interval: Menduga nilai parameter populasi dalam

bentuk interval. Misalnya diduga dengan suatu intervalA B

MMS-1403 p.130/204

EstimasiContoh: estimator titik untuk mean

rata-rata

X =1

n

ni=1

Xi

Medianrata-rata dua harga ekstrim

Xmin + Xmaks2

MMS-1403 p.131/204

EstimasiContoh: Estimasi IntervalDiketahui variabel random Normal X dengan mean E(X) = dan Var(X) = 1. Maka (X ) akan berdistribusi Normalstandar.

Z N(0, 1)

MMS-1403 p.132/204


Z N(0, 1)X + 0, 99X 0, 99

68%

Interval Konfidensi (estimasi interval) 68%

MMS-1403 p.132/204


Z N(0, 1)X + 1, 96X 1, 96

95%


MMS-1403 p.132/204


Z N(0, 1)X + 2, 58X 2, 58

99%


MMS-1403 p.132/204

EstimasiIngin diketahui lama waktu (dalam jam) yang digunakan dalamseminggu oleh mahasiswa UGM untuk melakukan kegiatanyang berkaitan dengan internet (surfing, chatting, menulise-mail, dst.)

MMS-1403 p.133/204

EstimasiIngin diketahui lama waktu (dalam jam) yang digunakan dalamseminggu oleh mahasiswa UGM untuk melakukan kegiatanyang berkaitan dengan internet (surfing, chatting, menulise-mail, dst.)

Parameter apa yang sebaiknya digunakan?Variabel apa yang seharusnya dikumpulkan datanya?

MMS-1403 p.133/204

Uji HipotesisUji hipotesis: suatu proses untuk menentukan apakah dugaan

tentang nilai parameter/karakteristik populasi didukungkuat oleh data sampel atau tidak

Hipotesis penelitian: hipotesis tentang pernyataan dari hasilpenelitian yang akan dilakukan

Hipotesis Statistik: suatu pernyataan tentang parameterpopulasi

MMS-1403 p.134/204

Uji HipotesisHipotesis nol (H0). Hipotesis yang akan diuji oleh suatu

prosedur statistik, biasanya berupa suatu pernyataan tidakadanya perbedaan atau tidak adanya hubungan.Pernyataan nol dapat diartikan bahwa pernyataan tetangparameter tidak didukung secara kuat oleh data.

Hipotesis alternatif (H1). Hipotesis yang merupakan lawan dariH0, biasanya berupa pernyataan tentang adanyaperbedaan atau adanya hubungan. H1 digunakan untukmenunjukkan bahwa pernyataan mendapat dukungan kuatdari data.

Logika Uji Hipotesis. Tidak dapat dibuktikan bahwa suatuhipotesis itu benar, tapi dapat dibuktikan bahwa suatuhipotesis itu salah.

MMS-1403 p.135/204

Uji HipotesisTipe Kesalahan dalam Uji Hipotesis

Keputusan Uji KenyataanH0 benar H0 salah

H0 tidak ditolak benar salah (Tipe II)H0 ditolak salah (Tipe I) benar

MMS-1403 p.136/204




Peluang melakukan kesalahan tipe IP (menolak H0 yang benar) =

MMS-1403 p.136/204




Peluang melakukan kesalahan tipe IP (menolak H0 yang benar) =

Peluang melakukan kesalahan tipe IIP (tidak menolak H0 yang salah) =

MMS-1403 p.136/204

Uji HipotesisContoh (Hipotesis statistik dan statistik penguji)

Ingin diuji secara statistik pernyataan : suatu obat baru lebihbaik dari obat yang selama ini digunakan.

Misalkan p adalah proporsi (prosentase) orang yang sembuhsetelah minum obat tersebut, dan obat dikatakan baik jikaproporsi orang yang sembuh lebih dari 60 %.

Pernyataan H0 dan H1 adalah sebagai berikut :H0 : p 0, 6 (obat baru tidak lebih baik)H1 : p > 0, 6 (obat baru lebih baik)

MMS-1403 p.137/204


Ingin diuji secara statistik pernyataan : suatu obat baru lebihbaik dari obat yang selama ini digunakan.H0 : p 0, 6 (obat baru tidak lebih baik)H1 : p > 0, 6 (obat baru lebih baik)

Dilakukan eksperimen terhadap 20 pasien.X : banyak pasien yang sembuhX Binomial(n = 20, p = 0, 6)

MMS-1403 p.138/204


Ingin diuji secara statistik pernyataan : suatu obat baru lebihbaik dari obat yang selama ini digunakan.H0 : p 0, 6 (obat baru tidak lebih baik)H1 : p > 0, 6 (obat baru lebih baik)

Dilakukan eksperimen terhadap 20 pasien.X : banyak pasien yang sembuhX Binomial(n = 20, p = 0, 6)

X besar (banyak yang sembuh) menolak H0,X kecil (banyak yang tidak sembuh) mendukung H0

MMS-1403 p.139/204

Uji HipotesisDaerah penolakan (Daerah kritik): himpunan (daerah)

harga-harga dimana H0 ditolakStatistik Penguji: statistik atau variabel random yang digunakan

untuk menentukan apakah H0 ditolak atau tidak ditolak.Bila statistik penguji masuk dalam daerah penolakan makaH0 ditolak, sebaliknya jika tidak maka H0 tidak ditolak.

MMS-1403 p.140/204




Contoh (lanjutan):Daerah penolakan:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

MMS-1403 p.141/204




Contoh (lanjutan):Daerah penolakan: X 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

daerahpenolakan

MMS-1403 p.141/204




Contoh (lanjutan):Daerah penolakan: X 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

daerahpenolakan

MMS-1403 p.141/204

Uji HipotesisP (Tipe I) = untuk beberapa nilai p dengan menganggap H0benar (p 0, 6) dan daerah penolakan X 12

p di bawah H0P (Tipe I) = 0,2 0,3 0,4 0,6P (X 12) 0,00 0,005 0,057 0,596

MMS-1403 p.142/204

Uji HipotesisHarga peluang untuk p = 0, 6 untuk beberapa kriteria penolakan

X 12 X 14 X 16 X 18Peluang 0,596 0,25 0,051 0,004

p-value: nilai yang terkecil.

MMS-1403 p.143/204

Uji HipotesisTahap-tahap Uji Hipotesis Secara umum

1. Tentukan model probabilitas yang cocok dari data2. Tentukan Hipotesis H0 dan H13. Tentukan Statistik Penguji, yang harus merupakan fungsi

dari data dan tidak memuat parameter yang tidak diketahui4. Tentukan tingkat signifikansi5. Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi6. Hitung Statistik Penguji, apakah masuk daerah kritik atau

tidak7. Alternatif: Hitung p-value berdasarkan statistik penguji8. Ambil kesimpulan berdasarkan 6 atau 7

MMS-1403 p.144/204

Inferensi Statistik

Satu Populasi

Dua Populasi

k > 2 Populasi

Populasi sembarang

Populasi Normal

Populasi sembarang

Populasi Normal

p

2

21, 2

2

p21, p2

2

21, 2

2

21, 2

2

MMS-1403 p.145/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi

Teorema Limit PusatApabila sampel-sampel random diambil dari suatu populasi yangberdistribusi sembarang, yang mempunyai mean dan variansi 2,maka untuk n besar, distribusi sampling untuk mean dapat dianggapmendekati Normal dengan X = dan variansi 2X = 2/n, sehingga

Z =X /

n

mendekati Normal Standar.

MMS-1403 p.146/204


X N(, 2/n)

MMS-1403 p.147/204


X N(, 2/n)1

MMS-1403 p.147/204


X N(, 2/n)1

Z N(0, 1)

MMS-1403 p.147/204


Z/2 Z/2

/2 /2

X N(, 2/n)1

Z N(0, 1)

P (Z/2 Z Z/2) 1

MMS-1403 p.147/204


Z/2 Z/2

/2 /2

X N(, 2/n)1

Z N(0, 1)

P (Z/2 Z Z/2) 1

P (Z/2 X /

n Z/2) 1

MMS-1403 p.147/204


Z/2 Z/2

/2 /2

X N(, 2/n)1

Z N(0, 1)

P (Z/2 Z Z/2) 1

P (Z/2 X /

n Z/2) 1

P (X Z/2n X + Z/2

n

) 1

MMS-1403 p.147/204


Z/2 Z/2

/2 /2

X N(, 2/n)1

Z N(0, 1)

Interval Konfidensi (1 )100% untuk mean B AB = X Z/2 nA = X + Z/2

n

MMS-1403 p.148/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Suatu sampel random dengan 150 keluarga di suatu kotamenunjukkan penghasilan bulanan rata-rata Rp 325 000,00dengan deviasi standar Rp 25 000,00. Hitung interval konfidensi95% untuk rata-rata penghasilan bulanan seluruh keluarga dikota tersebut.

MMS-1403 p.149/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Suatu sampel random dengan 150 keluarga di suatu kotamenunjukkan penghasilan bulanan rata-rata Rp 325 000,00dengan deviasi standar Rp 25 000,00. Hitung interval konfidensi95% untuk rata-rata penghasilan bulanan seluruh keluarga dikota tersebut.Jawab:X : penghasilan bulanan di kota tersebutX = 325.000; s = 25.000; n = 150.Interval konfidensi 95% untuk rata-rata penghasilan bulanan ():B = X Z/2 n = 325.000 1,96 25150 = 324.996A = X + Z/2

n

= 325.000 + 1,96 25150

= 325.004

Interval konfidensi 95%: 324.996 325.004

dapat diganti sMMS-1403 p.150/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis Mean () Populasi

1. HipotesisA. H0 : = 0 vs. H1 : 6= 0B. H0 : 0 vs. H1 : > 0C. H0 : 0 vs. H1 : < 0

2. Tingkat signifikansi 3. Statistik Penguji

Z =X 0/

n

atau

Z =X 0s/

n

jika tidak diketahui diganti s. Distribusi dari Z adalahNormal Standar.

MMS-1403 p.151/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis Mean () Populasi

4. Daerah penolakan (berdasarkan dan Hipotesis)

A. H0 ditolak apabila Z > Z/2 atauZ < Z/2

B. H0 ditolak apabila Z > Z

C. H0 ditolak apabila Z < Z

MMS-1403 p.152/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Ujian standar intelegensia telah diadakan beberapa tahundengan nilai rata-rata 70 dengan deviasi standar 8. Sekelompokmahasiswa terdiri dari 100 orang mahasiswa, diberi pelajarandengan mengutamakan bidang Matematika. Apabila dari 100mahasiswa ini diperoleh hasil ujian dengan nilai rata-rata 75,apakah cukup alasan untuk mempercayai bahwa pengutamaanbidang Matematika menaikkan hasil ujian standar?

MMS-1403 p.153/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh (Ujian standar intelegensia)Diketahui X : ujian standar intelegensia, X = 75, 0 = 70, = 8,n = 100, : mean nilai ujian standar intelegensia:

1. HipotesisH0 : 70H1 : > 70

2. Tingkat signifikansi = 0,053. Statistik Penguji

Z =X 0/

n=

75 708/

100= 6,25

4. Daerah kritik: H0 ditolak apabila Z > 1,645. Kesimpulan: karena Z = 6,25 > 1,64 maka H0 ditolak, cukup

alasan untuk mempercayai bahwa pengutamaan bidangMatematika menaikkan hasil ujian standar (data mendukungditolaknya H0)

MMS-1403 p.154/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval proporsi (p) suatu populasiJika X Binomial(n, p), maka variabel random xn mempunyaimean p dan variansi p(1p)n

Untuk n besarZ =

xn p

x

n(1 x

n)

n

mendekati Normal Standar (Teorema Limit Pusat)

MMS-1403 p.155/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval proporsi (p) suatu populasi

Interval Konfidensi (1 )100% untuk pB p A

B = p Z/2

p(1p)n

A = p + Z/2

p(1p)

n

dengan p = xn

MMS-1403 p.156/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Jika 610 dari 900 sampel random petani di suatu daerah adalahburuh tani, hitunglah interval konfidensi 90% untuk proporsiburuh tani di daerah itu.

MMS-1403 p.157/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Untuk mengetahui apakah pasangan calon walikota dalampilkada pada suatu daerah akan memenangkan pemilihan,dilakukan quick count oleh lembaga independen pengamatpilkada. Ada dua pasangan calon pada pilkada ini, yaitupasangan calon A-B yang juga merupakan walikota periode inidan pasangan calon C-D. Pasangan calon A-B mendapatkansuara 65% pada pemilihan yang lalu. Kandidat dinyatakanmenang jika pemilihnya lebih dari 50%. Dari sampel 1200pemilih dari beberapa TPS, pasangan calon A-B diketahuimendapatkan suara 738.

1. Apakah calon A-B memenangkan pemilihan berdasarkanquick count ini?

2. Diduga dukungan masyarakat terhadap calon A-B tidaksekuat sebelumnya, betulkah pendapat ini?

MMS-1403 p.158/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis proporsi (p) Populasi

1. HipotesisA. H0 : p = p0 vs. H1 : p 6= p0B. H0 : p p0 vs. H1 : p > p0C. H0 : p p0 vs. H1 : p < p0

2. Tingkat signifikansi 3. Statistik Penguji

Z =p p0p0(1p0)

n

Distribusi dari Z adalah Normal Standar.

MMS-1403 p.159/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis proporsi (p) Populasi

4. Daerah penolakan (berdasarkan dan Hipotesis)

A. H0 ditolak apabila Z > Z/2 atauZ < Z/2

B. H0 ditolak apabila Z > Z

C. H0 ditolak apabila Z < Z

MMS-1403 p.160/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangHubungan antara Interval Konfidensi dan Uji HipotesisInterval Konfidensi (1 )100% untuk mean

X Z/2n X + Z/2

n

Daerah penolakan dengan tingkat signifikansi untukuji hipotesis H0 : = 0 vs. H1 : 6= 0

Z > Z/2 atau Z < Z/2Daerah penerimaan

Z/2 Z Z/2

MMS-1403 p.161/204


X Z/2n X + Z/2

n



Z/2 X0/n Z/2

MMS-1403 p.162/204


X Z/2n X + Z/2

n



X Z/2 n 0 X + Z/2 n

MMS-1403 p.163/204

Interval konfidensi

72 74 76 78

persentase int. konf. memuat parameter: 92.98

MMS-1403 p.164/204

Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangRingkasan

Parameter Statistik Interval Konfidensi(1-)100%

Hipotesisalternatif

Daerah Kritik

mean Z =X 0/

n

Z N(0, 1)

B AB = X Z/2 nA = X + Z/2

n

H1 : 6= 0

H1 : > 0

H1 : < 0

Z > Z/2 atauZ < Z/2Z > Z

Z < Zp

proporsi Z = p p0p0(1p0)

n

Z N(0, 1)

B p AB = p Z/2

p(1p)

n

A = p + Z/2

p(1p)

n

H1 : p 6= p0

H1 : p > p0

H1 : p < p0


Z < Z

MMS-1403 p.165/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalData dianggap berdistribusi NormalUkuran sampel tidak harus besarJenis parameter:

mean

variansi 2

Distribusi SamplingNormalt

Chi-kuadrat (Chi-square)

MMS-1403 p.166/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalNormal StandarJika X1, . . . , Xn adalah sampel random berasal dari populasiNormal dengan mean dan variansi 2 maka variabel random

Z =X /

n

berdistribusi Normal Standar N(0, 1)

MMS-1403 p.167/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi tJika X1, . . . , Xn adalah sampel random berasal dari populasiNormal dengan mean dan variansi 2 maka variabel random

t =X s/

n

berdistribusi t dengan derajad bebas n 1.Untuk n yang semakin besar, distribusi t akan mendekatidistribusi Normal.

MMS-1403 p.168/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi Chi-kuadrat 2kDiketahui X1, . . . , Xk adalah variabel random yang berdistribusiNormal yang independen satu dengan yang lain. Distribusivariabel random

2 = X21 + . . . + X2k

berdistribusi Chi-kuadrat berderajad bebas k dengan meanE(2) = k dan variansi Var(2) = 2k

MMS-1403 p.169/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi Chi-kuadrat n 1Diketahui X1, . . . , Xn adalah variabel random yang berdistribusiNormal dengan mean dan variansi 2 maka variabel random

2 =(n 1)s2

2

berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajad bebas n 1

MMS-1403 p.170/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi Normal StandarApabila sampel random berukuran n diambil dari suatu populasiyang berdistribusi Normal dengan mean dan variansi 2,maka variabel random

Z =s2 22

2n1

berdistribusi N(0, 1) untuk n besar.

MMS-1403 p.171/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalParameter Statistik Interval Konfidensi

(1-)100%Hipotesisalternatif

Daerah Kritik

mean

Bila 2 diketahui

Z =X 0/

n

Z N(0, 1)

B AB = X Z/2 nA = X + Z/2

n

H1 : 6= 0

H1 : > 0

H1 : < 0


Z < Z

Bila 2 tidak diketahui

t =X 0s/

n

t distribusi t dgn.derajad bebas n 1

B AB = X t(n1,/2) snA = X + t(n1,/2)

sn

H1 : 6= 0

H1 : > 0

H1 : < 0

t > t(n1,/2) ataut < t(n1,/2)t > t(n1,)t < t(n1,)

MMS-1403 p.172/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalParameter Statistik Interval Konfidensi

(1-)100%Hipotesisalternatif

Daerah Kritik

2

variansi 2 = (n 1)s2

2

2 chi-square dgn.derajad bebask = n 1

B 2 AB =

(n1)s22(n1,/2)

A =(n1)s2

2(n1,1/2)

H1 : 2 6= 20

H1 : 2 > 20

H1 : 2 < 20

2 > 2(k,/2)

atau2 < 2

(k,1/2)2 > 2

(k,)

2 < 2(k,1)

Untuk n besar,

Z =s2 2

2

2n1

Z N(0, 1)

B 2 AB = s

2

1+Z/2

2

n1

A = s2

1Z/2

2n1

H1 : 2 6= 20

H1 : 2 > 20H1 : 2 < 20


Z < Z

MMS-1403 p.173/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalContoh:Dari sampel dengan 25 kasus, diperoleh dosis obat yang sesuaiuntuk mendapatkan respon yang diinginkan dari pasien sebagaiberikut:1,07 0,79 0,83 1,14 1,22 1,09 1,17 1,10 1,261,10 1,04 1,17 0,94 0,86 1,19 1,01 1,12 0,831,02 1,20 0,85 1,03 0,95 1,13 0,98Dengan asumsi data berdistribusi Normal, hitung intervalkonfidensi 95% untuk rata-rata dosis . Menggunakan intervalini, ujilah (dua sisi, = 5%) bahwa rata-rata dosis adalah 1,00.

MMS-1403 p.174/204

Inferensi Statistik Satu Populasi NormalContoh:Suatu mesin pembuat uang dikatakan masih baik jika mampumemproduksi uang logam dengan standar deviasi berat kurangdari 0,035 gram. Sampel random berukuran 20 uang logammempunyai deviasi standar 0,030 gram.

1. Ujilah apakah mesin tersebut masih baik denganmengasumsikan bahwa berat uang logam berdistribusiNormal ( = 0, 05)

2. Statistik penguji apa yang digunakan jika n = 64?Jelaskan!

MMS-1403 p.175/204

Inferensi Statistik Dua Populasi SembarangDistribusi sampling selisih dua meanMisalkan X11, X12, . . . , X1n1 dan X21, X22, . . . , X2n2 adalah duasampel random independen satu

statistik dan analisa data

Documents