Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 32 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran Bentuk Umum

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 dibagi (−2)

Pusat Jari-jari Pusat

(𝑎, 𝑏) 𝑟 (−1

2𝐴,−

1

2𝐵)

Jumlah kuadrat pusat dikurangi 𝐶

Jari-jari

𝑟 = √(−1

2𝐴)2+ (−

1

2𝐵)

2− 𝐶

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 33

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

PGS Lingkaran PGS Lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran dengan gradien 𝑚 Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!

𝑥2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → 𝑥1𝑥

(𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 →

1

2(𝑥1 + 𝑥)

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien 𝒎, maka PGS tersebut adalah 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒄

dimana 𝒄 = 𝒓√𝟏 +𝒎𝟐 PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟

2 PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 +𝑚2 PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟 (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟

2 PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 +𝑚2 PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran dengan bentuk umum 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 +𝐴

2(𝑥1 + 𝑥) +

𝐵

2(𝑦1 + 𝑦) + 𝐶 = 0

Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (𝑥1, 𝑦1) ke garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑑 = |𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐

√𝑎2 + 𝑏2|

TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏2

PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang tegak lurus dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑏𝑥1 − 𝑎𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏2

Halaman 34 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

PGS Lingkaran

di titik (𝑥1, 𝑦1) yang berada di luar lingkaran

Titik Singgung (𝑎, 𝑏)

Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel 𝑎, 𝑏).

Substitusi titik (𝑥1, 𝑦1) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran

Diperoleh dua titik Singgung (𝑎1, 𝑏1) dan (𝑎2, 𝑏2)

Substitusikan ke PGS di langkah kedua

Selesai

TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.

(𝑥1, 𝑦1)

(𝑎, 𝑏)

(0, 0)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 35

Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 10! Penyelesaian: PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (𝒂, 𝒃). Artinya titik (𝑎, 𝑏)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran. Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel 𝒂 dan 𝒃.

Perhatikan bahwa (𝑎, 𝑏) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟏𝟎 Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟏𝟎

Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (𝟓, 𝟓) ke PGS akan diperoleh: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 10 ⇔ 5𝑎 + 5𝑏 = 10

⇔ 𝑎 + 𝑏 = 2⇔ 𝒃 = 2 − 𝑎

Dari persamaan lingkaran 𝑎2 + 𝑏2 = 10 dan 𝑏 = 2 − 𝑎, substitusikan 𝒃 = 𝟐 − 𝒂 ke persamaan lingkaran diperoleh:

𝑎2 + (2 − 𝑎)2 = 10

⇔ 𝑎2 + (4 − 4𝑎 + 𝑎2) = 10

⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 + 4 = 10⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 + 4 − 10 = 0⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 − 6 = 0⇔ 𝑎2 − 2𝑎 − 3 = 0⇔ (𝑎 + 1)(𝑎 − 3) = 0⇔ 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3

Dari 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3 akan diperoleh nilai 𝑏, yaitu: 𝑎 = −1 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 + 1 = 3 𝑎 = 3 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 − 3 = −1

Jadi dua titik singgung tersebut adalah (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑,−𝟏). Sehingga PGS lingkaran pada titik (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑,−𝟏) adalah:

−𝑥 + 3𝑦 = 10 dan 3𝑥 − 𝑦 = 10. TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = √10.

Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus:

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2

⇒ 5 = 𝑚(5) ± √10√1 + 𝑚2

⇔ 5− 5𝑚 = ±√10√1 +𝑚2 (kuadratkan kedua ruas)

⇔ 25 − 50𝑚 + 25𝑚2 = 10 + 10𝑚2

⇔ 15𝑚2 − 50𝑚 + 15 = 0⇔ 3𝑚2 − 10𝑚 + 3 = 0⇔ (3𝑚 − 1)(𝑚 − 3) = 0

∴ 𝑚 =1

3 atau 𝑚 = 3

Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 =1

3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 5 =1

3(𝑥 − 5)

−𝑥 + 3𝒚 = 10

Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 = 3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 5 = 3(𝑥 − 5)𝟑𝒙 − 𝒚 = 10

(5, 5)

(𝑎, 𝑏)

(0, 0)

Halaman 36 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!

Contoh:

1. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 25

Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.

2. Diberikan persamaan lingkaran (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 25

Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.

3. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian:

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0 dibagi (-2)

Maka pusat (1, −2), dan jari-jari adalah 𝑟 = √(1)2 + (−2)2 − (−20)

𝑟2 = 25 ⇒ 𝑟 = 5

𝑟2 = 25 ⇒ 𝑟 = 5

1 − 2

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 37

Menentukan persamaan lingkaran

Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.

Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka 𝑟 = |𝑏|.

Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka 𝑟 = |𝑎|.

Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung.

Contoh:

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, −1) dan jari-jari 3 adalah ….

Penyelesaian:

Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dengan jari-jari 𝑟:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 9

atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 ⇒ 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 9 = 0

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 2𝑦 + 17 = 0

2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 22

⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 9 = 0

3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = (−1)2

⇒ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 adalah ….

Penyelesaian:

Pusat (𝑥1, 𝑦1) = (1, 4)

Garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0, dengan 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, dan 𝑐 = −2.

Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑥1, 𝑦1) menyinggung garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = [𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐

√𝑎2+𝑏2]2

⇒ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = [3(1) − 4(4) − 2

√32 + 42]

2

⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 9

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0

Halaman 38 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.

Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.

Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor.

Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.

Contoh:

1. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25 di titik (4, −3) adalah ….

Penyelesaian:

𝑥1 = 4 dan 𝑦1 = −3

Ingat, ganti 𝑥2 menjadi 𝑥1𝑥, dan 𝑥 menjadi (𝑥1+𝑥

2).

𝑥2 + 𝑦2 = 25⇒ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 25

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

4𝑥 − 3𝑦 = 25

2. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25 di titik (−2, 0) adalah ….

Penyelesaian:

𝑥1 = −2 dan 𝑦1 = 0

Ingat, ganti 𝑥2 menjadi 𝑥1𝑥, dan 𝑥 menjadi (𝑥1+𝑥

2).

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25

⇒ (𝑥1 − 1)(𝑥 − 1) + (𝑦1 − 4)(𝑦 − 4) = 25

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

(−2 − 1)(𝑥 − 1) + (0 − 4)(𝑦 − 4) = 25

⇒ (−3)(𝑥 − 1) + (−4)(𝑦 − 4) = 25⇔ −3𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0

3. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….

Penyelesaian:

𝑥1 = 7 dan 𝑦1 = 1

Ingat, ganti 𝑥2 menjadi 𝑥1𝑥, dan 𝑥 menjadi (𝑥1+𝑥

2).

𝑥2 + 𝑦2 − 6 𝑥 + 4 𝑦 − 12 = 0

⇒ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 − 6 (𝑥1 + 𝑥22

) + 4 (𝑦1 + 𝑦

2) − 12 = 0

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

7𝑥 + 𝑦 − 3(7 + 𝑥) + 2(1 + 𝑦) − 12 = 0⇒ 4𝑥 + 3𝑦 − 31 = 0

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 39

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.

1. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 9 di titik (1, 3) adalah ….

Penyelesaian:

TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = 3.

Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).

𝑥2 + 𝑦2 = 9 ⇒ (1)2 + (3)2 = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran)

Gunakan rumus berikut:

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 +𝑚2

⇒ 3 = 𝑚(1) ± 3√1 +𝑚2

⇔ 3−𝑚 = ±3√1 +𝑚2 (kuadratkan kedua ruas)

⇔ 9 − 6𝑚 +𝑚2 = 9 + 9𝑚2

⇔ 8𝑚2 + 6𝑚 = 0⇔ 2𝑚(4𝑚 + 3) = 0

∴ 𝑚 = 0 atau 𝑚 = −3

4

Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = 0

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = 0(𝑥 − 1)𝑦 = 3

Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = −3

4

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = −3

4(𝑥 − 1)

4𝑦 − 12 = −3𝑥 + 33𝑥 + 4𝑦 = 15

Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.

1. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis 𝑦 −2𝑥 + 5 = 0 adalah ….

Penyelesaian:

Trik Superkilat:

Sesuaikan sejajar apa nggak?

Masukkan substitusikan pusat

± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien

Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari 𝑟 = √80

PGS yang sejajar 𝑦 − 2𝑥 + 5 = 0 adalah 𝑦 − 2𝑥 juga!!!

𝑦 − 2𝑥 = (−5) − 2(3) ± √80 √12 + (−2)2

⇒ 𝑦 − 2𝑥 = −11 ± 20⇔ 𝑦 = 2𝑥 − 11 ± 20

2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 15 = 0 yang tegak lurus garis 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah ….

Penyelesaian:

Trik Superkilat:

Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari 𝑟 = √5

PGS yang sejajar 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah 𝑥 + 2𝑦 harus diubah menjadi 2𝑥 − 𝑦 !!!

2𝑥 − 𝑦 = 2(2) − (4) ± √5 √(2)2 + (1)2

⇒ 2𝑥 − 𝑦 = 0 ± 5⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 5 dan 2𝑥 − 𝑦 = −5

PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏2

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 41

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Lingkaran L 93122 yx memotong garis .3y Garis singgung lingkaran yang melalui titik

potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. 2x dan 4x

B. 2x dan 2x

C. 2x dan 4x

D. 2x dan 4x

E. 8x dan 10x

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Memotong garis 𝑦 = 3 𝑦 = 3 ⇒ (𝑥 + 1)2 + (3 − 3)2 = 9

⇔ (𝑥 + 1)2 = 9⇔ 𝑥 + 1 = ±3⇔ 𝑥 + 1 = −3 atau 𝑥 + 1 = 3⇔ 𝑥1 = −4   𝑥2 = 2

Jadi titik potongnya di (−4, 3) dan (2, 3)

PGS lingkaran (𝑥1 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎) + (𝑦1 + 𝑏)(𝑦 + 𝑏) = 𝑟

2 (−4, 3) ⇒ (−4 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9

⇔ −3𝑥 − 3 = 9⇔ 𝑥 = −4

(2, 3) ⇒ (2 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9⇔ 3𝑥 + 3 = 9⇔ 𝑥 = 2

TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran

𝑦 = 3

𝑥 = 2 𝑥 = −4