pertemuan 7 alin 2017 bilqis - subakti.com · hasil harus benar, krn titik ini berada di kedua...

bilqis 1

Pertemuan 7

Alin 2017

BilqisPersamaan parametrik, jarak antara

titik dan bidang,

Transformasi Linier

bilqis 2

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3:

Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus:

Vektor PoP sejajar dengan vektor v

PoP = (x – xo, y – yo, z – zo)

PoP = tv (t skalar)

(x – xo, y – yo, z – zo) = t(a, b, c)

(a, b, c)

v•

•P(x, y, z)

Po(xo, yo, zo)

x – xo= ta

y – yo = tb

z – zo = tc

bilqis 3

• Garis di ruang 3

)z ,y,x( 000

)c b, a,(v =

(x-x0, y-y0, z-z0) = t.(a, b, c)

= (t.a, t.b, t.c)

Persamaan parametrik untuk garis l (titik koordinat P)

x = ta + x0

y = tb + y0

z = tc + z0

v.tPP0 =

18

Garis L

bilqis 4

bilqis 5

• Cara membuktikan:

x = 5

t = 1 y = 0 P(5, 0, 7)

z = 7

bukti ter

)8,4,3(1)17,40,25(

),,(),,(

..

000

0

−=+−−

=−−−

=

cbatzzyyxx

VtPP

Bisa juga menggunakan P2

P2 terletak pada L

mk P0 = (5, 0, 7)

v = (3, -4, 8)

P = . . . . . . . . . . . x = 5 + 3t

y = 0 – 4t

z = 7 + 8t

VPP

VtPP

==

=

. maka 1 tkarena

..

0

0

VPP

V

PP

=

−=

−=

−

−

=

.

8

4

3

8

4

3

1

4

2

7

0

5

.

0

0

−

=

=

8

43

21P

Pv

=

7

0

5

P

−

==

1

4

2

10 PP

20

Contoh soal No.3

bilqis 6

bilqis 7

bilqis 8

Cara membuktikan : p = (8, -4, 15)

t = 1 x = 8 p = (8, -4, 15)

y = -4 p2 = p0 = (5, 0, 7) PoP =t v

z = 15

PoP = t.v

(x – x0, y – y0, z – z0) = t . (a, b, c)

(8 – 5, -4 – 0, 15 – 7 ) = 1 . ( 3, -4, 8 )

(terbukti)

contoh 21 =

Cari pers parametrik untuk garis perpotongan bidang – bidang

(a) 3x + 2y – 4z – 6 = 0

(b) x – 3y – 2z – 4 = 0

Pers parametrik = x = 26/11 + 16/11 t

y = -6/11 + -2/11 t

z = t

p1Krn t = 1 mk PoP = v

PoP = (8, -4, 15) – (5, 0, 7)

= (3,-4,8)

v = (3, -4, 8)

→ PoP = v

bilqis 9

Bukti apakah x, y, z titik yang terletak pada bidang

Misal t = 1

Coba dengan = t 2

3

→Pers parametrik x titik di sepanjang garis perpotongan

y nilainya tergantung t

z

a

b

Garis → terdiri dari banyak titik

→ cari pers. Parametrik / pers utk titik - titik

(a)

(b)

X = 42 / 11

Y = -8 / 11

Z = 1

Masukkan ke (a)

(b)Hasil harus benar, krn

titik ini berada di kedua

bidang tersebut

(a)

(b)

Masukkan ke Maka hasil harus benar

bilqis 10

→Pers simetrik

Pers garis yang memotong 2 bidang atau lebih

dapat digunakan untuk mencari pers. bidang

PoP = t. v

(x – x0, y – y0, z – z0) = (ta, tb, tc)

x – x0 y – y0 z – z0

a b c

Jadi ada 2 persamaan bidang yang perpotongan

t – nya sama, sehingga

dapat dijadikan persamaan

x – x0 y – y0 bidang 1

a b x – x0 z – z0 bidang 2

a c

x – x0 z – z0 bidang 1

a c

y – y0 z – z0 bidang 2

b c

bilqis 11

bilqis 12

Contoh Soal No.2

bilqis 13

bilqis 14

bilqis 15

bilqis 16

Contoh 2.3

Carilah jarak D antara titik (1,-4,-3) dengan bidang 2x – 3y – 6z = 1,

Pemecahan. Untuk menerapkan (3.27), mula-mula kita menulis kembali pesamaan dalam bentuk :

Kemudian

( )( ) ( )( ) ( )

( ) 7

31

632

13)6(4312

222=

+−+

−−−+−−+=D

2x – 3y – 6z -1 = 0,

bilqis 17

adalah sejajar karena bidang tersebut normal, (1, 2, -2) dan (2, 4, -4), merupaka vektor sejajar. Carilah jarak antara bidang – bidang tersebut.

Pemecahan, Untuk mencari jarak D antara bidang-bidang, kita dapat memilih sembarang titik dalam sebuah bidang dan menghitung jaraknya pada bidang lainnya. Dengan melengkapi y = z = 0 dalam persamaan x + 2y - 2z = 3, kita peroleh titik Po (3,0,0) pada bidang ini. Dari (3.27), jarak antara Po dan bidang 2x + 4y - 4z = 7 adalah

Contoh 2.4

Bidang x + 2y - 2z = 3 dan 2x + 4y - 4z = 7

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) 6

1

442

7040432

222=

−++

−−++=D

bilqis 18

Jarak antara dua bidang datar yang sejajar:

Misalkan kedua bidang datar itu adalah dan

1. Tentukan sebuah titik T di bidang

2. Kemudian hitung jarak antara titik T dengan bidang

Contoh Soal No. 1

bilqis 19

bilqis 20

bilqis 21

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini

mahasiswa diharapkan :

– Dapat mengetahui matriks-matriks yang

digunakan untuk transformasi linier

– Dapat mengetahui aplikasi transformasi linier

bilqis 22

Fungsi:

Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B

1. Notasi f : A → B

2. Himpunan A disebut DOMAIN(f)

3. Himpunan B disebut CODOMAIN(f)

4. Tiap elemen A dipasangkan dengan (associated with) satu elemen B

5. Himpunan semua elemen b yang punya pasangan di A disebut RANGE(f)

6. Notasi f(a) = b, b disebut bayangan (image) dari a

a b

f

A B

bilqis 23

f : Rn → Rm disebut transformasi dan ditulis

T : Rn → Rm

T adalah transformasi linier jika

1. T(u + v) = T(u) + T(v) penjumlahan dua vektor

2. T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor

Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n

c adalah skalar

T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m

bilqis 24

T : Rn → Rm

T adalah transformasi linier jika

1. T(u + v) = T(u) + T(v) penambahan vektor

2. T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor

Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n, c adalah skalar

T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m

u

v

u+v

cu

T

T(u)

T(v)

T(u+v)

T(cu)

Rn Rm

bilqis 25

Ex 1 hal 182

bilqis 26

bilqis 27

bilqis 28

T : Rn → Rm

Transformasi T dapat “digantikan” oleh perkalian matrix

(matrix A berukuran m x n)

(x1, x2, x3, …, xn) → (w1, w2, …, wm)

jika x = (x1, x2, x2, …, xn)T dan w = (w1, w2, …, wm)T

maka transformasi dapat “digantikan” dengan

persamaan: Ax = w

di mana A disebut matriks standar untuk transformasi linier T

bilqis 29

Bilqis 5.10

bilqis 30

bilqis 31

bilqis 32

bilqis 33

Pencerminan

operator ilustrasi

pencerminan

terhadap sumbu-x

persamaan matriks standar

w1 = x = 1x + 0y 1 0

w2 = – y = 0x + (–1)y 0 – 1

(x, y)

(w1, w2)

bilqis 34

Pencerminan

operator ilustrasi

pencerminan

terhadap garis y = x

(x, y)

(w1, w2)


w1 = y = 0x + 1y 0 1

w2 = x = 1x + 0y 1 0

garis y = x

bilqis 35

Pencerminan

operator ilustrasi

pencerminan

terhadap bidang xy


w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0

w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0

w3 = –z = 0x + 0y + (–1)z 0 0 –1

y

x

z

(x, y, z)

(x, y, –z)

bilqis 36

Pencerminan

operator ilustrasi

pencerminan

terhadap bidang xz


w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0

w2 = y = 0x + (–1)y + 0z 0 –1 0

w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1

y

x

z

(x, y, z)(x, –y, z)

bilqis 37

Pencerminan

operator ilustrasi

pencerminan

terhadap bidang yz


w1 = x = –1x + 0y + 0z –1 0 0

w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0

w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1

y

x

z

(x, y, z)

(– x, y, z)

bilqis 38

Proyeksi Ortogonal

operator ilustrasi

proyeksi ortogonal

pada sumbu-x


w1 = x = 1x + 0y 1 0

w2 = 0 = 0x + 0y 0 0

(x, y)

(w1, w2) = (x, 0)

bilqis 39

Proyeksi Ortogonal

operator ilustrasi

proyeksi ortogonal

pada sumbu-y


w1 = 0 = 0x + 0y 0 0

w2 = y = 0x + 1y 0 1

(x, y) (w1, w2)

= (0, y)

bilqis 40

Proyeksi Ortogonal

operator ilustrasi

proyeksi ortogonal

pada bidang xy


w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0

w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0

w3 = –z = 0x + 0y + 0z 0 0 0

y

x

z

(x, y, z)

(x, y, 0)

bilqis 41

Proyeksi Ortogonal

operator ilustrasi

proyeksi ortogonal

pada bidang xz


w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0

w2 = y = 0x + 0y + 0z 0 0 0

w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1

y

x

z

(x, y, z)(x, 0, z)

bilqis 42

Proyeksi Ortogonal

operator ilustrasi

proyeksi ortogonal

pada bidang yz


w1 = x = 0x + 0y + 0z 0 0 0

w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0

w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1

y

x

z

(x, y, z)

(0, y, z)

bilqis 43

Rotasi

operator ilustrasi

rotasi dengan

sudut rotasi Ө


w1 = x cos Ө – y sin Ө cos Ө – sin Ө

w2 = x sin Ө + y cos Ө sin Ө cos Ө

Ө(x, y)

(w1, w2)

bilqis 44

Rotasi

operator ilustrasi

rotasi melawan arah

jarum jam dengan

sumbu rotasi x positif

dan sudut rotasi


w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z 1 0 0

w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z 0 cos -sin

w3 = 0x + 0y + 1z 0 sin cos

x

z

y(w1, w2, w3)

(x, y, z)

bilqis 45

Rotasi

operator ilustrasi

rotasi melawan arah

jarum jam dengan

sumbu rotasi y positif

dan sudut rotasi


w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos 0 sin

w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z 0 1 0

w3 = 0x + 0y + 1z –sin 0 cos

x

z

y

(w1, w2, w3)

(x, y, z)

bilqis 46

Rotasi

operator ilustrasi

rotasi melawan arah

jarum jam dengan

sumbu rotasi z positif

dan sudut rotasi


w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos –sin 0

w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z sin cos 0

w3 = 0x + 0y + 1z 0 0 1

x

z

y

(w1, w2, w3)(x, y, z)

bilqis 47

bilqis 48

bilqis 49

Kontraksi

operator ilustrasi

Kontraksi ( penyusutan)

dengan faktor 0 k 1


w1 = kx + 0y + 0z k 0 0

w2 = 0x + ky + 0z 0 k 0

w3 = 0x + 0y + kz 0 0 k

x

z

y

(w1, w2, w3)

(x, y, z)

bilqis 50

Dilasi

operator ilustrasi

Dilasi (pemuaian/perbesaran)

dengan faktor k > 1


w1 = kx + 0y + 0z k 0 0

w2 = 0x + ky + 0z 0 k 0

w3 = 0x + 0y + kz 0 0 k

x

z

y

(w1, w2, w3)

(x, y, z)

bilqis 51

bilqis 52

bilqis 53

bilqis 54

Komposisi dua transformasi:

u v wT1 T2

T2 ° T1

v = T1(u)

w = T2(v) = T2(T1(u)) = ( T2 ° T1 ) (u)

bilqis 55

Komposisi dua transformasi:

u v wT1 T2

T2 ° T1

Matriks standar untuk T1 = A1

Matriks standar untuk T2 = A2

Matriks standar untuk T2 ° T1 = (A2)(A1)

bilqis 56

Komposisi dua / lebih transformasi:

Tr ° T r-1 ° ……..T2 ° T1

Contoh: u = (–3, 4)

1. T1 refleksi terhadap sumbu-y

A1 = -1 0

0 1

2. T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x

A2 = 1 0

0 0

Hasilnya : (3, 0) ?

(cek dengan menghitung dan menggambar)

bilqis 57

Komposisi dua / lebih transformasi:

Contoh: u = –3

4

1. T1 refleksi terhadap sumbu-y

A1 = -1 0 A1u = v = 3

0 1 4

2. T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x

A2 = 1 0 A2 v = w = 3

0 0 0

A2 A1 = –1 0 (A2 A1 ) u = 3

0 0 0

bilqis 58

bilqis 59

bilqis 60

bilqis 61

Ex 7 hal 193

bilqis 62

Ex 8 hal 194

bilqis 63

Ex. 5 hal 202

Contoh Soal No. 1

• Carilah koordinat akhir dari (-3, 5) jika pertama kali di

dilakukan dilatasi sebesar k =3, kemudian dicerminkan

terhadap garis x = y, dilanjutkan dengan pencerminan

terhadap sumbu x, kemudian proyeksi ortogonal

terhadap sumbu y dan terakhir dilakukan rotasi sebesar

300 (sin 30 = 0,5 dan cos 30 = 0,87)

• Pertama,

– Lakukan step by step perkalian titik dengan matrix,

– titik hasilnya, dikalikan dengan matrix lagi,

– begitu seterusnya, hingga akhir

bilqis 64

bilqis 65

dilatasi 3 0 x -3 = -9 nilai= 3

sebesar k = 3 0 3 5 15

cermin x = y 0 1 x -9 = 15 nilai= 3

1 0 15 -9

cermin sumbu x 1 0 x 15 = 15 nilai= 3

0 -1 -9 9

proyeksi orto y 0 0 x 15 = 0 nilai= 3

0 1 9 9

rotasi 30 0,87 -0,5 x 0 = -4,5 nilai= 3

0,5 0,87 9 7,83

• kedua,

– lakukan step by step dengan menggunakan

perkalian matrix dengan matrix,

– matrix hasil, dengan matrix berikutnya,

– begitu seterusnya hingga matrix terakhir

dikalikan dengan titik awal

bilqis 66

cermin x = y dilatasi k =3

0 1 x 3 0 = ```0 3 nilai= 3

1 0 0 3 3 0

cermin sumbu x

1 0 x 0 3 = 0 3 nilai= 3

0 -1 3 0 -3 0

proyeksi orto y

0 0 x 0 3 = 0 0 nilai= 3

0 1 -3 0 -3 0

rotasi 30

0,87 -0,5 x 0 0 = 1,5 0 nilai= 3

0,5 0,87 -3 0 -2,61 0

1,5 0 x -3 = -4,5 nilai= 3

-2,61 0 5 7,83bilqis 67

T5 o T4 o T3 o T2 o T1 = [T5] [T4] [T3] [T2] [T1]

• Tugas Kelompok ➔

– cari 2 soal dan jawaban di internet yang

berhubungan dengan materi ppt ini

– Tulis alamat internetnya

– Di kirim ke elearning, terakhir ➔

• Minggu depan

• Format ➔ subject ➔

– Alin-B-melati

– Bentuk ➔ ppt ➔ informasi nama kelompok

+ anggota

bilqis 68

pertemuan 7 alin 2017 bilqis - subakti.com · hasil harus benar, krn titik ini berada di kedua...

Documents