11/23/200611/23/2006 11
PenggunaanPenggunaan TransformasiTransformasi –– z z padapada AnalisaAnalisa ResponRespon FrekuensiFrekuensi SistemSistem FIRFIR
OlehOleh::Tri Budi SantosoTri Budi Santoso
EE--mail:tribudi@eepismail:[email protected] Lab SinyalSinyal, EEPIS, EEPIS--ITSITS
11/23/200611/23/2006 22
konsepkonsep pemikiranpemikiran““domains of representationdomains of representation””
Domain-n (discrete time):Sequence, impulse response, persamaanbeda
Domain-wFreq. Response, spectral representation
Domain-zOperator dan pole-zero
Apabila suatu kasus sulit dipecahkanpada suatu domain tertentu,maka transformasi ke domain yang lainakan mudah menyelesaikannya.
11/23/200611/23/2006 33
1. 1. DefinisiDefinisi TransformasiTransformasi ––z z
domaindomain--nn domaindomain--zzx[nx[n] = d[n] = d[n--nn00]] 0)( nzzX −=
[ ] [ ]∑=
−=N
kknkxnx
0][ δ [ ]
[ ]( )∑
∑
=
−
=
−
=
=
N
k
k
N
k
zkx
zkxzX
0
1
0
1)(
11/23/200611/23/2006 44
ProsesProses pengolahanpengolahan audio audio secarasecara digital:digital:
-- analisisanalisis langsunglangsung sulitsulit::transformasitransformasi z z untukuntuk mendapatmendapat analitisanalitis mudahmudah
dengandengan operasioperasi aljabaraljabar (domain(domain--z)z)
-- analisisanalisis frekuensinyafrekuensinyadalamdalam domaindomain--ww
-- implementassinyaimplementassinya::dalamdalam domaindomain--nn
11/23/200611/23/2006 55
ContohContoh 1:1:Dapatkan bentuknya dalam domain z
Penyelesaian:Ditabelkan….
]4[2]3[4]2[6]1[4][2][ −+−+−+−+= nnnnnnx δδδδδ
002464200x[n]
n>5543210-1n<-1n
Untuk domain – z akan didapatkan sebagai:4321 24642)( −−−− ++++= zzzzzH
11/23/200611/23/2006 66
ContohContoh 2:2:DiketahuiDiketahui suatusuatu sistemsistem dalamdalam domaindomain--z z memilikimemiliki bentukbentuk sepertiseperti berikutberikut::
PenyelesaianPenyelesaian::DenganDengan caracara yang yang samasama akanakan kitakita dapatkandapatkan bentukbentuk sebagaisebagai berikutberikut::
531 2321)( −−− −+−= zzzzH
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>=−====−=<
=
50151403320120100
][
nnnnnnnn
nxKita dapati bentuk dalam domain-n sebagai:
]5[]3[3]1[2][][ −−−+−−= nnnnnx δδδδ
11/23/200611/23/2006 77
2. 2. TransformasiTransformasi--zz padapada SuatuSuatu Filter FIRFilter FIRSuatuSuatu filter FIR filter FIR dalamdalam persamaanpersamaan bedabeda::
∑=
−=M
kk knxbny
0][][
yang merupakan operasi konvolusi y[n]=x[n]*h[n]
Mengapa ???Dalam hal ini penjelasannya adalah:
h[n] = bk = bn; yang merupakankoefisien-koefisien ∑
=
−=M
kk knbnh
0][][ δ
11/23/200611/23/2006 88
Jika x[n]=zn berlaku untuk semua nilai n, maka:
∑ ∑
∑ ∑
= =
−−
= =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
=−=
M
k
nM
k
kk
knk
M
k
M
k
kkk
zzbzzbny
zbknxbny
0 0
0 0
][
][][
System Function Filter
∑∑=
−
=
− ==M
k
kM
k
kk zkhzbzH00
][)(
11/23/200611/23/2006 99
Maka:
[ ] ∑∑=
−
=
=−=M
k
kk
M
kk zbzHknbnh
00)()( δ
sehingga:
nn zzHznhny )(*][][ ==
11/23/200611/23/2006 1010
ContohContoh 3 3 Suatu filter FIR dinyatakan sebagai:
]2[]1[][6][ −+−−= nxnxnxnyDapatkan bentuk dalam domain-z dan nilai zeronya
Penyelesaian:Dengan cara yang sama dengan logika pada contoh 1 maka didapatkan bentukdalam domain–z sebagai berikut:
( )( ) 21121 2
131
62356)(z
zzzzzzzH
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−−=+−= −−−−
Dengan mengacu pada bentuk terakhir persamaan diatass, didapatkan bahwa nilai zero terjadi pada z = 1/3 dan z = ½
11/23/200611/23/2006 1111
ContohContoh 4:4:Suatu filter FIR memiliki system function dalam domain–n sebagai berikut:
]3[3]2[7][][ −−−−= nnnnh δδδDapatkan representasinya dalam domain-z.
Penyelesaian:Dengan cara yang sama kita dapatkan bentuk domain-z sebagai:
32 371)( −− −−= zzzH
11/23/200611/23/2006 1212
ContohContoh 5:5:Dapatkan bentuk respon impulse suatu filter FIR dengan system function yang direpresentasikan dalam domain–z sebagai berikut:
( )( )( )111 8,01114)( −−− ++−= zzzzH
Penyelesaian:
( )( )( )( )( )
]3[2,3]2[4]1[2,3][4)(2,342,348,08,014
8,08,11148,08,0114)(
321
321
211
2111
−−−−−+=−−+=
−−+=
++−=
+++−=
−−−
−−−
−−−
−−−−
nnnnnHzzzzzz
zzzzzzzzH
δδδδ
11/23/200611/23/2006 1313
3. 3. TransformasiTransformasi--zz sebagaisebagai SuatuSuatu Operator Unit DelayOperator Unit Delay
Dalam domain waktu, unit-delay operator D didefinisikan sebagai:
y[n] = D{x[n]}= x[n-1]
semua tahu kalau x[n]=zn bagi semua nilai nmaka:
[ ]{ } { }][
][111 nxzzzz
zDnxDnynn
n
−−− ===
==
maka:
y[n]=z-1{x[n]}=x[n-1]
11/23/200611/23/2006 1414
NotasiNotasi OperatorOperator
y[n]=x[n]-x[n-1] dikenal sebagai “first difference” case
Operator dalam transformasi-z:
( ) [ ]{ }nxzny 11][ −−=
11/23/200611/23/2006 1515
Diagram Diagram BlokBlok
x[n] y[n]Unit Delay
X(z) z-1X(z)z-1
Realisasi untuk first difference y[n] = b0x[n] + b1x[n-1]Adalah dalam bentuk seperti dibawah ini
x[n]
z-1
x[n-1]
y[n]b0
b1
11/23/200611/23/2006 1616
4. 4. HubunganHubungan antaraantara domaindomain--z z dandan domaindomain--ωωdalam hal ini kita tetapkansebagai besaran frekuen dalam satuan radian
ωωω ˆ== s
ωω
ω
ω
ω
jezj
M
k
kk
M
k
kjk
zHeHH
zbzHebH
=
==
−
==
=⇔= ∑∑
)()()(
)()(00
maka formulasinya kita dapatkan sebagai
Jika suatu sinyal input zn masuk ke suatu filter LTI,outputnya adalah y[n]=H(z)zn
Jika nilai
kjez ω=
ωjez = maka ( ) njj eeHny ωω=][
11/23/200611/23/2006 1717
BidangBidang--zz dandan Unit CircleUnit Circle
• Respon frekuensi periodik dengan periode 2π,sehingga kita perlumelakukan evaluasi sepanjang satu periode −π<ω<π
• Kita miliki nilai z 1 satuan magnitudoω bervariasi dari −π sampai π
nilai ωjez = ada di suatu circle (lingkaran) dengan radius 1disebut sebagai “unit circle”
Matlab Command:zplane(0.5*sqrt(2)+j*0.5*sqrt(2),0)gridtitle('bidang-z')
11/23/200611/23/2006 1818
11/23/200611/23/2006 1919
Zero Zero dandan Pole Pole padapada H(zH(z))
Suatu filter FIR dicirikan oleh nilai-nilai zero-nya.Misal sebuah filter FIR memiliki system function dalam domain-z sebagai berikut:
321 221)( −−− −+−= zzzzHBagimana lokasi zero dan pole pada sistem ini?
Persamaan system function diatas dapat dimodifikasi:
( )( )( )13/13/1
321
111221)(
−−−−
−−−
−−−=
−+−=
zezezzzzzH
jj ππ
11/23/200611/23/2006 2020
Bisa juga dengan cara lain
( )( )
( )( )( )3
3/3/
3
23
3
3321
3
3
1
122
221)(
zezezz
zzzz
zzzzz
zzzH
jj ππ −
−−−
−−−=
−+−=
−+−=×
Kita ketahui lokasi zero adalah
3/3/ ,,1 ππ jj ezezz −=== atau z3 = z2* komplek konjugate
Nilai z dimana H(z) = infinite disebutsebagai pole pada H(z), maka dalamhal ini pole terletak di z=0
Matlab Command:B=[1;exp(j*pi/3);exp(-j*pi/3)];A=[0;0;0];zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')
11/23/200611/23/2006 2121
zero
pole
11/23/200611/23/2006 2222
NullingNulling FilterFilterJika pada bidang-z hanya mampu me-nol-kan sinyal dengan bentuk khusus x[n] = z0
n
Sehingga untuk me-nol-kan input x[n] = cos(ω0n) kita perlu proses cascade sebab:
( ) njnj eennx 00
21
21cos][ 0
ωωω −+==
Masing-masing eksponensial komplek ini dapat dibuang (di-nol-kan) dengan suatu first-order FIR filter, sehingga perlu dua filter first order untuk me-nol-kan sinyal cos(ω0n).
Maka filter yang dibutuhkan:
memiliki dua zero pada
sebagai second order FIR filter
njnj ezdanez 0021
ωω −==
11/23/200611/23/2006 2323
Sinyal z1n dinolkan oleh ( )
( )( ) ( )
011
zz1 zH
zzpada0 zHzz -1 zH
11111
111
-111
=−=−=
===
−
Sinyal z2n dinolkan oleh H2(z) = 1- z2
n z -1
Maka nulling filter second order akan memiliki bentuk:
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) 2-1-
0
2-j-j1-j-j
2-21
1-21
1-2
1-1
21
zzcos21zeezee1
zzzzzz1zz-1zz-1
zH zH zH
0000
+−=
++−=
++−==
=
ω
ωωωω
11/23/200611/23/2006 2424
Zero terjadi pada nilai 4/πjez ±=
Persamaan diatas ( ) ( )21
-2-10
21
zzcos21 zH−− +−=
+−=
zz
ω
Sehingga filter ini akan me-nol-kan sinyal cos(0,25π) darisuatu input yang masukke FIR filter yang memiliki bentukdalam persamaan beda sebagai berikut:
]2[]1[2][][ −+−−= nxnxnxny
11/23/200611/23/2006 2525
11/23/200611/23/2006 2626
RelasiRelasi secarasecara GrafikGrafik bidangbidang--zz dengandengan bidangbidang--ωωSuatu FIR filter dengan system function sebagai berikut:
( ) ∑=
−=10
0k
kzzH
– punya zero yang terletak di unit circle, yaitu ω = 2πk/11 untuk nilai k =1,2,…10– pole di z = 0
( ) ( )( ) ( )11/
111/20111/4111/2 .1....11kjkjk
jjj
eezzezezezH
πω
πππ
−−−
−−−−−−
=→
−−−=
w=-pi:.01:pi;H_w = 1 + exp(-j*w) + exp(-j*w*2) + exp(-j*w*3)+ exp(-j*w*4)+ exp(-j*w*5)+ exp(-j*w*6)+ exp(-j*w*7)+ exp(-j*w*8)+ exp(-j*w*9)+ exp(-j*w*10);plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid
Memiliki zero yang tersebar di 10 titik secara uniform pada unit circle dalam bidang-z.Dalam bidang−ω respon frekuensinya adalah sbb:
11/23/200611/23/2006 2727
11/23/200611/23/2006 2828
11/23/200611/23/2006 2929
5. 5. Band Pass FilterBand Pass FilterSebelum kita masuk ke band pass filter, kita bicara duluyang namanya running-sum filter.
L-Point Running Sum FilterBentuk umum:
∑−
=
−=1
0][][
L
kknxny
Memiliki fungsi system sebagai:
∑−
=
−=1
0][
L
k
kzzH
Suatu deret geometri
)1(1
11)( 1
1
0 −−
=−−
== −
−−
=
−∑ zzz
zzzzH L
LLL
k
k
Numerator (pembilang)
Denumerator(penyebut)
(1)
11/23/200611/23/2006 3030
Juga dikenal sebagai“the L-th roots of unity”Zero pada H(z):z-L -1 =0 zL =1
Juga dikenal sebagai“the L-th roots of unity”
dengan ej2πk =1 untuk nilai k integermaka z = ej2πk/L untuk k=0,1,2,…..L-1
Pada denominator 0 terjadi pada z = 0 atau z = 1Karena akar ke-L adalah satu satuan z = 1, maka zero pada numerator yangmeng-cancell yang terjadi pada z = 1. Sehingga pole pada z = 0.
Persamaan system function bisa ditulis kembali sebagai:
( )∏∑−
=
−−
=
− −==1
1
1/21
01)(
L
k
LkjL
k
k zezzH π
(2)
(3)
(4)
11/23/200611/23/2006 3131
Misal pada kasus dimana L=10, system function ini menjadi
)1(1
11)( 9
10
1
109
0 −−
=−−
== −
−
=
−∑ zzz
zzzzH
k
k (5)
Dari persamaan (5) akan menghasilkan 10 titik zero yang tersebar secara uniform pada lingkaran (diagram-z) sesuai dengan z = ej2πk/L untuk nilai k = 0,1,2,…9.Karena suatu kondisi untuk z=1 antara pole dan zero saling meng-cancell(menghilangkan) maka tidak muncul dalam bidang–z.
Matlab Code: B=[exp(j*2*pi/10);exp(j*4*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12*pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*16*pi/10);exp(j*18*pi/10)];A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];figure(1)zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')w=-pi:.01:pi;H_w = 1 + exp(-j*w) + exp(-j*w*2) + exp(-j*w*3)+ exp(-j*w*4)+ exp(-j*w*5)+ exp(-j*w*6)+ exp(-j*w*7)+ exp(-j*w*8)+ exp(-j*w*9);figure(2)plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid
11/23/200611/23/2006 3232
11/23/200611/23/2006 3333
11/23/200611/23/2006 3434
SuatuSuatu Band Pass Filter Band Pass Filter KomplekKomplekPada LPF posisi w=0 digeser sehingga polenya bergeser.
Saat bandpass filter
System function menjadi:
0≠ω
( )∏−
≠=
−−=1
1
1/21)(L
kokk
Lkj zezH π(6)
k0 menunjukkan kondisi 1/2 −= zez Lkj π
dihindari tidak munculMisal disini k0 = 2, dan L =10 akan memberikan: Interval
Lk02π
ω =
Peak pada k0 = 2 Band Pass Filter
11/23/200611/23/2006 3535
Matlab Code:
B=[1;exp(j*2*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12*pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*16*pi/10);exp(j*18*pi/10)];
A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];figure(1)zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')w=-pi:.01:pi;H_w = (1 - exp(j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*3*pi/10-j*w)).
*(1 - exp(j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*6*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*9*pi/10-j*w)) ;
figure(2)plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid
11/23/200611/23/2006 3636
11/23/200611/23/2006 3737
11/23/200611/23/2006 3838
Perhatikan Persamaan (6) yang telah diberikandiatas…- efektif untuk melihat respon frekuensi- tidak efektif untuk mencari koefisien-koefisienpada Band Pass Filter
Solusinya ????.....
Solusi 1: Suatu Operator Baru H(z) = G(z/r)
Solusi 2: Dengan Menghitung Secara Langsung
11/23/200611/23/2006 3939
Solusi 1: Suatu Operator Baru H(z) = G(z/r)Misal G(z) = z2-3z + 2 = (z-2)(z-1)
2
2
22
2
))(2(
23
23)(
rrzrz
rrrzz
rz
rz
rzGzH
−−=
++=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
2 Akar pada H(z) adalahz=2r dan z=r.
Pada kasus BPF G(z) running-sum system function: ∑−
=
−=1
0
1)(L
k
zzG
r = komplek exponensial = ej2πko/L
11/23/200611/23/2006 4040
Perkalian dengan eksponensial komplek, menghasilkan perputaran sudutdengan ej2πko/L perputaran (pergeseran) sebesar j2πko/L
∑−
=
−
−
=
==
1
0
/2
/2
0
0 )()2
()(
L
k
Lkkjk
Lkj
ez
zeGzGzH
π
π
sehingga koefisien-koefisien pada bandpass filter komplek adalah:
Lkkjk eb /2 0π= untuk nilai k=0,1,2,…L-1 (7)
11/23/200611/23/2006 4141
Solusi 2: Dengan Menghitung Secara Langsung
( ) ( )( )LkjL
k
kLkj
L
k
kjLkkjj
eGe
eeeH
/2ˆ1
0
/2ˆ
1
0
ˆ/2ˆ
00
0)(
πωπω
ωπω
−−−
=
−−
−
=
−
==
=
∑
∑(8)
Persamaan (8) menunjukkan respon frekuensi pada persamaan (7) yang tergeser dengan nilai sebesar 2πko/L
11/23/200611/23/2006 4242
SuatuSuatu Band Pass Filter Band Pass Filter dengandengan KoefisienKoefisien--KoefisienKoefisien RealReal
Bagaimana cara mendesain dengan koefisien-koefisien tidak komplek???
Band Pass Filter koefisien real
k=0,1,2,…L-1
Ekspansi z-k dalam terminologi komplek eksponensial memberikan:
)/2cos( 0 Lkkbk π=
( )
)()(21
21
21
21
)/2cos()(
21
1
0
/21
0
/2
1
0
/2/2
1
00
00
00
zHzH
ezez
eez
zLkkzH
L
k
LkkjkL
k
Lkkjk
L
k
LkkjLkkjk
L
k
k
+=
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=
∑∑
∑
∑
−
=
−−−
=
−
−
=
−−
−
=
−
ππ
ππ
π
11/23/200611/23/2006 4343
H1(z): BPF complek dengan center freq di 2πk0/LH1(z): BPF complek dengan center freq di -2πk0/LUntuk k0 = 2 dan L = 10, respon frekuensinya
Matab CodeB=[cos(0.4*pi);1;exp(j*2*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12*pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*18*pi/10)];A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];figure(1)zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')w=-pi:.01:pi;H1_w = (1 - exp(j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*3*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*6*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*9*pi/10-j*w)) ;H2_w = (1 - exp(-j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*3*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*6*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*9*pi/10-j*w)) ;H_w = 0.5*H1_w + 0.5*H2_w;figure(2)plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid
11/23/200611/23/2006 4444
ada 2 peak (puncak) padazero hilang pada unit circle pada sudut + 4π/10
210/4ˆ ⇒±= πω
11/23/200611/23/2006 4545