PENGGUNAAN FUNGSI SPLINE SEBAGAI

SATU KAEDAH PCNDEKATAN DALAM GEODES1

Abd. Majid b i n A. Kadir

J a b a t a n Geodesi dan Astronomi

F a k u l t i Ukur

U n i v e r s i t i Teknoloqi Malaysia

ARSTRAK

L a t a r belakanq r i n g k a s f u n q s i s p l i n e kubik

d i j e l a s k a n dan d i s u s u l i dengan beberapa

pengqunaannya dalam bidang qeodesi . Antara-

nya, pengqunaan f u n q s i s p l i n e kubik d a l m

i n t e r p o l a s i , penye lesa ian formula kamilan

qeode t ik dan p r e d i k s i g r a v i t i d ibe r ikan .

1. Funqsi S p l i n e

Perbincanqan d i bawah hanya ditumpukan kepada f u n g s i s p l i n e kubik.

I n i a d a l a h sebab-sebab ber iku t : -

( a ) S p l i n e k u a d r a t i k yanq mana s e l a n j a r d i mana-mana b e r s m a dengan ter-

b i t a n pertamanya mempunyai beberapa c i r i - c i r i rnatematik dan numeri-

k a l yanq kurang memuaskan. Antaranya, i a hanya u jud untuk s a t u

b i l a n g a n t i t i k d a t a q a n j i l dan i anya t i d a k s i m e t r i k t e r h a d a p kedua

t i t i k penqhujunq x dan x . o n

( b ) S p l i n e p e r i n g k a t t i n q q i , d a r j a h > 3 , ada lah d i d a p a t i kuranq l i c i n

untuk diqunakan s e b a q a i f u n q s i penqhampiran. { Perbincanqan ten tanq

s p l i n e kubik d i bawah ru jukan d i b u a t d a r i MORITZ (1978) dan

AHLBERG e t a 1 ( 1967)}.

Disediakan untuk Kolokium M a t ~ m a t i k , Jaha tan Matematik, F a k u l t i Sa ins

U n i v e r s i t i Teknologi Malaysia , 23hb. Jun 1983.

I dengan keselanjaran sehingga dan tennasuk t e r b i t a n peringkat kedua.

Pertimbangan kes t i t i k - t i t i k nodal b e r j a r a k , s m a x = jh I

(j - 0, 1, 2, ... , n). Dengan penukaran s e k i l i a i t u dengan membuat

h r 1, bermakna

I Ordinat-ordinat yang berhubungan dinyatakan sebaqai berikut:-

f o r f l v --. 9 f n

supaya

Ni la i -n i la i dalam fungs i ( 3 ) ddalah diberikan. Fungsi s p l i n e yang hampir

kepada fungs i f ( x ) dinyatakan sebagai S (x ) .

Terb i tan peringkat kedua d a r i S (x ) pada t i t i k - t i t i k nodal d ipanggi l

! Disebabkan s p l i n e S ( x ) adalah sa tu polinomial kuasa t i g a dalam s e t i a p

s e l a n x r ) t e r b i t a n perinqkat keduannya adalah l i n e a r d a l m s e t i a p 1-1' J

Selang. Oleh i t u , dalam se lanq { x J - ~ , x,) S1'(x) akan menqambil bentuk

I n i adalah supaya persamaan ( 5 ) memenuhi kedua-dua pada x dan x. 1 ]-la

Jar& selang { x J - ~ , xj}adalah natu. x j - x ~ - ~ = 1.

Dengan rnenqkamilkan persamaan ( 5 ) dua k a l i didapat i : -

d i mana A dan B adalah k u a n t i t i t e t a p daripada penqkamilan. Kuant i t i

t e t a p A dan B d i a t a s d i ten tukan mengikut syara t -syara t berikut:-

dan d i d a p a t i

Pembezaan d a r i persamaan (6) menghasilkan

1 + f. - f. M - M 1-1 6 j j-1 ) ( 7 ) J

Untuk selang berikutnya, ) , persamaan ( 7 ) dapat d i t u l i s sebagai

Disebabkan oleh keselanjaran d a r i t e r b i t a n pertama S ' ( x ) , n i l a i - n i l a i

S' (x ) yang d idapa t i d a r i persamaan-persamaan ( 7 ) d m ( 8 ) mesti lah sama.

Uengan menggantikan x = x, dalam persamaan ( 7 ) dan ( 8 ) s y a r a t

be r iku t dapat dipero1ehi:-

a t a u

Persamaan-persamaan dalam ppxsarnaan ( 9 ) mcnqhdsilkan n + 1 - 2 =

n - 1 s y a r a t untuk n + 1 momen M . yanq t i d a k d i k e t a h u i . Supaya J

d a p a t d i t e n t u k a n momen i n i dengan sepcnuhnya, dua l a g i persamaan d i -

tambah: -

Sis tem persamaan ( 9 ) dan (10) d a p a t d i t u l i s s e b a q a i b e r i k u t : -

dl' d2v --. dn-l menggantikan s e b u t a n d i s e b e l a h kanan persamaan (9).

K u a n t i t i t e t a p d dan dn a d a l a h bebas dan d i p i l i h dengan s e s u a i . 0

Denqan menyelesaikan m h t r i k (11) momon M. d a p a t d i t en tukan . 3

Dengan it", persamaan s p l i n e kubik yarig d i b e r i k a n O L P ~ I persamaan ( 6 )

d a p a t d i t e n t u k a n sepenuhnya.

2. Contoh Penqqunaan

2.1 I n t e r p o l a s i

S p l i n e kubik meranqkumi keupayaan a n a l i t i k d a r i s a t u p o l i -

nomial b e r s c r t a d e n q m k e l i c i n a n dan k e s t a b i l a n d a r i sat.u peng-

gambaran. Ualam r a j a h 1 d i t u n j u k k a n 9 t i t i k d a t a yang mana 8

d a r i p a d a t i t i k - t i t i k t e r s e h u t t ~ r l ~ t a k d i ata.5 p a k s i x. Sebagai-

mana yanq d a p a t d i l i h a t , i n t e r p o l n s i denqan p o l i n n m i a l menqhasil-

kan s a t u ayunan b e s a r dan hanya berguna s e b a g a i f u n g s i i n t e r p o l a s i

d i bahagian t engah s a h a j a . Fungs i s p l i n e s e b a l i k n y a menunjukkan

s a t u penggambaran yang s t a b i l dan bebas d a r i p a d a ayunan-ayunan

pa l su .

i n t e r p o l a s i denqan s p l i n e

r a j a h 1

- 1 6 -

Jadual 1

SUNKEL (9177) meriqynakan f u n q s i s p l i n e b ikub ik s e b a g a i u n s w

i n t e r p o l a s i d i a n t a r a t i t i k - t i t i k d a t a bersama dengan parabo lo id

h i ~ e r b o l i k untuk menghitung kon tor d a r i ' g a r i s n i l a i sama1.(Hasil

d a r a b s a t u s p l i n e kubik dalam x dan s a t u dalam y memberikan

s p l i n e b ikub ik dalam ( x , y ) ) . S a t u con toh yang d i b u a t o l e h

SUNKEL (1977) d i tun jukkan dalam r a j a h 2. J a d u a l 1 menunjukkan

d a t a i n p u t yang digunakan. S a t u rancangan komputer untuk melaksa-

nakan t u j u a n i n i bo leh d i d a p a t i dalam SUNKEL (1977). Kaedah i n i

s a n g a t berguna dalam b idang geodes i d i mana kebanyakan h a s i l

h i tungan digambarkan s e c a r a kon tor ' g a r i s n i l a i sama'.

2.2 formula Kamilan Geodet ik

Dalam penentuan medan g r a v i t i bumi d a r i h a s i l ce rapan g r a v i t i

p e r l u d i s e l e s a i k a n dua j e n i s kamilan permukaan konvolus i (VANICEK

et a l , 1982, p. 535):

d i mana f(;) a d a l a h s a t u f u n q s i t e r h i n g g a d inya takan d i a t a s s a t u

permukaan matematik $ . Dalam k e s i n i , f u n g s i f (a ( i a i t u

g r a v i t i anomali , h g ) p e r l u d inya takan dalam bentuk matematik

supaya s e s u a i untuk kamilan. Dalam perh i tungan d i g i t a l , p e r m k a a n

bumi dibahagikan kepada blok-blok (contohnya, 5' x so, lo x lo,

10' x 10' dan s e t e r u s n y a ) dibendung o l e h mer id ian dan g a r i s l i n t a n g .

Biasanya ada lah mencukupi dengan hanya menggantikan f u n g s i t e r s e b u t

dengan n i l a i pura tanya dalam blok yang berkenaan. Dalam zon dalam,

d i mana h a s i l kamilan menjadi s i n g u l a r , s a t u penggambaran yang l e b i h

d e t a i l o l e h s a t u f u n g s i l i c i n d iper lukan . Po l inomia l adalah s e s u a i

untuk t u j u a n i n i . S a t u anggaran yang s e l a n j a r b o l e h d i d a p a t i dengan

mengqunakan f u n g s i l i n e a r c e b i s demi c e b i s ; f u n g s i i n i selanjar

t e t a p i t i d a k d a p a t d ibezakan pada t i t i k - t i t i k noda l x d i a n t a r a

dua 'unsur t e r h i n g g a ' (misa lnya blok 10' x 1 0 ' ) yang b e r t u r u t a n .

S p l i n e kubik yang mana s e l a n j a r bersama dengan t e r b i t a n pertama

dan kedua menunjukkan cir i-ciri yang s e s u a i untuk t u j u a n t e r s e b u t d i

a t a s . SUNKEL (1976) t e l a h menggunakan s p l i n e b i k u b i k dalam menyele-

s a i k a n formula-formula kamilan S tokes dan Vening-Meinesz dalam geo-

d e s i f i z i k a l .

2.3 P r e d i k s i G r a v i t i

Dalam melaksanakan kamilan d a r i persamaan 12 dan 1 3 yang d i -

bincangkan dalam seksyen 2.2, anggapan d i b u a t t e n t a n g t e r d a p a t n y a

s a t u l i p u t a n d a t a g r a v i t i yang homogen d i muka bumi i n i . Dalam

keadaan sebenar , masalah utama yang d i h a d a p i dengan ' g l o b a l g r a v i t y

f i l es ' ada lah t i d a k kehomogenan l i p u t a n d a t a . Keadaan i n i terutama-

nya b e r l a k u d i l a u t a n dan kawasan-kawasan pendalaman yang t i d a k d i -

duduki. Untuk memenuhi kehendak dalam melaksanakan kamilan persa-

maan 12 dan 13, p r e d i k s i d a r i g r a v i t i - t i t i k a t a u g r a v i t i - p u r a t a

t e r p a k s a d i b u a t dalam kawasan-kawasan yang mana ce rapan g r a v i t i

t i d a k d a p a t d ibua t .

Terdapa t beberapa kaedah dalam p r e d i k s i g r a v i t i . Dua kaedah

yang popular d i s e b u t k a n d i s i n i i a i t u kaedah ' p r e d i k s i kuasa dua

t e r k e c i l ' (model I ) dan kaedah ' k o l o k a s i kuasa dua t e r k e c i l ' (model

1 1 Model I dan model I1 masing-masing d a p a t d i b e r i k a n sebaga i

b e r i k u t (MOHITZ. 1980):

Model I

d i mana:

69p h a s i l d a r i p r e d i k s i g r a v i t i - a n o m a l i pada t i t i k P

-.I9 -

fig1 ". fig g r a v i t i - a n o m a l i pada t i t i k - t i t i k yang d i k e t a h u j n

Model 11:

d i mana m a t r i k Z dalam model I1 d i d a p a t i d a r i

Z = ( "cerapan - A X ) ;

A a d a l a h ' d e s i g n m a t r i x ' dan

Bukanlah t u j u a n saya untuk memberikan s a t u t i n j a u a n d e t a i l

t e n t a n g model I dan 11, t e t a p i untuk membawa perbincanqan b e r i k u t

i n i kepada f u n g s i yang p a l i n g mustahak dalam model-model d i a t a s

i a i t u f u n g s i k o v a r i a n , C. Perbincangan l engkap t e n t a n g model-model

d i a t a s boleh d i d a p a t i d a r i M O H I T i (1980).

Fungs i k o v a r i a n C mencir ikan k o r e l a s i s t a t i s t i k d a r i g r a v i t i

anomali d i a n t a r a dua t i t i k &gP

dan fig , yang mana d a p a t menunjuk- Q

kan kecenderongan g r a v i t i anomal i pada t i t i k - t i t i k t e r s e b u t untuk

mencapai s a i z dan t anda yang sama. Untuk k a r a k t e r g l o b a l , f u n g s i

kovar ian s e l a l u n y a d i b e r i k a n s e b a g a i ,

d i mana:

c a d a l a h "anomaly d e g r e e v a r i a n c e s " , P ( c o s I', ) a d a l a h n n

po l inomia l Legendre Konvensional , @ j a r a k ruang a n t a r a P dan Q.

Pada permulaannyd kesonqsanqan d a r i s a t u m a t r i x yanq b e s a r

yanq mana menyebabkan hanyak masa komputer menjadi s a t u perbincangan

yanq p e n t i n q a p a b i l a kaedah-kaedah ' p r e d i k s i kuasa dua t e r k e c i l ' dan

' k o l o k a s i kuasa dua t o r k r c i l ' mula d i p e r k e n a l k a n dalam bidanq qeodes i

f i z i k a l . P e r h a t i a n t i d a k d i b u a t t e r h a d a p masa yanq d i p e r l u k a n untuk

menghitunq f u n q s i a n l i n e i i r d a r i f u n q s i kovar ian o l e h ke rana untuk

rnasalah-masalah mudah masa komputer sudah t e n t u l a h l e b i h c e p a t d a r i

kesonqsanqan d a r i s a t u matr ix . Keadaan i n i berubah denqan c e p a t

a p a b i l a masalah yanq d i h a d a p i me l iba tkan pe rh i tunqan k o v a r i a n yanq

banyak dan/a tau sukar. Wdlaupun s a t u ungkapan t e r t u t u p d a r i f u n q s i

k o v a r i a n t e l a h b e r j a y a d i h a s i l k a n ( l i h a t RliPP dan TSCHERNING, 1974).

unqkapan t e r t u t u p i n i masih menaanriungi f u n q s i s e p e r t i f u n q s i loqa-

r i t h m a dan f u n q s i t r iqonorne t r ik , yanq mana mahal dalam e r t i k a t a

masa komputer.

I n i l a h a n t a r a sebab-sebab t imbulnya p e r s o a l a n samada berkemung-

k inan untuk mendapatkan s a t u anqqaran yanq hampir kepada f u n q s i kova-

r i a n yang sehenar. Funa;i. anaqaran i n i hendaklah mudah, senanq d i -

qunakan, t e p a t dan memerlukan u n i t s t o r komputer s e d i k i t yang boleh.

Berdasarkan kepada p e r s o a l a n d i a t a s , SUNKLL (1978) membuat k a j i a n

k e a t a s t i q a j e n i s f u n g s i anqqaran yanq berbeza:

1) Funqsi langkah

2 ) Funqsi l i n e a r c e b i s demi c e b l s , dan

3 ) E'unqsi kub ik - sp l ine

SUNKEL ( i b i d . ) membuat kesimpulan bahawa disebabkan o l e h k e l i c i n a n

dan c i r i - c i r i angqaran yanq b a i k d a r i s a t u f u n g s i s p l i n e , penggam-

b a r a n f u n q s i kovar ian o l e h f u n q s i s p l i n e menqhasilkan keputusan

yang memuaskan j i k a d ibandingkan denqan f u n q s i - f u n q s i (1) dan ( 2 )

d i a t a s .

3. Kesirnpulan

Berdasarkan kepada keist imewaan f u n q s i s p l i n e t e r h a d a p penye lesa ian

dan penggunaan l a n j u t a n n y a d m q a n menqqunakan komputer, pengqunaan l u a s

f u n g s i s p l i n e dalam b idang g e o d e s i s e b a g a i s a t u kaedah pendekatan d a p a t

d iharapkan. Penggunaan f u n g s i s p l i n e kubik dalam kaedah i n t e r p o l a s i ,

penye1esaj .m kamilan g e o d e t i k dan kaedah p t e d i k s i g r a v i t i d i j e l a s k a n

dengan r ingkas . Dengan i n i d i h a r a p s a t u k a j i a n l a n j u t a n d a p a t d i b u a t

supaya pemahaman yang l e b i h mendalam t e n t a n g p o t e n s i d a r i f u n g s i s p l i n e

dan hubungannya dalam perkembanqan bidang g e o d e s i numerik d a p a t d ipe r -

o l e h i .

Ru jukan

AHLRERG, J.H. , NILSON, E.N. and WALSH, J.L. : "THE THEORY OF SPLINES A N U THEIR APPLICATIONS". Academic P r e s s , New York, 1967.

FREEDEN, W.: "On Approximation by Hurmonic S p l i n e s " , Manuscr ip ta Geode t i ca , Vol. 6 , No.2, Oct. 1981.

MORITL, H.: " I n t r o d u c t i o n t o I n t e r p o l a t i o n and Approximation", Approximation Methods i n Geodesy, H e r b e r t Wichmann Ver lag K a r l s r u h e , 1978.

MORITIZ, H.: "ADVANCED PHYSICAL GEODESY", H e r b e r t Wichmann Ver lag K a r l s r u h e , 1980.

SUNKEL, H.: "On E v a l u a t i o n of S t o k e s and Vening Meinesz I n t e g r a l s by S p l i n e Func t ions" , D i s s e r t a t i o n , T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f Graz, Graz, A u s t r i a , 1976.

SUNKEL H.: " A F o r t r a n I V Program t o C a l c u l a t e and P l o t I s o l i n e s q , P u b l i c a t i o n of t h e Geode t i c I n s t i t u t e , Techn ica l U n i v e r s i t y Graz, No. 26, Graz 1977.

SUNKEL, H.: "Approximation of Covar iance F u n c t i o n s by Non-Posit ive Funct ions" , Repor t No. 271, Department of Geode t i c Sc ience , The Ohio S t a t e U n i v e r s i t y , Columbus, 1978.

TSCHERNING, C.C and RAPP, R.H.: "Closed Covar iance Express ion f o r G r a v i t y Anomalies, Geoid Undula t ions and D e f l e c t i o n s o f t h e V e r t i c a l Impl ied by Anomaly Degree Var iance Models", Repor t No. 208, Department of Geode t i c S c i e n c e , The Ohio S t a t e U n i v e r s i t y , Columbus, 1974,

VANICEK, P. and KRAKIWSKY, E.: "GEODESY: THE CONSEPTS", North- Holland P u b l i s h i n g Company, 1982.