I. Peluang (Probability)

1.1 Pendahuluan

Model Deterministik

Model Probabilitas

1.2. Notasi dan Terminologi

• Eksperimen : Proses utk mendapatkan suatu hasil pengamatan dari bbrp phenomena

• Trial : a performance of an eksperiment

• Hasil (outcome) : hasil pengamatan dari trial

3

PENGERTIAN PROBABILITAS

Percobaan/Kegiatan

Pertandingan sepak bola Persita VS PSIS di Stadion Tangerang, tgl 3 Pebruari 2013

Hasil Persita menangPersita kalahSeri -- Persita tidak kalah dan tidak menang

Peristiwa Persita Menang

Contoh:

Konsep Dasar Probabilitas

Definisi 1.1:Ruang sampel

Himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu eksperimen disebut Ruang Sampel.

Notasi : S atau

Ruang sampel dibagi dua :

1.Ruang sampel diskrit : berhingga/ tak berhingga terbilang .

2. Ruang sampel kontinu:berhingga/ tak berhingga

tak terbilang.

Definisi 1.3: Event (kejadian)

• Suatu event / kejadian adalah suatu himpunan bagian dari dari ruang sampel S

• Jika A adalah suatu kejadian, maka A terjadi jika memuat hasil yang terjadi

Definisi 1.4 :Elementary event

Suatu kejadian dikatakan kejadian dasar (elementary event) jika memuat secara pasti satu outcome/hasil dari eksperiment

Contoh :

HHA

Definisi 1.5: Mutually ekslusif

• Dua kejadian A dan B dikatakan mutually eksklusif jika

• Secara umum :

Kejadian dikatakan mutually eksklusif jika setiap pasangan dari kejadian kejadian tersebut mutually eksklusif yaitu

A

BA

,..., 21 AA

jiAA ji ,,

Definisi aljabar

Suatu kumpulan F himpunan bagian dari ruang sampel S, disebut -aljabar, jika memenuhi sifat sifat berikut :

a) F b) jika F , maka F c) jika F maka F

,..., 21 AA

i

i

A1A CA

Contoh σ-field

• Pelemparan 1 mata uang

• S= { M, B} M: Muka , B: Belakang

• σ-Field yangdapat dibentuk dari S adalah

F ={ S, , {M}, {B}}

Definisi Peluang/ Probabilitas

Suatu ukuran peluang P pada (S,P,F)adalah Suatu fungsi P : F [0,1]Yang memenuhi :1. , , kejadian F2.3.Jika adalah kejadian2 anggota dari

F ,dengan maka

0)( P 0)( AP A1)( SP

,..., 21 AAjiAA ji ,,

11

)(i

ii

APiP A

Pemilihan Random/ Acak

Penerapan utama dari probabilitas klasik adalah munculnya suatu hubungan dalam pemilihan secara random suatu objek atau himpunan dari obyek2 dari kumpulan/ koleksi obyek

Definisi 1.3.2 : Jika suatu obyek dipilih dari suatu koleksi obyek dg obyek yang berbeda dalam

suatu cara dimana tiap2 obyek mempunyai peluang yg sama untuk dipilih, maka dikatakan bahwa obyek dipilih secara random/acak

Sifat-sifat Peluang (bukti dikelas)

1. Jika A adalah suatu kejadian sebarang dan adalah komplemennya maka

2.Untuk sebarang kejadian A, maka

3.Untuk sebarang kejadian A dan B, maka

4. Untuk tiga kejadian A, B,dan C, maka

CA)(1)( CAPAP

1)( AP

)()()()( BAPBPAPBAP

)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP

SIFAT-SIFAT PROBABILITAS

5. Jika , maka

6. Jika adalah barisan kejadian-kejadian, maka

BA )()( BPAP

,..., 21 AA

11)(

iii

iAPAP

Ketidaksamaan Bonferroni

Jika adalah kejadian2, maka

Bukti : Gunakan sifat 1 dan 6 dari Sifat2 Probabilitas

kAAA ,..., 21

)(111

k

i

cii

k

iAPAP

Ketidaksamaan Boole

Jika , adalah suatu barisan ke-jadian kejadian, maka

,...., 21 AA

11)(

iii

iAPAP

Peluang Bersyarat (Conditional Probability)

Definisi 1.5.1 :

Peluang bersyarat dari kejadian A, jika diberikan kejadian B, didifinisikan :

Jika

)(BP

BAPBAP

0)( BP

Theorema 1.5.1

Untuk sebarang kejadian A dan B,

BUKTI :

)()()()()( ABPAPBAPBPBAP

)(

)(

BP

BAPBAP

)()()( BAPBPBAP

LAWS OF TOTAL PROBABILITY

Jika adalah suatu kumpulan dari kejadian yang mutually exclusive dan merupakan partisi dari S, maka untuk sebarang kejadian A

kBBB ,,2,1

)()()(1

i

k

ii BAPBPAP

Diagram pohonLaw Of Total Probability

• Barang dibuat di Pabrik A dan B,

Aturan Bayes (Bayes ‘ Rule)

Jika adalah kumpulan kejadian yang mutually eksklusif dan merupakan partisi dari S maka untuk tiap

kBBB ,,2,1

kj ,...,2,1

i

k

ii

jjj

BAPBP

BAPBPABP

1

Kejadian Independen( kejadian saling bebas)

Definisi 1.5.1:

Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian independen jika

Kebalikan dari kejadian independen adalah kejadian dependen

)()()( APBPBAP

Teorema 1.5.1 :Pengembangan Kej. Bebas.

Jika A dan B kejadian-kejadian sedemi-kian hingga dan maka A dan B adalah kejadian independen jika dan hanya jika

dan

0)( AP 0)( BP

)(APBAP

)(BPABP

BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG

Konsep Dasar Probabilitas

n1.n2

Permutasi nPr = n!/ (n-r)!

Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!

• Kaidah Penggandaan. Bila suatu operasi dapat dilakukan dalan n1 caradan bila setiap cara tsb operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua oprasi ini secara bersama dapat dilakukan

• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek/ urutan diperhatikan).

• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.