Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel

bebas y dan turunannya.

Bentuk Umum :

Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan2 ilmu pengetahuan dan teknik.

Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.

0),....,,,,(2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyyxF

Contoh :

xyydx

dy

dx

yd

xyxdx

yd

dx

ydy

xydx

yd

dx

yd

xydx

dyy

dx

yd

ydx

dyx

cos.5

042.4

cos.3

0sin.2

04.1

2

32

4

4

2

2

23

3

3

3

2

22

3

3

2

2

2

SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Untuk mencari solusi dari PD, harus mencari

fungsi yang memenuhi persamaan itu, artinya yang

memuat persaman itu menjadi benar.

Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut

sehingga semua koefisien differensial hilang, yang ada

hanya hubungan antara variabel x dan y saja,

yaitu :

F ( x , y ) = 0

Contoh :

maka :

y = 2x2 atau

y = 2x2 + x , atau

y = 2x2 –5x + 3

merupakan jawab dari PD diatas.

Terlihat bahwa PD diatas mempunyai jawaban tidak

tunggal.

Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis :

y = 2x2 + c1x + c2

dimana c1 dan c2 adalah konstanta ,

042

2

dx

yd

JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS

• Bentuk umum :

M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0

1. PD Variabel Terpisah

Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0

• Solusi umum PD :

• contoh :

(x+1) dx + (y2 –3) dy = 0

konstantaadalah c , )()( cdyygdxxf

1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah

Bentuk PD :

f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0

direduksi dengan mengalikan :

PD diatas menjadi :

karena telah menjadi PD variabel terpisah,

maka solusi PD diatas :

)()(

1

21 xfyg

odyyg

ygdx

xf

xf

)(

)(

)(

)(

1

2

2

1

cdyyg

ygdx

xf

xf

)(

)(

)(

)(

1

2

2

1

Contoh : 1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0

2. xy dx + (1 + x2) dy = 0

3.

4. cos y dx + (1 + e–x) sin y dy = 0 xxy

y

dx

dy

3

4

Latihan :

1. (1 + ex)dy + (1 + e-y)dx = 0

2. xln x dy + (ey + e-y)dx = 0

3. tg x dy – ctg y dx = 0

4. 2(1 + x2)dy – (1 – y2)dx = 0

5. (1 + x2) dy + (1 + y2) dx = 0

3. PD Homogen Suatu fungsi f(x,y) dikatakan homogen berderajat n ,

jika :

f(λx, λy) = λn f(x,y)

PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0

Dikatakan PD Homogen derajat n jika :

M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen yang

berderajat sama.

Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan

transformasi :

y = vx dan dy = v dx + x dv

dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan

v dengan variabel terpisah.

Contoh : 1.

subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv,

sehingga diperoleh :

0)( 22 xydydxyx

terpisah variabel. ......0)21(

0)2(

0))(())((

322

3222

22

PDvdvxdxvx

vdvxdxvxx

xdvvdxvxxdxvxx

cx

yxcvx

v

vdv

v

vdv

)21ln(4

1ln )21ln(

4

1ln

0)21(x

dx 0

)21(x

dx

2

22

22

2.

3.

4.

03)( 233 ydyxdxyx

0)( 22 dyyxxydx

03)2( 22 xydydxyx

Latihan :

1. (x2 + y2)dx – 2xydy = 0

2. y(x2 + y2)dx – x{x + (x2 + y2)}dy = 0

3. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0

4. (xsin - ycos )dx + xcos dy = 0

5. xdy – ydx - (x2 – y2)dx = 0

4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK

Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga :

dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1)

Rumus differensial :

Maka dari (1) dan (2) diperoleh :

2).........(.................... y

F

x

F dydxdF

(3)..............................y)........M(x, x

F

.(4)..............................y)........N(x, y

F

Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak

adalah :

Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui

persamaan (3) atau persamaan (4).

Dari persamaan (3)

Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y

x

N

y

M

c(y)y)A(x, dx y)M(x, y)F(x, y)M(x, x

F

y)N(x, (y)c' y

F

y

A

cdy)

y

A- y)N(x, (c(y)

y

A- y)N(x, (y)c'

Dari persamaan (4)

Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x

c(x)y)B(x, dy y)N(x, y)F(x, y)N(x, F

y

y)M(x, (x)c' F

x

B

x

cdx

B)

x- y)M(x, (c(x)

x

B- y)M(x, (x)c'

Contoh : 1. (x2 – y) dx – x dy = 0

Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x

Jadi,

1 y

M ),( 2

yxyxM

1 x

N.............),(

xyxN

c(x)-xyxdy- dy y)N(x, y)F(x, y)N(x, y

F

yyx

2 x y)M(x, (x)c' F

cxdx 322

3

1xc(x) x(x)c'

cx3

1xy- y)F(x, 3

2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0

3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0

4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0

5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0

6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK

Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD :

I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0

merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut.

Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :

1. Jika suatu fungsi dari x saja,

maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.

)(xfN

x

N

y

M

dxxf

e)(

2. Jika suatu fungsi dari y saja maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.

3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 , maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb.

4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana f(x,y) ≠ g(x,y) , maka adalah faktor integrasi dari PD tersebut.

)(ygM

x

N

y

M

dyyg

e)(

yNxM

1

yNxM

1

Contoh:

1. (2y –x3) dx + x dy = 0

2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0

3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0

4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0

5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0

6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0

Latihan :

1. (x2 – y) dx – xdy = 0

2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0

3. (1 + e2)dr + 2re2 d = 0

4. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0

5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0

6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA

Bentuk umum :

Persamaan ini mempunyai faktor integrasi :

Solusi umum dari PD ini adalah :

Q(x) P(x) ydx

dy

dx )(xP

e

cdxexQeyxPxP

)(

dx )(dx )(

Contoh :

1.

P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x

Faktor Integrasi : I =

maka solusinya :

Jadi ,

2.

3.

2xe 2 ydx

dy

xdx

ee

ceedxeedxeeye xxxxxxx 332

3

12)2()2(

xx ceey 2

3

12

xex

y

dx

dy 2 x 2

4x 2 ydx

dy

7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI

Bentuk umum :

Dengan transformasi :

akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu :

yang mempunyai solusi umum :

)()( xQyxyPdx

dy n

dx

dz

dx

dyyz n

n-1

1

y

1dan

n

1

)()1()()1( xQnxzPndx

dz

cdxexQnezdxxPndxxPn

)()1()()1(

.)()1(.

Contoh :

1.

2.

3.

4.

)1( 32 xeyydx

dy

)3( 22 xxyx

y

dx

dy

dx )( 66 xxydxydyx

xxyydx

dylnx 2

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGI

Bentuk umum :

atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dx

Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya

1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai :

(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0

dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y

0),....,,,,(

2

n

dx

dy

dx

dy

dx

dyyxF

Langkah2 menentukan solusi umum

(1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*)

dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y

(2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), yaitu :

(p – F1)

(p – F2)

…………………………………………………………………..

(p – F1)

0),,(f 0),(dx

dy 11 cyxyxF

0),,(f 0),(dx

dy 22 cyxyxF

0),,(0),(dx

dy cyxfyxF nn

(3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian

dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu

tersebut, yaitu :

f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0

2. Jika PD tidak mengandung y, dan x dapat dipisahkan.

Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p)

Langkah2 menentukan solusi umum

(1). Differensialkan x terhadap p, yaitu :

(2).Karena maka shg :

(3).Solusi umum dari PD telah diperoleh

x = f(p) p adalah parameter

y =

dpppfdp

dx )(fdx )( ''

dx

dyp dy

1

pdx

c dp (p)f p y

dp (p)f p dy dp (p)f dy 1

'

1'

p

cdpppf )('

3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan.

Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p)

Langkah2 menentukan solusi umum :

(1). Differensialkan y terhadap p, yaitu :

(2). Karena maka sehingga :

(3). Solusi umum dari PD telah diperoleh

y = f(p) p adalah parameter

x =

dpppfdp

dy )(fdy )( ''

dx

dyp dx pdy

cdppfp

)(1 '

c dp (p)f p

1 x

dp (p)f p

1 dx dp (p)f dx p

'

1'

contoh :

1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0

2. 7p3 + 3p2 = x

3. p3 + 5p2 + 7p = y

4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0