Perhatikan di luar kurungan bagi simbol yang pertama, tidak dituliskan taburan bagi Xi (sebarang taburan) tetapi apabila sampel saiz n yang besar diambil daripada populasi ini, taburan pensampelan menghampiri taburan normal. Perhatikan di luar kurungan bagi simbol yang kedua dituliskan N bermakna taburan normal.

KEGUNAAN KONSEP TABURAN PENSAMPELAN Kita telah banyak tumpukan perhatian kepada taburan pensampelan , supaya anda akan berupaya untuk menggunakan konsep ini bagi tujuan membuat pentakbiran. Kita tidak akan tunggu sehingga bab 7 untuk menggunakan konsep ini. Setakat ini anda perlu tahu menjawab soalan jenis ini: “Diberi suatu populasi dengan min dan varians 2, apakah kebarangkalian bahawa suatu sampel bersaiz n akan menghasilkan min sampel lebih besar atau sama dengan suatu nilai tertentu katakan .

Contoh 6.3Berat badan pelajar di UPM bertaburan hampir normal dengan min 130lb dan varians 25lb2. i) Jika 10 orang pelajar dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian min berat badannya kurang daripada 128lb? ii) Jika 49 pelajar dipilih secara rawak dan jika ialah nilai min bagi sampel itu, cari berat badan, katakan w supaya mempunyai nilai kurang daripada w dengan kebarangkalian 0.975?

Penyelesaian i)Soalan di atas boleh ditulis dalam bentuk simbol.

Xi ~ berat badan pelajar di UPM Xi ~ N( = 130, 2 = 25)

Ingat nilai 130 dan 25 adalah parameter sebab ianya dikira daripada suatu populasi yang besar.

Sebelum mendapatkan kebarangkalian, kita perlu jelmakan kepada bentuk lazim Z .

0.102

Kebarangkalian yang dikehendaki diwakili oleh kawasan yang dilorekkan disebelah kiri Z = 1.27

97

Untuk mendapatkan jawapannya, sila rujuk Jadual Z.

Penyelesaian ii)Soalan di atas boleh ditulis dalam simbol kebarangkalian,

(1)

Bagi menjawab soalan seperti ini di mana nilai kebarangkaliannya telah diketahui perlu bentuk satu lagi persamaan kebarangkalian supaya persamaan yang kedua mempunyai taburan, tanda dan kebarangkalian yang sama seperti (1), dan boleh didapati daripada Jadual Taburan Normal Piawai.

Daripada Jadual Normal Piawai,P(Z < 1.96) = 0.975 (2)

Oleh kerana (1) dan (2) sama, maka

w = (1.96)(0.7143) + 130 = 131.4000

Contoh 6.4Katakan min hayat bagi suatu alat pemotong ialah 41.5 jam dengan sisihan piawai 2.5 jam. Jika 50 alat pemotong dipilih secara rawak daripada populasi ini, apakah kebarangkalian min hayat di antara 40.5 dan 42 jam.

PenyelesaianSoalan di atas boleh ditulis dalam bentuk simbol.

Xi ~ hayat bagi suatu alat pemotong.

Di dalam soalan ini tidak diberitahu bahawa populasi bertaburan normal. Bagaimanapun anda boleh menyelesaikan masalah ini tanpa pengetahuan tentang taburan populasi tersebut. Rujuk kepada Teorem 6.1 (Teorem Had Memusat).

98

-1.27

Z1.96

Oleh kerana sampel saiz besar iaitu lebih besar daripada 30, anda boleh gunakan Teorem Had Memusat yang menyatakan taburan pensampelan bagi menghampiri taburan normal tidak kira apa bentuk taburan populasi asal.

Jadi

Setiap kali sebelum mendapatkan nilai kebarangkalian, kita perlu jelmakan kepada Z, maka

= P(-2.86 < Z < 1.43)

Kebarangkalian yang dikehendaki diwakili oleh kawasan yang dilorekkan. = P(Z < 1.43) – P(Z < -2.86)

= 0.9236 – 0.0021 = 0.9215

Latihan 6.1Kekuatan tegangan sejenis dawai bertaburan normal dengan min 99.8 dan sisihan piawai 5.48.i) Apakah min dan ralat piawai bagi taburan pensampelan min

sampel berdasarkan sampel rawak saiz 10 ?ii) Jika 16 kerat dawai dipilih secara rawak apakah kebarangkalian

min kekuatan tegangannya lebih besar daripada 98.8?

Untuk menjawab bahagian (i) dan bahagian (ii) anda perlu rujuk masing-masing, Takrif 6.2 dan Contoh 6.3. Jawapannya ialah i) ii) 0.9656

6.2TABURAN PENSAMPELAN BAGI BEZA DI ANTARA DUAMIN SAMPELSetakat ini kita hanya membuat perbincangan ke atas satu min populasi sahaja, seperti di dalam Contoh 6.2 di mana kita hanya berminat untuk mengkaji berat badan pelajar yang ada di UPM. Biasanya kita bukan sahaja berminat untuk

99

1.43-2.86

mengkaji satu min populasi, malah beza di antara keduanya. Umpamanya kita memerhatikan satu lagi populasi, iaitu berat pelajar yang ada di UKM. Bagi tujuan membuat pentakbiran mengenai beza di antara min populasi berdasarkan data sampel, kita perlu mengetahui sifat-sifat yang ada bagi taburan pensampelan beza di antara dua min sampel, iaitu . Perlu ingat di sini bahawa sampel yang diambil daripada setiap populasi mestilah merdeka. Dua sampel adalah merdeka jika pemilihan unsur yang terkandung dalam satu sampel tidak mempengaruhi pemilihan unsur-unsur yang terkandung dalam sampel yang satu lagi.

Pada praktiknya, kita tidak perlu membina taburan pensampelan bagi , seperti yang telah dilakukan sebelum ini. Ingat, apa yang telah ditunjukkan dalam bab lepas hanya untuk menentusahkan keputusan taburan pensampelan bagi satu min sampel. Dengan cara yang hampir sama, kita boleh juga membina taburan pensampelan bagi beza di antara dua min sampel. Keputusan yang akan didapati ialah;i) Min bagi taburan pensampelan adalah sama dengan beza di

antara populasi min, iaitu

ii) Varians bagi taburan pensampelan ditulis sebagai ialah

.

Takrif 6.3Jika dua sampel merdeka yang masing-masingnya bersaiz n1, n2 dipilih dari populasi normal dengan min 1, 2 dan varians maka taburan

pensampelan bagi bertaburan normal dengan min ditanda dengan,

dan varians ditanda dengan

.

Takrif 6.3 boleh ditulis semula dengan simbol.

, .

Apabila sampel saiz n1 dan n2, masing-masing dipilih daripada Populasi 1 dan Populasi 2 menghasilkan,

,

(n1 dan n2) merdeka

Maka .

Seperti taburan pensampelan bagi , taburan pensampelan boleh dijelmakan kepada taburan normal piawai.

100

Maka

Teorem 6.2 (Lanjutan Teorem Had Memusat)Jika dua sampel merdeka yang masing-masingnya bersaiz n1 dan n2 dipilih dari dua populasi dengan sebarang bentuk taburan, masing-masing dengan min 1 dan 2, varians dan , maka taburan pensampelan bagi

bertaburan hampir normal dengan min ditanda dengan dan

varians ditanda dengan jika n1 dan n2 besar. (Biasanya n1

30, n2 30).Teorem di atas boleh ditulis secara simbol seperti di bawah

,

n1 besar, , n2 besar, .

(n1 dan n2) merdeka

Maka

Kegunaan Konsep Taburan Pensampelan Contoh 6.52 syarikat pembuat minyak pelincir dengan suhu yang tinggi bercadang untuk memasarkan produknya dipasaran. Syarikat A dan Syarikat B mendakwa min suhu di mana minyak pelincirnya berhenti berkesan ialah masing-masing dengan 5050 dan 4750F dengan sisihan piawai 100F dan 70F. Daripada pengalaman-pengalaman lepas telah menunjukkan bahawa kegagalan suhu bagi kedua-dua produk bertaburan hampir normal. Jika 20 spesimen dipilih secara rawak daripada produk Syarikat A dan 25 spesimen dipilih secara rawak daripada produk Syarikat B dan diuji, apakah kebarangkalian beza di antara min kegagalan suhu bagi kedua-dua sampel berada di antara 25 dan 35 darjah?PenyelesaianDaripada maklumat yang diberi, kita tahu bahawa taburan pensampelan bagi

bertaburan normal.

101

Soalan di atas boleh ditulis dalam bentuk simbol.Xi1 ~ kegagalan suhu minyak pelincir Syarikat AXi2 ~ kegagalan suhu minyak pelincir Syarikat B

Untuk menyelesaikan masalah ini, dijelmakan dalam bentuk lazim Z.

=

= P(-1.89 z 1.89)

Kebarangkalian yang dikehendaki diwakili oleh kawasan yang dilorekkan. Sila rujuk Jadual Z

= P(Z 1.89) – P(Z - 1.89)= 0.9706 – 0.0294= 0.9412

Latihan 6.21. Dua kaedah iaitu kaedah A dan B bagi menyiapkan suatu kerja disebuah

kilang sedang dikaji. Pembolehubah yang digemari ialah panjang masa yang diperlukan untuk menyiapkan sesuatu kerja itu. Diketahui bahawa varians panjang masa yang diperlukan bagi menyiapkan suatu kerja masing-masing bagi kaedah A dan B adalah 9 minit2 dan 12 minit2. 35 orang pekerja yang menyiapkan kerja dengan kaedah A dan 35 orang pekerja yang menyiapkan kerja dengan kaedah B dipilih secara rawak daripada populasi ini, masing-masing memberi min panjang masa menyiapkan kerja sebanyak 25 minit dan 23 minit. Kedua-dua sampel yang dipilih adalah merdeka di antara satu sama lain. Apakah kebarangkalian bahawa beza lebih besar daripada beza yang dicerap jika tiada perbezaan di antara beza panjang masa yang diperlukan untuk menyiapkan kerja bagi kedua-dua kaedah. (Ingat!! Untuk menjawab soalan ini anda perlu rujuk Teorem 6.2 iaitu Teorem Had Memusat kerana populasi asal tidak diketahui bentuknya dan sampel-sampel yang diambil besar, iaitu 30. Jalankerja seperti Contoh 6.5. Jawapannya ialah 0.0049)

102

Z-1.89 -1.89

2. Seorang Penganalisa Pasaran sedang mengkaji panjang masa yang dihabiskan oleh peruncit-peruncit di dua jenis pasaraya makanan, iaitu Pasaraya A dan B. 75 peruncit-peruncit yang membelibelah di Pasaraya A dan 43 peruncit-peruncit yang membelibelah di Pasaraya B dipilih secara rawak, masing-masing menghasilkan min masa yang dihabiskan sebanyak 55 minit dan 49 minit. Daripada pengalaman lepas diketahui bahawa panjang masa yang digunakan oleh peruncit-peruncit di kedua pasaraya bertaburan normal dengan min dan varians masing-masing bersamaan 54 min, 50 minit dan 225 minit2, 258 minit2. Apakah kebarangkalian beza kurang daripada beza yang dicerap? Apakah andaian yang perlu dibuat berkaitan dengan sampel-sampel yang diambil?

(Sila rujuk Contoh 6.5. Jawapannya ialah 0.7486. Untuk menjawab soalan kedua, cuba anda perhatikan dengan teliti Takrif 6.3).

6.3TABURAN PENSAMPELAN BAGI KADARAN SAMPELDalam Seksyen 6.3 dan 6.4 kita telah mengkaji berkenaan taburan pensampelan bagi pembolehubah yang diukur. Walau bagaimanapun, kita juga seringkali berminat pada taburan pensampelan bagi statistik yang berpunca daripada data-data yang dibilang. Contoh bagi statistik tersebut ialah kadaran sampel ditanda dengan . Katakan, kita tahu bahawa di dalam suatu populasi, kadaran unsur-unsur yang mempunyai sesuatu ciri yang tertentu ditanda dengan p. Kita juga berminat untuk menentukan kebarangkalian kadaran unsur-unsur suatu sampel n yang dicerap daripada populasi dengan ciri-ciri yang digemari, sebesar nilai tertentu, katakan p0. Bagi tujuan ini, kita perlu mengetahui sifat-sifat taburan pensampelan bagi .

Masalah ini berkait rapat dengan masalah dalam Bab 5 di mana penyelesaian dilakukan dengan menggunakan taburan binomial. Masalah dalam Bab 5 berkenaan menentukan kebarangkalian bagi bilangan unsur-unsur yang mempunyai sesuatu ciri yang diminati dalam suatu sampel besaiz n daripada suatu populasi dengan kadaran unsur-unsur yang mempunyai sesuatu ciri yang diminati, ditanda dengan p. Di dalam bab ini, kita tumpukan minat kita kepada kadaran, daripada bilangan, yang mempunyai sesuatu ciri yang diminati. Kedua-dua masalah ini berkait, oleh kerana kadaran sampel bersamaan dengan bilangan u0nsur-unsur dalam sampel yang mempunyai ciri yang diminati dibahagi dengan saiz sampel.

Jika Xi : unsur-unsur dalam sampel yang mempunyai ciri-ciri yang digemari, i = 1, 2, … n.

(Ingat kembali dalam Bab 5 di mana kejayaan diberikan nilai 1 dan kegagalan 0diberi nilai 0), maka kadaran sampel di tanda dengan

103

(6.1)

Pengangka dalam persamaan (6.1), adalah bilangan unsur-unsur yang mempunyai ciri-ciri yang digemari, iaitu pembolehubah bagi taburan Binomial.

Teorem 6.3Taburan pensampelan bagi kadaran sampel bertaburan hampir normal

dengan min, ditanda dengan dan varians ditanda dengan

apabila n besar disebabkan oleh Teorem Had Memusat.

Takrif di atas boleh ditulis dengan simbol iaitu apabila n besar,

(6.2)

(Ingat boleh dijelmakan dalam bentuk lazim, Z).Contoh 6.6Daripada pengalaman-pengalaman lepas, sebuah kilang Pembuat Paku telah mengesan 6% daripada paku-paku yang dikeluarkan oleh kilangnya adalah cacat. Jika 300 buah paku dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian kadar paku yang cacat di antara 0.02 dan 0.035?

Penyelesaian adalah kadar paku yang dikeluarkan yang didapati cacat. (Oleh kerana n besar,

kita boleh gunakan Teorem 6.3)

(Jelmakan kepada Z seperti dalam 6.2)

=

=

Kebarangkalian yang dikehendaki ialah dalam kawasan yang dilorekkan.

= P(Z - 1.79) – P(Z -2.86) (Sila rujuk jadual Z)= 0.0367 – 0.0021

104

= 0.0346

Latihan 6.3Daripada pengalaman yang lepas didapati bahawa 60% daripada surirumah dari sebuah bandar menggemari serbuk pencuci A. Jika 36 orang surirumah dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian 50% atau lebih menggemari serbuk pencuci A? (Jalankerja seperti dalam Contoh 6.6. Jawapannya ialah 0.000889).

6.4TABURAN PENSAMPELAN BAGI BEZA ANTARA 2 KADARAN SAMPEL

Kadangkala, kita juga berminat untuk menentukan kebarangkalian bagi beza antara 2 kadaran sampel yang mana kedua-dua sampel ini adalah merdeka dipilih daripada dua populasi yang digemari. Bagi tujuan ini, kita perlu tahu sifat-sifat taburan pensampelan bagi beza antara 2 kadaran sampel, ditanda dengan Kita boleh bina taburan pensampelan seperti dalam Bab 6.1 untuk menentusahkan bahawa min dan varians bagi adalah masing-masing (p1 –

p2) dan .

Teorem 6.4Jika pensampelan rawak yang merdeka bersaiz n1 dan n2 dipilih daripada populasi 1 dan 2 dengan dan adalah masing-masing kadaran cerapan-cerapan yang mempunyai ciri-ciri yang digemari daripada populasi 1 dan 2, maka taburan pensmpelan bagi bertaburan hampir normal dengan

min ditanda dengan dan varians ditanda dengan

sekiranya n1 dan n2 besar.

Teorem di atas boleh diringkaskan dengan simbol dan boleh dijelmakan dalam bentuk lazim, Z.

Sekiranya n1 besar Sekiranya n2 besar

Jika (n1 & n2 merdeka)

105

2.86 -1.79

Maka (6.3)

Contoh 6.716% daripada mahasiswa yang menuntut di universiti A dan 11% mahasiswa yang menuntut di universiti B mempunyai sekurang-kurangnya $5 di Akaun Saham Bumiputra. Jika 200 mahasiswa dan 225 mahasiswa dipilih secara rawak daripada universiti A dan universiti B, cari kebarangkalian beza di antara kadaran sampel sekurang-kurangnya 0.10?

Penyelesaian(Oleh kerana n1 & n2 besar, Teorem 6.4 boleh digunakan. Tukarkan ke dalam bentuk lazim Z seperti persamaan 6.3).

= P(Z 1.5) = 1 – p(Z 1.5) (Lihat jadual Z) = 1 – 0.9332 = 0.0668

Latihan 6.41. Katakan satu kajian telah dijalankan di mana 16% dan 9% murid-murid

masing-masing dari sekolah rendah bandar A dan bandar B telah mengikuti kelas tuition.i) Apakah min dan varians bagi taburan pensampelan beza antara kadaran

sampel berpandukan sampel rawak merdeka bersaiz 100 daripada setiap populasi?

ii) Apakah kebarangkalian kadaran sampel berada antara 0.05 dan 0.10?

6.5 TABURAN PENSAMPELAN BAGI

106

Z1.5

Misalkan satu sampel rawak bersaiz n diambil dari satu populasi yang bertaburan

normal dengan min dan varians 2. Apabila varians sampel S2 =

dihitung, kita akan perolehi satu nilai statistik. Nilai-nilai S2 yang dihitung merupakan pembolehubah rawak. Taburan pensampelan bagi S2 tidak digunakan sangat dalam statistik tetapi sebaliknya kita banyak gunakan taburan persampelan

bagi X = iaitu pembolehubah Khi Kuasadua ditanda dengan 2.

Perhatikan Rajah 6.6 di bawah untuk menerangkan pembolehubah X. Katakan populasi yang menarik minat kita terdiri daripada x1, x2, x3, x4, x5 dan sampel bersaiz n = 2 dipilih daripada populasi ini.

Rajah 6.6 10 nilai pembolehubah 2

Populasi Sampel Statistik Statistik

S12 (n-1)S1

2/2

S22 (n-1)S2

2/2

…. ……..

……. ….. ……..

S102 (n-1)S10

2/2

Kita berminat untuk mengetahui taburan pensampelan bagi 2 = (n-1)S2/2 .

Teorem 6.5Jika S2 adalah varians bagi sampel rawak bersaiz n dari populasi normal

dengan varians 2 maka pembolehubah rawak = betaburan 2

dengan darjah kebebasan = n-1 . Fungsi kebarangkalian bagi taburan 2

diberi oleh

f(x) =

= 0 , sebaliknya

E(x) = , V(x) = 2

107

x3

x2

x5

x4

x1

Taburan Khi Kuasadua tidak simetri dan bentuknya adalah terpencung kekanan. Kebarangkalian bahawa satu sampel rawak menghasilkan satu nilai 2 yang lebih besar daripada nilai tertentu adalah sama dengan luas disebelah kanan di bawah lengkungan khi kuasadua.

Seperti taburan lain, taburan 2 juga dijadualkan. Kita mesti ingat bahawa pembolehubah 2 bagi taburan khi kuasadua bermula daripada 0, dan taburan ini tidak simetri. Oleh itu, bagi mencari nilai 2 dengan darjah kebebasan yang memberikan luas 0.05 disebelah kanan tidak sama dengan nilai 2 yang memberikan luas 0.05 disebelah kiri.

Contoh 6.8Dapatkan nilai-nilai 2 dengan darjah kebebasan masing-masing daripada jadual khi kuasadua.

108

0 2

P(2>2,)

.025

2 = 20.483

0.975

0P(10

2 > 20.483) = 0.025

02 = 3.247

P( > 3.247) = 0.975

0

0.025

0.975

.025

2 = 0.484 2 = 11.143

P( 0.484<42 < 11.143) = 0.975

LATIHAN UNIT ENAM

1. Min perbelanjaan oleh eksekutif perniagaan disebuah firma untuk makan tengahari ialah RM6.50 dengan sisihan piawai RM6.00. Jika 36 eksekutif dipilih secara rawak daripada firma tersebut, cari kebarangkalian min wang yang dibelanjakan adalah di antara RM5.00 dan RM10.00. (0.9332)

2. Dua sampel rawak diambil dari populasi normal : pertama bersaiz 25 dengan min 80 dan sisihan piawai 5, dan kedua bersaiz 36 dengan min 75 dan sisihan piwai 3. Cari kebarangkalian bahawa min sampel pertama akan melebihi min sampel kedua sebanyak sekurang-kurangnya 3.4 tetapi kurang daripada 5.9. (0.7146)

3. Min dan sisihan piawai masa yang diperlukan oleh pemandu bas mini untuk menghabiskan satu perjalanan pergi dan balik melalui jalan A dan jalan B masing-masing adalah 80 minit dan 3 minit, 75 minit dan 2 minit. Jika 40 perjalanan dipilih secara rawak daripada jalan A dan 50 daripada jalan B, cari kebarangkalian perbezaan di antara 2 min sampel ini sekurang-kurangnya 6. (0.0351)

4. Daripada pengalaman yang lepas, didapati 3% daripada cawan-cawan yang dihantar kesebuah kedai adalah tidak memuaskan. Jika 300 cawan dipilih secara rawak dan diperiksa, apakah kebarangkalian bahawa kadar yang tidak memuaskan di antara 0.02 dan 0.035? (0.5411)

5. Katakan 30% daripada pelajar yang tinggal di luar kampus (L) dan 20% daripada

pelajar yang tinggal di kampus (K) makan di kantin UPM. Jika 100 pelajar dipilih secara rawak dari setiap kumpulan ini dan menghasilkan , cari kebarangkalian perbezaan di antara kadaran ini sekurang-kurangnya apa yang terhasil. (0.0351)

6. Daripada satu kajian didapati 16% daripada peneroka Felda di negeri A dan 9% di negeri B mempunyai kereta.a) Jika 100 peneroka dipilih secara rawak dari setiap negeri tersebut, apakah

min dan sisihan piawai bagi taburan pensampelan bagi perbezaan di antara 2 kadaran sampel? (0.07, 0.05)

b) Apakah kebarangkalian perbezaan sampel ( ) berada di antara 0.05 dan 0.10? (0.3811)

c) Apakah kebarangkalian bahawa perbezaan di antara dua sampel kadaran ini kurang daripada 0.02? (0.1587)

7. Satu populasi bertaburan normal dengan min dan sisihan piawai . Darinya diambil sampel-sampel bersaiz n. Berapakah kebarangkalian bahawa min sesuatu sampel tertentu akan terkandung di antara dengan dan adalah masing-masing min dan ralat piawai bagi statistik . (0.3159)

109

8. Berat bungkusan-bungkusan yang diterima oleh sebuah pasaraya adalah bertaburan normal dengan min 30 kg. dan sisihan piawai 5 kg. Berapakah kebarangkalian bahawa 25 bungkusan yang diterima secara rawak akan melebihi had maksima, iaitu 820 kg, lif pengangkut barang di pasarraya tersebut? (0.0026)

9. Ukuran tinggi 1,000 pelajar adalah menghampiri taburan normal dengan min 174.5 sm dan sisihan piawai 6.9 sm. Jika 200 sampel saiz 25 diambil dari populasi ini dan minnya direkodkan, tentukan

a) Min dan ralat piawai bagi taburan persampelan untuk b) Bilangan sampel, dengan minnya di antara 172.5sm dan 175.8 sm.c) Bilangan sampel, dengan minnya di bawah 172.0 sm.

(174.5,1.38; 151; 7)10. Katakanlah 60% daripada pelajar yang menghadiri kuliah tidak dapat memahami

hampir 70% penyampaian pensyarahnya. Jika 36 pelajar dipilih secara rawak, cari kebarangkalian lebih 50% pelajar yang tidak dapat memahami hampir 70% penyampaian pensysrahnya. (0.8888)

110