menghitung luas segi lima beraturan

Perhitungan Luas dan Keliling Segi Lima Sama Sisi, Singgih Satrio Wibowo Halaman 1

Menghitung Luas dan Keliling Segi Lima Beraturan

Singgih Satrio Wibowo

22 April 2011

Segin Beraturan

Sebuah segi‐ beraturan ( 3) dapat dibuat dari segitiga sama kaki yang kongruen sebanyak . karenanya, luas segi‐ beraturan adalah kali luas segitiga sama kaki, yaitu:

· ∆

Sementara keliling segi‐n beraturan adalah

·

Dimana adalah panjang sisi segi‐n beraturan.

Sifat segi‐ beraturan

(a) Besar sudut pusat pada tiap segitiga, °

(b) Besar sudut pada kaki tiap segitiga, 90° °

(c) Besar sudut tiap sisi, 2 180° °

Segi Lima Beraturan

Berdasarkan sifat‐sifat segi‐n beraturan, maka sebuah segi lima beraturan memiliki:

(a) Sudut pusat, ° ° 72°

(b) Sudut kaki, 90° ° 90° ° 54°

(c) Sudut sisi, 180° ° 180° ° 108°


Untuk menghitung luas segilima beraturan, gunakan rumus:

· ∆ 5 · ∆

Misalnya kita tinjau segitiga ABC (lihat gambar). Luas segitiga ABC dapat dihitung dengan berbagai rumus, misalnya

(1) ∆

12

(2) ∆

12

sin

(3) ∆

12

sin

(4) ∆ ; dimana

12

Apabila segilima tersebut hanya diketahui memiliki panjang sisi = , maka sisi‐sisi segitiga dapat dinyatakan dalam bentuk:

(5)

(6) 2tan

2tan

(7) 2 cos 2 cos

Sehingga rumus luas segitiga ABC di atas (rumus 1 dan 2, untuk rumus 3 dan 4 silahkan dicoba sendiri), dapat dinyatakan dalam bentuk berikut di bawah:

(8) ∆

14

tan

Selanjutnya luas segilima beraturan dapat dihitung dengan rumus

(9) 5 · ∆54

tan54

tan 54°

Dengan memasukkan nilai‐nilai yang diketahui, maka luas segilima beraturan dapat dihitung. Persoalan selanjutnya adalah bagaimana menentukan nilai tan tan 54°? Untuk menjawab ini, baca dan pelajari bab selanjutnya.


Perhitungan Sinus, Cosinus dan Tangent Sudut 36, 54 dan 72 Derajat

Nilai tersebut muncul berkaitan dengan segitiga sama kaki dengan sudut puncak 36 derajat. Untuk mendapatkan nilai tersebut, berikut ini disajikan langkah‐langkah yang dilakukan oleh ahli‐ahli Geometri Yunani kuno. Pertama buatlah segisepuluh beraturan dalam sebuah lingkaran berjari‐jari satu. Kemudian ambil segitiga AOB. Pada segitiga AOB, buat garis bagi BD yang membagi sudut ABO menjadi dua sama besar. Sudut DBO sama dengan sudut BOD=36 derajat, dengan demikian segitiga BOD adalah sama kaki. Misalkan sisi maka sisi . Selanjutnya dengan melihat segitiga ABD, dapat dihitung sudut BAD=72 derajat. Dengan demikian segitiga ABD juga sama kaki. Karena

, maka . Dalam segitiga ABD, 1 .

Untuk menghitung berapa nilai x, maka gunakan aturan sinus untuk segitiga BOD dan ABD, berikut ini:

Pada segitiga BOD:

1sin sin 36°

1sin sin 36°

1sin 72° sin 36°

1 sin 72°sin 36°

(*)

Pada segitiga ABD:


sin 72°1sin 36°

1sin 72°sin 36°

(**)

Dari persamaan (*) dan (**) atas diperoleh hubungan

11

1

1 0

Solusi dari persamaan kuadrat di atas adalah √ atau √ . Karena adalah panjang

sisi, maka haruslah positif, karena itu, nilai yang diambil adalah √ .

Dari hasil di atas, dapat pula dihitung nilai sinus, cosinus dan tangen sudut 36, 54 dan 72 derajat. Caranya adalah dengan membuat garis tinggi DE pada segitiga BOD dan garis tinggi BF pada segitiga ABD, seperti gambar di bawah.

1/212

5 2√5

cos 36°1 √54

sin 36°10 2√5

4

tan 36° 5 2√51 √5 10 2√5

4

cos 54°10 2√5

4

sin 54°1 √54

tan 54°1

5 2√5


12

12

5 2√5

cos 72°1 √54

sin 72°10 2√5

4

tan 72° 5 2√51 √5 10 2√5

4

Hasil Akhir

Dengan menggunakan nilai‐nilai hasil perhitungan di atas, maka luas sebuah segilima beraturan, dengan sisi (rusuk) 8 cm adalah sebagai berikut:

54

tan 54°54

81

5 2√5

80

5 2√5 cm2

Referensi:

[1] Singgih Satrio Wibowo, Menyongsong OSN Matematika SMP, Pustaka Pelajar, 2010.

[2] Singgih Satrio Wibowo, Matematika Klasik: Soal dan Pembahasan Ujian Akhir MULO 1907 – 1957. 2011 (koleksi pribadi)

menghitung luas segi lima beraturan

Documents