mathematics iii ts 4353 class b

MATHEMATICS III TS 4353

CLASS B Integral Rangkap

Herlina SetiyaningsihCivil Engineering DepartmentPetra Christian University

INTEGRAL RANGKAP DUA Integral garis

Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤ x ≤ b pada sumbu x.

Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua (x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan tertutup pada suatu bidang xy.

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑏𝑎 𝑑𝑥

INTEGRAL RANGKAP DUA

a b

c

d

AB

P

QZ = F(Xk, Yk)

ΔAk = ΔXkΔYk

ΔYk

ΔXk

D

D dibagi n daerah bagian ΔDk dengan luas ΔAk (k=1, 2, 3, …, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk).



X

Y

D = daerah integrasi D dicakup oleh pertidaksamaan: a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB f1(x) ≤ y ≤ f2(x) c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP g1(y) ≤ x ≤ g2(y)

𝑓𝑛𝑘=1 ሺ𝑥𝑘,𝑦𝑘ሻ∆𝐴𝑘 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 → ∞

lim𝑛→∞ 𝑓𝑛𝑘=1 ሺ𝑥𝑘,𝑦𝑘ሻ∆𝑋𝑘 ∆𝑌𝑘 𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛

= ඵ 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ𝑑𝑥 𝑑𝑦𝐷



ඵ 𝑓(𝑥,𝑦)𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= න න 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ𝑑𝑦𝑓2(𝑥)𝑦=𝑓1(𝑥) 𝑏

𝑥=𝑎 𝑑𝑥

Diintegralkan terhadap y dengan menganggap x konstan

ඵ 𝑓(𝑥,𝑦)𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= න න 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ𝑑𝑥𝑔2(𝑦)𝑥=𝑔1(𝑦) 𝑑

𝑦=𝑐 𝑑𝑦

Diintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan



EXAMPLE 1





EXAMPLE 2

Diketahui a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinyab/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I

𝐼= න න𝑑𝑦𝑥𝑥3/2 𝑑𝑥1

0



EXAMPLE 3

y=xx=yx=y2/3

y = x3/2

1

1

x

y

න න𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥𝑥3/2

10 = න න 𝑑𝑦𝑦=𝑥

𝑦=𝑥3/2𝑥=1

𝑥=0 𝑑𝑥

= න𝑦1𝑥=0 ቚ

𝑥𝑥3/2 𝑑𝑥= න

1𝑥=0 ൫𝑥− 𝑥3/2൯ 𝑑𝑥

= ൬12𝑥2 − 25𝑥5/2൰ቚ10 = ൬

12− 25൰− (0− 0)

= 110



EXAMPLE 3



නන 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑦2/3

𝑦1

0 = න ൦ න 𝑑𝑥𝑥=𝑦2/3

𝑥=𝑦 ൪

𝑦=1𝑦=0 𝑑𝑦

= න 𝑥𝑦=1𝑦=0 ฬ𝑦2/3𝑦 𝑑𝑥= න

1𝑦=0 ൫𝑦2/3 − 𝑦൯ 𝑑𝑦

= ൬35𝑦5/3 − 12𝑦2൰ቚ10 = ൬

35− 12൰− (0− 0)

= 110

Diketahui:

Y

X10

1

2

x=0

x=y

y=2

y =1y=x



APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Perhitungan Luas

dyd

x

D

X

YElemen luas dL = dx dyLuas:



EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x2 dan

y=1Y

X

D

y=1

1-1 y=2-x2

Titik-titik potongy = 2-x2 2-x2 = 1y = 1 1-x2 = 0

x = -1 or x = 1



EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2

dan x+y = 2

X

x + y =2

x = y2

-2

1

Y Titik-titik potongx = y2 y2=2-yx= 2-y y2+y-2 = 0

(y-1)(y+2)=0

y=1 or y=-2



Perhitungan Massa

dyd

x

ρ= ρ(x,y)

X

Y

Rapat massa(untuk pelat tipis tidak punya ketebalan)Elemen massa dM= ρ dx dyMassa :



EXAMPLE Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi

y=2√x, sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x.

X

Y

y = 2√x

x = 4

ρ = kyyk = konstanta kesebandingan



Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat

• Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ρ dx dy

• Momen terhadap sumbu x:



dyd

x

ρ= ρ(x,y)

X

Y

y

x

Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ρ dx dy Momen terhadap sumbu y:

Pusat Massa



EXAMPLE Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis

(pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang dibatasi kurva y=x dan y=x2

X

Yy=x2 y=x

D ρ = c (konstan)



Titik-titik potongy = x2 x2=xy= x x2-x = 0

x(x-1)=0x=0 or x=1

0 1

𝑀𝑥=ඵ 𝑦 𝜌𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= 𝑐නන𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥𝑥2

10



𝑀𝑦= ඵ 𝑥 𝜌𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= 𝑐නන𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥𝑥2

10

Pusat massa : (1/2, 2/5)



Perhitungan Momen Inersia

dyd

x

ρ= ρ(x,y)

X

Y

D

yx

r

Elemen momen inersia thd sumbu x:dIx= y2 ρ dx dyMomen inersia thd sb x:

Elemen momen inersia thd sumbu y:dIy= x2 ρ dx dyMomen inersia thd sb y:



Momen Inersia thd titik pusat O



EXAMPLE Tentukan momen inersia terhadap:

a/. Sumbu xb/. Sumbu yc/. Titik pusat Oyang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x2

X

Yy=x2 y=x

D ρ = c (konstan)

Titik-titik potong:y=x2 x2=xy=x x2-x=0

x(x-1)=0x=0 or x=1



Perhitungan Volume

Z

X

Y

D

Z= f(x,y)Elemen volume dV = z dx dyVolume:



X Y Z Oktan (ruang)

+ + + I- + + II- - + III+ - + IV+ + - V- + - VI- - - VII+ - - VIII



EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di

oktan pertama!

6

23

z = 6 – 2x – 3y



X

Y

Z



= ሺ18− 18+ 6ሻ= 6

EXAMPLE Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi

z=y, y=x2 dan x=y2

Z

X

Y

z = y

y=x2

x=y2 y=x1/2

x=0y=x2

x=1

y=x2

x=y2

z = y



x=y2 y=x2

X

Y

Perhitungan Luas Permukaan Kulit

Z

X

Y

Z= f(x,y)k = ?

Elemen luas permukaan/ kulit:

Luas permukaan/ kulit:



EXAMPLE Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di

oktan IZ

X

Y

Y

X2

33x + 2y = 6y = (6-3x)/2z = 6 - 3x – 2y



dx



SISTEM KOORDINAT POLAR/ KUTUB

Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar:x = r cos θy = r sin θ

Y

X

y

x

r

θ

P(x,y) = P(r,θ)



O

NILAI JACOBIAN



EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4

X

Y

2-2 Sistem Koordinat Polar

Sistem Koordinat Kartesius

r2

b

2π



EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina

homogen x2 + y2 = a2 di atas sumbu x Sistem koordinat kartesius:

-a a

x2+y2=a2



INTEGRAL RANGKAP TIGA

∆xk

∆yk

∆zk f(x,y,z)

Z

Y

X

Diintegralkan thd z dengan menganggap x,y

konstanDiintegralkan thd y

dengan menganggap x konstan



APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA Perhitungan Volume

Elemen volume: dV = dx dy dz

Volume:

∆xk

∆yk

∆zk

Z

Y

X

V



EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi tabung x2 + z2 =

4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di oktan I.

Tabung x2 + z2 =4 z=√4-x2

Bidang XOZ y = 0X

Bid XOY z =0

Bid Y=X

Z

Y

Y

X

y = x



2

𝑉= ම 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧=𝐷 න න න 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥ξ4−𝑥2

𝑧=0𝑥

𝑦=02

𝑥=0

= නන𝑧𝑥0

20 ฬඥ4− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥= නනඥ4− 𝑥2𝑥

02

0 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= නඥ4− 𝑥220 𝑦ቚ𝑥0𝑑𝑥= න𝑥 ඥ4− 𝑥22

0 𝑑𝑥

= −12නሺ4− 𝑥2ሻ𝑑ሺ4− 𝑥2ሻ2

0 = −12.23(4− 𝑥2)3/2ቚ20

= −13ሺ0− 8ሻ= 83



Perhitungan Massa

dx

dy

dz

Z

Y

X

ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa

Elemen massa: dM= ρ dx dy dz

Massa:M= 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷



Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Momen terhadap bidang: Titik

Berat:𝑋𝑂𝑌 →𝑀𝑋𝑂𝑌 → ම 𝜌 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

𝑋𝑂𝑍 →𝑀𝑋𝑂𝑍 → ම 𝜌 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

𝑌𝑂𝑍 →𝑀𝑌𝑂𝑍 → ම 𝜌 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

𝑦ത= 𝑀𝑋𝑂𝑍𝑀 = 𝜌 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

𝑧ҧ= 𝑀𝑋𝑂𝑌𝑀 = 𝜌 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

𝑥ҧ= 𝑀𝑌𝑂𝑍𝑀 = 𝜌 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷



EXAMPLE Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-

x2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan I!

Z

X

Y

z = 1-x2

y = 2

1 2

Bidang XOZy = 0

Bidang XOYz = 0

M= 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

= නන න 𝜌 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2

02

01

0

= 𝑐නන𝑧20

10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑐නන(1− 𝑥220 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥1

0

= 𝑐൬𝑥− 13𝑥3൰ቚ10𝑦ቚ20

= 𝑐൬1− 13൰ሺ2− 0ሻ= 43𝑐 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)


𝑀𝑌𝑂𝑍 = ම 𝑥 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

= 𝑐නන න 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2

02

01

0 = 𝑐නන𝑥𝑧20

10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑐නනሺ𝑥− 𝑥3ሻ𝑑𝑦 𝑑𝑥=20

10 𝑐൬12𝑥2 − 14𝑥4൰ቚ10𝑦ቚ20

= 𝑐൬12− 14൰ሺ2− 0ሻ= 12𝑐

𝑀𝑋𝑂𝑍 = ම 𝑦 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

= 𝑐නන න 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2

02

01

0 = 𝑐නන𝑦𝑧20

10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑐නන𝑦ሺ1− 𝑥2ሻ𝑑𝑦 𝑑𝑥=20

10 𝑐12𝑦2ቚ20൬𝑥− 13𝑥3൰ቚ10

= 𝑐2ሺ4− 0ሻ൬1− 13൰= 43𝑐 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)


𝑀𝑋𝑂𝑌 = ම 𝑧 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

= 𝑐නන න 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2

02

01

0 = 𝑐නන𝑧220

10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑐2නනሺ1− 2𝑥2 + 𝑥4ሻ𝑑𝑦 𝑑𝑥=20

10

𝑐2𝑦ቚ20൬𝑥− 23𝑥3 + 15𝑥5൰ቚ10

= 𝑐2ሺ2− 0ሻ൬1− 23+ 15൰= 815𝑐

𝑥ҧ= 𝑀𝑌𝑂𝑋𝑀 = 12𝑐43𝑐= 38

𝑦ത= 𝑀𝑋𝑂𝑍𝑀 = 43𝑐43𝑐= 1

𝑧ҧ= 𝑀𝑋𝑂𝑌𝑀 = 815𝑐43𝑐 = 25



Perhitungan Momen Inersia

dx

dy

dz

Z

Y

X

ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa

Momen inersia thd sb x:𝐼𝑥= ම ሺ𝑦2 + 𝑧2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

Momen inersia thd sb y:𝐼𝑦= ම ሺ𝑥2 + 𝑧2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

Momen inersia thd sb z:𝐼𝑧= ම ሺ𝑥2 + 𝑦2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷



EXAMPLE Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen

dgn panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2!

𝐼𝑥= ම ሺ𝑦2 + 𝑧2ሻ𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧= න න නሺ𝑦2 + 𝑧2ሻ𝑡

𝑧=0𝑙

𝑦=0𝑝

𝑥=0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

= 2නන൬𝑦2𝑧+ 13𝑧3൰ቚ𝑡0𝑙

0𝑝

0 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 2නන൬𝑦2𝑡+ 13𝑡3൰𝑙

0𝑝

0 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2𝑥ቚ𝑝0൬12𝑦3𝑡+ 13𝑡3൰ቚ𝑙0 = 2ሺ𝑝− 0ሻ൬13𝑙3𝑡+ 13𝑡3𝑙൰

= 2𝑝𝑙𝑡3 (𝑙2 + 𝑡2)



SISTEM KOORDINAT TABUNGZ

Y

X

P(x,y,z)= P(r,θ,z)Transformasi Koordinat:x = r cos θy = r sin θz = z



NILAI JACOBIAN

𝐽=ተ

ተ

𝜕𝑥𝜕𝑟 𝜕𝑥𝜕𝜃 𝜕𝑥𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑟 𝜕𝑦𝜕𝜃 𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑧𝜕𝑟 𝜕𝑧𝜕𝜃 𝜕𝑧𝜕𝑧ተተ= อ

cos𝜃 −𝑟sin𝜃 0𝑟sin𝜃 𝑟cos𝜃 00 0 1อ= 𝑟

Dengan demikianම 𝑓ሺ𝑥,𝑦,𝑧ሻ𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧= 𝐷 ම 𝐹(𝑟,𝜃,𝑧)ȁ?𝐽ȁ?𝐷 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧

= 𝐹ሺ𝑟,𝜃,𝑧ሻ 𝑟𝐷 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧



EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap sb z dari

tabung homogen x2 + y2 = 4 dan tingginya 3.Z

Y

X

x2 + y2 = 4

𝐼𝑧= ම ሺ𝑥2 + 𝑦2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷

= න න නሺ𝑥2 + 𝑦2ሻ𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧3𝑧=0

ξ4−𝑥2

𝑦=ξ4−𝑥22

𝑥=−2



Sistem koordinat polar𝐼𝑧= ම 𝑟2𝜌 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝐷 = 𝑐 න න න𝑟33

𝑧=02

𝑟=02𝜋

𝜃=0 𝑑𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝑟

= 𝑐න න𝑟320

2𝜋0 𝑧ቚ30𝑑𝜃 𝑑𝑟 = 𝑐න 3𝑟32𝜋

0 𝜃ቚ20 𝑑𝑟



mathematics iii ts 4353 class b

Documents