Download - Mathematics III TS 4353 Class B
MATHEMATICS III TS 4353
CLASS B Integral Rangkap
Herlina SetiyaningsihCivil Engineering DepartmentPetra Christian University
INTEGRAL RANGKAP DUA Integral garis
Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a โค x โค b pada sumbu x.
Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua (x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan tertutup pada suatu bidang xy.
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
เถฑ ๐แบ๐ฅแป๐๐ ๐๐ฅ
INTEGRAL RANGKAP DUA
a b
c
d
AB
P
QZ = F(Xk, Yk)
ฮAk = ฮXkฮYk
ฮYk
ฮXk
D
D dibagi n daerah bagian ฮDk dengan luas ฮAk (k=1, 2, 3, โฆ, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk).
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
X
Y
D = daerah integrasi D dicakup oleh pertidaksamaan: a โค x โค b, APB โค y โค AQB f1(x) โค y โค f2(x) c โค y โค d, QBP โค x โค QAP g1(y) โค x โค g2(y)
๐๐๐=1 แบ๐ฅ๐,๐ฆ๐แปโ๐ด๐ ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โ โ
lim๐โโ ๐๐๐=1 แบ๐ฅ๐,๐ฆ๐แปโ๐๐ โ๐๐ ๐๐๐๐ฆ๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
= เถต ๐แบ๐ฅ,๐ฆแป๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ท
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
เถต ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐ท ๐๐ฅ ๐๐ฆ= เถฑ เถฑ ๐แบ๐ฅ,๐ฆแป๐๐ฆ๐2(๐ฅ)๐ฆ=๐1(๐ฅ) ๐
๐ฅ=๐ ๐๐ฅ
Diintegralkan terhadap y dengan menganggap x konstan
เถต ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐ท ๐๐ฅ ๐๐ฆ= เถฑ เถฑ ๐แบ๐ฅ,๐ฆแป๐๐ฅ๐2(๐ฆ)๐ฅ=๐1(๐ฆ) ๐
๐ฆ=๐ ๐๐ฆ
Diintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 1
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 2
Diketahui a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinyab/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I
๐ผ= เถฑ เถฑ๐๐ฆ๐ฅ๐ฅ3/2 ๐๐ฅ1
0
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 3
y=xx=yx=y2/3
y = x3/2
1
1
x
y
เถฑ เถฑ๐๐ฆ ๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ3/2
10 = เถฑ เถฑ ๐๐ฆ๐ฆ=๐ฅ
๐ฆ=๐ฅ3/2๐ฅ=1
๐ฅ=0 ๐๐ฅ
= เถฑ๐ฆ1๐ฅ=0 แ
๐ฅ๐ฅ3/2 ๐๐ฅ= เถฑ
1๐ฅ=0 เตซ๐ฅโ ๐ฅ3/2เตฏ ๐๐ฅ
= เตฌ12๐ฅ2 โ 25๐ฅ5/2เตฐแ10 = เตฌ
12โ 25เตฐโ (0โ 0)
= 110
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 3
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
เถฑเถฑ ๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฆ2/3
๐ฆ1
0 = เถฑ เตฆ เถฑ ๐๐ฅ๐ฅ=๐ฆ2/3
๐ฅ=๐ฆ เตช
๐ฆ=1๐ฆ=0 ๐๐ฆ
= เถฑ ๐ฅ๐ฆ=1๐ฆ=0 เธฌ๐ฆ2/3๐ฆ ๐๐ฅ= เถฑ
1๐ฆ=0 เตซ๐ฆ2/3 โ ๐ฆเตฏ ๐๐ฆ
= เตฌ35๐ฆ5/3 โ 12๐ฆ2เตฐแ10 = เตฌ
35โ 12เตฐโ (0โ 0)
= 110
Diketahui:
Y
X10
1
2
x=0
x=y
y=2
y =1y=x
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Perhitungan Luas
dyd
x
D
X
YElemen luas dL = dx dyLuas:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x2 dan
y=1Y
X
D
y=1
1-1 y=2-x2
Titik-titik potongy = 2-x2 2-x2 = 1y = 1 1-x2 = 0
x = -1 or x = 1
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2
dan x+y = 2
X
x + y =2
x = y2
-2
1
Y Titik-titik potongx = y2 y2=2-yx= 2-y y2+y-2 = 0
(y-1)(y+2)=0
y=1 or y=-2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Massa
dyd
x
ฯ= ฯ(x,y)
X
Y
Rapat massa(untuk pelat tipis tidak punya ketebalan)Elemen massa dM= ฯ dx dyMassa :
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi
y=2โx, sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x.
X
Y
y = 2โx
x = 4
ฯ = kyyk = konstanta kesebandingan
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
โข Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ฯ dx dy
โข Momen terhadap sumbu x:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
dyd
x
ฯ= ฯ(x,y)
X
Y
y
x
Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ฯ dx dy Momen terhadap sumbu y:
Pusat Massa
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis
(pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang dibatasi kurva y=x dan y=x2
X
Yy=x2 y=x
D ฯ = c (konstan)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Titik-titik potongy = x2 x2=xy= x x2-x = 0
x(x-1)=0x=0 or x=1
0 1
๐๐ฅ=เถต ๐ฆ ๐๐ท ๐๐ฅ ๐๐ฆ= ๐เถฑเถฑ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ2
10
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
๐๐ฆ= เถต ๐ฅ ๐๐ท ๐๐ฅ ๐๐ฆ= ๐เถฑเถฑ๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ2
10
Pusat massa : (1/2, 2/5)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Momen Inersia
dyd
x
ฯ= ฯ(x,y)
X
Y
D
yx
r
Elemen momen inersia thd sumbu x:dIx= y2 ฯ dx dyMomen inersia thd sb x:
Elemen momen inersia thd sumbu y:dIy= x2 ฯ dx dyMomen inersia thd sb y:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Momen Inersia thd titik pusat O
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Tentukan momen inersia terhadap:
a/. Sumbu xb/. Sumbu yc/. Titik pusat Oyang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x2
X
Yy=x2 y=x
D ฯ = c (konstan)
Titik-titik potong:y=x2 x2=xy=x x2-x=0
x(x-1)=0x=0 or x=1
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Volume
Z
X
Y
D
Z= f(x,y)Elemen volume dV = z dx dyVolume:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
X Y Z Oktan (ruang)
+ + + I- + + II- - + III+ - + IV+ + - V- + - VI- - - VII+ - - VIII
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di
oktan pertama!
6
23
z = 6 โ 2x โ 3y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
X
Y
Z
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
= แบ18โ 18+ 6แป= 6
EXAMPLE Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi
z=y, y=x2 dan x=y2
Z
X
Y
z = y
y=x2
x=y2 y=x1/2
x=0y=x2
x=1
y=x2
x=y2
z = y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
x=y2 y=x2
X
Y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Luas Permukaan Kulit
Z
X
Y
Z= f(x,y)k = ?
Elemen luas permukaan/ kulit:
Luas permukaan/ kulit:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di
oktan IZ
X
Y
Y
X2
33x + 2y = 6y = (6-3x)/2z = 6 - 3x โ 2y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
dx
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
SISTEM KOORDINAT POLAR/ KUTUB
Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar:x = r cos ฮธy = r sin ฮธ
Y
X
y
x
r
ฮธ
P(x,y) = P(r,ฮธ)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
O
NILAI JACOBIAN
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4
X
Y
2-2 Sistem Koordinat Polar
Sistem Koordinat Kartesius
r2
b
2ฯ
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina
homogen x2 + y2 = a2 di atas sumbu x Sistem koordinat kartesius:
-a a
x2+y2=a2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
INTEGRAL RANGKAP TIGA
โxk
โyk
โzk f(x,y,z)
Z
Y
X
Diintegralkan thd z dengan menganggap x,y
konstanDiintegralkan thd y
dengan menganggap x konstan
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA Perhitungan Volume
Elemen volume: dV = dx dy dz
Volume:
โxk
โyk
โzk
Z
Y
X
V
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi tabung x2 + z2 =
4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di oktan I.
Tabung x2 + z2 =4 z=โ4-x2
Bidang XOZ y = 0X
Bid XOY z =0
Bid Y=X
Z
Y
Y
X
y = x
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
2
๐= เถธ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง=๐ท เถฑ เถฑ เถฑ ๐๐ง ๐๐ฆ ๐๐ฅฮพ4โ๐ฅ2
๐ง=0๐ฅ
๐ฆ=02
๐ฅ=0
= เถฑเถฑ๐ง๐ฅ0
20 เธฌเถฅ4โ ๐ฅ20 ๐๐ฆ ๐๐ฅ= เถฑเถฑเถฅ4โ ๐ฅ2๐ฅ
02
0 ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= เถฑเถฅ4โ ๐ฅ220 ๐ฆแ๐ฅ0๐๐ฅ= เถฑ๐ฅ เถฅ4โ ๐ฅ22
0 ๐๐ฅ
= โ12เถฑแบ4โ ๐ฅ2แป๐แบ4โ ๐ฅ2แป2
0 = โ12.23(4โ ๐ฅ2)3/2แ20
= โ13แบ0โ 8แป= 83
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Massa
dx
dy
dz
Z
Y
X
ฯ = โซ(x, y, z) = rapat massa
Elemen massa: dM= ฯ dx dy dz
Massa:M= ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Momen terhadap bidang: Titik
Berat:๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ เถธ ๐ ๐ง ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ เถธ ๐ ๐ฆ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ เถธ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
๐ฆเดค= ๐๐๐๐๐ = ๐ ๐ฆ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
๐งาง= ๐๐๐๐๐ = ๐ ๐ง ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
๐ฅาง= ๐๐๐๐๐ = ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-
x2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan I!
Z
X
Y
z = 1-x2
y = 2
1 2
Bidang XOZy = 0
Bidang XOYz = 0
M= ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
= เถฑเถฑ เถฑ ๐ ๐๐ง ๐๐ฆ ๐๐ฅ1โ๐ฅ2
02
01
0
= ๐เถฑเถฑ๐ง20
10 เธฌ1โ ๐ฅ20 ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= ๐เถฑเถฑ(1โ ๐ฅ220 ) ๐๐ฆ ๐๐ฅ1
0
= ๐เตฌ๐ฅโ 13๐ฅ3เตฐแ10๐ฆแ20
= ๐เตฌ1โ 13เตฐแบ2โ 0แป= 43๐ Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
๐๐๐๐ = เถธ ๐ฅ ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
= ๐เถฑเถฑ เถฑ ๐ฅ ๐๐ง ๐๐ฆ ๐๐ฅ1โ๐ฅ2
02
01
0 = ๐เถฑเถฑ๐ฅ๐ง20
10 เธฌ1โ ๐ฅ20 ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= ๐เถฑเถฑแบ๐ฅโ ๐ฅ3แป๐๐ฆ ๐๐ฅ=20
10 ๐เตฌ12๐ฅ2 โ 14๐ฅ4เตฐแ10๐ฆแ20
= ๐เตฌ12โ 14เตฐแบ2โ 0แป= 12๐
๐๐๐๐ = เถธ ๐ฆ ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
= ๐เถฑเถฑ เถฑ ๐ฆ ๐๐ง ๐๐ฆ ๐๐ฅ1โ๐ฅ2
02
01
0 = ๐เถฑเถฑ๐ฆ๐ง20
10 เธฌ1โ ๐ฅ20 ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= ๐เถฑเถฑ๐ฆแบ1โ ๐ฅ2แป๐๐ฆ ๐๐ฅ=20
10 ๐12๐ฆ2แ20เตฌ๐ฅโ 13๐ฅ3เตฐแ10
= ๐2แบ4โ 0แปเตฌ1โ 13เตฐ= 43๐ Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
๐๐๐๐ = เถธ ๐ง ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
= ๐เถฑเถฑ เถฑ ๐ง ๐๐ง ๐๐ฆ ๐๐ฅ1โ๐ฅ2
02
01
0 = ๐เถฑเถฑ๐ง220
10 เธฌ1โ ๐ฅ20 ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= ๐2เถฑเถฑแบ1โ 2๐ฅ2 + ๐ฅ4แป๐๐ฆ ๐๐ฅ=20
10
๐2๐ฆแ20เตฌ๐ฅโ 23๐ฅ3 + 15๐ฅ5เตฐแ10
= ๐2แบ2โ 0แปเตฌ1โ 23+ 15เตฐ= 815๐
๐ฅาง= ๐๐๐๐๐ = 12๐43๐= 38
๐ฆเดค= ๐๐๐๐๐ = 43๐43๐= 1
๐งาง= ๐๐๐๐๐ = 815๐43๐ = 25
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Momen Inersia
dx
dy
dz
Z
Y
X
ฯ = โซ(x, y, z) = rapat massa
Momen inersia thd sb x:๐ผ๐ฅ= เถธ แบ๐ฆ2 + ๐ง2แป๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
Momen inersia thd sb y:๐ผ๐ฆ= เถธ แบ๐ฅ2 + ๐ง2แป๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
Momen inersia thd sb z:๐ผ๐ง= เถธ แบ๐ฅ2 + ๐ฆ2แป๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen
dgn panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ฯ = 2!
๐ผ๐ฅ= เถธ แบ๐ฆ2 + ๐ง2แป๐ท ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง= เถฑ เถฑ เถฑแบ๐ฆ2 + ๐ง2แป๐ก
๐ง=0๐
๐ฆ=0๐
๐ฅ=0 2 ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง
= 2เถฑเถฑเตฌ๐ฆ2๐ง+ 13๐ง3เตฐแ๐ก0๐
0๐
0 ๐๐ฆ ๐๐ฅ= 2เถฑเถฑเตฌ๐ฆ2๐ก+ 13๐ก3เตฐ๐
0๐
0 ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= 2๐ฅแ๐0เตฌ12๐ฆ3๐ก+ 13๐ก3เตฐแ๐0 = 2แบ๐โ 0แปเตฌ13๐3๐ก+ 13๐ก3๐เตฐ
= 2๐๐๐ก3 (๐2 + ๐ก2)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
SISTEM KOORDINAT TABUNGZ
Y
X
P(x,y,z)= P(r,ฮธ,z)Transformasi Koordinat:x = r cos ฮธy = r sin ฮธz = z
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
NILAI JACOBIAN
๐ฝ=แฐ
แฐ
๐๐ฅ๐๐ ๐๐ฅ๐๐ ๐๐ฅ๐๐ง๐๐ฆ๐๐ ๐๐ฆ๐๐ ๐๐ฆ๐๐ง๐๐ง๐๐ ๐๐ง๐๐ ๐๐ง๐๐งแฐแฐ= เธญ
cos๐ โ๐sin๐ 0๐sin๐ ๐cos๐ 00 0 1เธญ= ๐
Dengan demikianเถธ ๐แบ๐ฅ,๐ฆ,๐งแป๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง= ๐ท เถธ ๐น(๐,๐,๐ง)ศ?๐ฝศ?๐ท ๐๐ ๐๐ ๐๐ง
= ๐นแบ๐,๐,๐งแป ๐๐ท ๐๐ ๐๐ ๐๐ง
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap sb z dari
tabung homogen x2 + y2 = 4 dan tingginya 3.Z
Y
X
x2 + y2 = 4
๐ผ๐ง= เถธ แบ๐ฅ2 + ๐ฆ2แป๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ท
= เถฑ เถฑ เถฑแบ๐ฅ2 + ๐ฆ2แป๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง3๐ง=0
ฮพ4โ๐ฅ2
๐ฆ=ฮพ4โ๐ฅ22
๐ฅ=โ2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Sistem koordinat polar๐ผ๐ง= เถธ ๐2๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ท = ๐ เถฑ เถฑ เถฑ๐33
๐ง=02
๐=02๐
๐=0 ๐๐ ๐๐ง ๐๐
= ๐เถฑ เถฑ๐320
2๐0 ๐งแ30๐๐ ๐๐ = ๐เถฑ 3๐32๐
0 ๐แ20 ๐๐
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2