LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik – titik pada bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik

tetap.

Titik tetap itu disebut pusat lingkaran dan jarak titik tetap itu ke titik tertentu disebut jari –

jari lingkaran.

1.Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) dan Jari – Jari r

Jadi, lingkaran berpusat di O(0,0) dan berjari – jari r mempunyai persamaan lingkaran atau

dikatakan bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan

jari – jari r adalah

Contoh :

Carilah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3,-2)!

Jawab :

}|),{(

}|),{(

}|),{(

}|),{(

222

222

22

ryxyx

OPPQOQyx

rOPyx

rOPyx

}|),{( 222 ryxyx 222 ryx

Misal persamaan lingkaran melalui (3,-2)

Nilai harus terlebih dahulu, dimana x=3 dan y=-2 maka :

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3,-2) adalah

2.Persamaan Lingkaran Berpusat di M(a,b) dan jari – jari r

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di M(a,b) dan jari – jari r adalah

Contoh :

Carilah persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan melalui titik (2,1)!

Jawab :

Misal persamaan lingkaran melalui (2,1)

Nilai harus terlebih dahulu, dimana x=2 dan y=1 maka:

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3,-2) adalah

222 ryx

2r

2

2

222

13

49

)2()3(

r

r

r

222 13 yx

})()(|),{(

}|),{(

}|),{(

}|),{(

222

222

22

rbyaxyx

MPPQMQyx

rMPyx

rMPyx

222 )()( rbyax

222 )3()4( ryx

2

2

22

222

20

164

)4()2(

)31()42(

r

r

r

r

2r

222 20)3()4( yx

3. Persamaan Umum Lingkaran

Lingkaran mempunyai persamaan umum yaitu:

Dimana titik pusatnya adalah (-A,-B) dan jari – jarinya

4. Menentukan Persamaan Lingkaran

a. Jarak titik terhadap titik

Jarak titik dan adalah

b. Jarak titik terhadap garis

Jarak titik terhadap garis ax+by+c=0 adalah :

02222 CByAxyx

CBAr 22

2y

1y

1x

12 yy

),( 22 yxQ

),( 11 yxP

12 xx

2x

2

12

2

12

2 )()()( yyxxPQ

2

12

2

12 )()( yyxxPQ

),( 11 yxP ),( 22 yxQ2

12

2

12 )()( yyxxPQ

),( 11 yxP22

11

ba

cbyaxr

),( 11 yxP 0 cbyax

5. Posisi Suatu Titik Terhadap Suatu Lingkaran

Apabila M(a,b) adalah pusat lingkaran yang berjari-jari r, maka :

a. Bagaimana posisi titik A yang terletak didalam lingkaran;

b. Bagaimana posisi titik B yang terletak pada lingkaran;

c. Bagaimana posisi titik C yang terletak diluar lingkaran?

Pada titik A,B, dan C terhadap lingkaran dapat dilihat pada gambar berikut.

a. Titik A(x1,y1) terletak dalam lingkaran.

AM < r

AM2 < r

2

(x1-a)2 + (y1 – b)

2 < r

2

b. Titik B(x1,y1) terletak pada lingkaran.

BM = r

BM2 = r

2

(x1-a)2 + (y1 – b)

2 = r

2

c. Titik C(x1,y1) terletak diluar lingkaran.

CM > r

CM2 > r

2

(x1-a)2 + (y1 – b)

2 > r

2

Dengan memperhatikan keterangan pada gambar 4.11, 4.12, dan 4.13, kedudukan setiap

titik P(x1,y1):

a) Terhadap lingkaran yang mempunyai persamaan lingkaran x2+y

2=r

2, adalah jika

Titik P di dalam lingkaran maka x12+y1

2 < r

2

Titik P pada lingkaran maka x12+y1

2 = r

2

Titik P diluar lingkaran maka x12+y1

2 > r

2

b) Terhadap lingkaran yang mempunyai persamaan lingkaran (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2

Titik P didalam lingkaran maka (x - a)2 + (y - b)

2 < r

2

Titik P pada lingkaran maka (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2

Titik P diluar lingkaran maka (x - a)2 + (y - b)

2 > r

2

c) Terhadap lingkaran yang mempunyai persamaan lingkaran x2+y

2+2Ax+2By+C=0,

adalah jika;

Titik P didalam lingkaran maka x12+y1

2+2Ax1+2By1+C<0

Titik P pada lingkaran maka x12+y1

2+2Ax1+2By1+C=0

Titk P diluar lingkaran maka x12+y1

2+2Ax1+2By1+C>0

Contoh:

1. Di manakah kedudukan titik A(1,2) dan B (-3,4) terhadap lingkaran dengan persamaan:

A. x2 + y

2 = 25

B. (x - 1)2 + (y + 3)

2 = 25

C. x2 + y

2 – 6x – 8y + 16 = 0

jawab :

A. x2 + y

2 = 25 , r

2 = 25

jika melalui titik A (1,2) maka 12+2

2 = 1 + 4 = 5

x2 + y

2 < r

2

jadi, titik A didalam lingkaran

jika melalui titik B(-3,4) maka (-3)2 + 4

2 = 9 + 16 = 25

x2 + y

2 = r

2

jadi, titik B pada lingkaran.

B. (x - 1)2 + (y + 3)

2 = 25, r

2= 25

Jika melalui titik A(1,2) maka (1 - 1)2 + (2 + 3)

2 = 0 + 25= 25

(x - 1)2 + (y + 3)

2 = r

2

Jadi, titik A pada lingkaran.

Jika melalui titik B (-3,4) maka (-3 - 1)2 + (4 + 3)

2 = 16 + 49 = 65

(x - 1)2 + (y + 3)

2 > r

2

Jadi, titik B diluar lingkaran.

C. x2 + y

2 – 6x – 8y + 16 = 0

jika melalui titik A (1,2) maka 1+4-6-16+16= -1

x2 + y

2 – 6x – 8y + 16 < 0

jadi titik A di dalam lingkaran.

Jika melalui titik B(-3,4) maka 9+16+18-32+16 = 27

x2 + y

2 – 6x – 8y + 16 > 0

jadi titik B terletak di luar lingkaran.

2. Titik A (k,3) terletak pada lingkaran x2 + y

2 =25, carilah k?

Jawab:

Untuk titik A(k,3) terletak pada lingkaran maka x2 + y

2 = r

2

x2 + y

2 =25

k2 + 9 = 25

k2=16

k= ± 4

k = 4 atau k= -4

jadi titik A adalah (4,3) dan (-4,3)

3. Titik A (8,h) terletak didalam lingkaran (x - 3)2 + (y - 5)

2 =169 carilah nilai h?

Jawab:

Titik A (8,h) terletak didalam lingkaran (x - 3)2 + (y - 5)

2 < r

2

(8 - 3)2 + (h - 5)

2 <169

25 + h2- 10h+25<169

h2- 10h-119<0

(h+7)(h-17)<0

-7 < h <17

Jadi untuk -7< h <17 maka titik A (8,h) akan terletak didalam lingkaran.

+ + + - - - + + +

-7 -17

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

a. Persamaan Garis Singgung di Titik A(x1,y1) pada Lingkaran x2

+ y2= r

2

Perhatikan Gambar dibawah ini! Titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y

2= r

2 berarti

menjadi x12 + y1

2= r

2 … (1)

Jika dari titik A(x1,y1) dibuat garis g yang sedemikian hingga menyinggung

lingkaran x2 + y

2= r

2 maka garis g tegak lurus OA. Misalkan gradient garis OA adalah mOA

dan gradient g adalah mg maka 𝑚𝑂𝐴 =𝑦1

𝑥1 garis OA tegak lurus garis g, maka :

mOA . mg = -1

𝑦1

𝑥1 . mg = -1

mg = - 𝑥1

𝑦1

y

x

A(x1,y1)

O

Garis yang menyinggung

lingkaran di satu titik

Persamaan garis g adalah : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑔 𝑥 − 𝑥1

𝑦 − 𝑦1 = −𝑥1

𝑦1 𝑥 − 𝑥1

𝑦 − 𝑦1 𝑦1 = −𝑥1 𝑥 − 𝑥1

𝑦1𝑦 − 𝑦12 = −𝑥1 𝑥 + 𝑥1

2

𝑥1 𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑥12 + 𝑦1

2 … (2)

Dari persamaan 1) dan 2) didapat persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada lingkaran

x2 + y

2= r

2 adalah 𝑥1 𝑥 + 𝑦1𝑦 = r

2.

b. Persamaan Garis Singgung di Titik A(x1,y1) pada Lingkaran (x-a)2

+(y-b)2= r

2

Suatu persamaan lingkaran C berpusat di (a,b) dan berjari-jari r, C: (x-a)2 + (y-b)

2 = r

2, dan

suatu titik A(x1,y1) pada C mempunyai persamaan garis singgung di A(x1,y1).

Dengan translasi 𝑎𝑏

terhadap C : (x-a)2 + (y-b)

2 = r

2 maka diperoleh C’ : x

2+y

2 = r

2.

Sedangkan titik A(x1,y1) pada lingkaran C akan menjadi A’ (x1-a,y1-b) . Berdasarkan rumus pada

garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0) di A(x,y) maka persamaan garis singgung

lingkaran x2 + y

2 = r

2 di A’ (x1-a,y1-b) adalah g’ dengan persamaan (x1-a)x + (y1-b)y = r

2 . Oleh

translasi dibalikkan dari ( −𝑎−𝑏

), yaitu ( 𝑎𝑏

) terhadap garis singgung g’, maka diperoleh garis

singgung g terhadap (x-a)2 + (y-b)

2 = r

2 di A(x1,y1).

Jadi, persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada lingkaran (x-a)2 + (y-b)

2 = r

2 adalah

𝒙𝟏 − 𝒂 𝒙 − 𝒂 + 𝒚𝟏 − 𝒃 𝒚 − 𝒃 = 𝒓𝟐

2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

A

B

Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3

Dari gambar diatas terdapat 3 kemungkinan kedudukan garis g terhadap lingkaran L yaitu:

1) Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan

2) Garis g menyinggung lingkaran disuatu titik

3) Garis g tidak memotong lingkaran

Hubungan antar keduudkan suatu garis terhadap suatu lingkaran dengan akar persamaan

kuadrat yang dihasilkan dan diskriminannya dapat dilihat pada table berikut:

No. Kedudukan garis

Terhadap lingkaran

Persamaan kuadrat yang

dihasilkan akan memiliki Diskriminan (D)

1 Garis g memotong

lingkaran di dua titik yang

berlainan

Dua akar real yang berlainan D > 0

2 Garis g menyinggung

lingkaran disuatu titik

Dua akar yang sama D = 0

3 Garis g tidak memotong

lingkaran

Akar-akar yang tidak real D < 0

3. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

a. Persamaan garis kutub atau polar titik p(x1, y1) terhadap lingkaran x2 + y

2= r

2

Gambar diatas menggunakan software geogebra.

Perhatikan gambar diatas!

Titik P(x1, y1) diluar lingkaran x2 + y

2 = r

2 , jika dari titik P dibuat garis g dan l

sehingga menyinggung lingkaran di titik A dan B, maka garis AB disebut garis kutub atau

garis polar titik P(x1, y1).

1) Persamaan garis singgung di titik A(x2, y2) pada lingkaran x2 + y

2 = r

2 adalah garis AP

yang mempunyai persamaan x2x +y2y = r2. Karena titik P(x1, y1) pada garis g maka

berlaku x2x1 +y2y1 = r2 . Namun hal ini juga berarti bahwa titik A(x2, y2) terletak pada

garis x1x +y1y = r2….i)

2) Persamaan garis singgung di titik B(x3, y3) pada lingkaran x2 + y

2 = r

2 adalah garis BP

yang mempunyai persamaan x3x +y3y = r2. Karena titik P(x1, y1) pada garis g maka

berlaku x3x1 +y3y1 = r2 . Namun hal ini juga berarti bahwa titik B(x3, y3) terletak pada

garis x1x +y1y = r2….ii)

3) Dari persamaan i) dan ii) diperoleh kesimpulan bahwa persamaaan garis AB, adalah

x1x +y1y = r2.

P(x1, y1)

A(x2, y2)

B(x3, y3)

Berdasarkan keterangan diatas berlaku pula:

1. Persamaan garis kutub titik P(x1, y1) terhadap lingkaran (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2 adalah

(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2

2. Persamaan garis kutub titik P(x1, y1) terhadap lingkaran x2 + y

2 + 2Ax +2By +C = 0

adalah x1x + y1y = A(x1+x ) + B(y1+y) + C = 0

b. Persamaan garis singgung dari titik P(x1, y1) diluar lingkaran

Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik P(x1, y1) diluar lingkaran

diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Mencari persamaan garis kutub titik P(x1, y1). Terhadap lingkaran.

2. Mencari kordinat titik potong antara garis kutub dan lingkaran

3. Mencari persamaan garis singgung ditiap potong antara garis kutub dan lingkaran

4. Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien tertentu

a. Persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran x2 + y

2= r

2 jika m

diketahui.

Persamaan garis singgung terhadap lingkaran x2 + y

2= r

2 dengan gradient

m dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

1) Misalkan persamaan garis dengan gradient m itu adalah y = mx + n

2) Subtitusikan y = mx + n kepersamaan lingkaran x2 + y

2= r

2 , sehingga diperoleh :

x2 + (mx + n)

2= r

2

x2 + m

2x

2 +2 mnx + n

2 =r

2

(1 + m2)x

2 + 2mnx +n

2 – r

2 = 0 … (persamaan kuadrat)

b2 – 4 ac = 0

(2mn)2 – 4 (1 + m

2)( n

2 – r

2) = 0

4m2n

2 – 4 (n

2 – r

2 + m

2n

2 – m

2r2) = 0

4m2n

2 – 4n

2 +4r

2 - 4m

2n

2 +4 m

2r2 = 0

-4n2 + 4r

2 + 4 m

2r2 = 0

-n2+r

2+ m

2r2 = 0

n2 = r

2 + m

2r2

= r2(1+m

2)

n = ±𝑟 1 + 𝑚2

n Subtitusikan ke persamaan garis y = mx + n, sehingga persamaan garis

singgung dengan gradien m terhadap lingkaran x2 + y

2= r

2 adalah

y = mx ±𝒓 𝟏 + 𝒎𝟐

b. Persamaan garis singgung dengan gradient m terhadap lingkaran

(x - a)2 + (y - b)

2 = r

2

Gambar diatas menggunakan software geogebra

1) Jika lingkaran (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2 ditranslasikan dengan (

−𝑎−𝑏

) maka diperoleh

lingkaran dengan persamaan x2 + y

2 = r

2 dan garis g menjadi g’ (garis singgung di

x2 + y

2 = r

2)

2) Persamaan garis singgung dengan gradient m pada lingkaran x2 + y

2 = r

2 adalah g’

dengan persamaan y = mx ± 𝑟 1 + 𝑚

3) Jika g’ ditranslasikan dengan ( 𝑎𝑏

) maka akan menjadi garis g dengan persamaan

𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 1 + 𝑚2

4) Jadi persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2

adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 1 + 𝑚2