KALIMAT

PERNYATAAN

KALIMAT TERBUKA

KALIMAT BERKUANTOR

PENARIKAN KESIMPULAN

MODUS TOLLENS

MODUS PONENS

SILOGISME

LOGIKAMATEMATIKA

OPERASI LOGIKA

UNER : NEGASI

BINER :KONJUNGSIDISJUNGSIIMPLIKASI

BIIMPLIKASI

KHUSUS:KONVERS

INVERSKONTRAPOSISI

EKIVALENSI

LOGIKA MATEMATIKA

A. Pendahuluan Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan-aturan penalaran yang benar. Logika

berhubungan dengan pernyataan, oleh karena itu dalam logika hanya terdapat dua kemungkinan nilai kebenaran yaitu salah atau benar.

Matematika dibangun berdasarkan suatu system yang memuat beberapa istilah dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tampa pembuktian. Suatu system matematika merupakan penerapan berbagai metode aksiomatik dari logika yang kebenarannya konsisten dan dapat dibuktikan. Istilah tak terdefinisi

adalah istilah dasar yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan tetapi pengertiannya dapat diterima. Contoh titik, himpunan.dan lain sebagainya.

Istilah terdefinisiIstilah yang dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu.contoh garis. Garis didefinisikan sebagai himpunan titik-titik.

Aksioma atau postulatPernyataan yang memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak dibuktikan kebenarannya.

TeoremaPernyataan yang dirumuskan secara logika dan dibuktikan kebenarannya. Contoh garis sejajar, harus dibuktikan kebenarannya bahwa dua garis dinyatakan sejajar.

B. Pernyataan, kalimat terbuka dan ingkaran Pernyataan : suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya. Benar atau salah saja

dan tidak berlaku keduanya. Contoh “ dua pangkat tiga sama dengan delapan”

Kalimat terbuka : suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena mengandung variable atau peubah. Contoh 2x – 7 > 1

Ingkaran dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang menyangkal pernyataan yang diberikan dan nilai kebenarannya berlawanan dengan pernyataan awal. Biasanya dilambangkan dengan (~)Contoh. P : 2 adalah bilangan genap~P : tidak benar 2 bilangan genap

C. Pernyataan majemukDua atau lebih pernyataan dapat digabungkan menjadi pernyataan baru yang disebut

psernyataan majemuk. Penggabungan pernyataan menggunakan kata hubung logika seperti “dan” (), “atau” (), “jika ….maka……”(→) , “jika dan hanya jika……”() 1. Konjungsi “…. Dan…..” ()2. Disjungsi “…. Atau …..” ()3. Implikasi “jika ….maka……”(→)4. Biimplikasi “…….jika dan hanya jika……”()Nilai kebenaran untuk keempat pernyataan majemuk tersebut adalah sebagai berikut:

P Q ~P P Q P Q P → Q P QB B S B B B BB S S S B S SS B B S B B SS S B S S B B

Catatan: Kata “dan” dapat diganti “ tetapi” , “meskipun” , “walaupun” Kata “ ….jika dan hanya jika …..” bisa diganti “ …..bila dan hanya bila ….”

Contoh P : 2 adalah bilangan genap.

~P : 2 adalah bilangan prima.Nyatakan dengan kata-kata bentuk berikut:

a. P Q b. P Q c. P → Q d. P Q Jawab.a. P Q : “2 adalah bilangan genap dan 2 adalah bilangan prima”.b. P Q : “2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima” .c. P → Q : Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 adalah bilangan prima” .d. P Q : “2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 adalah bilangan prima” . Nilai kebenaran untuk ingkaran (negasi) perhatikan table Negasi konjungsi Negasi disjungsi

P Q

~( P Q ) P ~Q

B S SS B BS B BS B B

Negasi Implikasi P → Q ~( P → Q) P ~ Q

B S SS B BB S SB S S

Contoh. P : 2 adalah bilangan genap.~P : 2 adalah bilangan prima.

Nyatakan dengan kata-kata bentuk berikut:a. ~(P Q) b. ~(P Q) c. ~(P → Q)

Jawab.a. ~(P Q) : “2 bukan bilangan genap atau 2 bukan bilangan prima”.b. ~(P Q) : “2 bukan bilangan genap dan 2 bukan bilangan prima” .c. ~(P → Q) : 2 adalah bilangan genap dan 2 bukan bilangan prima” .

D. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI(P → Q) = Implikasi(Q → P) = Konvers~P → ~Q = Invers~Q → ~P = KontraposisiP Q (P → Q) (Q → P) ~P → ~Q ~Q → ~PB B B B B BB S S B B SS B B S S BS S B B B B

Dari table dapat diketahui bahwa nilai kebenaran Implikasi sama dengan Kontraposisi dan Konvers sama dengan Invers.Contoh. “Jika hujan lebat maka jalanan banjir”, tentukan Konvers, Invers dan KontraposisinyaJawab:

Konvers : Jika jalanan banjir maka hujannya lebat.Invers : Jika hujannya tidak lebat maka jalanan tidak banjirKontraposisi : Jika jalanan tidak banjir maka hujannya tidak lebat.

Tautologi adalah pernyataan majmuk yang selalu bernilai benarKontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah

P Q P ~P (P ~P)→ QB B S BB S S B

P Q ~( P Q ) P ~Q B S SS B BS B BS B B

S B S BS S S B

E. PENARIKAN KESIMPULAN

1. ATURAN DASAR PENARIKAN KESIMPULANModus PonensP1 = P QP2 = PK : Q

Modus TollensP1 : P QP2 : ~ QK : ~ P

SilogismeP1 : P QP2 : Q R K : P R

2. HUKUM-HUKUM PENUKARAN

Soal-soal

1. Diketahui pernyataan-pernyataan p, q, dan r. Pernyataan : ( p↔q )¿ (r→~ p ) bernilai benar jika …..a. p benar, q benar, dan r benarb. p benar, q benar, dan r salahc. p benar, q salah, dan r benard. p salah, q benar, dan r salahe. p benar, q salah, dan r salah

2. Pernyataan-pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ……..a. jika 22=8 maka 2log 8=3

b. sin 30∘

=

12 √3

atau √225=15

c. 2log72 – 2 log 9=2 jika dan hanya jika 25

−12=−1

5

d. jika 2-2=4 maka x2≥0 , x∈ℜ

e. √841=29 dan 5log50=5

3. Jika diketahui ~p bernilai benar dan ~q bernilai salah maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ……….

a. (~ p∨~q )∧q

b. (~ p→q )∧q

c. (~ p↔q )∧q

d. ( p∧q )→ p

e. (~ p∨q )→ p

4. Diketahui :p : 2 bukan bilangan primaq : 729 merupakan bilangan kuadratr : 30 mempunyai 6 faktorPernyataan majemuk berikut yang bernilai salah adalah …..a. p → qb. ~p → rc. q ¿ rd. q ¿ ~re. ~p ¿ q

5. Jika pernyataan p bernilai benar, q bernilai benar, dan r bernilai salah, maka pernyataan berikut bernilai benar adalah ……a. (p ¿ q) → rb. (~p → q) ¿ rc. (p ¿ q) ¿ rd. (p ¿ q) → (p ¿ r)e. (~p ¿ q) ¿ r

6. Nilai x yang menyebabkan pernyataan : “ Jika x2 + x = 6 maka x2 < 9 ” bernilai salah adalah ……..a. 6b. 2c. 1d. -2e. -3

7. Jika pernyataan p bernilai benar, q bernilai salah, dan r bernilai benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ………a. (p ¿ ~q) → rb. (~p ¿ q) → ~rc. (p → q) ¿ rd. (~p → q) ¿ ~re. (p ¿ q) ¿ r

8. Jika p salah, q benar, dan r benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ……a. (~p ¿ q) → ~rb. q → (~p ¿ ~r)c. (~p ¿ q) → ~rd. ~p ↔ (q ¿ ~r)e. (p ¿ q) → ~r

9. Ingkaran dari pernyataan, “ Jika semua orang mematuhi tata tertib lalu lintas, maka tidak ada seorangpun yang celaka” adalah …….

a. Jika tidak semua orang mematuhi tata tertib lalu lintas maka semua orang celakab. Jika ada orang yang tidak mematuhi tata tertib lalu lintas maka ada orang yang celakac. Ada orang yang tidak mematuhi tata tertib lalu lintas dan ada orang yang celakad. Ada orang yang tidak mematuhi tata tertib lalu lintas atau semua orang tidak celakae. Semua orang mematuhi tata tertib lalu lintas dan ada orang yang celaka

10. Negasi dari pernyataan majemuk p→ (q∨~ r ) adalah ….

a. (r∧~q )→~ p

b. (q∨~ r )→ p

c. p∧ (q∨~ p )

d. p∨ (~q∨r )

e. p∧ (~q∧r )

11. Ingkaran dari ( p∧q )→r adalah ….a. ~ p∨~ q∨r

b. (~ p∧~q )∨rc. p∧q∧~ r

d. ~ p∧~ q∧r

e. (~ p∨~q )∧r

12. Ingkaran dari pernyataan :” Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah ...a. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minumb. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau tidak perlu minumc. Ada makhluk hidup yang tidak perlumakan minumd. Semua makhluk tidak hidup tidak perlu makan dan minume. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum

13. Ingkaran dari pernyataan :”beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah ...a. Semua bilangan prima adalah bilangan genapb. Semua bilangan prima bukan bilangan genapc. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genapd. Beberapa bilangan genap bukan bilangan primae. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

14. Ingkaran dari pernyaataan :” Jika Rudi rajin belajar, maka ia lulus ujian: adalah ….a. Jika Rudi rajin belajar, maka ia tidak lulus ujianb. Jika Rudi tidak rajin belajar, maka ia tidak lulus ujianc. Jika Rudi tidak rajin belajar, maka ia lulus ujiand. Rudi rajin belajar, tetapi tidak lulus ujiane. Rudi rajin belajar, tetapi lulus ujian

15. Negasi dari “ ~ p→r ” adalah ….a. ~ p∧r

b. p∨~ r

c. ~ p∨r

d. p∧~ r

e. ~ p∧~r

16. Ingkaran dari pernyataan “Cuaca mendung tetapi hujan tidak turun tadi pagi” adalah ..a. Cuaca tidak mendung dan hujan tidak turun tadi pagib. Cuaca mendung atau hujan tidak turun tadi pagic. Cuaca tidak mendung atau hujan turun tadi pagid. Cuaca tidak mendung atau hujan tidak turun tadi pagi

e. Cuaca mendung dan hujan turun tadi pagi

17. Negasi dari pernyataan :”Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik” adalah …a. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi atau harga barang tidak naikb. Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi atau harga barang naikc. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang tidak naikd. Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi dan harga barang tidak naike. Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi atau harga barang tidak naik

18. Premis 1 : jika √a×√a=a2, maka √7×√7=72

Premis 2 : √7×√7≠72

Penarikan kesimpulan di atas yang sah adalah …..

a. √a×√a=a2

b. a×a=a2

c. √3×√3=32

d. √3×√3≠32

e. √a×√a≠a2

19. Di antara penarikan kesimpulan berikut :I. Budi tidak rajin belajar atau ia tidak bodoh

Budi rajin belajar______________________ ∴Budi tidak bodoh

II. Jika Budi rajin belajar, maka ia tidak pandaiBudi tidak rajin belajar_________________∴Budi tidak pandai

III. Jika Budi rajin belajar, maka ia pandaiBudi tidak pandai atau ia lulus ujian_______∴ Jika Budi rajin belajar, maka ia lulus ujian

IV. Budi tidak rajin belajar atau ia pandaiBudi tidak rajin belajar_________________∴Budi pandai

Kesimpulan yang sah adalah ….a. I dan IIb. I dan IIIc. II dan IVd. IV saja yang sahe. Semuanya sah

20. Diketahui premis-premis berikut :(1) Jika Budi rajin belajar, maka ia menjadi pandai(2) Jika Budi menjadi pandai, maka ia lulus ujian(3) Budi tidak lulus ujianKesimpulan yang sah adalah ….a. Budi menjdi pandaib. Budi rajin belajarc. Budi lulus ujiand. Budi tidak pandaie. Budi tidak rajin belajar

21. Diketahui pernyataan :(1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi(2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai paying(3) Ani tidak memakai payingJika kesimpulan premis-premis di atas adalah p, maka ~p adalah ….a. Hari panasb. Hari tidak panasc. Ani memakai topid. Hari panas dan Ani memakai topie. Hari tidak panas dan Ani memaki topi

22. Diketahui argumentasi sebagai berikut :I. p→q (B)

~ p ____ (B)∴~q (B)

II. p→q (B)~q∨r (B)∴ p→r (B)

III. p→q (B)p→r (B)∴q→r (B)

Argumentasi yang sah adalah …….a. I sajab. II sajac. III sajad. I dan IIe. II dan III

23. Diketahui premis :Premis 1 : Jika Supri merokok maka ia sakit jantungPremis 2 : Supri tidak sakit jantungPenarikan kesimpulan yang benar dari premis-premis di atas adalah ….a. Jika Supri tidak merokok maka ia sehatb. Jika Supri sehat maka ia tidak merokokc. Jika Supri sakit jantung maka ia merokokd. Supri merokoke. Supri tidak merokok

24. Diketahui premis I : p→q

Premis II : q∨r---------- ∴ p→r

Kesimpulan tersebut merupakan …..a. Konversb. Kontraposisic. Modus ponensd. Modus tollense. Silogisme

25. Penarikan kesimpulan yang sah dari argument berikut ~ p→q

q→r adalah ……..a. p∧r

b. ~ p∨r

c. p∧~ r

d. ~ p∧r

e. p∨r

26. Diketahui pernyataan :“Jika harga bahan bakar naik, maka ongkos angkutan naik”.”Jika harga kebutuhan pokok tidak naik, maka ongkos angkutan tidak naik.”Bila kedua pernyataan itu bernilai benar, maka kesimpulan yang dapat diambil adalah …..a. Jika ongkos naik, harga bahan bakar naikb. Jika ongkos angkutan naik, maka harga kebutuhan pokok naikc. Jika ongkos angkutan tidak naik, maka harga kebutuhan pokok naikd. Jika harga bahan bakar naik, maka harga kebutuhan pokok naike. Jika harga bahan bakar tidak naik, maka harga kebutuhan pokok tidak naik

27. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus tollens didasarkan atas suatu pernyataan majemuk yang selalu berbentuk tautology untuk setiap kasus, pernyataan majemuk yang dimaksud adalah ……

a. ( p→q )∧~q→~ p

b. qpqp

c. ( p→q )→ p→ ( p∧q )

d. ( p→q )∧(q→r )→ (p→r )

e. ( p→q )∧( p→r )→~ (q→r )

28. Negasi dari pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan :P1 : Hari tidak hujan atau terjadi banjirP2 : Jika semua orang tidak terkena penyakit, maka tidak terjadi banjiradalah ……a. Hari tidak hujan dan beberapa orang terkena penyakitb. Beberapa orang terkena penyakit dan hari tidak hujanc. Hari hujan dan semua orang tidak terkena penyakitd. Semua orang terkena penyakit dan hari tidak hujane. Terjadi banjir dan beberapa orang tidak terkena penyakit

29. Diketahui :P1 : Jika ombak besar maka nelayan tidak melautP2 : Jika nelayan tidak melaut maka di pasar tidak ada ikanNegasi dari kesimpulan dua premis di atas adalah ……a. Jika ombak besar maka di pasar tidak ada ikanb. Jika ombak besar maka di pasar ada ikanc. Ombak besar dan di pasar tidak ada ikand. Ombak besar dan di pasar ada ikane. Ombak besar atau di pasar ada ikan

30. Diketahui :Premis 1 : jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genapPremis 2 : jika 2x bilangan genap, maka 2x + 1 adalah bilangan ganjilIngkaran dari kesimpulan yang sah adalah ….a. Jika x bilangan ganjil, maka 2x + 1 adalah bilangan ganjilb. Jika x bilangan genap, maka 2x + 1 adalah bilangan genapc. Jika x bilangan genap, maka 2x + 1 adalah bilangan ganjild. x bilangan ganjil dan 2x + 1 bilangan genape. x bilangan genap dan 2x + 1 bilangan ganjil

SOAL-SOAL UH 1PILIHLAH JAWABAN YANG BENAR!1. Manakah diantara kalimat berikut yang termasuk pernyataan ?

a. 49 habis dibagi 9b. Setelah lulus kita akan kemana?c. x + 2 = 15d. Saya berharap kamu bisa dating!e. Kita sebaiknya sering berdoa!

2. Manakah diantara kalimat berikut yang termasuk kalimat terbuka?a. 3 < 2b. 17 adalah bilangan ganjil dan prima.c. Katak merupakan binatang yang hidup di dua alam.d. X2 ≥ 0, untuk x bilangan bulat.e. 2x – 5 = -3

3. Yang termasuk kalimat konjungsi adalah? a. Bapak pergi ke kantor dan ibu memasak di rumah.b. 2 bilangan genap atau bilangan ganjil.c. 10 habis dibagi 2 atau 5.d. Jika segitiga maka jumlah sudutnya 180o.e. Tidak benar 0 bilangan genap.

4. Operasi yang memenuhi table dibawah ini adalah ?a. Biimplikasib. Negasic. Implikasid. Disjungsie. Konjungsi

5. Pernyataan berikut yang bernilai benar adalah?a. Jika 2 + 3 = 5 maka 5 bilangan genap.b. 2 + 3 = 4 dan 4 bilangan genap.c. 2 x 3 = 5 atau 5 bilangan ganjil.d. 2log 8 = 3 jika dan hanya jika 2 x 3 = 8e. Balok adalah bangun yang mempunyai panjang rusuk sama.

6. Nilai kebenaran dari ~(PQ) adalah?a. BBSSb. BSBBc. BSSBd. SBSSe. BSSS

7. Pernyataan (P V Q)Q bernilai Salah, jika….a. p benar, q benar

P Q …….BBSS

BSBS

BSSB

b. p benar, q salahc. p salah, q benard. p salah, q salahe. semua jawaban salah

8. Pernyataan (P Q) Λ Q bernilai Salah, jika….a. p benar, q benarb. p benar, q salahc. p salah, q benard. p salah, q salahe. semua jawaban salah

9. Inkaran dari pernyataan “ ibu memasak dan ayah pergi ke kantor “ adalah?a. Ibu tidak masak dan ayah pergi ke kantor.b. Ibu memasak dan ayah tidak ke kantor.c. Ibu tidak memasak atau ayah tidak ke kantor.d. Jika Ibu memasak maka ayah ke kantor.e. Jika Ibu tidak memasak maka ayah tidak ke kantor.

10. Negasi dari “ Budi kelas 1 SD atau usianya 7 tahun” adalah ……a. Budi tidak kelas 1 SD atau usianya tidak 7 tahun.b. Budi tidak kelas 1 SD dan usianya tidak 7 tahun. c. Budi tidak sekolahd. Jika Budi kelas 1 SD maka usianya 7 tahun.e. Budi kelas 1 SD jika usianya 7 tahun.

Jawablah dengan benar pertanyaan-pertanyaan berikut: 1. Buatlah 10 contoh kalimat yang termasuk kalimat terbuka!2. Buatlah 10 contoh kalimat yang termasuk pernyataan!3. Buatlah ingkaran dari kalimat yang sudah dibuat pada no. 24. Tulislah table kebenaran untuk semua peryataan majmuk?5. Buatlah contoh dari masing-masing pernyataan majemuk tersebut dengan kondisi

yang berbeda-beda?

SOAL-SOAL UH 1PILIHLAH JAWABAN YANG BENAR!11. Manakah diantara kalimat berikut yang termasuk pernyataan ?

f. 49 habis dibagi 9g. Setelah lulus kita akan kemana?h. x + 2 = 15i. Saya berharap kamu bisa dating!j. Kita sebaiknya sering berdoa!

12. Manakah diantara kalimat berikut yang termasuk kalimat terbuka?f. 3 < 2g. 17 adalah bilangan ganjil dan prima.h. Katak merupakan binatang yang hidup di dua alam.i. X2 ≥ 0, untuk x bilangan bulat.j. 2x – 5 = -3

13. Yang termasuk kalimat konjungsi adalah? f. Bapak pergi ke kantor dan ibu memasak di rumah.g. 2 bilangan genap atau bilangan ganjil.h. 10 habis dibagi 2 atau 5.i. Jika segitiga maka jumlah sudutnya 180o.j. Tidak benar 0 bilangan genap.

14. Operasi yang memenuhi table dibawah ini adalah ?a. Biimplikasib. Negasic. Implikasid. Disjungsie. Konjungsi

15. Pernyataan berikut yang bernilai benar adalah?f. Jika 2 + 3 = 5 maka 5 bilangan genap.g. 2 + 3 = 4 dan 4 bilangan genap.h. 2 x 3 = 5 atau 5 bilangan ganjil.i. 2log 8 = 3 jika dan hanya jika 2 x 3 = 8j. Balok adalah bangun yang mempunyai panjang rusuk sama.

16. Nilai kebenaran dari ~(PQ) adalah?f. BBSSg. BSBBh. BSSBi. SBSSj. BSSS

17. Pernyataan (P V Q)Q bernilai Salah, jika….f. p benar, q benar

P Q …….BBSS

BSBS

BSSB

g. p benar, q salahh. p salah, q benari. p salah, q salahj. semua jawaban salah

18. Pernyataan (P Q) Λ Q bernilai Salah, jika….f. p benar, q benarg. p benar, q salahh. p salah, q benari. p salah, q salahj. semua jawaban salah

19. Inkaran dari pernyataan “ ibu memasak dan ayah pergi ke kantor “ adalah?f. Ibu tidak masak dan ayah pergi ke kantor.g. Ibu memasak dan ayah tidak ke kantor.h. Ibu tidak memasak atau ayah tidak ke kantor.i. Jika Ibu memasak maka ayah ke kantor.j. Jika Ibu tidak memasak maka ayah tidak ke kantor.

20. Negasi dari “ Budi kelas 1 SD atau usianya 7 tahun” adalah ……f. Budi tidak kelas 1 SD atau usianya tidak 7 tahun.g. Budi tidak kelas 1 SD dan usianya tidak 7 tahun. h. Budi tidak sekolahi. Jika Budi kelas 1 SD maka usianya 7 tahun.j. Budi kelas 1 SD jika usianya 7 tahun.

Jawablah dengan benar pertanyaan-pertanyaan berikut: 1. Buatlah 10 contoh kalimat yang termasuk kalimat terbuka!2. Buatlah 10 contoh kalimat yang termasuk pernyataan!3. Buatlah ingkaran dari kalimat yang sudah dibuat pada no. 24. Tulislah table kebenaran untuk semua peryataan majmuk?5. Buatlah contoh dari masing-masing pernyataan majemuk tersebut dengan kondisi

yang berbeda-beda?