MODUL

STIMIK PROVISI

SEMARANG

2013

MATEMATIKA LOGIKA

Bilangan Biner

Kebanyakan komponen elektronik bekerja hanya pada dua buah kondisi, on / off. Kondisi ini biasanya dilambangkan sebagai 0 dan 1, yang juga digunakan pada bilangan biner. Lebih jauh lagi, pada komputer setiap data akan disimpan sebagai deretan bilangan biner tersebut (setiap digit disebut binary digit, disingkat bit).

Bilangan biner dan bilangan desimal

Bilangan desimal adalah bilangan yang kita pakai sehari-hari. Contoh deretan bilangan desimal adalah sebagai berikut

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

Beberapa sifat yang ada (tapi kerap kali tidak disadari) adalah sebagai berikut - hanya ada 10 bilangan yang membentuk yaitu 0 s/d 9 (karena ada 10 bilangan

maka desimal disebut juga basis 10) - setelah bilangan terbesar yaitu 9 maka akan dilakukan penambahan digit dan

pengulangan yaitu menjadi 10

Dari sifat di atas maka jika didefinisikan biner adalah berbasis 2 maka dapat ditarik kesimpulan

- hanya ada 2 bilangan yang membentuk yaitu 0 dan 1 - setelah bilangan terbesar (yaitu 1) maka bilangan berikutnya adalah 10

Contoh deretan bilagan biner adalah sebagai berikut

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, .

Konversi biner ke desimal

Cara untuk melakukan konversi adalah sebagai berikut

Contoh

Konversi 110101 ke bilangan desimal 110101 = 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1 x 32 + 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53

Konversi 101.01 ke bilangan desimal 101.01 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 0 x 0.5 + 1 x 0.25 = 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25

= 5.25

Konversi desimal ke biner

Konversi desimal ke biner ada dua macam perlakuan yang berbeda yaitu untuk bagian bulat dengan bagian pecahan. Jika kita memiliki bilangan yang ada bagian bulat dan pecahan maka pisahkan terlebih dahulu.

Konversi 109.78125 ke biner.

Pertama untuk bagian bulat yaitu 109

109 = 1101101 --- : 2 1 -- > bagian ini adalah sisa bagi 54 -------- > bagian ini adalah hasil bagi --- : 2 0 27 --- : 2 1 13 --- : 2 1 6 --- : 2 0 3 --- : 2 1 1 --- : 2 1 0

Keterangan - perhitungan dihentikan saat hasil bagi mencapai 0 - hasil perhitungan didapat dengan mengurutkan hasil bagi dari bawah ke atas.

Kedua untuk bagian pecahan yaitu 0.78125

0.78125 x 2 = 1.56250 abaikan bagian bulatnya dan untuk berikutnya pecahannya 0.5625 x 2 = 1.1250 saja yang dihitung 0.125 x 2 = 0.250 0.25 x 2 = 0.50 0.50 x 2 = 1.00

0.78125 = 11001

Keterangan - hasil perhitungan didapat dengan mengurutkan bagian bergaris bawah dari atas

ke bawah. - perhitungan dihentikan saat

o bagian bergaris bawah dua mencapai 0 o mengulang perhitungan sebelumnya

0.6 x 2 = 1.2 0.2 x 2 = 0.4 0.4 x 2 = 0.8 0.8 x 2 = 1.6 0.6 mengulang perhitungan di baris pertama, hentikan perhitungan

o jumlah digit yang diinginkan sudah tercapai (misal hanya sampai 5 digit)

Aritmatika Biner

Penjumlahan

Contoh

Berapakah 111 + 101 ?

111 bagian kelebihan / titip nya (carry) 111 101 ---- + 1100

Jawab : 111 + 101 = 1100

Pengurangan

Contoh

Berapakah 11000 10011 ?

11000 10011 ----- -

101

Jawab : 11000 10011 = 101

Perkalian

Contoh

Berapakah 1101 x 1011 ?

1101 1011 ---- x 1101 1101

0000 1101 -------- + 10001111

Jawab : 1101 x 1011 = 10001111

Pembagian

Berapakah 1010001 : 11 ?

11011 ---------

11 | 1010001 11 ---------

100 11 ---------

10 0 ---------

100 11 ---------

11 11 ---------

0

Jawab : 1010001 : 11 = 11011

Komplemen

Komplemen dibutuhkan karena dua hal. Pertama, komputer menggunakan komplemen sebagai sarana untuk menyimpan bilangan negatif. Kedua, komputer menggunakan komplemen sebagai sarana untuk melakukan pengurangan yaitu dengan menambahkan dengan komplemennya. Pengurangan dengan cara ini akan menyederhanakan proses di dalam komputer. Komplemen ada dua yaitu ones complement dan twos complement.

Biner 110011 1s complement 001100 dilakukan dengan mengubah 0 jadi 1 dan 1 jadi 0 2s complement 001101 dilakukan dengan 1s complement tambah 1

Kode Komputer

Pengantar

Sekalipun semua komputer hanya bekerja dengan nilai 0 dan 1, tapi bagi kita (manusia) kerap kali masih cukup menyulitkan. Maka untuk memudahkan digunakan sistem bilangan selain biner. Selain itu biner dapat juga digunakan sebagai kode / karakter.

Bilangan Basis N

Pada bagian ini akan dibahas oktal (basis 8) dan heksadesimal (basis 16). Secara umum untuk melakukan konversi dari bilangan basis N ke desimal (atau sebaliknya) menyerupai konversi dari biner ke desimal (atau sebaliknya).

Keterangan : Urutan bilangan heksadesimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10,

Contoh Konversi 123 oktal ke desimal

123 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 1 x 64 + 2 x 8 + 3 x 1 = 64 + 16 + 3 = 83

Perhatikan bahwa perhitungan di atas menyerupai konversi dari biner ke desimal, hanya saja bagian 2n diubah 8n menjadi . Karena oktal adalah bilangan basis 8.

Konversi 197 (desimal) ke heksadesimal.

197 = C5 --- : 16 5 12 --- : 16 C 0

Oktal Biner

Untuk melakukan konversi oktal biner digunakan tabel sebagai berikut

Biner ke oktal

100101001 = 100 101 001 = 451 1100110 = 001 100 110 = 146 (tambahkan nol agar banyaknya angka kelipatan 3)

Oktal ke biner

417 = 100 001 111 = 100001111 254 = 010 101 100 = 10101100 (hapus nol di awal)

Oktal Biner 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

Heksadesimal Biner

Untuk melakukan konversi heksadesimal biner digunakan tabel sebagai berikut

Biner ke heksadesimal

10010100 = 1001 0100 = 94 1100110 = 0110 0110 = 66 (tambahkan nol agar banyaknya angka kelipatan 4)

Heksadesimal ke biner

C3 = 1100 0011 = 11000011 47 = 0100 0111 = 1000111(hapus nol di awal)

Heksadesimal Biner 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

4-BIT BCD

BCD (binary coded decimal) adalah suatu cara untuk merepresentasikan bilangan dalam bentuk biner. Ada dua bentuknya yaitu 8-4-2-1 dan XS-3 (dibaca excess three).

BCD Codes Decimal Digits 8-4-2-1 XS-3

0 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0011 0110 4 0100 0111 5 0101 1000 6 0110 1001 7 0111 1010 8 1000 1011 9 1001 1100

6-BIT BCD

Selain bilangan, komputer juga mengolah data bukan bilangan. Maka diperlukan bit yang lebih banyak untuk merepresentasikan data tersebut. 6 bit BCD terdiri dari zone bits dan numeric bits.

zone bits numeric bits /-----\ /-------------\ | B | A | 8 | 4 | 2 | 1 |

Char Zone Numeric Char Zone Numeric A 11 0001 1 00 0001 B 0010 2 0010 C 0011 3 0011 D 0100 4 0100 E 0101 5 0101 F 0110 6 0110 G 0111 7 0111 H 1000 8 1000 I 11 1001 9 1001 J 10 0001 0 00 1010 K 0010 L 0011 Char Zone Numeric M 0100 + 11 0000 N 0101 - 10 0000 O 0110 * 10 1100 P 0111 / 01 0001 Q 1000 = 00 1011 R 10 1001 ( 01 1100 S 01 0010 ) 11 1100 T 0011 . 11 1011 U 0100 ; 10 1110 V 0101 $ 10 1011 W 0110 blank 00 0000 X 0111 Y 1000 Z 01 1001

8-BIT BCD

Agar dapat menampung lebih banyak bilangan lagi digunakan 8 bit.

zone bits numeric bits /-------------\ /-------------\ | Z | Z | z | z | 8 | 4 | 2 | 1 |

Standar yang digunakan ada dua yaitu EBCDIC (dibaca eb si dik) dan ASCII-8 (dibaca as ki)

EBCDIC

Char Zone Numeric Char Zone Numeric A 1100 0001 0 1111 0000 B 0010 1 0001 C 0011 2 0010 D 0100 3 0011 E 0101 4 0100 F 0110 5 0110 G 0111 6 0110 H 1000 7 0111 I 1100 1001 8 1000 J 1101 0001 9 1111 1001 K 0010 Char Zone Numeric L 0011 blank 0100 0000 M 0100 . 1011 N 0101 < 1100 O 0110 ( 1101 P 0111 + 0100 1110 Q 1000 & 0101 0000 R 1101 1001 $ 1011 S 1110 0010 * 1100 T 0011 ) 1101 U 0100 ; 0101 1110 V 0101 - 0110 0000 W 0110 / 0001 X 0111 , 1011 Y 1000 % 1100 Z 1110 1001 > 1110 ? 0110 1111 : 0111 1010 # 1011 @ 1100 = 0111 1110

ASCII-8

Char Zone Numeric Char Zone Numeric A 1010 0001 0 0101 0000 B 0010 1 0001 C 0011 2 0010 D 0100 3 0011 E 0101 4 0100 F 0110 5 0110 G 0111 6 0110 H 1000 7 0111 I 1001 8 1000 J 1010 9 0101 1001 K 1011 L 1100 M 1101 N 1110 O 1010 1111 P 1011 0000 Q 0001 R 0010 S 0011 T 0100 U 0101 V 0110 W 0111 X 1000 Y 1001 Z 1011 1010

Aritmatika Komputer

Pengantar

Berikut adalah beberapa operasi matematika yang harus dikuasai sebelum membahas mengenai aritmatika komputer lebih lanjut.

Rounding

Rounding dilakukan dengan 3 aturan - Dibulatkan ke bawah. Jika digit yang bersangkutan lebih kecil dari lima maka

digit sebelumnya tidak berubah. Contoh : 3.4 3.0 - Dibulatkan ke atas. Jika digit yang bersangkutan lebih besar dari 5 atau 5 dan

diikuti oleh setidaknya satu digit bukan nol, maka digit sebelumnya ditambah satu. Contoh : 3.7 4.0, 3.5001 4.0

- Ganjil tambah. Jika digit bersangkutan adalah 5 dan hanya diikuti oleh nol, maka digit sebelumnya ditambah satu kalau ganjil. Contoh : 3.5 4.0, 4.5 4.0

Truncating

Truncating dilakukan dengan memotong digit yang tidak diperlukan. Contoh : 88.77 88.7, 999.111 999

Absolut

Absolut adalah besarnya nilai tanpa menghiraukan tanda. Contoh: | -9.4 | = 9.4, | 0 | = 0, | 7.5 | = 7.5

Integer

Integer atau bilangan bulat dinyatakan dalam bilangan biner. Bilangan negatif disimpan dalam bentuk komplemennya (2s complement dalam hal ini). Untuk membedakan bilangan negatif dengan positif maka digunakan sign-bit. Sign-bit adalah bit paling kiri, nilainya 0 jika positif dan nilainya 1 jika negatif.

Contoh : 00011011 diawali dengan 0 maka bilangan positif, desimalnya adalah 27 11100011 diawali dengan 1 maka bilangan negatif, nilainya adalah 00011101 = - 29

Floating Point

Floating point biasanya digunakan untuk menyatakan bilangan yang berupa pecahan. Floating point memiliki bagian yang disebut sign-bit, eksponen dan mantissa. Eksponen adalah eksponen asli + 64, sedang mantissa akan dibuat menjadi 24 bit.

Contoh -110100011.1101 = -0.1101000111101 x 29 Mantissa = 0.1101000111101 Eksponen asli = 9

Sign-bit = 1 (karena negatif) Mantissa = 1101000111101 = 110100011110100000000000 (tambah nol hingga 24 bit) Eksponen = 9 + 64 = 7310 = 1001001

Maka bentuk floating pointnya adalah sebagai berikut

Sign bit | | 11001001110100011110100000000000 \-----/\----------------------/ eksponen mantissa

Aritmatika Komputer

Integer

12 + 5 = 17 12 5 = 7 12 x 5 = 60 12 : 5 = 2

Floating Point

0.5 x 104 + 0.2 x 104 = 0.7 x 104 0.2 x 102 + 0.4 x 104 = 0.002 x 104 + 0.4 x 104 = 0.402 x 104 (samakan eksponennya kalau tidak sama) 0.8 x 10-2 0.3 x 10-2 = 0.5 x 10-2 0.6 x 103 0.3 x 102 = 0.6 x 103 0.03 x 103 = 0.57 x 103 (samakan eksponennya kalau tidak sama) ( 0.3 x 102 ) x ( 0.4 x 103 ) = ( 0.3 x 0.4 ) x ( 102 x 103 ) = 0.12 x 105 ( 0.6 x 107 ) : ( 0.2 x 104 ) = ( 0.6 : 0.2 ) x ( 107 : 104 ) = 0.3 x 103

Logika dan Tabel Kebenaran

Konjungsi

Konjungsi disebut juga logika dan atau and. Simbol dari p dan q adalah p ^ q atau p . q .

Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut

p q p ^ q T T T T F F F T F F F F

Disjungsi

Disjungsi disebut juga logika atau atau or. Simbol dari p atau q adalah p v q atau p + q. Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut

p q p v q T T T T F T F T T F F F

Negasi

Negasi disebut juga logika not. Simbol dari not p adalah ~p atau . Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut

p ~p T F F T

Pernyataan logika

Pernyataan logika adalah pernyataan yang menggunakan beberapa penghubung logika (and, or, not atau lainnya). Nilai kebenaran dari pernyataan logika dapat ditentukan dengan cara berikut

p q ~ q p ^ ~ q ~ (p ^ ~ q) T T F F T T F T T F F T F F T F F T F T

Atau kita dapa meringkasnya menjadi sebagai berikut

p q ~ (p ^ ~ q) T T T T F F F T T F F T

Tautologi dan kontradiksi

Beberapa pernyataan logika bisa jadi hanya memiliki nilai benar (True) saja atau salah (False) saja. Pernyataan yang hanya memiliki nilai benar saja disebut tautologi. Sedangkan jika hanya memiliki nilai salah saja disebut kontradiksi.

Contoh tautologi

p ~ p p v ~ p T F T F T T

Contoh kontradiksi

p ~ p p ^ ~ p T F F F T F

Ekuivalen, aljabar Boole

Dua pernyataan logika yang dianggap ekuivalen dapat ditulis dengan cara sebagai berikut

P(p,q,) Q(p,q,)

Pernyataan dianggap ekuivalen jika memiliki tabel kebenaran yang sama

Contoh Apakah ~ (p ^ q) dan ~ p v ~ q ekuivalen?

p q p ^ q ~ (p ^ q) T T T F T F F T F T F T F F F T

p q ~ p ~ q ~ p v ~ q T T F F F T F F T T F T T F T F F T T T

Pernyataan pertama dan kedua memiliki tabel kebenaran yang sama maka dapat ditulis

~ (p ^ q) ~ p v ~ q

Ekuivalensi itu akan memenuhi hukum-hukum dalam aljabar Boole. Aljabar Boole sendiri adalah aljabar untuk pernyataan logika.

Idempoten p v p p p ^ p p Asosiasi (p v q) v r p v (q v r) (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) Komutatif p v q q v p p ^ q q ^ p Distributif p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) Identitas p v F p p ^ T p p v T = T p ^ F F Komplemen p v ~ p T p ^ ~ p F ~T F ~ F T Involusi ~ ~ p p De Morgan ~ (p v q) ~ p ^ ~ q ~ (p ^ q) ~ p v ~ q

Kondisional dan bikondisional

Pernyataan dalam bentuk jika p maka q, disebut dengan kondisional dan dituliskan dalam bentuk

p q

Pernyataan yang lain adalah p jika dan hanya jika q, yang disebut dengan bikondisional dan ditulis dalam bentuk

p q

Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut

p q p q T T T T F F F T T F F T

p q p q T T T T F F F T F F F T

Implikasi logika

Sebuah pernyataan P adalah implikasi logika dari pernyataan Q, jika Q benar kapan pun P benar. Implikasi tersebut ditulis sebagai berikut

P => Q

Algoritma, Flowchart, Pseudocode

Pengantar

Algoritma adalah sebuah kumpulan perintah untuk menyelesaikan sebuah masalah, dengan suatu kondisi awal dan akan dihentikan pada suatu titik akhir. (Wikipedia) Algoritma adalah pola pikir yang terstruktur yang berisi tahap-tahap penyelesaian masalah. Ada dua cara untuk menuliskan algoritma, yaitu flowchart (diagram alir) dan pseudocode. Setelah algoritma didapatkan, kita dapat menerjemahkannya ke bahasa pemrograman. Bahasa pemrograman sendiri, sering juga disebut flowchart, akan diubah lagi menjadi bahasa mesin yang dimengerti program (berupa kode biner). Proses ini akan disebut compile, sedang program untuk mengubahnya disebut compiler.

Variabel dan Konstan

Variabel dapat berarti a. lokasi penyimpanan di memori b. data yang disimpan di memori

Konstan adalah data yang tidak berubah selama program berjalan.

Untuk mengenali variabel dan konstan, setiap variabel dan konstan diberi nama. Setiap bahasa pemrograman mempunyai aturan tersendiri untuk pemberian nama ini, tapi secara umum aturan itu adalah sebagai berikut

a. memperbolehkan penggunaan huruf dan angka b. memperbolehkan penggunaan karakter tertentu (misal underscore) dan melarang

penggunaan karakter tertentu (misal spasi) c. ada panjang maksimal d. tidak memperbolehkan penggunaan reserved word (kata-kata yang mempunyai

arti tersendiri pada bahasa yang bersangkutan) e. ada yang case sensitive ada yang tidak

Flowchart

Flowchart atau diagram alir adalah representasi visual dari algoritma.

Simbol Nama

Terminal / terminator

Input / Output

Proses

Pilihan

Konektor

Persiapan

Terminal

Input / Output

Proses

Pilihan

Operator yang bisa digunakan adalah =, , , =.

Contoh

Start Stop

Read a,b Write x,y Write Hello

total = a + b + c K = K + 1

K < 10 ?

Start

Stop

Read pj,lb

Luas = pj * lb

Write Luas

No Yes

Konektor

Konektor digunakan untuk menghubungkan flowchart.

Persiapan

Akan digunakan pada bagian perulangan.

Perulangan

Perulangan (loop) digunakan untuk melakukan proses yang sama (atau hampir sama) dan berulang-ulang. Misalnya menampilkan data seluruh mahasiswa.

Inisialisasi: Counter, Akumulator, perulangan Do

Sebelum memulai sebuah perulangan dibutuhkan inisialisasi (pemberian nilai awal). Inisialisasi biasanya dibutuhkan untuk counter, akumulator dan beberapa jenis loop.

Counter

Counter adalah sebuah variabel yang digunakan untuk menghitung banyaknya perulangan.

Start

Stop

Read a,b

Max = a

Write Luas

a < b ?

Max = b

Akumulator

Akumulator adalah variabel yang digunakan untuk menghitung total dari setiap iterasi (perulangan). Misal : total gaji dari seluruh pegawai.

Perulangan Do

Contoh

Do K = 1 to 10

Start

K = 1

Read N

L = K2

K > N ?

Write K, L

K = K + 1

Stop

Start

Read N

Do K = 1 to N

L = K2

Write K, L

Stop

Pseudocode

Sekalipun penggunaan flowchart sangat baik untuk menjelaskan suatu algoritma, terkadang penggunaan flowchart dianggap terlalu merepotkan dan kurang efisien. Metode yang lain untuk menjelaskan algoritma adalah dengan menggunakan pseudocode. Pseudocode secara harafiah berarti kode palsu. Kode adalah istilah untuk baris program yang ditulis. Dianggap palsu karena pseudocode bukan baris program, pseudocode tidak berpedoman pada bahasa pemrograman manapun (sekaligus sebagai aturan utama pseudocode). Tapi pseudocode sangat mirip dengan baris program. Penulisan pseudocode biasanya memiliki beberapa alur, antara lain urutan (sequence), pilihan dan perulangan.

Urutan

Read panjang, lebar Luas = panjang * lebar Write Luas

Pilihan

Read upah, jamkerja Gaji = upah * jamkerja If jamkerja > 40 Gaji = Gaji + (jamkerja 40) * 0.5 * upah Endif Write Gaji

Read a,b If a

Perulangan

Read N Do K = 1 to N L = K2 Write K, L Enddo

Read N K = 1 Dowhile K N L = K2 Write K, L K = K + 1 Enddo

Himpunan

Himpunan dan Elemen

Himpunan dapat dianggap sebagai kumpulan objek, sedang elemen adalah anggota dari himpunan. Himpunan biasanya ditulis dalam bentuk kapital A, B, C, dan elemen ditulis dalam bentuk huruf kecil a,b, c, . Pernyataan p adalah elemen dari A atau p adalah anggota dari A dapat ditulis p A. Negasi dari p A ditulis p A. Dua himpunan adalah ekuivalen (sama) jika dan hanya jika keduanya memiliki anggota (elemen) yang sama. Jika A ekuivalen dengan B maka kita tulis A = B, sedang jika tidak ekuivalen maka kita tulis A B. Ada dua cara untuk menyatakan sebuah himpunan.

1. Menuliskan semua anggotanya. Contoh : A = {a, e, i, o, u}

2. Menjelaskan sifat atau properti yang merupakan karakteristik dari elemen-elemen yang berada di dalam himpunan. Contoh : B = {x : x adalah bilangan bulat, x > 0}

Sebetulnya tidak ada aturan khusus mana yang harus digunakan, tapi terkadang cara pertama tidak dapat dilakukan (atau dapat dilakukan tapi kurang efisien) sehingga hanya cara kedua yang dapat digunakan.

Himpunan Semesta dan Himpunan Kosong

Dalam pembahasan himpunan, anggota dari himpunan-himpunan biasanya merupakan anggota dari sebuah himpunan yang sangat besar yang disebut himpunan semesta. Simbol dari himpunan semesta biasanya adalah S, kecuali didefinisikan selainnya. Dalam sebuah himpunan S dan properti P, tidak ada elemen U yang memiliki properti (sifat) P. Contoh : U = {x : x adalah bilangan bulat positif, x2 = 3} U tidak memiliki anggota karena tidak ada bilangan bulat positif yang memiliki sifat x2 = 3. Himpunan yang tidak memiliki elemen disebut juga himpunan kosong, dan seringkali dilambangkan .

Himpunan Bagian

Jika semua anggota himpunan A adalah juga anggota himpunan B, maka A disebut sebagai himpunan bagian B. Relasi atau hubungan ini dapat juga ditulis sebagai A B. Jika A bukan himpunan bagian B (misal, jika ada satu elemen A yang bukan elemen B), maka kita tulis A B.

Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan semesta S, karena berdasarkan definisi bahwa seluruh anggota himpunan-himpunan adalah anggota dari himpunan semesta. Termasuk himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta S.

Diagram Venn

Diagram Venn adalah representasi gambar dari himpunan. Himpunan semesta S ditampilkan di bagian dalam sebuah persegi panjang dan himpunan-himpunan lain ditampilkan berupa lingkaran yang berada di dalam persegi panjang.

Gabungan dan Irisan

Gabungan atau union dari dua himpunan A dan B, ditulis A B, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan A atau B.

A B = {x : x A atau x B}

Irisan dari dua himpunan A dan B, ditulis A B, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan B.

A B = {x : x A, x B}

Komplemen

Komplemen atau kompelemen absolut dari himpunan A, ditulis A, adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota dari himpunan semesta S tapi bukan anggota dari A.

S A

S A B

S A B

A = {x : x S, x A}

S A

Persamaan Linear

Persamaan Linear dengan Satu Peubah

Bentuk umum

ax = b

Penyelesaiannya hanya satu dan dapat ditemukan (selama a 0) dengan cara

x = b / a

Contoh

Soal : 6x 3 = 15 Jawab : 6x = 15 + 3 6x = 18 x = 18 / 3 x = 6

Persamaan Linear dengan Dua Peubah

Bentuk umum

ax + by = c

Jika a 0 dan b 0 maka penyelesaiannya lebih dari satu dan berupa pasangan bilangan.

Contoh Soal: 2x + y = 4 Jawab: Anggap x = 2, maka 2 * 2 + y = 4 4 + y = 4 y = 4 4 y = 0 Jadi penyelesaiannya adalah (2,0) Anggap x = 3, maka 2 * 3 + y = 4 6 + y = 4 y = 4 6 y = -2 Jadi penyelesaiannya adalah (3, -2) Maka penyelesaian untuk persamaan di atas (dalam bentuk himpunan) adalah {, (2, 0), (3, -2), }

Penyelesaian dari persamaan linear dengan dua peubah dapat pula digambarkan pada koordinat kartesian. Persamaan linear dengan dua peubah akan mendapatkan gambar berupa garis lurus. (Gambar 1)

(2, 0)

(3, -2)

Gambar 1

Sistem Dua Persamaan Linear dengan Dua Peubah

Bentuk umum

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Anggap a1 0 dan b1 0 dan a2 0 dan b2 0, maka akan ada tiga kondisi yang mungkin terjadi

1. Sistem memiliki tepat satu penyelesaian. (Gambar 2) 2. Sistem tidak memiliki penyelesaian. (Gambar 3)

a1 b1 c1 --- = --- --- a2 b2 c2

3. Sistem memiliki tak hingga penyelesaian. (Gambar 4) a1 b1 c1 --- = --- = ---

a2 b2 c2

Gambar 2 Kedua garis berpotongan

pada penyelesaiannya

Gambar 3 Tidak ada perpotongan,

maka tidak ada penyelesaian

Gambar 4 Kedua garis berimpit, maka

seluruh titik pada garis adalah penyelesaiannya

Langkah langkah untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear

1. Perhatikan koefisien dari salah satu variabel (misal x saja atau y saja). 2. Buat koefisien x (atau y) sama dengan cara mengalikan persamaan dengan

bilangan (jika koefisien sudah sama abaikan langkah ini). 3. Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan agar x (atau y) hilang. 4. Maka akan ditemukan nilai y (atau x). 5. Masukkan nilai y (atau x) tersebut ke dalam salah satu persamaan, maka akan

ditemukan nilai x (atau y).

Contoh Soal : 3x + 2y = 8 2x 5y = -1 Jawab :

1. Pilih koefisien x, yaitu 3 dan 2. 2. Buat agar koefisien x menjadi 6.

3x + 2y = 8 | x 2 | 6x + 4y = 16 2x 5y = -1 | x 3 | 6x 15y = -3

3. Agar x hilang maka keduanya harus dikurangkan. 6x + 4y = 16 6x 15y = -3 - 19y = 19 y = 1

4. Nilai y = 1. 5. Digunakan persamaan pertama

3x + 2y = 8; y = 1 3x + 2 (1) = 8 3x + 2 = 8 3x = 8 2 3x = 6 x = 2

Jadi penyelesaian dari persamaan di atas adalah (2,1).

Sistem n Buah Persamaan Linear dengan n Peubah

Bentuk umum

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

Sistem Persamaan Linear dan Determinan

Sistem persamaan linear secara umum dapat diselesaikan dengan mencari determinannya. Selama determinan tidak sama dengan 0 maka akan didapatkan sebuah penyelesaian.

Contoh Soal : 2x + y z = 3 x + y + z = 1 x - 2y 3z = 4

Jawab :

2 1 -1 D = | 1 1 3 | = -6 + 1 + 1 + 1 + 4 + 3 = 5 1 2 -3

Karena D 0 maka akan ada sebuah penyelesaian.

3 1 -1 Nx = | 1 1 3 | = -9 + 4 + 2 + 4 + 6 + 3 = 10 4 2 -3

2 3 -1 Ny = | 1 1 3 | = -6 + 3 4 + 1 8 + 9 = -5 1 4 -3

2 1 3 Nz = | 1 1 1 | = 8 + 1 6 3 + 4 4 = 0 1 2 4

Maka penyelesaiannya adalah x = Nx / D = 10 / 5 = 2 y = Ny / D = -5 / 5 = -1 z = Nz / D = 0 / 5 = 0

Menentukan Determinan 2 1 -1

1 1 1

1 -2 -3

2 1

1 1

1 -2

2 1 -1

1 1 1

1 -2 -3

2 1

1 1

1 -2

D = (2 * 1 * -3) + (1 * 1 * 1) + (-1 * 1 * -2) ((-1 * 1 * 1) + (2 * 1 * -2) + (1 * 1 * -3) ) = -6 + 1 + 2 ( -1 - 4 3) = -6 + 1 + 2 + 1 + 4 + 3 = 5

Analisa Kombinasional

Pengantar

Analisa kombinasional berguna untuk menentukan jumlah kemungkinan dari sebuah keadaan tanpa harus mengetahui seluruh kemungkinan.

Contoh : Berapa kemungkinan pasangan yang siswa berbaju merah-putih dapat dibentuk dari 6 siswa berbaju putih dan 4 siswa berbaju merah? 6 * 4 = 24

Notasi Faktorial

n! = n * (n 1) * (n 2) * * 1

Contoh : 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Permutasi

Permutasi adalah kemungkinan yang dapat dilakukan dengan mengambil r objek dari total n objek dengan urutan tertentu.

P(n,r) = n! / (n r)!

Jika r = n maka P(n,n) = n!

Contoh : Berapa kemungkinan barisan yang terdiri dari 3 siswa dapat dibentuk dari 6 siswa berbaju putih dan 4 siswa berbaju merah? P(10,3) = 10! / (10 3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720

Partisi

Partisi adalah permutasi dimana beberapa objek sama. n! / (n1! * n2! * * nr!)

Contoh : Berapa kemungkinan urutan warna dari barisan 10 siswa yang dibentuk dari 6 siswa berbaju putih dan 4 siswa berbaju merah? 10! / (6! * 4!) = 210

Kombinasi

Kombinasi adalah kemungkinan yang dapat dilakukan dengan mengambil r objek dari total n objek dengan tanpa memperhatikan urutan.

C(n,r) = n! / (r! * (n - r)!)

Contoh : Berapa kemungkinan kelompok yang terdiri dari 3 orang dapat dibentuk dari 6 siswa berbaju putih dan 4 siswa berbaju merah? C(10, 3) = 10! / (3! * (10 3)!) = 10! / (3! * 7!) = 120