latihan logika matematika

Responsi Logika Matematika II

RESPONSI I

Soal-soal tentang menerjemahkan kalimat bahasa sehari-hari ke lambang logika matematika dan sebaliknya

1. Tentukan manakah dibawah ini yang merupakan proposisi ? Tentukan nilai kebernaran yang merupakan proposisi. a. 3+15=17 .b. Untuk beberapa bilangan bulat n.600 =n.15 .c. x+y=y+x untuk setiap pasangan bilangan real x dan y .d. Setiap bilangan bulat genap lebih dari empat merupakan penjumlahan dua bilangan prima. e. Tak ada orang utan yang hidup di kota. f. Ambil 5 buah buku di atas meja. g. 4+x = 5

2. Misalkan p adalah "Iwan bisa berbahasa Inggris ", q adalah "Iwan bisa berbahasa Jerma", dan r adalah "Iwan bisa berbahasa Perancis". Terjemahkan kalimat majemuk berikut ke dalam notasi simbolik. a. Iwan bisa berbahasa Inggris b.Iwan bisa berbahasa Jerman tapi tidak bahasa Perancis . c. Iwan baru bisa berbahasa Inggris atau bahasa Jerman, atau dia tidak bisa berbahasa Perancis atau berbahasa Jerman. d. Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Inggris atau berbahasa Perancis. e. Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Inggris atau bahasa Perancis, tetapi tidak bahasa Jerman. f. Tidak benar bahwa Iwan tidak bisa berbahasa Inggris , Perancis , maupun Jerman.

3. Lambangkan kalimat di bawah ini a. Jika udara cerah maka Jaka pergi kuliah ke ITENAS atau pulang ke Sumedang. b. Atau istri terdakwa tidak bersalah atau saksi pertama yang bersalah , tetapi jelas bahwa terdakwa bersalah. c. Gerbong kereta api PJKA dibuat oleh Badan Usaha Milik Negara atau diimpor dari luar negeri. d. Jika laut tenang , maka atau orang dapat melihat taman laut di bawah perahu atau perahu dapat menyebrangi teluk dua kali sehari. e. Jika, atau rumah kontrakan sukar didapat atau mahasiswa tinggal di asrama , dan jika mahasiswa tidak suka tinggal di asrama, maka rumah kontrakan sukar didapat. f. Atau terdakwa harus memberikan kesaksian dan mengaku bersalah atau ia tidak perlu memberikan kesaksian.

4. Misalkan p adalah " Hari ini adalah hari Rabu " , q adalah "Hujan Turun" dan r adalah " Hari ini panas". Terjemahkan notasi simbol di bawah ini:

a. p∨q

b. ¬p∧(q∨r )

c. ¬( p∨q )∧r

d. ( p∧q)∧¬(r∨p )

e. ( p∧(q∧r ))∧(r∨( q∨p ))f. ¬q→¬p

Hal 1


5. Misalkan p adalah pernyataan " Isi kuliah menarik " , q adalah "soal-soal latihannya yang menantang" , dan r adalah "Kuliahnya enak " . Terjemahkan kalimat berikut dalam notasi simbolik: a. isi kuliah tidak menarik , dan soal-soalnya tidak menantang , dan kuliahnya tidak enak. b. Jika isi kuliahnya tidak menarik dan soal-soal latihannya tidak menantang , maka kuliahnya tidak enak. c. Isi kuliah yang menarik berarti soal-soal latihannya menantang dan, begitu sebalikanya.d. Isi kuliah tidak menarik atau soal-soal latihannya tidak menantang , namun tidak keduanya .

Kalimat-kalimat implikasi 1. Nyatakan apakah kalimat implikasi ini benar atau salah:a. Jika 2+2=4 , maka 3+3=5 .b. Jika 1+1=2 , maka Tuhan ada .c. Jika 2+2 =4 , maka 4 adalah bilangan prima d. Jika 3<6 , maka 6 <2

2. Nyatakan setiap kalimat proposisi berikut menjadi kalimat implikasi jika p, maka q :a. Dian bisa lulus sarjana , apabila ia telah menyelesaikan 144 sks.b. Sebuah program hanya bisa dibaca jika ia terstruktur dengan baik.c. Syarat cukup bagi Lukman untuk mengambil matakuliah algoritma dan Pemrograman adalah ia sudah lulus kuliah matematika Diskrit.d. Perlu ada salju agar Hesnu bisa bermain ski. e. Anda hanya mendapat jaminan barang hanya jika anda mengembalikan kartu garansi kurang dari sebulan untuk sejak pembelian. f. Untuk mendapat gelar doktor , cukup anda kuliah di universitas X .g. Perlu mendaki 100 meter lagi untuk mencapai pundak gunung Semeru.

3. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi untuk kalimat - kalimat nomor 2.

4. Nyatakan konvers dan kontraposisi dari implikasi berikut :a. Saya masuk kuliah bilamana ada kuis. b. Sebuah bilangan positif hanya prima jika ia tidak mempunyai pembagi selain 1 dan dan dirinnya sendiri.

SOAL -SOAL TENTANG TABEL KEBENARAN 1. Tentukan tabel kebenaran dari setiap kalimat di bawah ini:

a. ( p∨q)∧¬p

b. ¬( p∧q )∨(¬q∨r )

c. (¬p∨¬q)∨p

d. ¬( p∧q )∨(r∧¬p )

e. ( p∨q)→¬q

f. (¬q→ p)→( p→¬q )

2. gunakan tabel kebenaran untuk melihat bahwa p∧(q∨r ) ekivalen logis dengan

( p∧q)∨( p∧r )

Hal 2


3. Dengan tabel kebenaran perlihatkan bahwa : ( p→q )→r dan p→( q→r ) tidak ekivalen .

4. Gunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan tiap implikasi berikut adalah tautologi :

a. ¬p→( p→q )

b. ¬( p→q )→¬q

c. ( p∧q)→( p→q )

5. Buatlah dan bandingkan tabel kebenaran untuk setiap soal berikut ini :

a. p∧¬ p dan ¬( p∨¬ p)

b. ¬( p∧q ) dan ¬p∧¬qc.p→q dan ¬p∨qd. p→q dan ¬p→ ¬q

e.( p∧q)∧r dan p∧(q∧r )

6. Dengan menggunakan tabel kebenaran , apakah soal-soal di bawah ini tautologi (valid) ?

a. a→(b→a∨b )

b. (a→b )→[( a∨c )→(b∧c ) ]

c. (a→b )→[(b→c )→( a→c ) ]

d. a∨(b∧c )↔(a∨b )∧(a∨c )

e.(a→b )∧(a→ c )↔a∧(b→c )

7. Gunakan tabel kebernaran untuk membuktikan kalimat-kalimat berikut ekivalen logis .

a. ¬a↔b⇔(¬a∨b)∧(¬b∨a)

b. a→(¬a→b )⇔T

c. (a∨¬b )→c⇔(¬a∧b )∨c

d. a→(b→c )⇔(a→b )→c

e. a→b⇔¬(a∧¬b )

f. ¬(¬(a∧b )∨b )⇔F

g. (( a∧(b→c ))∧( a→(b→¬c )))→a⇔T

8. Diketahui bahwa p dan q adalah proposisi yang nilai kebenarannya selalu berbeda.

Periksa apakah tabel kebenaran dari p identik dengan tabel kebenaran q∨¬q→ p

9. Untuk p dan q yang selalu berbeda nilai kebenarannya , buatlah tabel kebenaran untuk :

Hal 3


a. p→qb. konvers dari a )c. kontraposisi dari a )d. kontraposisi dari b)

SOAL -SOAL TENTANG HUKUM ALJABAR PROPOSISI

1. Gunakan hukum aljabar untuk menunjukkan bahwa kedua kalimat di bawah ini tautologi (valid) :

a.( p∧q)→( p∨q )

b. [ p∧( p→q ) ]→q

2. Gunakan hukum aljabar untuk menunjukkan kalimat implikasi di bawah ini tautologi (valid) :

a. ¬p→( p→q )

b. ¬( p→q )→¬q

c. ( p∧q)→( p→q )

3. Dengan hukum logika aljabar perlihatkan bahwa ( p→q )→r dan

p→( q→r ) tidak ekivalen .

4. Dengan menggunakan hukum-hukum logika , apakah soal-soal di bawah ini tautologi (valid)?

a. a→(b→a∨b )

b. (a→b )→[( a∨c )→(b∧c ) ]

c. (a→b )→[(b→c )→( a→c ) ]

d. a∨(b∧c )↔(a∨b )∧(a∨c )

e.(a→b )∧(a→ c )↔a∧(b→c )

SOAL-SOAL LOGIKA 1 . Ada kasus bahwa jika kalimat "m jika dan hanya jika n" bernilai benar (T) , bagaimana dengan nilai kebenaran dari kalimat " bukan m atau bukan n" ( boleh menggunakan tabel kebenaran )

2. Apakah kalimat "p dan q" ekivalen logis dengan kalimat "jika bukan q maka p"? Jelaskan jawaban saudara . Tunjukkan alasan untuk mengukuhi keputusan anda.

3. Diberikan kalimat ( p∨q)→ p . Untuk kasus q bernilai benar (T) , dan kalimat tersebut bernilai salah (F) . Tentukan nilai p dalam kasus ini.

4.Diberikan : p sebuah proposisi

Hal 4


p∧q adalah kalimat proposisi , selalu bernilai F untuk apapun nilai kebenaratan dari q . Apa nilai kebenaran dari p?

5. Diberikan p↔q bernilai salah(F) , apakah nilai kebenaran dari p∨¬q

6. Diketahui bahwa proposisi berikut ini berlaku pada selang (a,b) : k: f fungsi kontinu t: f memiliki turunan f' p: f' >0 n: fungsi naik.

a. Nyatakan dalam bahasa indonesia yang pantas kalimat logika : (k∧t∧p )→nb. Nyatakan dalam bahasa Indonesia yang pantas kalimat kontraposisi dari (a) .c. Gunakan hukum logika (keekivalenan implikasi dan disjungsi) untuk mengubah (a) , sehingga tidak berbentuk kalimat implikasi.

7. Jika pernyataan p→q salah , tentukan nilai pernyataan (¬p∨¬q)→q

8. Jika pernyataan p→q benar , tentukan nilai pernyataan ¬p∨( p↔q )

MASALAH EKSKLUSIF OR DAN INKLUSIVE OR

1. Manakah dari kalimat "atau " di bawah ini yang menyatakan inklusif or ekslusif or . a. Untuk mengambil matakuliah Matematika Diskrit , anda sudah harus mengambil kuliah kalkulus atau Pengantar Teknologi Informasi . b. Sekolah diliburkan jika banjir melebihi 1 meter atau jika hujan masih juga belum berhenti. c. Jika anda membeli sepeda motor saat ini, anda mendapat potongan Rp 500.000,- atau voucher BBM sebesar 2 % dari harga motor. d. Untuk makan malam, tamu boleh memesan 2 macam sup atau 1 macam bistik.

RESPONSI II

PENYEDERHANAAN DENGAN HUKUM LOGIKA ALJABAR PROPOSISI

Penyederhanaan ekspresi logika adalah :1. menghilangkan tanda implikasi dan biimplikasi 2. Menggantikan tanda perangkai logika (implikasi dan biimplikasi) dengan "¬¿ ¿", "¿ ", "¿ ".

BAGIAN I Sederhanakan ekspresi logika ini menjadi bentuk yang paling sederhana.

1. a∧(¬a→ a)

2. ¬(¬a∧(b∨¬b ))

3. ¬a→¬(a→¬b )

4. (a→b )→((a→¬b )→¬a )

Hal 5


5. (a→(b∨¬c ))∧¬a∧b

6. (¬a∧¬(b→c ))∧¬(a→(b→¬c ))

7. (¬a→b )→((¬a→¬b )→a)

8. (a∧(¬a∨b ))∨b∨(a∧(a∨b ))

9.(a∧¬b∧a∧¬c )∨(c∧a∧¬c )BAGIAN II Buktikan hukum penyerapan berikut ini dengan penyederhanaan

1. a∨( a∧b )⇔a

2. a∧( a∨b )⇔a

3. (a∧b )∨(¬a∧b )⇔b

4. (a∨b )∧(¬a∨b )⇔b

BAGIAN IIIHilangkan tanda " ", " " dari ekspresi logika berikut ini dan sederhanakan lagi jika memungkinkan.

1. ¬a→¬b

2. (a→b )∧(b→ c )

3. (a→b )↔((a∧b )↔b )

BAGIAN IV Buktikan ekivalensi dua kalimat logika di bawah ini dengan Hukum Aljabar Proposisi .

1. (a∧b )∨(b∧c )⇔b∧(a∨c )

2. ¬(¬(a∧b )∨a )⇔T

3. ¬(¬a∨¬( c∨d ))⇔(a∧c )∨(a∧d )

4. a∧(¬a∨b )⇔a∧b

5. ¬(¬a∧¬b )⇔a∨b

6. (a∧b )∨(a∧¬b )⇔a

7. a↔b⇔¬(¬(¬a∨b )∨¬(¬b∨a ))

8. a↔b⇔(¬a∨b )∧(¬b∨a )

9. ¬(¬a∨¬(b∨c ))⇔(a∧b )∨(a∧c )

10. (a∨c )∧(b∨d )⇔( a∧b )∨(a∧d )∨(b∧c )∨(c∧d )

BAGIAN V Tentukan validitas kalimat berikut dengan HUKUM LOGIKA ALJABAR .

Hal 6


GUNAKAN PRINSIP PENYEDERHANAAN .

1. A: ~q∨~ [( p→~q )∧p ]

2. A:( p→~q )↔~( p∧q )

3. A:[ p→(q∧r ) ]↔[ ( p→q )∨( p→r ) ]

4. A:[ p→(q→r ) ]↔ [( p∧q )→r ]

5. A:[ p→(q∨r ) ]↔[ ( p∧~q )→r ]

6. A:[ p∧(q→r ) ]↔[ (~ p∨q )→( p∧r )]

7. A:[ p↔(q↔r )]↔[ ( p↔q )↔r ]PENYEDERHANAAN DENGAN METODE RESOLUSI

RESPONSI III

Latihan di bawah ini adalah suatu tekateki yang dapat di pecahkan dengan cara menerjemahkan kalimat nya kedalam kalimat logika dan melakukan penarikan kesimpulan (reasoning) dengan menggunakan tabel kebenaran .

cerita 1.Polisi menemukan tiga tersangka pembunuhan tuan Cooper . Tuan Smith, Jones , dan William . Smith, Jones dan William masing-masing menyatakan dirinya tidak bersalah / membunuh tuan Cooper. Smith menyatakan bahwa Cooper adalah teman Jones, dan Wiliam tidak menyenangi Jones. Jones menyatakan bahwa dia tidak mengenal Cooper dan dia sedang berada diluar kota pada hari saat Cooper terbunuh . Wiliam menyatakan bahwa dia melihat Smith dan Jones bersama-sama dengan Cooper ,pada hari pembunuhan Cooper dan berarti baik Smith atau Jones kemungkinan membunuh Cooper. Dapatkah anda menentukan siapa pembunuhnya jika:a . salah satu dari tiga orang ini salah , 2 orang yang tidak bersalah menceritakan hal yang benar , tapi pernyataan dari yang bersalah bisa benar bisa juga tidak benar.b. orang-orang tidak bersalah menyatakan kebenaran ?.

cerita 2.Steve hendak menentukan gaji realtif dari tiga pekerja dengan menggunakan dua fakta. Pertama dia mengetahui bahwa jika Fred tidak dibayar tertinggi diantara mereka bertiga, maka Janice berada di urutan tertinggi . Kedua , jika Janice tidak dibayar dengan harga terendah , maka Maggie dibayar dengan harga tertinggi. Apakah mungkin untuk menemukan gaji-gaji tertinggi diantara Fred, Maggie dan Janice , dari dua fakta yang diketahui tersebut? Siapa yang dibayar paling tinggi dan paling rendah? jelaskan alasan jawaban anda.

cerita 35 teman mempunyai akses ke chat room. Apakah mungkin untuk mengetahui siapa saja yang sedang chatting dengan mengetahui 5 informasi berikut ? a. Kevin atau Heather atau keduanya sedang chatting. ( inclusive or ) b. Randy atau Vijay atau tidak keduanya sedang chatting. ( eksclusive or ) c. Jika Abby chatting , maka Randy chattingd. Vijay dan Kevin keduanya chatting , atau keduanya tidak chatting . e. Jika Heather chatting maka Abby dan Kevin Chatting . terangkan jawaban anda.

Hal 7


cerita 4Seorang detektif mewawancarai 4 orang saksi untuk suatu kriminal . Dari cerita para saksi , detektif menyimpulkan bahwa:a.Jika tukang daging bercerita benar maka si tukang masak menceritakan hal yang benar juga. b.Tukang masak dan tukang kebun tidak mungkin keduanya menceritakan kebenaran. c. Tukang kebun dan tukang reparasi , tidak mungkin keduanya berbohong. d. Jika tukang reparasi menceritakan kebenaran maka si tukang masak berbohong. Dari keempat saksi tersebut ( tukang masak, tukang daging , tukang kebun dan tukang reparasi) dapatkah detektif tersebut menentukan siapa yang bercerita benar dan siapa yang bercerita bohong ? Jelaskan jawaban saudara.

cerita 5 :Empat sekawanan telah diindentifikasi sebagai tersangka untuk akses yang tidak syah pada suatu sistem komputer. Mereka memberikan pernyataan terhadap tim penyelidik. i. Alice berkata " Carlos yang melakukan "ii John berkata " Saya tidak melakukan "iii. Carlos berkata " Diana melakukan" iv. Diana berkata " Carlos berbohong waktu dia mengatakan bahwa saya yang melakukan" A. Jika tim penyelidik ini tahu bahwa hanya tepat satu dari 4 tersangka ini yang bercerita benar. Siapa yang melakukannya? Terangkan alasan anda .B. Jika tim penyelidik ini tahu bahwa hanya tepat satu dari 4 tersangka ini yang bercerita bohong . Siapa yang melakukannya ?Terangkan alasan anda.

RESPONSI IVBENTUK NORMAL

Jawaban latihan soal

BAGIAN I (Bentuk CNF) :

1. (a∧c )∨(b∧c )

jawab : ⇔ c∧(a∨b ) CNF

2. ~ (a→b )∨(a∨b ) jawab :

~ (a→b )∨(a∨b ) ⇔ ~ (~a∨b )∨(a∨b)

⇔ (a∧~b )∨a∨b De Morgan, assosiatif

⇔( (a∧~b )∨a )∨b Distributif

⇔ ( (a∨a )∧( ~b∨a ) )∨b Distributif

⇔ (a∨a∨b )∧(~b∨a∨b ) CNF

3. (a→b )→c jawab :

⇔~ ( ~a∨b )∨c ⇔ (a∧~b )∨c

Hal 8


⇔ (a∨c )∧(~b∨c ) CNF

4. ~a↔ (b∨c ) jawab :

~a↔ (b∨c )⇔[ ~a→ (b∨c )]∧[ (b∨c )→~a ]Pecah menjadi bagian pertama (A) : ~a→ (b∨c ) dan bagian kedua (B) : (b∨c )→~a

A: ~a→ (b∨c )

⇔~(~a )∨(b∨c ) ⇔ a∨b∨cB : (b∨c )→~a

⇔~ (b∨c )∨~a Implikasi

⇔ ( ~b∧~ c )∨~a De Morgan

⇔ ( ~b∨~a )∧(~ c∨~a ) Distributif

Jadi : A∧B menjadi :

(a∨b∨c )¿ (~b∨~a )∧(~ c∨~a ) CNF

5. (a∧(~b↔c ) )→c

Bagian (~b↔c ) diuraikan dulu

(~b↔c ) ⇔ (~b→c )∧( c→ ~b ) ⇔ (~( ~b )∨c )∧(~ c∨~b ) Implikasi

⇔(b∨c )∧(~ c∨~b ) De Morgan Jadi kalimat logikanya menjadi

(a∧(b∨c )∧ (~ c∨~b ) )→ c⇔ ~ (a∧ (b∨c )∧(~ c∨~b ) )∨c⇔(~a∨~(b∨c )∨~(~ c∨~b ))∨c⇔(~a∨(~b∧~ c )∨(c∧b ))∨c⇔[((~a∨~b )∧(~a∨~ c ))∨(c∧b ) ]∨c⇔[((~a∨~b )∨(c∧b ))∧((~a∨~ c )∨(c∧b) )]∨c⇔{[( ~a∨~b∨c )∧(~a∨~b∨b )]∧[( ~a∨~ c∨c )∧(~a∨~ c∨b ) ]}∨c⇔{( ~a∨~b∨c )∧(~a∨~b∨b )∧( ~a∨~ c∨c )∧(~a∨~ c∨b )}∨c⇔(~a∨~b∨c∨c )∧(~a∨~b∨b∨c )∧(~a∨~ c∨c∨c )∧( ~a∨b∨~ c∨c )…CNF …………………………………………………

⇔(~a∨~b∨c )∧(~a∨T∨c )∧(~a∨T∨c )∧(~a∨b∨T )⇔(~a∨~b∨c )∧T∧T∨¿T⇔(~a∨~b∨c ) CNF yang disederhanakan

BAGIAN II (Bentuk DNF) :

1. ~ ( (a∧b )∨c )∧b

⇔[ ~(a∧b)∧~ c ]∧b De Morgan

⇔[(~a∨~b)∧~ c ]∧b Distributif

Hal 9


⇔[(~a∧~ c )∨(~b∧~ c ) ]∧b Distributif

⇔(~a∧~ c∧b )∨(~b∧~ c∧b ) DNF

2. a∧~ (a∨~ (b∧c ) )

⇔ a∧~(a∨(~b∨~ c )) De Morgan

⇔ a∧(~a∧~(~b∨~ c )) De Morgan

⇔ a∧(~a∧(b∧c )) De Morgan

⇔ a∧(~a∧b∧c ) Asosiatif

⇔ a∧~a∧b∧c DNF

3. (a→b )↔ ( (a→c )∧b )

⇔ [(a→b )→(( a→c )∧b) ]∧[(( a→c )∧b)→(a→b )] kalimat diatas dibagi menjadi dua bagian : A ¿ B , dengan Bagian A:

[( a→b )→((a→c )∧b )] Bagian B:

[( (a→c )∧b )→(a→b )] A:

[ (a→b )→((a→c )∧b )] ⇔(~a∨b)→((~a∨c )∧b ) ⇔~(~a∨b)∨((~a∨c )∧b ) ⇔(a∧~b)∨((~ a∨c )∧b ) ⇔(a∧~b)∨[(~a∧b )∨(c∧b ) ] ⇔(a∧~b)∨(~a∧b )∨(c∧b ) DNF B:

(( a→c )∧b)→(a→b ) ⇔((~a∨c )∧b )→(~a∨b ) ⇔~((~a∨c )∧b )∨(~a∨b ) ⇔(~(~a∨c )∨~b )∨(~a∨b ) ⇔((a∧~ c )∨~b )∨(~a∨b ) ⇔(a∧~ c )∨~b∨~a∨b ⇔(a∧~ c )∨~a∨~b∨b ⇔(a∧~ c )∨~a∨(~b∨b) ⇔(a∧~ c )∨~a∨T ⇔(a∧~ c )∨T ⇔Tmaka kalimat A ¿ B menjadi :

[ (a∧~b )∨( ~a∧b )∨(c∧b ) ]∧T ⇔(a∧~b)∨(~a∧b )∨(c∧b ) …………………………….DNF

4. ( (a∧b )∨(~a∧b ))∧~ (~ (a∧~ c )∨b )

Hal 10


Kalimat di atas diganti menjadi : A ¿ B dengan Bagian A:

( (a∧b )∨(~a∧b )) bentuk ini sudah dalam DNF . Bagian B:

~ (~ (a∧~ c )∨b ) ⇔~((~a∨c )∨b ) ⇔(~(~a∨c )∧~b ) ⇔((a∧~ c )∧~b ) ⇔(a∧~ c∧~b )maka A ¿ B menjadi :

( (a∧b )∨(~a∧b ))¿ (a∧~ c∧~b )⇔[(a∧b )∧(a∧~ c∧~b) ]∨[(~a∧b )∧( a∧~ c∧~b )]⇔[ a∧b∧a∧~ c∧~b ]∨[~a∧b∧a∧~ c∧~b ]⇔(a∧b∧~b∧~ c )∨( ~ a∧a∧~b∧b∧~ c )……………..bentuk DNFjika di sederhanakan lagi menjadi :

⇔(a∧F∧~ c )∨(F∧F∧~ c )⇔F∨F⇔F

BAGIAN III :

1. a→ (b∧c )

⇔~a∨(b∧c ) DNF

⇔(~a∨b)∧(~a∨c ) CNF

2. (a∨b )→c

⇔~(a∨b)∨c ⇔(~a∧~b)∨c DNF

⇔(~a∨c )∧(~b∨c ) CNF

3. ~(((a∨b )∧c )∨b ) Bentuk CNF :

⇔~((a∨b )∧c )∧~b

⇔(~(a∨b )∨~ c )∧~b

⇔ (( ~a∧~b )∨~ c )∧~b

⇔((~a∨~ c )∧(~b∨~ c ) )∧~b

⇔(~a∨~ c )∧(~b∨~ c )∧~b CNF Bentuk DNF :

⇔~((a∨b )∧c )∧~b

⇔(~(a∨b )∨~ c )∧~b

⇔ (( ~a∧~b )∨~ c )∧~b

⇔(~a∧~b∧~b)∨(~ c∧~b ) DNF

4. ~( a→b )

Hal 11


⇔~(~a∨b) ⇔a∧~b

Persamaan di atas dapat berupa DNF dan CNF bergantung cara kita memandang . CNF , dengan memandang A1 = a dan A2 = ~b DNF, dengan memandang persamaan terdiri dari satu literal saja yaitu A1.

Dengan A1=( a∧~b ) .

Bagian IV:Tentukan FDNF dan FCNF dengan table kebenaran dari soal-soal di bawah ini :

1) (a∧c )∨(b∧c )

2) ~ (a→b )∨(a∨b )

3) (a→b )→c

4) ~a↔ (b∨c )

5. (a∧(~b↔c ) )→c

Jawab :1) Tabel kebenaran

a b c a∧c b∧c (a∧c )∨(b∧c )F F F F F F (i)F F T F F F (ii)F T F F F F (iii)F T T F T T (1)T F F F F F(iv)T F T T F T (2)T T F F F F (v) T T T T T T (3)

Bentuk FDNF :Dari tabel di atas ambil nilai Tnya saja , yakni ada 3, yang diberi nomor 1 sampai 3. Bentuk FDNFnya menjadi :

= (~a∧b∧c )∨(a∧~b∧c )∨(a∧b∧c )dimana, jika a=F maka lambang proposisi menjadi a, jika a=F maka lambang proposisi menjadi ~a .

Bentuk FCNF Dari tabel di atas ambil nilai F nya saja , yakni ada 5, yang diberi nomor i,ii, sampai dengan v. Bentuk FCNFnya menjadi :

(a∨b∨c )∧(a∨b∨~ c )∧ (a∨b∨~c )∧(~a∨b∨c )∧(~a∨~b∨c )

dimana, jika a=T maka lambang proposisi menjadi ~a, jika a=F maka lambang proposisi menjadi a .

2. Tabel kebenaran ~ (a→b )∨(a∨b )a b c (a→b ) ~( a→b ) (a∨b ) ~ (a→b )∨(a∨b )

Hal 12


F F F T F F F(i)F F T T F F F(ii) F T F T F T T(1)F T T T F T T(2)T F F F T T T(3)T F T F T T T(4)T T F T F T T(5)T T T T F T T(6)

Bentuk FDNF :Dari tabel di atas ambil nilai Tnya saja , yakni ada 6, yang diberi nomor 1 sampai 6. Bentuk FDNFnya menjadi :

= (~a∧b∧~ c )∨(~a∧b∧c )∨(a∧~b∧~ c )∨ (a∧~b∧c )∨(a∧b∧~ c )∨(a∧b∧c )dimana, jika a=F maka lambang proposisi menjadi a, jika a=F maka lambang proposisi menjadi ~a .

Bentuk FCNF Dari tabel di atas ambil nilai F nya saja , yakni ada 2, yang diberi nomor i dan ii . Bentuk FCNFnya menjadi :

(a∨b∨c )∧(a∨b∨~ c )

dimana, jika a=T maka lambang proposisi menjadi ~a, jika a=F maka lambang proposisi menjadi a .

3) Tabel kebenaran (a→b )→ca b c a→b (a→b )→cF F F T F(i)F F T T T(1)F T F T F(ii)F T T T T(2)T F F F T(3)T F T F T(4)T T F T F(iii)T T T T T(5)

4) Tabel Kebenaran ~a↔ (b∨c )a b c ~a b∨c ~a↔ (b∨c )F F F T F F(i)F F T T T T(1)F T F T T T(2)F T T T T T(3)T F F F F T(4)T F T F T F(ii)T T F F T F(iii)T T T F T F(iv)

5). Tabel Kebenaran (a∧(~b↔c ) )→ca b c ~b (~b↔c ) a∧( ~b↔c ) (a∧(~b↔c ) )→c

Hal 13


F F F T F F T(1)F F T T T F T(2)F T F F T F T(3)F T T F F F T(4)T F F T F F T(5)T F T T T T T(6)T T F F T T F(i)T T T F F F T(7)

RESPONSI V

MEMERIKSA VALIDITAS KALIMAT DENGAN ASUMSI SALAH

Kalimat yang tidak valid ekivalen dengan :1. Kalimat yang kontradiksi (nilainya selalui F untuk setiap interpretasi) atau 2. Kalimat yang continget ( yang nilainya sebagian bernilai T dan sebagian lagi bernilai F untuk seluruh interpretasi yang diberikan) .

Kalimat Valid adalah :1. Kalimat yang nilainya selalu T untuk setiap interpretasi yang diberikan.

BAGIAN I Periksalah validitas kalimat ini dengan menggunakan asumsi salah :

1. A: ~q∨~ [( p→~q )∧p ]2. A:( p→~q )↔~( p∧q )

3. A:[ p→(q∧r ) ]↔[ ( p→q )∨( p→r ) ]

4. A:[ p→(q→r ) ]↔ [( p∧q )→r ]

5. A:[ p→(q∨r ) ]↔[ ( p∧~q )→r ]

6. A:[ p∧(q→r ) ]↔[ (~ p∨q )→( p∧r )]

7. A:[ p↔(q↔r )]↔[ ( p↔q )↔r ]

BAGIAN IIPeriksalah validitas kalimat ini dengan menggunakan asumsi salah :

a. a→(b→a∨b )

b. (a→b )→[( a∨c )→(b∧c ) ]

c. (a→b )→[(b→c )→( a→c ) ]

d. a∨(b∧c )↔(a∨b )∧(a∨c )

e.[ (a→b )∧(a→c )]↔a∧(b→ c )

f.¬p→( p→q )

g. ¬( p→q )→¬q

h. ( p∧q)→( p→q )

Hal 14


BAGIAN IIIBuktikan bahwa kalimat di bawah ini adalah valid dengan menggunakan asumsi salah:

a. ( p∧q)→ p

b. p→( p∨q )

c. ¬p→( p→q )

d.

e. ¬( p→q )→ p

f. ¬( p→q )→¬q

BAGIAN IV Buktikan bahwa kalimat di bawah ini adalah tautologi dengan menggunakan asumsi salah:

a. [¬ p∧( p∨q ) ]→q

b. [ ( p→q )∧( q→r )]→( p→r )

c. [ p∧( p→q ) ]→q

d. [ ( p∨q )∧( p→r )∧(q→r ) ]→r

e. ( p∨q)∧(¬p∨r )→(q∨r )

f. ( p→q )∧(q→r )→( p→r )

BAGIAN VPeriksalah apakah kalimat dibawah ini merupakan tautologi dengan menggunakan asumsi salah :

a. (¬p∧( p→q ))→¬q

b.(¬q∧( p→q ))→¬p

BAGIAN VI Periksalah validitas kalimat dibawah ini dengan menggunakan asumsi salah :

a. ( p↔q )⊕( p↔¬q )

b. p⊕( p∨q )

c. ( p∨q)→( p⊕ q)

d. ( p∨q)⊕( p∧q )

e. ( p↔q )⊕(¬p↔q )

f. ( p↔q )⊕(¬p↔¬r )

g. ( p⊕q )→( p⊕¬q )

h. p⊕¬qi. ¬p⊕¬qj. (( p⊕q )∨( p⊕¬q ))k. ( p⊕q )∧( p⊕¬q )

Hal 15


BAGIAN VII Periksalah validitas kalimat dibawah ini dengan menggunakan asumsi salah :

a. p→¬qb. ¬p↔q

c. ( p→q )∨(¬ p→q )

d. ( p→q )∧(¬ p→q )

e. ( p↔q )∨(¬p↔q )

f. (¬p↔¬q )↔( p↔q )

RESPONSI VI

MEMERIKSA VALIDITAS KALIMAT DENGAN POHON SEMANTIK

Kalimat yang tidak valid ekivalen dengan :1. Kalimat yang kontradiksi (nilainya selalui F untuk setiap interpretasi) atau 2. Kalimat yang continget ( yang nilainya sebagian bernilai T dan sebagian lagi bernilai F untuk seluruh interpretasi yang diberikan) .

Kalimat Valid adalah :1. Kalimat yang nilainya selalu T untuk setiap interpretasi yang diberikan.

BAGIAN I Periksalah validitas kalimat ini dengan menggunakan pohon semantik :

1. A: ~q∨~ [( p→~q )∧p ]2. A:( p→~q )↔~( p∧q )

3. A:[ p→(q∧r ) ]↔[ ( p→q )∨( p→r ) ]

4. A:[ p→(q→r ) ]↔ [( p∧q )→r ]

5. A:[ p→(q∨r ) ]↔[ ( p∧~q )→r ]

6. A:[ p∧(q→r ) ]↔[ (~ p∨q )→( p∧r )]

7. A:[ p↔(q↔r )]↔[ ( p↔q )↔r ]

BAGIAN IIPeriksalah validitas kalimat ini dengan menggunakan pohon semantik:

a. a→(b→a∨b )

b. (a→b )→[( a∨c )→(b∧c ) ]

c. (a→b )→[(b→c )→( a→c ) ]

d. a∨(b∧c )↔(a∨b )∧(a∨c )

e.[ (a→b )∧(a→c )]↔a∧(b→ c )

f.¬p→( p→q )

g. ¬( p→q )→¬q

Hal 16


h. ( p∧q)→( p→q )

BAGIAN IIIBuktikan bahwa kalimat di bawah ini adalah valid dengan menggunakan pohon semantik:

a. ( p∧q)→ p

b. p→( p∨q )

c. ¬p→( p→q )

d.

e. ¬( p→q )→ p

f. ¬( p→q )→¬q

BAGIAN IV Buktikan bahwa kalimat di bawah ini adalah tautologi dengan menggunakan pohon semantik :

a. [¬ p∧( p∨q ) ]→q

b. [ ( p→q )∧( q→r )]→( p→r )

c. [ p∧( p→q ) ]→q

d. [ ( p∨q )∧( p→r )∧(q→r ) ]→r

e. ( p∨q)∧(¬p∨r )→(q∨r )

f. ( p→q )∧(q→r )→( p→r )

BAGIAN VPeriksalah apakah kalimat dibawah ini merupakan tautologi dengan menggunakan pohon semantik :

a. (¬p∧( p→q ))→¬q

b.(¬q∧( p→q ))→¬p

BAGIAN VI Periksalah validitas kalimat dibawah ini dengan menggunakan POHON SEMANTIK :

a. ( p↔q )⊕( p↔¬q )

b. p⊕( p∨q )

c. ( p∨q)→( p⊕ q)

d. ( p∨q)⊕( p∧q )

e. ( p↔q )⊕(¬p↔q )

f. ( p↔q )⊕(¬p↔¬r )

g. ( p⊕q )→( p⊕¬q )

h. p⊕¬q

Hal 17


i. ¬p⊕¬qj. (( p⊕q )∨( p⊕¬q ))

k. ( p⊕q )∧( p⊕¬q )

BAGIAN VII Periksalah validitas kalimat dibawah ini dengan menggunakan POHON SEMANTIK :

a. p→¬q

b. ¬p↔q

c. ( p→q )∨(¬ p→q )

d. ( p→q )∧(¬ p→q )

e. ( p↔q )∨(¬p↔q )

f. (¬p↔¬q )↔( p↔q )

METODE DEDUKSIRESPONSI VIII

SOAL-SOAL untuk responsi :

NO Soal-soal Jawaban 1 g → ( s → u )

g ~u ∴ ~s

1. g → ( s → u ) Pr.2. g Pr.3. ~u Pr./ 4. s → u 1,2 MP5. ~s 3,4 MT(terbukti)

2 p ( p r ) → d ∴ p d

1. p Pr. 2. ( p r ) → d Pr.3. [(p d) (r d) 2, penukaran4. p d 3, simp 5. d 1,4 MP6. p d 1,6 conj (terbukti)

3. b → j h → d ~( ~ j ~ d ) → u ~ u ∴ ~ b ~ h

1. b → j Pr. 2. h → d Pr. 3. ~( ~ j ~ d ) → u Pr. 4. ~ u Pr. 5. ( ~ j ~ d ) 3,4 MT 6. b h 1,2,5 DD7. ~ b ~ h 6, De Morgan(terbukti)

4 n → m m → d m → p ~ p m n ∴ d

1. n → m Pr. 2. m → d Pr. 3. m → p Pr. 4. ~ p Pr. 5. m n Pr. 6. ~ m 3,4 MT7. n 5,6 DS

Hal 18


8. m 1,7 MP9 d 2,8 MP (terbukti)

5. ~ [( a a ) d ] → z ~ z ~ z → ~ d ∴ a

1. ~ [( a a ) d ] → z Pr. 2. ~ z Pr. 3. ~ z → ~ d Pr.4. [( a a ) d ] 1,2 MT5. ~ d 3,2 MP6. a a 4,5 DS 7. a 6,Idempotenterbukti

6 . t → ( c d ) t b ( f f) ~ ( ~ w b ) w → ~ (c d ) ∴ f

1.t → ( c d ) Pr. 2. t b Pr.3. ( f f) ~ ( ~ w b ) Pr.4. w → ~ (c d ) Pr. 5. t 2, simp6. c d 5,1 MP7 ~ ( ~ ( c d ) ) 6, DN8. ~ w 4,7 MT9. b 2, simp10. ~ w b 8,9 conj 11. ( f f) 3,10 DS12 f 11, penyerapanterbukti

7. h → ( l r ) ( l w) → p w h ∴ p

1. h → ( l r ) Pr.2. ( l w) → p Pr. 3. w h Pr.4. h 1, simp 5. l r 1,4 MP6. l 5, simp 7. w 3, simp 8. l w 6,7 conj 9. p 2,8 MPterbukti

8. m → ( ~ r → u ) m ~ r ∴ u

1. m → ( ~ r → u ) Pr. 2. m ~ r Pr.3. m 2, simp4. ~ r → u 1,3 MP5. ~ r 2, simp6. u 4,5 MP terbukti

9. ~ ( p q ) r p s ∴ p → r

1. ~ ( p q ) r Pr. 2. p s Pr. 3. ( p q ) r 1,MI4. ( p r ) ( q r ) 3, penukaran5. p r 4, simp terbukti

Pembuktian dengan conditional Proof (CP) 1. ~ ( p q ) r Pr. 2. p s Pr. 3. p Pr.tambh∴ r

Hal 19


Bukti :1. ~ ( p q ) r Pr. 2. p s Pr. 3. p Pr.tambh4. ( p q ) → r 1, MI5. ( p r ) ( q r ) 4, taut6. p r 5, simp7. r 6,3 MP

10 ( s → q) → r ( p s ) → q ∴ p → r

1. ( s → q) → r Pr.2. ( p s ) → q Pr. 3. p → ( s → q) 2, Exp 4. p → r 1,3 HSterbukti

pembuktian dengan conditional proof (CP) :pembuktian argument di atas sama dengan pembuktian urutan premis berikut:1.( s → q) → r2. ( p s ) → q 3. p∴ rBukti:1.( s → q) → r Pr. 2. ( p s ) → q Pr. 3. p Pr.4. p → ( s → q ) 2,taut5. s → q 3,4 MP6. r 1,5 MPterbukti

11 ( a b) → ( c d ) ( d e ) → f a ∴ f

1. ( a b) → ( c d )2. ( d e ) → f3. a 4. ( a → ( c d ) ) (b → ( c d ) ) 1, TauT 5. ( a → ( c d ) ) 4, simp6. ( a → c) ( a → d ) 4, simp7. a → d 6, simp 8. ( d→ f ) ( e → f ) 2, penukaran 9. d→ f 8, simp 10 a → f 7,9 HS 11 f 3,10 MPterbukti

12 ( s w ) → ( b t ) ( t h ) → m s ∴ m

1 ( s w ) → ( b t )2. ( t h ) → m3. s 4.( s → ( b t ) ) (w → ( b t ) 1,Tau5. ( s → ( b t ) ) 4, simp6. ( s → b) ( s → t ) 4, simp7. s → t 6, simp 8. ( t→ m ) ( h → m ) 2, Tau9. t→ m 8, simp 10 s → m 7,9 HS 11 m 3,10 MPterbukti

Hal 20


13 [ ( p q ) r ] → ~ s s q ∴ ~ p

1. [ ( p q ) r ] → ~ s Pr. 2. s q Pr. 3. s 2, simp 4.~ [ ( p q ) r ] 1,3 MT 5. ~ ( p q ) ~ r 4, De M6. ~ ( p q ) 5, simp7 ~ p ~ q 6 De M8. q 2 simp9 ~ p 7,8 DS terbukti

14 ( p → q ) ( r → s) ~ ( q ↔ r ) (~ p → r ) (q ↔ r) ∴ q s(?)

1.. ( p → q ) ( r → s) Pr. 2. ~ ( q ↔ r ) Pr. 3. (~ p → r ) (q ↔ r) Pr.4. (~ p → r ) 3,2 DS5. p r 4, Tau6. ( ~ p q ) ( ~ r s) 1, tauto7. (~ p ( ~ r s)) (q ( ~ r s)) 6, dist8. (~ p ~ r) (~ p s) (q ( ~ r s))7 de M9. ~ (p r) (~ p s) (q ( ~ r s))

10. (~ p s) (q ( ~ r s)) 5,9 DS 11 (~ p s) (q ~ r) ( q s) terbukti (?)

15 g ( l t )g → ~ t t ∴ l

1. g ( l t ) Pr.2. g → ~ t Pr.3. t Pr. 4. ~ ~ t 3 DN5. ~ g 2,4 MT 6. l t 1,5, DS7. l 6 simp terbukti

16 p → ( l → g)p ~ g ∴ ~ l

1. p → ( l → g) Pr.2. p ~ g Pr.3. p 2, simp4 l → g 1,3 MP5. ~ g 2, simp6. ~ l 4,5 MT terbukti

17 ~ ( p m ) ( s r ) ~ s ∴ ~ m

1. ~ ( p m ) ( s r ) Pr.2. ~ s Pr. 3. ( p m ) → ( s r ) 1, MI4. ( p→ ( s r )) ( m → (s r ))3, Tau5. m → ( s r ) 4,simp6.( m → s) ( m → r ) 5, Tau7. m → s 6, simp 8. ~ m 7,2 MTterbukti

18 . p → r ( ~ p r ) → ( s → q) ∴ p → ( s → q)

1. p → r Pr.2. ( ~ p r ) → ( s → q) Pr.3. (?) Pembuktian dengan conditional proof :1. p → r Pr.2. ( ~ p r ) → ( s → q) Pr.

Hal 21


3. p Pr.Tambh(CP)4.s Pr. Tambh(CP)∴q

Bukti :1. p → r Pr.2. ( ~ p r ) → ( s → q) Pr.3. p Pr.Tambh(CP)4.s Pr. Tambh(CP)5. (~ p → ( s → q)) ( r → ( s → q)) 2, taut6. r → ( s → q) 5, simp7. r 1,3 MP8. s → q 6,7 MP9. q 8,4 MPterbukti.

19. ~ a → ~ b a → c b d d → e ∴ e c

1. ~ a → ~ b Pr.2. a → c Pr.3. b d Pr. 4. d → e Pr.5. ~ e → ~ d 4, kontraposisi6. d b 3 komm7. ~ d → b 6, Taut8. b → a 1, kontraposisi9. b → c 8,2 HS10. ~ d → c 7,9 HS11. ~ e → c 5,10 HS12. e c 11, Taut terbukti

20 ~ a ~ b ( a → c ) [( a c) → b ] ∴ ( a c) → ~ a

1.~ a ~ b Pr.2. ( a → c ) [( a c) → b ] Pr. 3. ( a c) → b 2, simp 4. ~ b ~ a 1,komm5. b → ~ a 4, Taut6. ∴ ( a c) → ~ a 3,5 HS

21. p → [ q ( r s ) ]~ r ~ s ~ q ∴ ~ p

1. p → [ q ( r s ) ] Pr. 2. ~ r ~ s Pr. 3. ~ q Pr. 4. ~ (r s ) 2, De M5. ~ q ~ (r s ) 3,4 conj 6. ~ [ q ( r s ) ] 5, De M 7. ~ p 1,6 MT terbukti

22. c ↔ ~ j j ∴ c → ( e ~ k )( ? )

(?)

23.( j r ) → ( d v ) ∴ ~ j d

1. ( j r ) → ( d v ) Pr. 2. ( j → ( d v ) )( r → ( d v ) ) 1, Taut3 ( j → ( d v ) ) 2, simp 4.( j → d ) ( j → v ) 3, Taut5. j → d 4, simp 6. ~ j d 5, Taut

Hal 22


terbukti24. ( t d) → e

∴ t → e1. ( t d) → e Pr. 2 ( t → e ) ( d → e ) 1, Taut3. t → e 2, simpterbukti

Pembuktian dengan conditional proof :1. ( t d) → e Pr.2.t Pr. ∴e

Bukti :1. ( t d) → e Pr.2.t Pr. 3. ( t → e ) ( d → e ) 1, Taut4. t → e 3, simp 5. e 4,2 MPterbukti

25. ( r f ) d ~ d f ∴ f

1. ( r f ) d Pr. 2. ~ d f Pr. 3. d ( r f ) 1, komm4. (d r) (d f) 3, distr5. d f 4 simp6. f ~ d 2, komm 7 . f d 5, komm8. (f ~ d) (f d ) 6,7 conj 9. f (~ d d) 8, de M10. f F 9, hk negasi11. f 10. hk identitasterbukti

Soal –soal cerita dan penyelesaiannya

Diberikan soal cerita di bawah ini ,buat pemodelannya dan buktikan validitasnya .

No. SOAL CERITA SOLUSI 1. Jika Nuraida pergi kemah ke

gunung Gede atau Aryanti tidak ada di rumah, maka Hasanah tidak akan pergi ke luar rumah, dan ineke akan setiamenemani.Ternyata Hasanah pergi ke luar rumah.Jadi, Aryanti ada di rumah.

p : Nuraida pergi kemah ke gunung Gedeq : Aryanti ada di rumah .r : Hasanah pergi ke luar rumah s : Ineke akan setia menemani

Lambang Logika matematika :1. (p ~ q ) → (~ r s) Pr. 2. r Pr. ∴q

Bukti :1. (p ~ q ) → (~ r s) Pr. 2. r Pr. 3.( p → (~ r s))(~ q → (~ r s) 1. Taut4. ~ q → (~ r s) 3 , simp . 5. (~ q → ~ r) (~ q → s) 4, Taut

Hal 23


6. ~ q → ~ r 5, simp7. ~ ~ r 2 DN 8. ~ ~ q 6,7 MT9. q 8 DNterbukti

2 Jika kita menanam bunga Flamboyan, maka taman kita berkembang dengan pesat , dan jika kita menanam bunga Bougenbille maka terlambatlah perkembangan taman kita.Jadi, jika kita menanam bunga Flamboyan dan bunga Bougenville maka taman kita berkembang dengan pesat dan terlambat.(?)

p : Kita menanam bunga flamboyant q :Taman kita berkembang dengan pesat r : Kita menanam bunga bougenville.s : Taman kita .berkembang dengan terlambat.

Lambang Logika Matematika :1. (p → q) ( r → s ) Pr.∴ ( p r )→ ( q s )(?)Bukti dengan aturan conditional proof :1. (p → q) ( r → s ) Pr.2. ( p r ) Pr.tambh(CP)∴ q spembuktian argument di atas sama dengan pembuktian dengan urutan argument berikut :1. (p → q) ( r → s ) Pr.2. p Pr.tambh(CP)3 r Pr.tambh(CP)∴ q s

Bukti :1. (p → q) ( r → s ) Pr.2. p Pr.tambh(CP)3 r Pr.tambh(CP)4. p → q 1, simp 5. r → s 1, simp 6. q 4,2 MP7. s 5,3 MP8 q s 6,7 conj terbukti

3 Jika kita menanam bunga Flamboyan, maka taman kita berkembang dengan pesat . Jika kita menanam bunga Bougenbille maka terlambatlah perkembangan taman kita. Jadi kita menanam bunga flamboyant atau bunga Bougenville , maka taman kita berkembang dengan pesat atau terlambat.

p : Kita menanam bunga flamboyant q :Taman kita berkembang dengan pesat r : Kita menanam bunga bougenville.s : Taman kita .berkembang dengan terlambat.

Lambang Logika Matematika :1.p → q Pr.2.r → s Pr. ∴ ( p r )→ ( q s )

Bukti dengan conditional proof :1.p → q Pr.2.r → s Pr3. ( p r ) Pr.tambh (CP). ∴ q s

Hal 24


Bukti :1.p → q Pr.2.r → s Pr3. ( p r ) Pr.tambh (CP)4 q s 1,2,3 CD terbukti .

4 Jika prof. GoodShot mempunyai senapan , maka ia akan menggunakannyahanya jika ia melihat pencuri . Ia mempunyai senapan , tapi tidak menggunakannya . Jadi , ia tidak melihat pencuri .

p : prof Good Shot punya senapan q : prof Good Shot menggunakan senapanr : prof Good Shot melihat pencuri

lambang logika matematika :1. p → ( r → q) Pr. 2. p ~ q Pr.∴ ~ r

Bukti :

5. Jika kita sungguh-sungguh belajar Logika atau setidak-tidaknya membaca catatan logika, maka kita akan lulus dalam test matakuliah tersebut. Kita sungguh-sungguh belajar logika dan sering pula membaca novel .Jadi kita lulus dalam test matakuliah logika .

p : kita sungguh-sungguh belajar logika.q : kita setidak-tidaknya membaca catatan logika r : kita akan lulus dalam test matakuliah logika..s : kita sering membaca novel.

Lambang logika matematika :1.( p q) → r Pr. 2. p s Pr. ∴ r

Bukti :1.( p q) → r Pr. 2. p s Pr.3.

6 Jika kita beriman kepada Allah, niscaya Allah akan memberi petunjukNya kepada kita dan menyayangi kita semua. Jika Allah memberi petunjuk kepada kita atau menyayangi kita semua, maka kita mendapat nikmat yang tak ternilai harganya . Jadi kita beriman kepada Allah , maka kita mendapat nikmat yang tak ternilai harganya

p : Kita beriman kepada Allahq : Allah akan memberi petunjuknya kepada kita r : Allah menyayangi kita semua s : Kita mendapat nikmat yang tak ternilai harganya. : Lambang Logika Matematika :1.p → ( q s ) Pr.2. ( q r) → s Pr.∴ p → s

Pembuktian dengan indirect proof no10,18,24

10 ( s → q) → r ( p s ) → q ∴ p → r

Pembuktian dengan conditional proof :1.( s → q) → r Pr. 2. ( p s ) → q Pr.

Hal 25


3. p Pr. (CP)∴ r

Pembuktian dengan indirect proof1.( s → q) → r Pr. 2. ( p s ) → q Pr.3. p Pr. (CP)4. ~ r Pr.tambh(IP)∴ r

Bukti :

1.( s → q) → r Pr. 2. ( p s ) → q Pr.3. p Pr. (CP)4. ~ r Pr.tambh(IP)5. p → ( s → q ) 2,taut6. ( s → q ) 1,3 MP7. ~ ( s → q) 1,4 MT 8. ( s → q ) ~ ( s → q) 6,7 conjditemukan suatu kontradiksi, maka argument valid..

18

. p → r ( ~ p r ) → ( s → q) ∴ p → ( s → q)

1. p → r Pr.2. ( ~ p r ) → ( s → q) Pr.3. (?) Pembuktian dengan conditional proof :1. p → r Pr.2. ( ~ p r ) → ( s → q) Pr.3. p Pr.Tambh(CP)4.s Pr. Tambh(CP)∴q

Pembuktian dengan indirect proof :1. p → r Pr.2. ( ~ p r ) → ( s → q) Pr.3. p Pr.Tambh(CP)4.s Pr. Tambh(CP)5. ~ q Pr.tambh(IP) 6. (~ p → ( s → q)) ( r → ( s → q)) 2, taut7. r → ( s → q) 6, simp 8. r 1,3 MP9. s → q 7,8 MP10. ~ s 9,5 MT 11. s ~ s 4,10 conj terdapat kontradiksi maka argument valid .terbukti !

24 ( t d) → e ∴ t → e

Pembuktian dengan conditional proof :1. ( t d) → e Pr.2.t Pr. ∴e

Hal 26


Pembuktian dengan indirect proof :1. ( t d) → e Pr.2.t Pr . tambh(CP) 3. ~ e Pr.tambh(IP) 4. ( t → e ) ( d → e ) 1, Taut5. t → e 4, simp 6. ~ t 5,3 MT 7 t ~ t 2,6 conj terdapat suatu kontradiksi maka argument valid !.

Pembuktian dengan aturan pembuktian kondisional

NO SOAL SOLUSI 2 Ada di kolom atas3 Ada di kolom atas

RESPONSI IXMETODE DEDUKSI DENGAN STRATEGI PEMBUKTIAN

RULE OF CONDITIONAL PROOF , RULE OF INDIRECT PROOF

1. Apa Rule of Inference yang digunakan dalam argumen-argumen tersebut. a. Alice belajar Matematika Jadi, Alice Belajar Matematika dan belajar komputer Sains. b. Jerri belajar Matematika dan komputer sains. Jadi, Jerri belajar Matematika . c. Jika hari ini hujan maka kolam renang ditutup untuk umum. Hari ini hujan Jadi, Kolam renang ditutup untuk umum.d. Jika hari ini hujan salju, maka universitas ditutup. Universitas tidak ditutup hari ini . Jadi, hari ini tidak hujan salju. e. Jika saya pergi berenang , maka saya berjemur terlalu lama. Jika saya berjemur terlalu lama maka kulit saya akan terbakar. Jadi, jika saya berenang , maka kulit saya akan terbakar.

2. Apa Rule of Inference yang digunakan dalam argumen-argumen berikut: a. Hari ini suhunya lebih dari 100 F atau polusi itu berbahaya. Hari ini suhu diluar kurang dari 100 F. Jadi, polusi itu berbahaya. b Linda adalah perenang yang hebat. Jika Linda adalah perenang yang hebat , maka dia dapat bekerja sebagai lifeguard . Jadi, Linda dapat bekerja sebagai lifeguardc. Jika saya mengerjakan pekerjaan rumah saya sepanjang malam, maka saya dapat menjawab semua soal latihan. Jika saya menjawab semua latihan , saya dapat mengerti bahan kuliah . Jadi, jika saya mengerjakan pekerjaan rumah sepanjang malam , maka saya akan mengerti bahan kuliah. d. Steve akan bekerja pada perusahaan komputer pada musim panas ini. Jadi, pada musim panas ini Steve akan bekerja pada perusahaan komputer atau dia akan bekerja di pantai.

3. Buktikan validitas argumen ini , dengan menggunakan Rule of Inference . Randi bekerja keras Jika randi bekerja keras , maka dia adalah anak pemalas.

Hal 27


Jika randi adalah anak yang pemalas, maka dia tidak akan mendapatkan pekerjaan. Jadi, Randi tidak akan mendapatkan pekerjaan.

4. Buktikan validitas argumen ini , dengan menggunakan Rule of Inference . JIka hari ini tidak hujan atau hari ini tidak berkabut , maka lomba berlayar dan demonstrasi penyelamatan dilaut akan diselenggarakan. JIka lomba layar diadakan , maka piala untuk juara akan diberikan. Piala untuk juara tidak diberikan. Jadi, hari ini hujan.

6. Untuk setiap himpunan dari premis-premis ini kesimpulan2 yang relevan apa saja yang dapat diambil , dengan aturan Rule Of Inference . Terangkan Rule Of Inference yang digunakan untuk mendapatkan kesimpulan tersebut. a. Jika saya memakan makanan pedas , maka saya bermimpi aneh. Saya bermimpi aneh , jika ada kilat pada saat saya tidur. Saya tidak bermimpi aneh . b. Saya rajin atau beruntung Saya tidak beruntung Jika saya beruntung, maka saya akan memenangkan lotre.

7. Untuk setiap himpunan dari premis-premis ini kesimpulan2 yang relevan apa saja yang dapat diambil , dengan aturan Rule Of Inference . Terangkan Rule Of Inference yang digunakan untuk mendapatkan kesimpulan tersebut. a. Jika saya bermain hockey , maka saya bosan pada hari berikutnya. Saya menggunakan kolam renang , jika saya bosan. Saya tidak menggunakan kolam renang b. Saya bermimpi atau berhalusinasi . Saya tidak bermimpi. Jika saya berhalusinasi , saya melihat gajah-gajah turun ke jalan.

8. Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Rule Of Inference . a. Logika sukar atau tidak banyak mahasiswa yang menyukainya. Jika Matematika mudah maka logika tidak sukar. Jadi , jika banyak mahasiswa menyukai logika maka matematika tidak mudah. (L:logika sukar ; S: Banyak mahasiswa menyukai logika ; M:Matematika mudah )

Jawab: direct proof

1. l∨¬s pr.

2. m→¬l pr. /∴ s→¬m

3. l→¬m 2, kontraposisi

4. ¬s∨l 1, komutatif

5. s→ l 4, T

6 s→¬m 5,3 HS

Hal 28


Conditional proof

1. l∨¬s pr.

2. m→¬l pr. /∴ s→¬m3. s pr. tambahan

4 ¬¬s 3, double negasi

5. l 1,4 DS

6. ¬¬l 5, double negasi

7. ¬m 2,6 MT

8 s→¬m 3,7 CP

indirect proof (cara I )

1. l∨¬s pr.

2. m→¬l pr. /∴ s→¬m

3. ¬( s→¬m) 2, T

4. ¬(¬s∨¬m) 3. T

5 s∧m 4 T 6 s 5, simp 7. m 5 simp

8. ¬l 2,7 MP

9. ¬s 1,8 DS

10. s∧¬s 6,9 conj Karena ditemukan kontradiksi maka argumen ini valid.

indirect proof (cara II )

1. l∨¬s pr.

2. m→¬l pr. /∴ s→¬m

3. ¬( s→¬m) 2, T

4. ¬(¬s∨¬m) 3. T

5 s∧m 4 T 6 s 5, simp 7. m 5 simp

8. ¬l 2,7 MP

9.¬¬s 6 double negasi

10. l 1,9 DS

11. l∧¬l 8,10 conjungsi

Karena ditemukan kontradiksi maka argumen ini valid.

indirect proof (cara III )

Hal 29


1. l∨¬s pr.

2. m→¬l pr. /∴ s→¬m

3. ¬( s→¬m) 2, T

4. ¬(¬s∨¬m) 3. T

5 s∧m 4 T 6 s 5, simp 7. m 5 simp

8. ¬¬s 2,7 MP

9. l 1,8 DS

10 ¬¬l 9 double negasi

11 ¬m 2,10 MT

12 ¬m∧m 7,11 conjungsi Karena ditemukan kontradiksi maka argumen ini valid.

b. Giri dan Heru seumur atau Giri lebih tua daripada Heru . Jika Giri dan Heru seumur, maka Rima dan Giri tidak seumur. Jika Giri lebih tua dari Heru , maka Giri lebih tua dari Shinta. Jadi Rima dan Giri tidak seumur , atau Giri lebih tua dari Shinta. (U: Giri dan Heru seumur ; T: Giri lebih tua dari Heru ; R :Rima dan Giri seumur ; s: Giri lebih tua dari Shinta) jawab :indirect proof (cara I )

1. u∨t Pr.

2. u→¬r Pr.

3. t→s Pr. /∴¬r∨s

4. ¬(¬r∨s ) Pr. tambahan

5. r∧¬s 4, T 6. r 5, simplifikasi

7. ¬s 5, simplifikasi

8. ¬t 3,7 MT 9. u 1,8 DS 10. ¬¬r 6, Double negasi

11. ¬u 2,10 MT

12. u∧¬u 9,11 conjungsi ditemukan suatu kontradiksi maka argumen valid.

indirect proof (cara II )

1. u∨t Pr.

2. u→¬r Pr.

3. t→s Pr. /∴¬r∨s

4. ¬(¬r∨s ) Pr. tambahan

Hal 30


5. r∧¬s 4, T 6. r 5, simplifikasi

7. ¬s 5, simplifikasi

8. ¬t 3,7 MT 9. ¬¬r 6, double negasi

10 ¬u 2,9 MT 11. t 1,10 DS

12. t∧¬t 11,8 conjungsi ditemukan suatu kontradiksi maka argumen valid.

direct proof

1. u∨t Pr.

2. u→¬r Pr.

3. t→s Pr. /∴¬r∨s4. r→¬u 2, kontraposisi

5. ¬u→ t 1, T

6. r→ t 4,5 HS

7. r→ s 6,3 HS

8. ¬r∨s 7, T

conditional proof

Kesimpulan soal adalah ¬r∨s ini ekivalen logis dengan r→ s . Jadi pembuktian argumen dapat dilakukan dengan conditional proof . Soal di atas menjadi :

1. u∨t Pr.

2. u→¬r Pr.

3. t→s Pr. /∴r→ s4. r Pr. Tambahan 5. ¬¬r 4, double negasi

6. ¬u 2,5 MT

7. t 1,6 DS

8. s 3,7 MT

9. r→ s 3,8 CP

c. Jika wayan berdagang , ia tidak menjadi beban keluarganya. Jika ia tidak berdagang , maka ia tidak mempunyai modal. Jika dia tidak punya modal maka ia bekerja di toko. Jika ia bangkrut , maka ia menjadi beban keluarganya. Jadi, atau ia tidak bangkrut atau ia bekerja di toko. ( W : Wayan berdagang ; K: Wayan menjadi beban keluarganya ; M : Wayan mempunyai modal ; T: Wayan bekerja di toko ; B: Wayan bangkrut ) Jawab :direct proof

1.w→¬k pr.

2.¬w→¬m pr.

Hal 31


3. ¬m→t pr.

4. b→k pr /∴¬b∨t

5. k→¬w 1, kontraposisi

6. b→¬m 5,2 HS

7. b→t 6,3 HS

8. ¬b∨t 7 , T

conditional proof

kesimpulan ¬b∨t ini ekivalen logis dengan b→t . Jadi pembuktian validitas dapat

menggunakan conditional proof dengan mengganti kesimpulan menjadi b→t

1.w→¬k pr.

2.¬w→¬m pr.

3. ¬m→t pr.

4. b→k pr /∴ b→t 5. b pr. tambahan

6. k→¬w 1, kontraposisi 7. k 4,5 MP

8 ¬w 6,7 MP

9 ¬m 2,8 MP 10 t 3,9 MP

11. b→t 5,10 CP

indirect proof

1.w→¬k pr.

2.¬w→¬m pr.

3. ¬m→t pr.

4. b→k pr /∴¬b∨t

5. ¬(¬b∨t ) pr. tambahan

6. b∧¬t 5, T 7. b 6, simp

8. ¬t 6, simp 9. k 4,7 MP

10.. ¬¬m 3,8 MT

11..¬¬w 2,10 MT 12. w 11, Double negasi

13 ¬k 1,12 MP

14. k ¿¬k 9,13 conjungsi ditemukan suatu kontradiksi maka argumen valid .

Hal 32


d. Jika rumah ayah selesai dipugar , jika ayah sehat tentu keluarga kami akan berkumpul . Atau rumah ayah selesai dipugar atau harga tebu tidak naik . Kenyataan ayah sehat . Jadi , jika harga tebu naik maka keluarga kami akan berkumpul. p: rumah ayah selesai dipugar q:ayah sehat r: Keluarga besar kami akan berkumpul t: harga tebu naik Jawab : Conditional Proof

1. p→( q→r ) Pr.

2. p∨¬t Pr. 3. q Pr

4. t Pr. tambahan / ∴t→r 5. ¬¬t 4, Double negasi 6 p 2,5 DS

7 q→r 2,6 MP 8. r 3,7 MP

9 t→r 4,8 CP

SOAL-SOAL Kenneth Rosen. 1. Hari ini sangat cerah , atau hari ini lebih dingin daripada kemarin. Kita akan pergi berenang , jika hari ini cerah. Jika kita tidak pergi berenang, maka kita akan pergi berkano . jika kita pergi berkano, maka kita akan pulang pada saat matahari terbenam. Jadi, kita akan pulang pada saat matahari terbenam. 2. Jika anda mengirim saya email , maka saya akan selesai menulis program. Jika tidak mengirim saya email , maka saya tidur lebih cepat. Jika saya tidur

lebih cepat, maka saya akan bangun dengan persasaan lebih segar. Jadi, jika saya tidak selesai menulis program , maka saya akan bangun dengan perasaan lebih segar.

Hal 33


Hal 34

latihan logika matematika

Documents